5.2.2 导数的四则运算法则
1.函数y＝的导数是（ ）
A.y'＝－
B.y'＝－sin x
C.y'＝－
D.y'＝－
2.已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，则x0＝（ ）
A.e2 B.1
C.ln 2 D.e
3.曲线y＝sin x＋ex在点（0，1）处的切线方程是（ ）
A.x－3y＋3＝0 B.x－2y＋2＝0
C.2x－y＋1＝0 D.3x－y＋1＝0
4.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境.“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人.假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度v与行驶时间t的关系为v＝1.4t＋0.3t2，t∈，则当t＝10 s时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A.4.4 m/s2 B.7.4 m/s2
C.17 m/s2 D.20 m/s2
5.已知f（x）＝x2＋sin，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的大致图象是（ ）
6.〔多选〕若函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（ ）
A.f（x）＝3cos x B.f（x）＝x＋sin x
C.f（x）＝x＋ D.f（x）＝ex＋x
7.〔多选〕已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，其导函数为f'（x），则（ ）
A.f（0）＝－1 B.f'（0）＝1
C.f（0）＝1 D.f'（0）＝－1
8.已知函数f（x）＝若f'（a）＝12，则实数a＝ .
9.曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 .
10.求下列函数的导数：
（1）y＝ln x＋；
（2）y＝；
（3）y＝（x2＋9）（x－）；
（4）y＝.
11.已知函数f（x）＝（x－2 023）（x－2 024）（x－2 025）（x－2 026），则f（x）的图象在x＝2 025处的切线方程为（ ）
A.2x＋y－4 050＝0 B.x＋y－2 025＝0
C.2x－y－4 050＝0 D.x－y－2 025＝0
12.〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝[f'（x）]'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在（0，）上是凸函数的是（ ）
A.f（x）＝sin x＋cos x
B.f（x）＝ln x－2x
C.f（x）＝－x3＋2x－1
D.f（x）＝xex
13.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，直线y＝kx＋2与函数f（x）的图象相切，如图所示，则函数g（x）＝xf（x）的图象在点（3，g（3））处的切线方程为 .
14.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0），其导函数f'（x）＝2x－8.
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）＝exsin x＋f（x），求曲线g（x）在x＝0处的切线方程.
15.已知函数f（x）＝，且f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
2 / 25.2.2 导数的四则运算法则
课标要求 情境导入
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则（数学运算）. 2.会用导数的四则运算法则求解相关问题（数学运算、数学建模）. 利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，但实际生活中所涉及到的函数模型多数为基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，如某质点的运动距离s与时间t的关系为s（t）＝t2＋；某商品网购量x（件）与支付款y（元）之间的关系为y＝10x－ln x（x≥1）等.由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的函数该如何求导呢？
知识点一｜f（x）±g（x）的导数
问题1 设f（x）＝x2，g（x）＝x，试计算f'（x），g'（x），[f（x）＋g（x）]'以及[f（x）－g（x）]'，并猜想它们有什么关系？
提示：f'（x）＝2x，g'（x）＝1，[f（x）＋g（x）]'
＝
＝（Δx＋2x＋1）＝2x＋1，
同理[f（x）－g（x）]'＝2x－1.
猜想[f（x）＋g（x）]'＝f'（x）＋g'（x），[f（x）－g（x）]'＝f'（x）－g'（x）.
【知识梳理】
两个函数和或差的导数：[f（x）±g（x）]'＝ f'（x）±g'（x） .
提醒：推广式[f1（x）±f2（x）±…±fn（x）]'＝f'1（x）±f'2（x）±…±f'n（x）.
【例1】 （链接教材P76例3）求下列函数的导数：
（1）y＝x＋cos x－2；
（2）y＝2x＋；
（3）y＝x2－2sin cos .
解：（1）y'＝（x）'＋（cos x）'－（2）'＝1－sin x.
（2）y'＝（2x）'＋（）'＝2xln 2＋.
（3）y＝x2－2sin cos＝x2－sin x，
则y'＝（x2）'－（sin x）'＝2x－cos x.
