第二课时 函数的最大（小）值
1.设M，m分别是函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f'（x）（ ）
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不确定
2.函数f（x）＝x3－3x（｜x｜＜1）（ ）
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值
D.既无最大值，也无最小值
3.函数f（x）＝x＋2cos x在区间上的最小值是（ ）
A.－ B.2
C.＋ D.＋1
4.若函数f（x）＝－x3＋mx2＋1（m≠0）在区间（0，2）内的极大值为最大值，则m的取值范围是（ ）
A.（0，3） B.（－3，0）
C.（－∞，－3） D.（3，＋∞）
5.已知f（x）＝x3－x2＋a，g（x）＝x2－3x，定义域均为[1，＋∞），并且f（x）的图象始终在g（x）图象的上方，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，＋∞） B.（－∞，0）
C. D.
6.〔多选〕若函数f（x）＝2x3－ax2（a＜0）在上有最大值，则a的取值可能为（ ）
A.－6 B.－5
C.－4 D.－3
7.〔多选〕已知函数f（x）＝xln x，则（ ）
A.f（x）的单调递增区间为（e，＋∞）
B.f（x）在（0，）上单调递减
C.当x∈（0，1]时，f（x）有最小值－
D.f（x）在定义域内无极值
8.（2025·南京质检）若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝ .
9.当x＞1时，kx＞ln x＋4x恒成立，则整数k的最小值为 .
10.已知函数f（x）＝2x＋1－4ln x.
（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值.
11.已知函数f（x）＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都有｜f（x1）－f（x2）｜≤t，则实数t的最小值是（ ）
A.20 B.18
C.3 D.0
12.已知直线x＝t分别与函数f（x）＝ex＋x和g（x）＝3x－1的图象交于点A，B，则｜AB｜的最小值为（ ）
A.ln 2 B.2ln 2
C.2－ln 2 D.3－2ln 2
13.已知函数f（x）＝，若函数在区间（a，a＋）（其中a＞0）内存在最大值，则实数a的取值范围为 .
14.已知函数f（x）＝＋kln x，k＜，求函数f（x）在上的最大值和最小值.
15.已知函数f（x）＝（ax－2）ex在x＝1处取得极值.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[m，m＋1]上的最小值.
2 / 2第二课时 函数的最大（小）值
课标要求 情境导入
1.理解函数最值的概念，会求某闭区间上函数的最值（数学抽象、数学运算）. 2.能利用导数求简单的含参数的函数的最值问题（数学运算）. 3.能根据最值求参数的值或取值范围（数学运算）. 同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气魄，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“上九天揽月，下五洋捉鳖”的勇气，这就是我们今天要探究的函数的最值.
知识点一｜极值与最值的关系
问题 如图为y＝f（x），x∈[a，b]的图象.
（1）观察[a，b]上函数y＝f（x）的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？
提示：极大值为f（x1），f（x3），极小值为f（x2），f（x4）.
（2）结合图象判断，函数y＝f（x）在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
提示：存在，f（x）min＝f（a），f（x）max＝f（x3）.
（3）结合图象，你认为函数y＝f（x）在[a，b]上的最值与极值有什么关系？
提示：函数的最值是函数的极值或函数y＝f（x）在[a，b]端点处的函数值.
【知识梳理】
函数最值的定义
（1）一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有 最大值 和 最小值 ；
（2）对于函数f（x），给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≥f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最大值.
提醒：函数的极值与最值的区别与联系：（1）极值是对某一点附近（局部）而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言；（2）在函数的定义区间[a，b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个；（3）函数f（x）的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得.
【例1】 如图是函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.
解：由题图可知，y＝f（x）在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f（x1），f（x3），极大值为f（x2）；比较极值和端点值可知函数的最小值是f（x3），最大值在b处取得，最大值为f（b）.
【规律方法】
1.正确理解极值与最值的关系是解题的关键.
