第二课时 函数单调性的应用
课标要求
1.能求简单的含参的函数的单调区间（数学运算）. 2.进一步理解函数的导数和其单调性的关系，利用单调性比较大小、解不等式（数学抽象、数学运算）. 3.能根据函数的单调性求参数的取值范围（数学运算）.
知识点一｜含参数函数的单调性
【例1】 讨论函数f（x）＝ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性.
解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝ax＋1－＝.
①当a＝0时，
f'（x）＝，
由f'（x）＞0，得x＞1，
由f'（x）＜0，得0＜x＜1.
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
②当a＞0时，f'（x）＝，
∵a＞0，∴＞0.
由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1.
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增.
【规律方法】
讨论含参函数的单调性的关键点
（1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f'（x）在某一个区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结；
（2）求含参函数y＝f（x）的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0.
训练1 设函数f（x）＝ex－ax－2（a∈R），求f（x）的单调区间.
解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝ex－a.
若a≤0，则f'（x）＞0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数.
若a＞0，则当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0；
当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，ln a），
单调递增区间为（ln a，＋∞）.
知识点二｜根据函数的单调性求参数
【例2】 已知函数f（x）＝x3－ax－1为R上的增函数，求实数a的取值范围.
解：由已知得f'（x）＝3x2－a，
因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，
所以f'（x）＝3x2－a≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
即a的取值范围为（－∞，0].
变式 （1）若函数f（x）＝x3－ax－1在（－1，1）上单调递减，求a的取值范围；
解：由题意可知f'（x）＝3x2－a≤0在（－1，1）上恒成立，所以即
所以a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞）.
（2）若函数f（x）＝x3－ax－1的单调递减区间为（－1，1），求a的值.
解：f'（x）＝3x2－a，①当a≤0时，f'（x）≥0，
所以f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，不满足题意.
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f'（x）＜0.
所以f（x）在（－，）上单调递减，
所以f（x）的单调递减区间为（－，），
所以＝1，即a＝3.
【规律方法】
由函数的单调性求参数的技巧
（1）转化为导数不等式恒成立问题：若f（x）在区间上单调递增（减），则f'（x）≥（≤）0恒成立，可以利用分离参数法或函数性质求参数，注意检验参数取“＝”时是否满足题意；
（2）若f（x）在区间上不是单调函数，则解法通常有以下两种：①转化为单调函数求参数，再求其补集；②转化为函数的导函数有变号的零点，再求参数.
训练2 （1）若函数f（x）＝x3－2ax2－（a－2）x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ D ）
A.－1≤a≤2 B.－2≤a≤1
C.a＞2或a＜－1 D.a＞1或a＜－2
解析：若函数f（x）有3个单调区间，则f'（x）＝4x2－4ax－（a－2）有2个变号零点，故Δ＝16a2＋16（a－2）＞0，解得a＞1或a＜－2.
（2）若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不单调，则实数k的取值范围是（ B ）
A.（－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞）
B.（－3，－1）∪（1，3）
C.（－2，2）
D.不存在这样的实数k
解析：由题意得，f'（x）＝3x2－12＝0在区间（k－1，k＋1）上至少有一个实数根.又f'（x）＝3x2－12＝0的根为±2，且f'（x）在x＝2或－2两侧异号，而区间（k－1，k＋1）的区间长度为2，故只有2或－2在区间（k－1，k＋1）内，∴k－1＜2＜k＋1或k－1＜－2＜k＋1，∴1＜k＜3或－3＜k＜－1，故选B.
提能点｜函数单调性的应用
角度1 比较大小
【例3】 已知函数f（x）＝＋ln x，则（ ）
A.f（e）＜f（π）＜f（2.7）
B.f（π）＜f（e）＜f（2.7）
C.f（e）＜f（2.7）＜f（π）
D.f（2.7）＜f（e）＜f（π）
解析：D 函数f（x）＝＋ln x的定义域为（0，＋∞）.∵f'（x）＝（＋ln x）'＝（）'＋（ln x）'＝＋＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴f（2.7）＜f（e）＜f（π），故选D.
变式 已知实数x，y满足2x＋2x＜2y＋2y，则（ ）
A.x＞y B.x＝y
C.x＜y D.x，y的大小不确定
解析：C 设f（t）＝2t＋2t，所以f'（t）＝2＋2tln 2＞0，所以函数f（t）是增函数，由题意得f（x）＜f（y），所以x＜y.
【规律方法】
在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小.