【规律方法】
应用加法、减法运算法则求导时的注意点
（1）判断函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，若不是，应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式；
（2）熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提.
训练1 求下列函数的导数：
（1）y＝x5－x3＋；
（2）y＝lg x－2cos2.
解：（1）y'＝（x5）'－（x3）'＋'＝5x4－3x2－.
（2）y＝lg x－－1＝lg x－cos x－1，
则y'＝（lg x）'－（cos x）'－（1）'＝＋sin x.
知识点二｜f（x）g（x）和的导数
问题2 试用f（x）＝x2，g（x）＝x，说明[f（x）g（x）]'与f'（x）g'（x），以及与是否相等？
提示：f'（x）＝2x，g'（x）＝1，
[f（x）g（x）]'＝（x3）'＝3x2≠2x·1；
＝（x）'＝1≠，
即[f（x）g（x）]'≠f'（x）g'（x），≠.
【知识梳理】
1.[f（x）g（x）]'＝ f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） ，特别地，[cf（x）]'＝ cf'（x） .
2.＝ （g（x）≠0） ，特别地，＝ － （f（x）≠0）.
提醒：注意求导的先后顺序，特别是商的导数.
【例2】 （链接教材P77例4）求下列函数的导数：
（1）y＝x2＋xln x；
解： y'＝（x2＋xln x）'＝（x2）'＋（xln x）'＝2x＋（x）'ln x＋x（ln x）'＝2x＋ln x＋x·＝2x＋ln x＋1.
（2）y＝；
解： y'＝'＝
＝＝.
（3）y＝；
解：y'＝'＝＝.
（4）y＝（2x2－1）（3x＋1）.
解：法一 y'＝'＝（2x2－1）'·（3x＋1）＋（2x2－1）（3x＋1）'
＝4x（3x＋1）＋（2x2－1）×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
法二 ∵y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y'＝（6x3＋2x2－3x－1）'＝（6x3）'＋（2x2）'－（3x）'－（1）'＝18x2＋4x－3.
【规律方法】
1.如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
2.利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
训练2 求下列函数的导数：
（1）y＝（x2＋1）（x－1）；
解：∵y＝（x2＋1）（x－1）＝x3－x2＋x－1，
∴y'＝3x2－2x＋1.
（2）y＝x2＋tan x；
解：∵y＝x2＋，∴y'＝（x2）'＋'
＝2x＋ ＝2x＋.
（3）y＝.
解：y'＝
＝＝ .
知识点三｜导数运算法则的应用
角度1 导数在实际生活中的应用
【例3】 （链接教材P77例5）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝，当t＝3时，水面下降的速度为（ ）
A.－ cm/s B. cm/s
C.－ cm/s D. cm/s
解析：B 由题意得，h'（t）＝＝，所以h'（3）＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B.
角度2 曲线的切线问题
【例4】 （1）曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为（ A ）
A.y＝－2x＋1 B.y＝－3x＋2
C.y＝2x－3 D.y＝x－2
解析： y＝的导数为y'＝－，在点（1，－1）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝－2，∴曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.
（2）若曲线f（x）＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝（ D ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
解析：由题可得f'（x）＝sin x＋xcos x，f'（）＝1.∴曲线f（x）＝xsin x在x＝处的切线的斜率为1.∵曲线f（x）＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，且直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，∴（－）×1＝－1，解得a＝2.故选D.
角度3 含f'（c）函数的求导问题
【例5】 设函数f（x）的导数为f'（x），且f（x）＝x3＋f'（）x2－x，则f'（1）＝ 0 .
解析：因为f（x）＝x3＋f'（）x2－x，所以f'（x）＝3x2＋2f'（）x－1，所以f'（）＝3×（）2＋2f'（）×－1，则f'（）＝－1.所以f'（x）＝3x2－2x－1，故f'（1）＝0.
【规律方法】
1.解决有关切线问题的关注点
（1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以转化为这三个要素间的关系；
（2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.
2.含f'（c）函数的求导问题的解题策略
含f'（c）函数在求导时一定要抓住f'（c）为常数这一特点，也就是说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f'（c）一律充当常系数处理.