2.一般情况下，唯一的极值应该也是最值，在（a，b）内，若f（x0）为极小值，则其为最小值；若f（x0）为极大值，则其为最大值.
训练1 （1）设f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下列结论中正确的是（ C ）
A.f（x）的极值点一定是最值点
B.f（x）的最值点一定是极值点
C.f（x）在区间[a，b]上可能没有极值点
D.f（x）在区间[a，b]上可能没有最值点
解析：根据函数的极值与最值的概念知，f（x）的极值点不一定是最值点，最值点不一定是极值点.连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A、B、D都不正确；若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则函数f（x）在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确.
（2）〔多选〕如图所示，函数f（x）导函数的图象是一条直线，则（ BC ）
A.函数f（x）有最大值
B.函数f（x）没有最大值
C.函数f（x）有最小值
D.函数f（x）没有最小值
解析：由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值.
知识点二｜求函数的最值
角度1 求不含参数的函数的最值
【例2】 （链接教材P93例6）求下列函数的最值：
（1）f（x）＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；
解： f'（x）＝6x2－12x＝6x（x－2）.
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2 （2，4） 4
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） －37 单调 递增 极大 值3 单调 递减 极小值 －5 单调 递增 35
∴当x＝4时，f（x）取得最大值35；
当x＝－2时，f（x）取得最小值－37.
（2）f（x）＝.
解：f（x）＝的定义域为R.
f'（x）＝＝，
当f'（x）＝0时，x＝2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示.
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 单调递增 单调递减
∴f（x）在（－∞，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，
∴f（x）无最小值，且当x＝2时，f（x）max＝f（2）＝.
【规律方法】
求不含参数的函数的最值的步骤
（1）确定函数的定义域，对函数进行求导，并检验f'（x）＝0的根是否在给定区间内；
（2）判断函数的单调性，研究函数的极值；
（3）比较函数的极值与端点函数值的大小，确定函数的最大值或最小值.
角度2 求含参数的函数的最值
【例3】 若a＞0，求函数f（x）＝－x3＋3ax（0≤x≤1）的最大值.
解：f'（x）＝－3x2＋3a＝－3（x2－a）.
因为a＞0，则令f'（x）＝0，解得x＝±.
因为x∈[0，1]，所以只考虑x＝的情况.
（1）若0＜＜1，即0＜a＜1，则当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x 0 （0，） （，1） 1
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 0 单调递增 2a 单调递减 3a－1
由表可知，当x＝时，f（x）有最大值f（）＝2a.
（2）若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f'（x）≥0，此时函数f（x）在[0，1]上单调递增，所以当x＝1时，f（x）有最大值f（1）＝3a－1.
综上可知，在区间[0，1]上，
若0＜a＜1，则x＝时，f（x）有最大值2a；
若a≥1，则x＝1时，f（x）有最大值3a－1.
【规律方法】
求含参函数的最值的步骤
（1）求函数的导函数f'（x）；
（2）求方程f'（x）＝0的全部实根，同时根据参数的范围，判断f'（x）＝0的根是否在区间内；
（3）根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；
（4）将函数的极值与端点处的函数值进行比较，得到函数的最大值、最小值.
训练2 （1）函数y＝x－sin x，x∈［，π］的最大值是（ ）
A.π－1 B.－1
C.π D.π＋1
解析：C y'＝1－cos x，当x∈［，π］时，y'＞0，则函数在区间［，π］上单调递增，所以ymax＝π－sin π＝π，故选C.
（2）已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x，求函数f（x）在[0，＋∞）上的最小值.
解：f'（x）＝3x2－2ax－a2＝（3x＋a）（x－a），
令f'（x）＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a＞0时，f（x）在[0，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增.
所以f（x）min＝f（a）＝－a3.
②当a＝0时，f'（x）＝3x2≥0，
f（x）在[0，＋∞）上单调递增，
所以f（x）min＝f（0）＝0.