提醒：解题时需注意先判断所属单调区间.
角度2 解不等式
【例4】 不等式2x≥2－log2x的解集为 [1，＋∞） .
解析：令f（x）＝2x－2＋log2x，x∈（0，＋∞），则f'（x）＝2xln 2＋＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，当x＝1时，f（1）＝2－2＋log21＝0，所以当x≥1时，f（x）≥0，即2x≥2－log2x.所以2x≥2－log2x的解集为[1，＋∞）.
【规律方法】
解不等式时，通常利用函数单调性来解决，其中函数可以是已知函数，也可以根据题目要求构造相应函数.
训练3 （1）已知函数f（x）＝3x＋2cos x.若a＝f（3），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（ D ）
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
解析：由题意，得f'（x）＝3－2sin x.因为－1≤sin x≤1，所以f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）是增函数.因为log24＜log27＜log28，所以2＜log27＜3，所以2＜log27＜3，所以f（2）＜f（log27）＜f（3），即b＜c＜a.
（2）已知函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）＝ex＋x2－cos x，则不等式f（x－3）－f（2x－1）＜0的解集为 （－∞，－2）∪ .
解析：当x≥0时，f'（x）＝ex＋2x＋sin x，（ex＋2x＋sin x）'＝ex＋2＋cos x＞0，f'（x）单调递增，f'（0）＝1，所以f'（x）＞0，f（x）单调递增.因为f（x）是偶函数，所以当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x－3）－f（2x－1）＜0 f（x－3）＜f（2x－1） ｜x－3｜＜｜2x－1｜ （x－3）2＜（2x－1）2 （x＋2）（3x－4）＞0 x＜－2或x＞，即不等式f（x－3）－f（2x－1）＜0的解集为（－∞，－2）∪.
1.设函数f（x）＝2x＋sin x，则（ ）
A.f（1）＞f（2） B.f（1）＜f（2）
C.f（1）＝f（2） D.以上都不正确
解析：B f'（x）＝2＋cos x＞0，故f（x）是R上的增函数，故f（1）＜f（2）.
2.若函数f（x）＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A.[－1，＋∞） B.[1，＋∞）
C.（－1，＋∞） D.（1，＋∞）
解析：B 由题意可得，f'（x）＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.
3.已知函数f（x）＝，若f（a＋3）＞f（2a），则a的取值范围是 （－∞，3） .
解析：由函数f（x）＝，可得f'（x）＝＞0，即f（x）为R上的增函数，故由f（a＋3）＞f（2a）可得a＋3＞2a，∴a＜3.
4.已知函数f（x）＝x3＋ax2－a2x＋2（a＞0），求函数f（x）的单调区间.
解：f'（x）＝3x2＋2ax－a2＝（x＋a）（3x－a），
由f'（x）＝0得x＝－a或x＝.
又a＞0，由f'（x）＜0，得－a＜x＜，
由f'（x）＞0，得x＜－a或x＞，
故f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为和.
课堂小结
1.理清单
（1）含参数函数的单调性；
（2）由单调性求参数的取值范围；
（3）利用单调性比较大小；
（4）利用单调性解不等式.
2.应体会
（1）解决含参数函数的单调性问题时要注意分类讨论思想的应用；
（2）利用单调性比较大小、解不等式时常利用数形结合思想.
3.避易错
（1）求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论；
（2）解不等式时，易忽略定义域.
1.已知函数f（x）＝3x－ax（a∈R），则“a＜0”是“函数f（x）为增函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：A 因为f（x）＝3x－ax，所以f'（x）＝3xln 3－a，所以当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上是增函数.因为（－∞，0） （－∞，0]，所以“a＜0”是“函数f（x）为增函数”的充分不必要条件.故选A.
2.若f（x）＝x3－ax2的单调递减区间是（0，2），则正数a＝（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：A f'（x）＝x2－2ax，令f'（x）＜0，由于a＞0，故解得0＜x＜2a，故2a＝2，即a＝1.
3.已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，函数y＝f'（x）的图象如图所示，且f（－2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2－6）＞1的解集是（ ）
A.（－3，－2）∪（2，3）
B.（－，）
C.（2，3）
D.（－∞，－）∪（，＋∞）
解析：A 由y＝f'（x）的图象知，函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2－6）＞1可转化为－2＜x2－6＜3，解得2＜x＜3或－3＜x＜－2.故选A.
