第一课时 导数与函数的单调性
课标要求 情境导入
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系（数学抽象、直观想象）. 2.能利用导数研究函数的单调性（逻辑推理、数学运算）. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间（数学运算）. 同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法判断函数的单调性，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等.但是对于更复杂一些的函数的单调性，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，如何研究呢？
知识点一｜函数的单调性与导数的关系
问题1 （1）观察下面一次跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
提示：通过观察图象，可以发现
①从起跳到最高点，运动员离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h（t）单调递增，相应地，v（t）＝h'（t）＞0；
②从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h（t）单调递减，相应地，v（t）＝h'（t）＜0.
（2）观察下面几个图象，你认为函数的单调性与导数的正负有什么关系？
提示：①函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y'＝1＞0；
②函数y＝x2的定义域为R，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增.而y'＝2x，当x＜0时，其导数y'＜0；当x＞0时，其导数y'＞0；当x＝0时，其导数y'＝0；
③函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数.而y'＝3x2，当x≠0时，其导数y'＞0；当x＝0时，其导数y'＝0；
④函数y＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递减，而y'＝－，因为x≠0，所以y'＜0.
从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明，在区间（a，b）内，如果f'（x）＞0，那么函数y＝f（x）在这个区间上单调递增；如果f'（x）＜0，那么函数y＝f（x）在这个区间上单调递减.
【知识梳理】
定义在区间（a，b）内的函数y＝f（x）：
f'（x）的正负 f（x）的单调性
f'（x）＞0 单调递 增
f'（x）＜0 单调递 减
提醒：（1）f'（x）＞0（f'（x）＜0）是函数在（a，b）上递增（递减）的充分条件；（2）f'（x）＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f（x）为常函数.
【例1】 （链接教材P86例1）利用导数判断下列函数的单调性：
（1）f（x）＝x3－x2＋2x－5；
解：因为f（x）＝x3－x2＋2x－5，
所以f'（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1＞0，
所以函数f（x）＝x3－x2＋2x－5在R上单调递增.
（2）f（x）＝x－－ln x；
解：因为f（x）＝x－－ln x，x∈（0，＋∞），
所以f'（x）＝1＋－＝＝＞0，所以f（x）＝x－－ln x在（0，＋∞）上单调递增.
（3）f（x）＝x－ex（x＞0）.
解：因为f（x）＝x－ex，x∈（0，＋∞），
所以f'（x）＝1－ex＜0，
所以f（x）＝x－ex在（0，＋∞）上单调递减.
【规律方法】
利用导数判断函数单调性的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数f'（x）；
（3）确定f'（x）在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；
（4）得出结论.
训练1 （1）判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
①函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上是减函数.（ × ）
②函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f'（x）＞0.（ × ）
③函数f（x）在区间（a，b）内有无数个点满足f'（x）＞0，则f（x）在（a，b）上单调递增.（ × ）
④若在某区间内有有限个点使f'（x）＝0，其余的点恒有f'（x）＞0，则f（x）在该区间上单调递增.（ √ ）
（2）〔多选〕下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（ ABD ）
A.y＝2x3＋4x B.y＝x＋sin（－x）
C.y＝log2｜x｜ D.y＝2x－2－x
解析：由奇函数的定义可知，A、B、D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于选项A，y'＝6x2＋4＞0，所以y＝2x3＋4x在（0，1）上单调递增；对于选项B，y'＝1－cos（－x）≥0，且y'不恒为0，所以y＝x＋sin（－x）在（0，1）上单调递增；对于选项D，y'＝2xln 2＋2－xln 2＞0，所以y＝2x－2－x在（0，1）上单调递增.故选A、B、D.
知识点二｜导数与函数图象的关系
问题2 观察图象，你认为函数递增或递减的速度与导数的大小有什么关系？
提示：由图象可知，若f'（x）＞0，则f（x）单调递增，而导数值的大小决定了函数增长的快慢，显然f'（x）越大，函数f（x）增长的就越快；同样，若f'（x）＜0，则f（x）单调递减，显然｜f'（x）｜越大，函数f（x）递减的就越快.
【知识梳理】
导数与函数图象的关系
导数值 函数值变化 函数的图象
正 增大 上升
负 减小 下降
绝对值越大 越 快 比较“陡峭”（向上或向下）
绝对值越小 越 慢 比较“平缓”（向上或向下）
提醒：（1）原函数的图象只看增（减）的变化，导函数的图象只看正（负）变化；
（2）图中f1（x），f3（x）变化越来越慢，｜f'1（x）｜，｜f'3（x）｜→0；f2（x），f4（x）变化越来越快，｜f'2（x）｜，｜f'4（x）｜→＋∞.
【例2】 （链接教材P86例2）已知导函数f'（x）的下列信息：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0；当0＜x＜7时，f'（x）＜0；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0，试画出函数f（x）的大致图象.
