5.2.3 简单复合函数的导数
1.函数y＝（x2－1）n的复合过程正确的是（ ）
A.y＝un，u＝x2－1
B.y＝（u－1）n，u＝x2
C.y＝tn，t＝（x2－1）n
D.y＝（t－1）n，t＝x2－1
2.设f（x）＝ln（3x＋2）＋3x2，则f'（0）＝（ ）
A.1 B.
C.－1 D.－2
3.设曲线y＝e2ax在点处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a＝（ ）
A.－ B.
C.1 D.－1
4.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系M（t）＝600·，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为（ ）
A.－10ln 2太贝克/年 B.300ln 2太贝克/年
C.－300ln 2太贝克/年 D.10ln 2太贝克/年
5.（2025·温州质检）对于三次函数y＝f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断函数f（x）＝x3－x2＋3x－的对称中心为（ ）
A. B.
C. D.
6.〔多选〕下列结论中正确的是（ ）
A.若y＝cos，则y'＝－sin
B.若y＝sin x2，则y'＝2xcos x2
C.若y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x
D.若y＝xsin 2x，则y'＝xsin 2x
7.〔多选〕曲线y＝e2xcos 3x在点（0，1）处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（ ）
A.y＝2x＋6 B.y＝2x－4
C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4
8.设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：
x 1 2 3 4
f（x） 2 3 4 1
f'（x） 3 4 2 1
g（x） 3 1 4 2
g'（x） 2 4 1 3
则f（g（1））＝ ；函数f（g（x））在x＝1处的导数值是 .
9.已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋，则x＞0时，f（x）＝ ，f（1）＋f'（1）＝ .
10.求下列函数的导数：
（1）y＝102x＋3；
（2）y＝sin（－2x＋）；
（3）y＝－2e3xsin 2x.
11.（2025·湖州期末）曲线f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.1
12.〔多选〕设函数f（x）＝cos（x＋φ）（0＜φ＜2π），若f（x）＋f'（x）是奇函数，则φ的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
13.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 .
14.（1）已知f（x）＝eπxsin πx，求f'（x）及f'；
（2）在曲线g（x）＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程.
15.（1）已知函数f（x）在R上满足f（x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，求a的值.
2 / 25.2.3 简单复合函数的导数
课标要求 情境导入
1.了解复合函数的概念（数学抽象）. 2.掌握复合函数的求导法则，能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数（数学运算、数学建模）. 法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”.我们学习了较简单的基本初等函数，还可以把两个或几个函数进行“复合”，怎样复合呢？那么，对于复合后的函数如何求导呢？我们是否也有简单的方法？
知识点一｜复合函数的概念
问题1 我们常说y＝cos x为“余弦函数”，而y＝cos 2x为“余弦型函数”，那么y＝cos 2x是由哪些初等函数构成的？
提示：记u＝2x，则y＝cos 2x可以看作余弦函数y＝cos u和u＝2x两个初等函数以一种“嵌套”的方式组成.
【知识梳理】
一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数，记作y＝ f（g（x）） .
提醒：复合函数中，把函数y＝f（u）称为外层函数，把u＝g（x）称为内层函数，内层函数和外层函数通常为基本初等函数.
【例1】 〔多选〕下列哪些函数是复合函数（ ）
A.y＝xln x B.y＝（3x＋6）2
C.y＝esin x D.y＝sin
解析：BCD A不是复合函数；B、C、D都是复合函数.
【规律方法】
若f（x）与g（x）均为基本初等函数，则函数y＝f（g（x））或函数y＝g（f（x））均为复合函数，而f（x），g（x）不是复合函数.
训练1 判断下列哪些函数是复合函数，并说明是如何复合的：
（1）y＝log2（2x＋1）；（2）y＝2x2－；
（3）y＝2ln x；（4）y＝cos（3x－）.
解：（1）y＝log2（2x＋1）是复合函数，可以看作是由y＝log2u和u＝2x＋1复合而成的函数.
（2）y＝2x2－不是复合函数.
（3）y＝2ln x是复合函数，可以看作是由y＝2u和u＝ln x复合而成的函数.