4.已知定义在R上的函数f（x），g（x）对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且当x＞0时，有f'（x）＞0，g'（x）＞0，则当x＜0时，有（ ）
A.f'（x）＞0，g'（x）＞0
B.f'（x）＞0，g'（x）＜0
C.f'（x）＜0，g'（x）＞0
D.f'（x）＜0，g'（x）＜0
解析：B 由已知，得f（x）为奇函数，g（x）为偶函数.∵当x＞0时，f'（x）＞0，g'（x）＞0，∴f（x），g（x）在（0，＋∞）上均单调递增，∴f（x）在（－∞，0）上单调递增，g（x）在（－∞，0）上单调递减，∴当x＜0时，f'（x）＞0，g'（x）＜0.
5.已知函数f（x）＝，当1＜x＜3时，下列关系正确的是（ ）
A.f（）＜f（x）＜[f（x）]2
B.f（x）＜f（）＜[f（x）]2
C.[f（x）]2＜f（）＜f（x）
D.[f（x）]2＜f（x）＜f（）
解析：A 由题意得f'（x）＝，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，3）上单调递增.又1＜＜x＜3，所以f（）＜f（x）.由f（x）在（1，3）上单调递增，可知当x∈（1，3）时，f（x）＞f（1）＝e，所以[f（x）]2＞f（x）.综上f（）＜f（x）＜[f（x）]2.
6.〔多选〕已知定义在R上的函数f（x），其导函数y＝f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A.f（b）＞f（a） B.f（d）＞f（e）
C.f（a）＞f（d） D.f（c）＞f（e）
解析：ABD 由题图可得，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减，所以f（b）＞f（a），f（d）＞f（e），f（c）＞f（e）.
7.〔多选〕若函数f（x）＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值可以是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
解析：AC f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝，由f'（x）≥0得函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）；由f'（x）≤0得函数f（x）的单调递减区间为（0，3].因为f（x）在区间[m－1，m＋1]上单调，所以或m－1≥3，解得1＜m≤2或m≥4.结合选项可得A、C正确.
8.函数f（x）＝x3－（2a＋1）x2＋（a2＋a）x＋4（a∈R）的单调递减区间是 （a，a＋1） .
解析：f'（x）＝x2－（2a＋1）x＋a2＋a＝[x－（a＋1）]（x－a），令f'（x）＜0，得a＜x＜a＋1，故f（x）的单调递减区间是（a，a＋1）.
9.已知函数f（x）＝ax－ex在（0，1）上不单调，则实数a的取值范围为 （1，e） .
解析：f'（x）＝a－ex.因为f（x）＝ax－ex在（0，1）上不单调，所以f'（x）＝0在（0，1）上有解，又f'（x）在（0，1）上单调递减，所以f'（0）＝a－1＞0，f'（1）＝a－e＜0，故a∈（1，e）.
10.若a＞0，试讨论f（x）＝aln x－（2a＋1）x＋x2的单调性.
解：f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝.
当0＜a＜时，由f'（x）＞0可得0＜x＜a或x＞；由f'（x）＜0可得a＜x＜，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，a），，单调递减区间为；
当a＝时，f'（x）≥0恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）；
当a＞时，由f'（x）＞0可得0＜x＜或x＞a；由f'（x）＜0可得＜x＜a，所以函数f（x）的单调递增区间为，（a，＋∞），单调递减区间为.
11.若函数f（x）＝ln x＋ax2－2在区间（1，4）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 函数f（x）＝ln x＋ax2－2的定义域是（0，＋∞），所以f'（x）＝＋2ax＝.当a≥0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增，符合题意.当a＜0时，由2ax2＋1＝0，得x＝（负根舍去），所以当x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.依题意，函数f（x）＝ln x＋ax2－2在区间（1，4）内存在单调递增区间，所以1＜，解得－＜a＜0.综上，a＞－.故选C.
12.函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是（ ）
A.a＜ B.0＜a＜
C.a＜0或0＜a＜ D.a＜0
解析：A 由f（x）＝ax3＋x2＋5x－1，得f'（x）＝3ax2＋2x＋5，当a＝0时，由f'（x）＝0，解得x＝－，函数f（x）有两个单调区间；当a＞0时，由Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即0＜a＜，此时函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间；当a＜0时，Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即a＜0，此时函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间.综上所述，a＜0或0＜a＜是函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的充要条件，分析可得a＜是其必要不充分条件.
13.已知函数f（x）＝2sin x－ex＋e－x，则关于x的不等式f（x2－4）＋f（3x）＜0的解集为 （－∞，－4）∪（1，＋∞） .
