第一课时 导数的概念
课标要求 情境导入
1.了解导数概念的实际背景 （数学抽象）. 2.理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与意义（数学抽象）. 3.进一步体会极限思想（数学抽象）. 在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如： （1）摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛； （2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准； （3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本. 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个函数量的瞬时变化率，它在数学上称为什么？
知识点一｜函数的平均变化率
问题1 对比上节课中平均速度的概念，一般情况下，函数y＝f（x）的平均变化率如何理解？
提示：如图所示，函数f（x）在区间上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），事实上kAB＝＝.另外，从图形上看，它代表割线AB的斜率.
【知识梳理】
对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.我们把比值，即＝ 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率.
提醒：平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f（x）图象上的两点（x0，f（x0））与（x0＋Δx，f（x0＋Δx））所在直线的斜率.
【例1】 已知函数y＝h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10.
（1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01；
（2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解：（1）∵Δy＝h（1＋Δx）－h（1）＝－4.9（Δx）2－3.3Δx，
∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1.
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2.
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79.
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
（2）当Δx越来越小时，函数h（x）在区间上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
【规律方法】
求函数平均变化率的三个步骤
（1）求自变量的变化量Δx＝x2－x1；
（2）求函数值的变化量Δy＝f（x2）－f（x1）；
（3）求平均变化率＝.
训练1 〔多选〕已知函数f（x）的图象如图，则函数f（x）在区间上的平均变化率的情况是（ ）
A.在区间上的平均变化率最小
B.在区间上的平均变化率大于0
C.在区间上的平均变化率比上的大
D.在区间上的平均变化率最大
解析：BC 函数f（x）在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，＜0，即函数f（x）在区间上的平均变化率小于0，即选项D错误；在区间，，上时，＞0且Δx相同，由图象可知函数在区间上的最大，故选项A错误，B、C正确.
知识点二｜导数的概念
问题2 （1）平均速度和瞬时速度有什么关系？
提示：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值.
（2）类比平均速度与瞬时速度的关系，你认为瞬时变化率的定义是什么？
提示：瞬时变化率为
＝ .
【知识梳理】
1.定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有 极限 ，则称y＝f（x）在x＝x0处 可导 ，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率）.
2.写法：记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝.
提醒：对导数概念的再理解：①函数应在x＝x0的附近有定义，否则导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f（x）在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值.
【例2】 （1）已知f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）＝k，则＝ ；
解析：
＝＝f'（x0）＝.
（2）求函数y＝x－在x＝1处的导数.
解：因为Δy＝（1＋Δx）－－（1－）＝Δx＋，所以＝＝1＋，
所以＝（1＋）＝2，
所以y'＝2，即函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
变式 若本例（1）条件不变，则＝ 2k .
解析：∵＝f'（x0）＝k，∴
＝2＝2k.
【规律方法】
求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求函数值的变化量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
（2）求平均变化率＝；
（3）取极限，得导数f'（x0）＝.
训练2 （1）设f（x）是可导函数，且＝2，则f'（x0）＝（ A ）
A.2 B.－1
C.1 D.－2
解析： f'（x0）＝
＝＝2.
（2）函数y＝在x＝1处的导数为 .
解析：∵Δy＝－1，＝＝，＝，∴y'＝.
知识点三｜导数在实际问题中的意义
【例3】 （链接教材P65例2、P66例3）某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：万元）与产量x（单位：千台）之间的关系式为c（x）＝－2x2＋7x＋6.求c'（1）与c'（2），并说明它们的实际意义.
解：根据导数的定义，＝＝＝－2Δx＋3，
所以c'（1）＝＝（－2Δx＋3）＝3，
同理可得c'（2）＝－1.
c'（1）的实际意义：当产量在1千台附近时，多生产1千台旋切机可多获利3万元；
c'（2）的实际意义：当产量在2千台附近时，多生产1千台旋切机少获利1万元.
【规律方法】
认识瞬时变化率的关键点
（1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限；
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）反映了函数在x＝x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况.