③当a＜0时，f（x）在［0，－）上单调递减，在［－，＋∞）上单调递增.
所以f（x）min＝f（－）＝a3.
综上所述，当a＞0时，f（x）的最小值为－a3；
当a＝0时，f（x）的最小值为0；
当a＜0时，f（x）的最小值为a3.
提能点｜由函数的最值求参数
【例4】 （1）函数f（x）＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a＝（ B ）
A.3 B.1
C.2 D.－1
解析： f'（x）＝3x2－2x－1，令f'（x）＝0，解得x＝－（舍去）或x＝1，又f（0）＝a，f（1）＝a－1，f（2）＝a＋2，则f（2）最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
（2）已知函数f（x）＝ln x－ax存在最大值0，则a＝ .
解析：∵f'（x）＝－a，x＞0，∴当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，故函数f（x）是增函数，不存在最大值；当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝，∴当x∈（0，）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（，＋∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）max＝f（）＝ln－1＝0，解得a＝.
【规律方法】
已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程（不等式）解决问题.
训练3 （1）设函数f（x）＝x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，则实数m的取值范围是 （－∞，0） ；
解析：（1）f'（x）＝xex＋x2ex＝·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2
f'（x） 0 － 0 ＋
f（x） 单调递减 0 单调递增 2e2
∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0.
（2）已知函数h（x）＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，则实数k的取值范围为 （－∞，－3] .
解析：∵h（x）＝x3＋3x2－9x＋1，∴h'（x）＝3x2＋6x－9.令h'（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：
x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞）
h'（x） ＋ 0 － 0 ＋
h（x） 单调 递增 28 单调 递减 －4 单调 递增
∴当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而h（2）＝3＜h（－3）＝28，如果h（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.∴k的取值范围为（－∞，－3].
1.下列结论正确的是（ ）
A.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D.若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定存在最大值和最小值
解析：D 函数f（x）在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而连续函数在[a，b]上一定存在最大值和最小值.
2.设函数f（x）＝，x∈[1，4]，则f（x）的最大值为 ，最小值为 0 .
解析：由f（x）＝得f'（x）＝，令f'（x）＞0，则1－ln x＞0，解得0＜x＜e；令f'（x）＜0，则1－ln x＜0，解得x＞e.∴函数f（x）在[1，e]上单调递增，在[e，4]上单调递减，且f（1）＝0，f（4）＝＞0，∴f（x）的最大值为f（e）＝＝，f（x）的最小值为f（1）＝0.
3.若函数f（x）＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m＝ 2 .
解析：f'（x）＝3x2＋3x＝3x（x＋1），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝－1，∵f（－2）＝m－2，f（－1）＝m＋，f（0）＝m，f（1）＝m＋，比较知f（1）最大，∴m＋＝，m＝2.
课堂小结
1.理清单
（1）极值与最值的关系；
（2）求函数的最值；
（3）根据最值求参数的值（范围）.
2.应体会
求含参数的函数的最值时注意分类讨论思想的应用.
3.避易错
分类讨论解决含参的问题时要做到不重不漏.
1.设M，m分别是函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f'（x）（ ）
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不确定
解析：A 因为M＝m，所以f（x）为常数函数，故f'（x）＝0，故选A.
2.函数f（x）＝x3－3x（｜x｜＜1）（ ）
A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值
解析：D f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x∈（－1，1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－1，1）上是减函数，无最大值和最小值，故选D.
3.函数f（x）＝x＋2cos x在区间上的最小值是（ ）
A.－ B.2
C.＋ D.＋1
解析：A f'（x）＝1－2sin x，因为x∈，所以sin x∈[－1，0]，所以－2sin x∈[0，2].所以f'（x）＝1－2sin x＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增.所以f（x）min＝f（－）＝－＋2cos＝－.