解：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0，可知函数f（x）在区间（－∞，0）和（7，＋∞）上都单调递增；当0＜x＜7时，f'（x）＜0，可知函数f（x）在区间（0，7）上单调递减；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“稳定点”.综上，函数f（x）的大致形状如图所示.
变式 〔多选〕已知函数f（x）在R上有导函数，f（x）的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A.f'（a）＜f'（b）＜f'（c）
B.f'（b）＜f'（c）＜f'（a）
C.｜f'（b）｜＜｜f'（a）｜＜｜f'（c）｜
D.｜f'（c）｜＜｜f'（a）｜＜｜f'（b）｜
解析：AC 由f（x）的图象，可画出f'（x）的大致图象，如图所示，由图象知f'（a）＜f'（b）＜f'（c），｜f'（b）｜＜｜f'（a）｜＜｜f'（c）｜.
【规律方法】
1.由导函数图象画原函数图象的依据
若f'（x）＞0，则f（x）单调递增；若f'（x）＜0，则f（x）单调递减.
2.由原函数图象画导函数图象的依据
若f（x）单调递增，则f'（x）的图象一定在x轴的上方；若f（x）单调递减，则f'（x）的图象一定在x轴的下方；若f（x）是常函数，则f'（x）＝0.
训练2 （1）函数y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f'（x）的图象可能是（ D ）
解析：因为函数f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上都单调递减，所以当x＞0时f'（x）＜0，当x＜0时f'（x）＜0.
（2）已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（ C ）
解析：由导函数的图象可知，当x＜0时，f'（x）＞0，即函数f（x）单调递增；当0＜x＜x1时，f'（x）＜0，即函数f（x）单调递减；当x＞x1时，f'（x）＞0，即函数f（x）单调递增.结合选项易知C正确.
知识点三｜利用导数求函数的单调区间
问题3 对于函数y＝，我们有y'＝－＜0恒成立，所以y＝的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）正确吗？
提示：不正确，虽然定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）内函数的导数为负，但并不意味着（－∞，0）∪（0，＋∞）内连续单调递减，应该是（－∞，0）和（0，＋∞）内都单调递减.
【例3】 （链接教材P87例3）求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝x3－4x2＋4x－1；
解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝3x2－8x＋4.
令3x2－8x＋4＝0，解得x＝或x＝2.
当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如表所示：
x （－∞，） （，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 f（） 单调递减 f（2） 单调递增
所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，）和（2，＋∞），单调递减区间为（，2）.
（2）f（x）＝（x＞0且x≠1）.
解：法一（列表法） 函数的定义域为（0，1）∪（1，＋∞），f'（x）＝－，
令f'（x）＝0，得x＝.
列表如下：
x （0，） （，1） （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － －
f（x） 单调递增 f（） 单调递减 单调递减
所以f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，1），（1，＋∞）.
法二（解不等式法） 函数的定义域为（0，1）∪（1，＋∞），f'（x）＝－，
由f'（x）＞0，得ln x＋1＜0，所以0＜x＜.
由f'（x）＜0，得ln x＋1＞0，所以x＞，
又因为x≠1，所以＜x＜1或x＞1.
所以f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，1）和（1，＋∞）.
【规律方法】
利用导数求函数单调区间的方法
（1）列表法：①求定义域：确定函数f（x）的定义域；②求导：求f'（x）；③确定零点：判断导函数f'（x）有无零点，若有零点，通过解方程f'（x）＝0求出零点；④列表：用f'（x）的零点和函数的无定义点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负；⑤得结论：由此得出函数f（x）在定义域内的单调性.
（2）解不等式法：①求定义域：确定函数f（x）的定义域；②求导：求f'（x）；③解不等式：在定义域内，令f'（x）＞0，解得函数f（x）的单调递增区间；令f'（x）＜0，解得函数f（x）的单调递减区间.
训练3 求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝；
解：函数f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.
f'（x）＝＝.
因为x∈（－∞，2）∪（2，＋∞），
所以ex＞0，（x－2）2＞0.
令f'（x）＝0可得x＝3，则f'（x）在各区间的正负，以及f（x）的单调性如表所示：
x （－∞，2） （2，3） 3 （3，＋∞）
f'（x） － － 0 ＋
f（x） 单调递减 单调递减 f（3）＝e3 单调递增
所以函数f（x）的单调递增区间为（3，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）和（2，3）.
（2）f（x）＝2x2－ln x.
解：函数f（x）＝2x2－ln x的定义域为（0，＋∞）.
f'（x）＝4x－＝.
因为x＞0，所以2x＋1＞0，由f'（x）＞0，解得x＞，所以函数f（x）的单调递增区间为（，＋∞）；
由f'（x）＜0，解得x＜，
又x∈（0，＋∞），所以函数f（x）的单调递减区间为（0，）.