（4）y＝cos（3x－）是复合函数，可以看作是由y＝ cos u和u＝3x－复合而成的函数.
知识点二｜复合函数的导数
问题2 （1）我们知道y＝sin 2x＝2sin xcos x，利用导数的运算法则求y＝sin 2x的导数，求导结果是什么（以y'x表示y对x的导数）？
提示：y＝sin 2x＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y'x＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x.
（2）如果令y＝sin u，u＝2x，则y＝sin u和u＝2x导数分别是什么（以y'u表示y对u的导数，u'x表示u对x的导数）？
提示：y'u＝cos u，u'x＝2.
（3）比较（1）、（2）的运算结果，你能得到什么结论？
提示：从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y'u＝cos u，内层函数是u＝2x，它的导数是u'x＝2，发现y'x＝y'u·u'x.
【知识梳理】
一般地，对于由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g（x）），它的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝ y'u·u'x .即y对x的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积.
提醒：（1）中间变量的选择应是基本初等函数的结构；（2）求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；（3）求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.
【例2】 （链接教材P79例6）求下列函数的导数：
（1）y＝；（2）y＝cos（x2）；
（3）y＝log2（2x＋1）；（4）y＝e3x＋2.
解：（1）令u＝1－3x，则y＝＝u－4，所以y'u＝－4u－5，u'x＝－3.
所以y'x＝y'u·u'x＝12u－5＝.
（2）令u＝x2，则y＝cos u，所以y'x＝y'u·u'x＝－sin u·2x＝－2xsin（x2）.
（3）设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y'x＝y'u·u'x＝＝.
（4）设y＝eu，u＝3x＋2，
则y'x＝y'u·u'x＝（eu）'·（3x＋2）'＝3eu＝3e3x＋2.
【规律方法】
求复合函数的导数的步骤
训练2 求下列函数的导数：
（1）y＝；（2）y＝102x＋3；（3）y＝e－x·sin 2x；
（4）y＝；（5）y＝sin4x＋cos4x.
解：（1）y＝，设y＝，u＝1－2x，
则y'x＝（）'·（1－2x）'＝·（－2）
＝（1－2x.
（2）设y＝10u，u＝2x＋3，
则y'x＝y'u·u'x＝（10u）'（2x＋3）'＝10uln 10×2＝2ln 10·102x＋3.
（3）y'x＝（e－x）'sin 2x＋e－x·（sin 2x）'
＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x.
（4）y'x＝
＝＝.
（5）因为y＝sin4x＋cos4x
＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x
＝1－sin22x＝1－（1－cos 4x）
＝＋cos 4x，
所以y'＝'＝－sin 4x.
知识点三｜复合函数求导的应用
【例3】 （1）已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为 2ex－y＝0 ；
解析：设切点坐标为（t，e2t）.∵f（x）＝e2x，∴f'（x）＝2e2x，∴f'（t）＝2e2t，∴曲线y＝f（x）在点（t，e2t）处的切线方程为y－e2t＝2e2t（x－t）.∵该直线过原点，∴－e2t＝－2te2t，解得t＝，∴过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为2ex－y＝0.
（2）（链接教材P80例7）某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s（t）＝3sin（t＋）（0≤t≤24），其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.
解：设f（x）＝3sin x，x＝φ（t）＝t＋，
∴s'（t）＝f'（x）·φ'（t）＝3（cos x）·
＝cos，
将t＝18代入s'（t），得s'（18）＝cos＝（m/h）.
s'（18）表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
【规律方法】
1.求解与复合函数有关的切线问题的两个关键
（1）正确求复合函数的导数，这是解题的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏；
（2）求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.
2.将复合函数的求导与问题中的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
训练3 （1）（2025·江门月考）已知函数f（x）＝xex－a，曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝（ B ）
A.－4 B.－2 C.2 D.4
解析：由题意得f'（x）＝（x＋1）ex－a，所以f'（a）＝a＋1＝3，所以a＝2，所以f（x）＝xex－2，所以f（2）＝2e2－2＝2，所以切点为（2，2），将（2，2）代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.
（2）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系N（t）＝N0，其中N0为t＝0时钍234的含量.已知t＝24时，钍234含量的瞬时变化率为－8ln 2，则N（96）＝ 24 贝克.