训练3 一只昆虫爬行的位移s（单位：米）关于时间t（单位：分）的关系为s（t）＝求s'（1）与s'（4），并解释它们的实际意义.
解：当0≤t＜3时，s（t）＝3t2，＝＝＝6＋3Δt，
∴s'（1）＝＝（6＋3Δt）＝6.
当t≥3时，s（t）＝15＋3（t－1）2，
＝
＝
＝18＋3Δt，
∴s'（4）＝＝（18＋3Δt）＝18.
s'（1）＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，
s'（4）＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分.
1.如图，函数y＝f（x）在上的平均变化率为（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
解析：B ＝＝＝－1.
2.已知函数f（x）可导，且满足＝2，则函数y＝f（x）在x＝3处的导数为（ ）
A.－1 B.－2
C.1 D.2
解析：B 由题意，知f'（3）＝＝－2，故选B.
3.（2025·三明月考）设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝（ ）
A.3 B.－3
C.2 D.－2
解析：A ∵f'（1）＝
＝＝a，又f'（1）＝3，∴a＝3.
4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，则烟花在t＝1 s时的瞬时速度为 4.9 m/s.
解析：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值.
因为＝＝4.9－4.9Δt，所以h'（1）＝＝（4.9－4.9Δt）＝4.9.
课堂小结
1.理清单
（1）函数的平均变化率；
（2）导数的概念；
（3）导数在实际问题中的意义.
2.应体会
利用导数的概念求导数值时，利用了极限思想.
3.避易错
用定义求导时，对Δy与Δx的对应关系理解不到位.
1.函数f（x）＝x2－1在区间（m＞1）上的平均变化率为3，则实数m＝（ ）
A.3 B.2
C.1 D.4
解析：B 由已知得＝3，所以m＋1＝3，所以m＝2.
2.设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：C f'（1）＝＝＝2.
3.若一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（ ）
A.圆 B.抛物线
C.椭圆 D.直线
解析：D 因为这个函数的瞬时变化率处处为0，所以当这个函数的自变量x变化时，函数值y没有变化，即这个函数为常函数，所以这个函数的图象是x轴或平行于x轴的一条直线.
4.若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为f'（x0），则＝（ ）
A.－f'（x0） B.3f'（x0）
C.－3f'（x0） D.－4f'（x0）
解析：D
＝－4＝－4f'（x0）.
5.若可导函数f（x）的图象过原点，且满足＝－1，则f'（0）＝（ ）
A.－2 B.2
C.－1 D.1
解析：C ∵f（x）的图象过原点，∴f（0）＝0，∴f'（0）＝＝＝－1，故选C.
6.〔多选〕已知函数y＝f（x），下列说法正确的是（ ）
A.Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的变化量
B.＝叫做函数从x0到x0＋Δx的平均变化率
C.y＝f（x）在x＝x0处的导数记为y'
D.y＝f（x）在x＝x0处的导数记为f'（x0）
解析：ABD A中，Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的变化量，A正确；B中，＝叫做函数f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率，B正确；由导数的定义知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数记为f'（x0）或y'，故C错误，D正确.故选A、B、D.
7.〔多选〕已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A.f（x）在[a，b]上的平均变化率等于g（x）在[a，b]上的平均变化率
B.f（x）在[a，b]上的平均变化率小于g（x）在[a，b]上的平均变化率
C.对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
解析：AD 对于A、B，∵f（x）在[a，b]上的平均变化率是，g（x）在[a，b]上的平均变化率是，由题图可知，f（b）＝g（b），f（a）＝g（a），∴＝，∴选项A正确，B错误；对于C、D，函数f（x）（g（x））在x＝x0处的瞬时变化率即为函数f（x）（g（x））在x＝x0处的导数，即函数f（x）（g（x））在该点处的切线的斜率，由题图知，选项C错误，D正确.故选A、D.
8.已知y＝f（x）＝，且f'（m）＝－，则m＝ ±2 .
解析：因为＝＝＝，所以f'（m）＝＝－，所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
9.已知函数y＝f（x）＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f（x0）＝ 9 .