1.设函数f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能为（ ）
解析：C ∵f（x）在（－∞，1），（4，＋∞）上单调递减，在（1，4）上单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f'（x）＜0；当1＜x＜4时，f'（x）＞0.
2.函数f（x）＝sin x－2x在（－∞，＋∞）上（ ）
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
解析：B ∵f'（x）＝cos x－2＜0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.
3.已知函数f（x）＝xln x，则f（x）在x＝2处比x＝3处变化 慢 （填“快”或“慢”）.
解析：由f'（x）＝1＋ln x得f'（2）＝1＋ln 2，f'（3）＝1＋ln 3，因为f'（2）＞0，f'（3）＞0且f'（2）＜f'（3），故x＝3处变化快.
4.函数f（x）＝4ln x＋－x的单调递增区间为 （1，3） .
解析：因为f'（x）＝－－1＝（x＞0），所以令f'（x）＞0可得－x2＋4x－3＞0，解得1＜x＜3，所以函数的单调递增区间为（1，3）.
课堂小结
1.理清单
（1）函数的单调性与其导数的关系；
（2）导数与函数图象的关系；
（3）利用导数求函数的单调区间.
2.应体会
导函数图象与原函数图象的关系体现了数形结合、转化与化归思想.
3.避易错
忽略定义域的限制.
1.对于函数y＝f（x），x∈（a，b），“f'（x）＞0”是“函数y＝f（x）为增函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：A 由f'（x）＞0 函数f（x）为增函数，但函数f（x）为增函数 /f'（x）＞0，知“f'（x）＞0”是“函数y＝f（x）为增函数”的充分不必要条件.
2.已知函数f（x）＝，则f（x）（ ）
A.在（0，1）上单调递增 B.在（1，2）上单调递增
C.在（－∞，1）上单调递减 D.在（0，＋∞）上单调递减
解析：A f'（x）＝，令f'（x）＞0得x＜1，所以f（x）在（－∞，1）上单调递增，令f'（x）＜0得x＞1，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递减，故选A.
3.已知f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）
解析：A 由f'（x）的图象可知f（x）在区间上的增长速度先快后慢， A选项符合.
4.函数f（x）＝x－2sin x＋1在（0，π）上的单调递增区间是（ ）
A.（0，） B.（，π）
C.（0，） D.（，π）
解析：D f（x）＝x－2sin x＋1，令f'（x）＝1－2cos x＞0，即cos x＜，因为x∈（0，π），所以＜x＜π，故f（x）在（0，π）上的单调递增区间为（，π）.
5.已知函数f（x）的图象如图所示，不等式xf'（x）＞0的解集是（ ）
A.（－3，－2）∪（0，2） B.（－3，－2）∪（2，3）
C.（－2，0）∪（0，2） D.（－2，0）∪（2，3）
解析：B 由图可得：当x∈（－3，－2）时，x＜0，f'（x）＜0，则xf'（x）＞0；当x∈（－2，0）时，x＜0，f'（x）＞0，则xf'（x）＜0；当x∈（0，2）时，x＞0，f'（x）＜0，则xf'（x）＜0；当x∈（2，3）时，x＞0，f'（x）＞0，则xf'（x）＞0.则不等式xf'（x）＞0的解集是（－3，－2）∪（2，3）.故选B.
6.〔多选〕下列函数在（－∞，＋∞）上是单调函数的是（ ）
A.y＝x3＋x－1 B.y＝sin x－x
C.y＝xex＋1 D.y＝ex－x
解析：AB 由y＝x3＋x－1，得y'＝3x2＋1≥1，所以函数是增函数，A满足题意；由y＝sin x－x，得y'＝cos x－1≤0，所以函数是减函数，B满足题意；由y＝xex＋1，得y'＝ex（x＋1），当x≥－1时，y'＝ex（x＋1）≥0，函数单调递增，当x＜－1时，y'＝ex（x＋1）＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，C不满足题意；由y＝ex－x，得y'＝ex－1，当x≥0时，y'＝ex－1≥0，函数单调递增，当x＜0时，y'＝ex－1＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，D不满足题意.
7.〔多选〕设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f'（x）的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（ ）
解析：ABC A、B、C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f（x）应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f（x）应为减函数，也不符合.
8.若函数f（x）的导函数为f'（x）＝x2－4x＋3，则函数f（1＋x）的单调递减区间是 （0，2） .
解析：令f'（x）＝x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3，由1＜1＋x＜3，解得0＜x＜2，故函数f（1＋x）的单调递减区间为（0，2）.
9.函数f（x）＝x2－5x＋2ln（2x）的单调递增区间是 ，（2，＋∞） .