解析：由N（t）＝·N0得N'（t）＝·N0×ln 2×（－），当t＝24时，N'（24）＝·N0×ln 2×（－）＝－8ln 2，解得N0＝384，所以N（t）＝384×.当t＝96时，N（96）＝384×＝384×2－4＝24.
1.函数y＝sin（2x－1）如果看成复合函数y＝f（φ（x）），下列式子正确的是（ ）
A.φ（x）＝2x B.φ（x）＝sin x
C.φ（x）＝2x－1 D.φ（x）＝sin（2x－1）
解析：C y＝sin（2x－1）是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ（x）＝2x－1.
2.设f（x）＝cos 2x－3x，则f'（）＝（ ）
A.－5 B.－3
C.－4 D.－
解析：B f'（x）＝－2sin 2x－3，f'（）＝－2sin π－3＝－3.
3.曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是（ ）
A. B.2
C.3 D.0
解析：A 设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.∵y'＝，∴y'＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
4.求下列函数的导数：
（1）y＝（－2x＋1）2；
（2）y＝23x＋2；
（3）y＝.
解：（1）设y＝u2，u＝－2x＋1，
则y'＝y'u·u'x＝2u·（－2）＝－4（－2x＋1）＝8x－4.
（2）设y＝2u，u＝3x＋2，
则y'＝y'u·u'x＝2uln 2·3＝3ln 2·23x＋2.
（3）设y＝，u＝5x＋4，
则y'＝y'u·u'x＝·5＝.
课堂小结
1.理清单
（1）复合函数的概念；
（2）复合函数的求导法则；
（3）复合函数的导数的应用.
2.应体会
复合函数求导时要注意转化法、代入（代换）法的应用.
3.避易错
求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.
1.函数y＝（x2－1）n的复合过程正确的是（ ）
A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝（u－1）n，u＝x2
C.y＝tn，t＝（x2－1）n D.y＝（t－1）n，t＝x2－1
解析：A 由复合函数求导法则知A正确.
2.设f（x）＝ln（3x＋2）＋3x2，则f'（0）＝（ ）
A.1 B. C.－1 D.－2
解析：B f'（x）＝＋6x，故f'（0）＝＋0＝.
3.设曲线y＝e2ax在点处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a＝（ ）
A.－ B.
C.1 D.－1
解析：A 由y＝e2ax可得y'＝e2ax·（2ax）'＝2a·e2ax，所以在点处的切线斜率为k＝y'｜x＝0＝2ae0＝2a，又因为切线与直线2x－y＋1＝0垂直，即可得2a×2＝－1，因此a＝－.故选A.
4.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系M（t）＝600·，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为（ ）
A.－10ln 2太贝克/年 B.300ln 2太贝克/年
C.－300ln 2太贝克/年 D.10ln 2太贝克/年
解析：A 依题意，M（t）＝600·，所以M'（t）＝－×600×ln 2＝－20×ln 2，所以铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为M'（30）＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2（太贝克/年），故选A.
5.（2025·温州质检）对于三次函数y＝f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断函数f（x）＝x3－x2＋3x－的对称中心为（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 依题意，得f'（x）＝x2－x＋3，∴f″（x）＝2x－1，由f″（x）＝0，即2x－1＝0，得x＝，又f＝1，∴函数f（x）＝x3－x2＋3x－的对称中心为.故选A.
6.〔多选〕下列结论中正确的是（ ）
A.若y＝cos，则y'＝－sin
B.若y＝sin x2，则y'＝2xcos x2
C.若y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x
D.若y＝xsin 2x，则y'＝xsin 2x
解析：BC 对于A，y＝cos ，则y'＝sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y'＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x，故正确；对于D，y＝xsin 2x，则y'＝sin 2x＋xcos 2x，故错误.故选B、C.
7.〔多选〕曲线y＝e2xcos 3x在点（0，1）处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（ ）
A.y＝2x＋6 B.y＝2x－4
C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4
解析：AB y'＝e2x（2cos 3x－3sin 3x），∴y'｜x＝0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则＝，解得b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
8.设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：
x 1 2 3 4
f（x） 2 3 4 1
f'（x） 3 4 2 1
g（x） 3 1 4 2
g'（x） 2 4 1 3
则f（g（1））＝ 4 ；函数f（g（x））在x＝1处的导数值是 4 .