解析：f（－x）＝－2sin x－e－x＋ex，∵f（－x）＋f（x）＝0，∴f（x）为奇函数，则f'（x）＝2cos x－（ex＋e－x），∵2cos x≤2，ex＋e－x≥2，∴f'（x）≤0，f（x）为减函数，又f（x2－4）＋f（3x）＜0，则f（x2－4）＜－f（3x）＝f（－3x），∴x2－4＞－3x，∴x＞1或x＜－4.
14.已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）.
（1）当a＝－时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围.
解：（1）当a＝－时，
f（x）＝－x2＋ln（x＋1）（x＞－1），
则f'（x）＝－x＋
＝－（x＞－1）.
令f'（x）＞0，解得－1＜x＜1；
令f'（x）＜0，解得x＞1.
故函数f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，＋∞）.
（2）因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞）恒成立，即a≤－对任意x∈[1，＋∞）恒成立.
令g（x）＝－，x∈[1，＋∞），
易求得g'（x）＞0在[1，＋∞）上恒成立，
所以g（x）在[1，＋∞）上单调递增，
因此g（x）min＝g（1）＝－，故a≤－.
即实数a的取值范围是.
15.（2025·宁波月考）设函数f（x）＝（x＋a）ln x，g（x）＝.已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x－y＝0平行.
（1）求a的值；
（2）是否存在自然数k，使得方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由.
解：（1）由题意知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f'（1）＝2，
又f'（x）＝ln x＋＋1，
所以a＋1＝2，解得a＝1.
（2）存在.理由如下：
设h（x）＝f（x）－g（x）＝（x＋1）ln x－，
当x∈（0，1]时，h（x）＜0，
又h（2）＝3ln 2－＝ln 8－＞0，
所以存在x0∈（1，2），
使得h（x0）＝0.
因为h'（x）＝ln x＋＋1＋，
当x∈（1，2）时，h'（x）＞2－＞0，
当x∈[2，＋∞）时，h'（x）＞0，
所以当x∈（1，＋∞）时，h（x）单调递增.
所以当k＝1时，方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根.
9 / 9第二课时 函数单调性的应用
1.已知函数f（x）＝3x－ax（a∈R），则“a＜0”是“函数f（x）为增函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若f（x）＝x3－ax2的单调递减区间是（0，2），则正数a＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，函数y＝f'（x）的图象如图所示，且f（－2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2－6）＞1的解集是（ ）
A.（－3，－2）∪（2，3）
B.（－，）
C.（2，3）
D.（－∞，－）∪（，＋∞）
4.已知定义在R上的函数f（x），g（x）对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且当x＞0时，有f'（x）＞0，g'（x）＞0，则当x＜0时，有（ ）
A.f'（x）＞0，g'（x）＞0
B.f'（x）＞0，g'（x）＜0
C.f'（x）＜0，g'（x）＞0
D.f'（x）＜0，g'（x）＜0
5.已知函数f（x）＝，当1＜x＜3时，下列关系正确的是（ ）
A.f（）＜f（x）＜[f（x）]2
B.f（x）＜f（）＜[f（x）]2
C.[f（x）]2＜f（）＜f（x）
D.[f（x）]2＜f（x）＜f（）
6.〔多选〕已知定义在R上的函数f（x），其导函数y＝f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A.f（b）＞f（a） B.f（d）＞f（e）
C.f（a）＞f（d） D.f（c）＞f（e）
7.〔多选〕若函数f（x）＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值可以是（ ）
A.4 B.3
C.2 D.1
8.函数f（x）＝x3－（2a＋1）x2＋（a2＋a）x＋4（a∈R）的单调递减区间是 .
9.已知函数f（x）＝ax－ex在（0，1）上不单调，则实数a的取值范围为 .
10.若a＞0，试讨论f（x）＝aln x－（2a＋1）x＋x2的单调性.
11.若函数f（x）＝ln x＋ax2－2在区间（1，4）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12.函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是（ ）
A.a＜ B.0＜a＜
C.a＜0或0＜a＜ D.a＜0
13.已知函数f（x）＝2sin x－ex＋e－x，则关于x的不等式f（x2－4）＋f（3x）＜0的解集为 .
14.已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）.
（1）当a＝－时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围.
15.（2025·宁波月考）设函数f（x）＝（x＋a）ln x，g（x）＝.已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x－y＝0平行.
（1）求a的值；
（2）是否存在自然数k，使得方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由.
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