解析：f（x）的定义域是（0，＋∞），f'（x）＝，由f'（x）＞0得x＞2或0＜x＜，故f（x）的单调递增区间是，（2，＋∞）.
10.判断函数f（x）＝2x（ex－1）－x2的单调性.
解：函数f（x）的定义域为R，
f'（x）＝2（ex－1＋xex－x）＝2（ex－1）（x＋1）.
当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＞0；
当x∈（－1，0）时，f'（x）＜0；
当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0.
故f（x）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递增，在（－1，0）上单调递减.
11.函数f（x）＝xcos x的导函数f'（x）在区间[－π，π]上的图象大致是（ ）
解析：A 因为f（x）＝xcos x，所以f'（x）＝cos x－xsin x.因为f'（－x）＝f'（x），所以f'（x）为偶函数，所以函数图象关于y轴对称，可排除C.由f'（0）＝1可排除D.而f'（1）＝cos 1－sin 1＜0，排除B.
12.定义在R上的可导函数f（x），已知y＝ef'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的单调递增区间是（ ）
A.（－∞，1） B.（－∞，2）
C.（0，1） D.（1，2）
解析：B 由题图知f'（x）≥0的区间是（－∞，2），故函数y＝f（x）的单调递增区间为（－∞，2），故选B.
13.设函数f（x）＝4ln x－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的取值范围是 （0，3] .
解析：由函数f（x）＝4ln x－x2＋3x，可得f'（x）＝－x＋3＝，x＞0，令f'（x）≥0，即≥0，即－x2＋3x＋4≥0，解得0＜x≤4，所以函数f（x）在（0，4]上单调递增，又由函数f（x）在[a，a＋1]上单调递增，所以解得0＜a≤3.
14.已知函数f（x）＝ln x－x＋1，x∈（0，＋∞）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）利用（1）的结论证明当x∈（1，＋∞）时ln x＜x－1.
解：（1）∵f'（x）＝－1＝，
∴当x＞1时，f'（x）＜0；当0＜x＜1时，f'（x）＞0.
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）.
（2）证明：由（1）知f（x）＝ln x－x＋1在（1，＋∞）上单调递减，
∴当x∈（1，＋∞）时，f（x）＜f（1）＝0，
即当x∈（1，＋∞）时ln x＜x－1.
15.（2025·临沂质检）已知函数f（x）＝（k为常数，e为自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行.
（1）求实数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
解：（1）由f（x）＝，
可得f'（x）＝.
∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f'（1）＝0，即＝0，解得k＝1.
（2）由（1）知，f'（x）＝（x＞0），
设h（x）＝－ln x－1（x＞0），
则h'（x）＝－－＜0.
可知h（x）在（0，＋∞）上是减函数，由h（1）＝0知，
当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）＝0，故f'（x）＞0；
当x＞1时，h（x）＜h（1）＝0，故f'（x）＜0.
综上，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）.
10 / 10第一课时 导数与函数的单调性
1.对于函数y＝f（x），x∈（a，b），“f'（x）＞0”是“函数y＝f（x）为增函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知函数f（x）＝，则f（x）（ ）
A.在（0，1）上单调递增
B.在（1，2）上单调递增
C.在（－∞，1）上单调递减
D.在（0，＋∞）上单调递减
3.已知f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）
4.函数f（x）＝x－2sin x＋1在（0，π）上的单调递增区间是（ ）
A.（0，） B.（，π）
C.（0，） D.（，π）
5.已知函数f（x）的图象如图所示，不等式xf'（x）＞0的解集是（ ）
A.（－3，－2）∪（0，2） B.（－3，－2）∪（2，3）
C.（－2，0）∪（0，2） D.（－2，0）∪（2，3）
6.〔多选〕下列函数在（－∞，＋∞）上是单调函数的是（ ）
A.y＝x3＋x－1 B.y＝sin x－x
C.y＝xex＋1 D.y＝ex－x
7.〔多选〕设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f'（x）的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（ ）
8.若函数f（x）的导函数为f'（x）＝x2－4x＋3，则函数f（1＋x）的单调递减区间是 .
9.函数f（x）＝x2－5x＋2ln（2x）的单调递增区间是 .
10.判断函数f（x）＝2x（ex－1）－x2的单调性.
11.函数f（x）＝xcos x的导函数f'（x）在区间[－π，π]上的图象大致是（ ）
12.定义在R上的可导函数f（x），已知y＝ef'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的单调递增区间是（ ）
A.（－∞，1） B.（－∞，2）
C.（0，1） D.（1，2）
13.设函数f（x）＝4ln x－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝ln x－x＋1，x∈（0，＋∞）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）利用（1）的结论证明当x∈（1，＋∞）时ln x＜x－1.
15.（2025·临沂质检）已知函数f（x）＝（k为常数，e为自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行.
（1）求实数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
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