解析：令h（x）＝f（g（x）），则h（1）＝f（g（1））＝f（3）＝4，h'（x）＝f'（g（x））·g'（x），所以h'（1）＝f'（g（1））·g'（1）＝f'（3）·g'（1）＝2×2＝4.
9.已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋，则x＞0时，f（x）＝ －ex＋ ，f（1）＋f'（1）＝ －2e .
解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋，∴令x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－＝－f（x），∴f（x）＝－ex＋，x＞0.∴f'（x）＝－ex－，x＞0，∴f'（1）＝－e－1，f（1）＝－e＋1，∴f（1）＋f'（1）＝－e＋1－e－1＝－2e.
10.求下列函数的导数：
（1）y＝102x＋3；（2）y＝sin（－2x＋）；
（3）y＝－2e3xsin 2x.
解：（1）原函数可以看作y＝10u和u＝2x＋3的复合函数，则y'x＝y'u·u'x＝102x＋3×ln 10×2＝2ln 10·102x＋3.
（2）原函数可以看作y＝sin u和u＝－2x＋的复合函数，则y'x＝y'u·u'x＝cos u·（－2）＝－2cos（－2x＋）＝－2cos（2x－）.
（3）原函数可以看作y＝－2u（x）·v（x），其中u（x）可以看作u＝em和m＝3x的复合函数，v（x）可以看作v＝sin p和p＝2x的复合函数，则y'＝－2（3e3xsin 2x＋2e3xcos 2x）＝－2e3x（3sin 2x＋2cos 2x）.
11.（2025·湖州期末）曲线f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（ ）
A. B.
C. D.1
解析：A 依题意得f'（x）＝e－2x·（－2）＝－2e－2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2.所以曲线f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示.易求得直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是（，），直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是（1，0），所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝.
12.〔多选〕设函数f（x）＝cos（x＋φ）（0＜φ＜2π），若f（x）＋f'（x）是奇函数，则φ的可能取值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：AC f'（x）＝－sin（x＋φ），f（x）＋f'（x）＝cos（x＋φ）－sin（x＋φ）＝2sin（x＋φ＋）.若f（x）＋f'（x）为奇函数，则f（0）＋f'（0）＝0，即0＝2sin，因此φ＋＝kπ（k∈Z）.又因为φ∈（0，2π），所以φ＝或φ＝.
13.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为.
解析：因为y＝，所以y'＝＝＝.因为ex＞0，所以ex＋≥2（当且仅当x＝0时取等号），所以y'∈[－1，0），所以tan α∈[－1，0）.又因为α∈[0，π），所以α∈.
14.（1）已知f（x）＝eπxsin πx，求f'（x）及f'；
（2）在曲线g（x）＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程.
解：（1）∵f（x）＝eπxsin πx，
∴f'（x）＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx
＝πeπx（sin πx＋cos πx）.
∴f'＝π＝π.
（2）设切点坐标为P（x0，y0），
由题意可知g'（x0）＝0.又g'（x）＝，
∴g'（x0）＝＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为P（0，1），切线方程为y－1＝0.
15.（1）已知函数f（x）在R上满足f（x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，求a的值.
解：（1）法一 f'（x）＝2f'（2－x）（2－x）'－2x＋8＝－2f'（2－x）－2x＋8，
则f'（1）＝－2f'（1）－2＋8，得f'（1）＝2.
又f（1）＝2f（1）－1＋8－8，得f（1）＝1，
故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1.
法二 ∵f（x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8， ①
∴f（2－x）＝2f（x）－（2－x）2＋8（2－x）－8. ②
把②代入①得f（x）＝x2，
∴f（1）＝1，f'（x）＝2x，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝f'（1）＝2，
故所求切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1.
（2）由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，
当x＝0时，y'＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1.
由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝，
设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），
由两曲线有公切线得＝2，
解得x0＝－，则切点为，
切线方程为y＝2＋a－ln 2＝2x＋1＋a－ln 2，
根据两切线重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.
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