训练3 （1）若函数f（x）满足f（x）＝－f'（1）·x2－x，则f'（1）＝（ A ）
A.0 B.2
C.1 D.－1
解析： f'（x）＝x2－2f'（1）x－1，令x＝1，则f'（1）＝12－2f'（1）－1，解得f'（1）＝0.故选A.
（2）曲线y＝（x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积为 1 .
解析：由题意可知，y'＝x·ex，y'｜x＝1＝2，∴切线方程为y＝2（x－1），即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲线y＝（x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积S＝×2×1＝1.
1.函数y＝x2sin x的导数为（ ）
A.y'＝2x＋cos x
B.y'＝x2cos x
C.y'＝2xcos x
D.y'＝2xsin x＋x2cos x
解析：D y'＝（x2sin x）'＝（x2）'·sin x＋x2·（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x.
2.函数f（x）＝的导数f'（x）＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：A f'（x）＝'＝＝＝.
3.某物体作直线运动，其运动规律是s＝t2＋（t的单位：s，s的单位：m），则它在第4 s时的瞬时速度应该为 m/s.
解析：由题意得s＝t2＋，可得瞬时速度v＝s'＝2t－，故它在第4 s时的瞬时速度应该为2×4－＝（m/s）.
4.若函数f（x）＝f'（－1）x2－2x＋3，则f'（－1）＝ －1 .
解析：因为f（x）＝f'（－1）x2－2x＋3，所以f'（x）＝f'（－1）x－2.所以f'（－1）＝f'（－1）×（－1）－2，所以f'（－1）＝－1.
课堂小结
1.理清单
（1）导数的四则运算法则；
（2）导数四则运算法则的应用.
2.应体会
导数四则运算法则的应用体现了转化与化归思想.
3.避易错
对于函数求导，一般要遵循先化简、变形，再求导的基本原则.
1.函数y＝的导数是（ ）
A.y'＝－
B.y'＝－sin x
C.y'＝－
D.y'＝－
解析：C y'＝'＝
＝＝－.
2.已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，则x0＝（ ）
A.e2 B.1
C.ln 2 D.e
解析：B f'（x）＝19＋ln x＋x·＝20＋ln x，由f'（x0）＝20，得20＋ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1.故选B.
3.曲线y＝sin x＋ex在点（0，1）处的切线方程是（ ）
A.x－3y＋3＝0
B.x－2y＋2＝0
C.2x－y＋1＝0
D.3x－y＋1＝0
解析：C y'＝（sin x＋ex）'＝cos x＋ex，当x＝0时，y'＝2，故曲线在点（0，1）处的切线方程是y－1＝2（x－0），即2x－y＋1＝0.
4.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境.“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人.假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度v与行驶时间t的关系为v＝1.4t＋0.3t2，t∈，则当t＝10 s时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A.4.4 m/s2 B.7.4 m/s2
C.17 m/s2 D.20 m/s2
解析：B 因为v＝1.4t＋0.3t2，t∈，所以v'＝0.6t＋1.4，故当t＝10时，v'＝6＋1.4＝7.4，即t＝10 s时，“高原版”复兴号动车的加速度为7.4 m/s2，故选B.
5.已知f（x）＝x2＋sin，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的大致图象是（ ）
解析：A ∵f（x）＝x2＋sin＝x2＋cos x，∴f'（x）＝x－sin x.易知f'（x）＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D.由f'＝－＜0，排除C，故选A.
6.〔多选〕若函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（ ）
A.f（x）＝3cos x B.f（x）＝x＋sin x
C.f（x）＝x＋ D.f（x）＝ex＋x
解析：BC 由题意可知，f'（x）必为偶函数.对于A选项，f'（x）＝－3sin x为奇函数；对于B选项，f'（x）＝1＋cos x为偶函数；对于C选项，f'（x）＝1－为偶函数；对于D选项，f'（x）＝ex＋1为非奇非偶函数.故选B、C.
7.〔多选〕已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，其导函数为f'（x），则（ ）
A.f（0）＝－1 B.f'（0）＝1
C.f（0）＝1 D.f'（0）＝－1
解析：BC 因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0）.因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）·sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C.
