5.2.1 基本初等函数的导数
1.下列求导运算正确的是（ ）
A.（cos）'＝sin B.（）'＝－
C.（lg x）'＝ D.（）'＝
2.函数y＝x4在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A.y＝4x－3 B.y＝4x＋3
C.y＝－4x－3 D.y＝－4x＋3
3.若f（x）＝，g（x）＝ln x，则使f'（1）＋g'（x）＝1的x的值为（ ）
A. B.
C. D.2
4.函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有（ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
5.曲线y＝在点处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
6.〔多选〕若曲线f（x）＝－上某点处的切线的倾斜角为，则该点的坐标为（ ）
A.（1，1） B.（－1，－1）
C.（－1，1） D.（1，－1）
7.〔多选〕直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A.f（x）＝ B.f（x）＝x4
C.f（x）＝sin x D.f（x）＝ex
8.一物体沿一光滑斜面下滑，测得物体下滑速度满足v（t）＝log2t，则该物体下滑的加速度a＝ .
9.设b为实数，若直线y＝－x＋b为函数y＝图象的切线，则b＝ .
10.求下列函数的导数：
（1）y＝；（2）y＝；
（3）y＝－2sin（1－2cos2）.
11.设f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，fn＋1（x）＝f'n（x），n∈N，则f2 026（x）＝（ ）
A.sin x B.－sin x
C.cos x D.－cos x
12.已知函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝ .
13.已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），则当△ABC的面积最大时，m的值为 .
14.已知点P在曲线f（x）＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线.
（1）求a的值；
（2）求过点P且与直线l垂直的直线方程.
15.已知两条曲线y＝f（x）＝sin x，y＝g（x）＝cos x，这两条曲线是否存在一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
1 / 25.2.1 基本初等函数的导数
课标要求 情境导入
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数（数学运算）. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数（数学运算）. 高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sin x，y＝ln x很难运用定义求导数.是否有更简便的求导数的方法呢？
知识点一｜基本初等函数的求导公式
问题 （1）导（函）数的定义式是什么？
提示：f'（x）＝.
（2）利用导数的定义分别求解f（x）＝c，x，x2，x3，，的导数，你发现了什么规律吗？
提示：利用f'（x）＝分别代入：
①f（x）＝c f'（x）＝＝0；
②f（x）＝x f'（x）＝＝1；
③f（x）＝x2 f'（x）＝＝（2x＋Δx）＝2x；
④f（x）＝x3 f'（x）＝＝ [3x2＋3x·Δx＋（Δx）2]＝3x2；
⑤f（x）＝ f'（x）＝＝＝－；
⑥f（x）＝ f'（x）＝＝＝.
规律：幂函数y＝xα的导数为y'＝αxα－1.
【知识梳理】
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝ 0
f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝ αxα－1
f（x）＝sin x f'（x）＝ cos x
f（x）＝cos x f'（x）＝ －sin x
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ axln a
f（x）＝ex f'（x）＝ ex
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
f（x）＝ln x f'（x）＝
提醒：对于根式f（x）＝，要先转化为f（x）＝，所以f'（x）＝.
【例1】 （链接教材P75例1）求下列函数的导数：
（1）y＝sin；（2）y＝x0（x≠0）；（3）y＝；
（4）y＝；（5）y＝log3x；（6）y＝2cos2－1.
解：（1）y'＝0.
（2）y＝x0＝1，即y'＝0.
（3）y'＝ln ＝－ln 3.
（4）y'＝'＝－＝－.
（5）y'＝（log3x）'＝.
（6）∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y'＝（cos x）'＝－sin x.
【规律方法】
求简单函数的导数的方法
（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导；
（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
提醒：注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数的区别.
训练1 （1）〔多选〕下列结论正确的为（ CD ）
A.y＝ln 2，则y'＝
B.y＝（）x，则y'＝－ln 2
C.y＝，则y'｜x＝3＝－
D.y＝log2x，则y'＝
解析：由导数的运算公式可知，对于A，由y＝ln 2，则y'＝0，所以A错误；对于B，由y＝（）x，则y'＝－（）xln 2，所以B错误；其他选项均正确.
（2）已知函数f（x）＝若f'（a）＝12，则实数a＝或－2.