解析：由题知－8＝＝＝4x0，得x0＝－2，所以f（x0）＝2×（－2）2＋1＝9.
10.（1）求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数；
（2）求函数f（x）＝在x＝x0（x0＞－1）处的导数.
解：（1）Δy＝2（3＋Δx）2＋4（3＋Δx）－（2×32＋4×3）＝12Δx＋2（Δx）2＋4Δx＝2（Δx）2＋16Δx，∴＝＝2Δx＋16.
∴y'｜x＝3＝＝（2Δx＋16）＝16.
（2）f（x）＝，
则f'（x0）＝
＝
＝
＝＝.
11.〔多选〕对于函数f（x），若f'（x0）＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（ ）
A. B.
C. D.
解析：ABD 因为＝f'（x0）＝2，故A正确；因为＝f'（x0）＝2，故B正确；因为＝2f'（x0）＝4，故C错误；因为＝f'（x0）＝2，故D正确.故选A、B、D.
12.如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝ 2 ；＝ －2 .（用数字作答）
解析：由于f（0）＝4，f（4）＝2，所以f（f（0））＝2.易求得直线AB的方程为y＝－2x＋4，所以＝＝－2.
13.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f'（x），f'（0）＞0，且对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为 2 .
解析：由导数的定义，得f'（0）＝＝＝[a·（Δx）＋b]＝b＞0.又∴ac≥，∴c＞0.∴＝≥≥＝2，当且仅当a＝c＝时等号成立.
14.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度（单位：℃）为y＝f（x）＝80x2＋20，0≤x≤1，求f'（0.25），并说明它的实际意义.
解：因为y＝f（x）＝80x2＋20，0≤x≤1，
所以＝
＝
＝＝40＋80Δx.
所以f'（0.25）＝（40＋80Δx）＝40.
它表示在第0.25 h附近，沥青的温度大约以40 ℃/h的速率上升.
15.设f（x）在R上可导，求f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝－a处的导数之间的关系.
解：设f（－x）＝g（x），则f（－x）在x＝a处的导数为g'（a），于是g'（a）＝＝.
而f'（－a）＝，
令x＝－t，则当x→－a时，t→a，
所以f'（－a）＝＝－＝－g'（a）.
这说明f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝－a处的导数互为相反数.
8 / 8第一课时 导数的概念
1.函数f（x）＝x2－1在区间（m＞1）上的平均变化率为3，则实数m＝（ ）
A.3 B.2
C.1 D.4
2.设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.若一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（ ）
A.圆 B.抛物线
C.椭圆 D.直线
4.若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为f'（x0），则＝（ ）
A.－f'（x0） B.3f'（x0）
C.－3f'（x0） D.－4f'（x0）
5.若可导函数f（x）的图象过原点，且满足＝－1，则f'（0）＝（ ）
A.－2 B.2
C.－1 D.1
6.〔多选〕已知函数y＝f（x），下列说法正确的是（ ）
A.Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的变化量
B.＝叫做函数从x0到x0＋Δx的平均变化率
C.y＝f（x）在x＝x0处的导数记为y'
D.y＝f（x）在x＝x0处的导数记为f'（x0）
7.〔多选〕已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A.f（x）在[a，b]上的平均变化率等于g（x）在[a，b]上的平均变化率
B.f（x）在[a，b]上的平均变化率小于g（x）在[a，b]上的平均变化率
C.对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
8.已知y＝f（x）＝，且f'（m）＝－，则m＝ .
9.已知函数y＝f（x）＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f（x0）＝ .
10.（1）求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数；
（2）求函数f（x）＝在x＝x0（x0＞－1）处的导数.
11.〔多选〕对于函数f（x），若f'（x0）＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（ ）
A.
B.
C.
D.
12.如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝ ；＝ .（用数字作答）
13.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f'（x），f'（0）＞0，且对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为 .
14.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度（单位：℃）为y＝f（x）＝80x2＋20，0≤x≤1，求f'（0.25），并说明它的实际意义.
15.设f（x）在R上可导，求f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝－a处的导数之间的关系.
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