8.已知函数f（x）＝若f'（a）＝12，则实数a＝ 或－4 .
解析：f'（x）＝若f'（a）＝12，则或解得a＝或a＝－4.
9.曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 .
解析：设曲线y＝xln x在点（x0，y0）处的切线与直线x－y－2＝0平行.∵y'＝ln x＋1，∴y'＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是.
10.求下列函数的导数：
（1）y＝ln x＋；
（2）y＝；
（3）y＝（x2＋9）（x－）；
（4）y＝.
解：（1）y'＝（ln x＋）'＝（ln x）'＋（）'＝－.
（2）y'＝（）'＝＝－.
（3）y＝x3＋6x－，y'＝3x2＋＋6.
（4）y'＝
＝＝.
11.已知函数f（x）＝（x－2 023）（x－2 024）（x－2 025）（x－2 026），则f（x）的图象在x＝2 025处的切线方程为（ ）
A.2x＋y－4 050＝0
B.x＋y－2 025＝0
C.2x－y－4 050＝0
D.x－y－2 025＝0
解析：A 因为f（x）＝（x－2 023）（x－2 024）·（x－2 025）（x－2 026）＝（x－2 025）（x－2 023）·（x－2 024）（x－2 026），则f'（x）＝（x－2 023）·（x－2 024）（x－2 026）＋·'，所以f'＝2×1×＝－2，又f（2 025）＝0，所以f（x）的图象在x＝2 025处的切线方程为y＝－2，即2x＋y－4 050＝0，故选A.
12.〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝[f'（x）]'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在（0，）上是凸函数的是（ ）
A.f（x）＝sin x＋cos x
B.f（x）＝ln x－2x
C.f（x）＝－x3＋2x－1
D.f（x）＝xex
解析：ABC 对于A，f（x）＝sin x＋cos x，f'（x）＝cos x－sin x，则f″（x）＝－sin x－cos x，当x∈（0，）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于B，f（x）＝ln x－2x，f'（x）＝－2，则f″（x）＝－，当x∈（0，）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于C，f（x）＝－x3＋2x－1，f'（x）＝－3x2＋2，f″（x）＝－6x，当x∈（0，）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于D，f（x）＝xex，f'（x）＝（x＋1）ex，f″（x）＝（x＋2）ex，则f″（x）＞0在x∈（0，）上恒成立，故不是凸函数.
13.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，直线y＝kx＋2与函数f（x）的图象相切，如图所示，则函数g（x）＝xf（x）的图象在点（3，g（3））处的切线方程为 y＝3 .
解析：因为直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，由图象可知f（3）＝1，又点（3，1）在直线l上，所以3k＋2＝1，从而k＝－，所以f'（3）＝k＝－，因为g（x）＝xf（x），所以g（3）＝3f（3）＝3，g'（x）＝f（x）＋xf'（x），则g'（3）＝f（3）＋3f'（3）＝1＋3×＝0，即函数g（x）＝xf（x）的图象在点（3，g（3））处的切线斜率为0，所以函数g（x）＝xf（x）的图象在点（3，g（3））处的切线方程为y＝3.
14.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0），其导函数f'（x）＝2x－8.
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）＝exsin x＋f（x），求曲线g（x）在x＝0处的切线方程.
解：（1）因为f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0），
所以f'（x）＝2ax＋b，
又f'（x）＝2x－8，
所以a＝1，b＝－8.
（2）由（1）可知g（x）＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g'（x）＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g'（0）＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g（0）＝3，所以曲线g（x）在x＝0处的切线方程为y－3＝－7（x－0），即7x＋y－3＝0.
15.已知函数f（x）＝，且f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
解：（1）由题意得
f'（x）＝
＝＝，
因为f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以
解得
则f（x）＝.
（2）由（1）可得，f'（x）＝，
所以直线l的斜率
k＝f'（x0）＝＝4，
令t＝，则t∈（0，1]，
所以k＝4（2t2－t）＝8－，
则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，
所以直线l的斜率k的取值范围是.
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