解析：f'（x）＝若f'（a）＝12，则或解得a＝或a＝－2.
知识点二｜利用导数研究曲线的切线问题
【例2】 求曲线y＝ln x在点P（e，1）处的切线方程.
解：∵y'＝，∴切线的斜率k＝y'｜x＝e＝，
∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0.
变式 （1）已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ ；
解析：设切点坐标为（x0，y0），由题意得y'＝＝k，又y0＝kx0，且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝.
（2）求曲线y＝ln x过点O（0，0）的切线方程.
解：∵O（0，0）不在曲线y＝ln x上，
∴设切点为Q（x0，y0），则切线的斜率k＝.
又切线的斜率k＝＝，
∴＝，即x0＝e，∴Q（e，1），∴k＝，
∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0.
【规律方法】
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
训练2 （1）若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，则切点P的坐标为 （0，1） ，b＝ 1 ；
解析：设P（x0，y0），由题意可知y'＝.所以＝1，即x0＝0，所以点P（0，1）.由点P（0，1）在直线y＝x＋b上可知b＝1.
（2）设P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为 .
解析：如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.设直线l与曲线y＝ex相切于点P（x0，y0）.因为y'＝ex，所以＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P（0，1）.所以点P到直线y＝x的最小距离为＝.
知识点三｜导数公式的实际应用
【例3】 （链接教材P75例2）某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p（单位：万元）与时间t（单位：年）有如下函数关系：p（t）＝p0（1＋10%）t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少（精确到0.01万元/年）？（参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095）
解：由题意得p'（t）＝1.1tln 1.1，所以p'（5）＝1.15ln 1.1＝1.611×0.095≈0.15（万元/年），所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.
【规律方法】
由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
训练3 从时刻t＝0开始的t（单位：秒）内，通过某导体的电量（单位：库仑）可以由公式q＝cos t表示，求第5秒和第7秒时的电流强度（单位：安）.
解：由q＝cos t得，q'＝－sin t，所以q'（5）＝－sin 5，q'（7）＝－sin 7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安.
1.若f（x）＝sin x，则f'＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
解析：D f'（x）＝cos x，f'＝cos＝.
2.在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本.设生产x个单位产品的总成本函数是C（x）＝，则生产4个单位产品时，边际成本是（ ）
A.3 B.4
C.8 D.16
解析：A C'（x）＝，C'（4）＝＝3.故选A.
3.〔多选〕下列结论正确的是（ ）
A.若f（x）＝3，则f'（x）＝0
B.若f（x）＝，则f'（x）＝－
C.若f（x）＝ln x，则f'（e）＝
D.若f（x）＝x，则f'（x）＝1
解析：ACD 只有B是错误的.因为f'（x）＝（）'＝'＝－＝－.
4.曲线y＝在点M（3，3）处的切线方程是x＋y－6＝0.
解析：因为y'＝－，所以y'｜x＝3＝－1，所以在点（3，3）处的斜率为－1，切线方程为y－3＝－（x－3），即x＋y－6＝0.
课堂小结
1.理清单
（1）基本初等函数的求导公式；
（2）利用导数研究曲线的切线问题；
（3）导数公式的实际应用.
2.应体会
利用导数研究曲线的切线方程时，应用了待定系数法和方程思想.
3.避易错
求导前未先化简或变形成基本初等函数.
1.下列求导运算正确的是（ ）
A.（cos）'＝sin B.（）'＝－
C.（lg x）'＝ D.（）'＝
解析：C （cos）'＝0，故A不正确；（）'＝（x－3）'＝－3x－4，故B不正确；（lg x）'＝，故C正确；（）'＝（）'＝，故D不正确.故选C.
2.函数y＝x4在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A.y＝4x－3 B.y＝4x＋3
C.y＝－4x－3 D.y＝－4x＋3
解析：A 因为y'＝4x3，当x＝1时，y'＝4，故切线的斜率为4，切线方程为y＝4x－3.
3.若f（x）＝，g（x）＝ln x，则使f'（1）＋g'（x）＝1的x的值为（ ）
A. B. C. D.2
解析：C ∵f'（x）＝'＝（）'＝－，∴f'（1）＝－，又g'（x）＝，由f'（1）＋g'（x）＝1，得－＋＝1，∴x＝.
4.函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有（ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
解析：B ∵f'（x）＝3x2，设切点为（x0，y0），则3＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线.∴有2条斜率等于1的切线.
5.曲线y＝在点处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 由题意可得y'＝，即y'｜x＝1＝，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为，与x＝2的交点坐标为，所以围成三角形的面积为××＝.故选C.
6.〔多选〕若曲线f（x）＝－上某点处的切线的倾斜角为，则该点的坐标为（ ）
A.（1，1） B.（－1，－1）
C.（－1，1） D.（1，－1）
解析：CD 切线的斜率k＝tan ＝1，f'（x）＝，设切点为（x0，y0），则f'（x0）＝1，所以＝1，所以x0＝1或x0＝－1，所以切点坐标为（1，－1）或（－1，1）.
7.〔多选〕直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A.f（x）＝ B.f（x）＝x4
C.f（x）＝sin x D.f（x）＝ex
解析：BCD 函数f（x）＝，可得f'（x）＝－＝不成立，所以A不正确；f（x）＝x4，f'（x）＝4x3＝可以成立，所以B正确；f（x）＝sin x，f'（x）＝cos x＝可以成立，所以C正确；f（x）＝ex，f'（x）＝ex＝可以成立，所以D正确.故选B、C、D.
8.一物体沿一光滑斜面下滑，测得物体下滑速度满足v（t）＝log2t，则该物体下滑的加速度a＝ .
解析：a＝v'（t）＝（log2t）'＝.
9.设b为实数，若直线y＝－x＋b为函数y＝图象的切线，则b＝2或－2.
解析：设切点坐标为（x0，y0），函数y＝的导函数为y'＝－，由直线y＝－x＋b得到斜率为－1，所以－＝－1，解得x0＝±1，把x0＝－1代入y＝中解得y0＝－1，把x0＝1代入y＝中解得y0＝1，所以切点坐标是（－1，－1）或（1，1）.当切点坐标是（－1，－1）时，代入直线方程y＝－x＋b，得b＝－2；当切点坐标是（1，1）时，代入直线方程y＝－x＋b，得b＝2.综上所述，b＝2或－2.
10.求下列函数的导数：
（1）y＝；（2）y＝；
（3）y＝－2sin（1－2cos2）.
解：（1）y'＝（）'＝（）'＝＝＝.
（2）y'＝（）'＝（x－4）'＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
（3）∵y＝－2sin（1－2cos2）＝2sin（2cos2－1）＝2sincos＝sin x，∴y'＝（sin x）'＝cos x.
11.设f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，fn＋1（x）＝f'n（x），n∈N，则f2 026（x）＝（ ）
A.sin x B.－sin x
C.cos x D.－cos x
解析：B f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x）＝（sin x）'＝cos x，f2（x）＝f'1（x）＝（cos x）'＝－sin x，f3（x）＝f'2（x）＝（－sin x）'＝－cos x，f4（x）＝f'3（x）＝（－cos x）'＝sin x，所以4为最小正周期，故f2 026（x）＝f2（x）＝－sin x.
12.已知函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝ 21 .
解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线方程为y－＝2ak（x－ak）.又该切线与x轴的交点为（ak＋1，0），∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项a1＝16，公比q＝的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
13.已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），则当△ABC的面积最大时，m的值为 .
解析：如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线AC与曲线相切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大.∵y'｜x＝m＝，点A坐标为（1，1），点C坐标为（4，2），∴kAC＝＝，∴＝，∴m＝.
14.已知点P在曲线f（x）＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线.
（1）求a的值；
（2）求过点P且与直线l垂直的直线方程.
解：（1）因为点P在曲线f（x）＝cos x上，
所以a＝cos ＝.
（2）因为f'（x）＝－sin x，
所以kl＝f'＝－sin ＝－.
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝，
即y＝x－＋.
15.已知两条曲线y＝f（x）＝sin x，y＝g（x）＝cos x，这两条曲线是否存在一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
解：假设存在这样的公共点，并设这两条曲线的一个公共点为P（x0，y0），
∴两条曲线在点P（x0，y0）处的切线斜率分别为
k1＝f'（x0）＝cos x0，k2＝g'（x0）＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，则有cos x0·（－sin x0）＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
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