4.若函数f（x）＝－x3＋mx2＋1（m≠0）在区间（0，2）内的极大值为最大值，则m的取值范围是（ ）
A.（0，3） B.（－3，0）
C.（－∞，－3） D.（3，＋∞）
解析：A 由题得f'（x）＝－3x2＋2mx，令f'（x）＝0，得x＝或x＝0，因为f（x）在区间（0，2）上的极大值为最大值，所以0＜＜2，所以0＜m＜3.
5.已知f（x）＝x3－x2＋a，g（x）＝x2－3x，定义域均为[1，＋∞），并且f（x）的图象始终在g（x）图象的上方，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，＋∞） B.（－∞，0）
C. D.
解析：A 设h（x）＝f（x）－g（x）＝x3－x2＋a－x2＋3x，则h'（x）＝x2－4x＋3＝（x－3）（x－1），所以当x∈[1，3）时，h（x）单调递减；当x∈（3，＋∞）时，h（x）单调递增.当x＝3时，h（x）取得极小值也是最小值.因为f（x）的图象始终在g（x）的图象上方，所以h（x）min＞0，即h（3）＝a＞0，所以a的取值范围是（0，＋∞）.
6.〔多选〕若函数f（x）＝2x3－ax2（a＜0）在上有最大值，则a的取值可能为（ ）
A.－6 B.－5
C.－4 D.－3
解析：ABC 令f'（x）＝2x（3x－a）＝0，得x1＝0，x2＝（a＜0），当＜x＜0时，f'（x）＜0；当x＜或x＞0时，f'（x）＞0，则f（x）的增区间为，（0，＋∞），减区间为， 从而f（x）在x＝处取得极大值f＝－，由f（x）＝－，得＝0，解得x＝或x＝－，又f（x）在上有最大值，所以＜≤－，即a≤－4，故选A、B、C.
7.〔多选〕已知函数f（x）＝xln x，则（ ）
A.f（x）的单调递增区间为（e，＋∞）
B.f（x）在（0，）上单调递减
C.当x∈（0，1]时，f（x）有最小值－
D.f（x）在定义域内无极值
解析：BC 因为f'（x）＝ln x＋1（x＞0）.令f'（x）＝0，解得x＝.当x∈（0，）时，f'（x）＜0；当x∈（，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，x＝是极小值点，所以A错误，B正确；当x∈（0，1]时，根据单调性可知，f（x）min＝f（）＝－，故C正确；显然f（x）有极小值f（），故D错误.
8.（2025·南京质检）若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝ 20 .
解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴当x∈[1，3]时，f'（x）≥0；当x∈[0，1]时，f'（x）≤0.∴f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f（x）max＝f（3）＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20.
9.当x＞1时，kx＞ln x＋4x恒成立，则整数k的最小值为 5 .
解析：由题意得，k＞＋4在（1，＋∞）上恒成立，设g（x）＝＋4，x∈（1，＋∞），则k＞g（x）max，g'（x）＝，当x∈（1，e）时，g'（x）＞0，当x∈（e，＋∞）时，g'（x） ＜0，所以g（x）在（1，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，g（x）max＝g（e）＝＋4∈（4，5），所以整数k≥5，则整数k的最小值为5.
10.已知函数f（x）＝2x＋1－4ln x.
（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值.
解：（1）因为f（x）＝2x＋1－4ln x，x＞0，所以f'（x）＝2－，所以f（1）＝3，f'（1）＝－2.
所以f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y－3＝－2（x－1），即2x＋y－5＝0.
（2）由（1）知f'（x）＝2－＝，x∈[1，3]，
令f'（x）＞0，则2＜x≤3；令f'（x）＜0，则1≤x＜2.
所以f（x）在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增.所以f（x）min＝f（2）＝5－4ln 2，
又f（1）＝3，f（3）＝7－4ln 3，f（1）－f（3）＝4（ln 3－1）＞0，所以f（x）max＝3.
所以f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为3与5－4ln 2.
11.已知函数f（x）＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都有｜f（x1）－f（x2）｜≤t，则实数t的最小值是（ ）
A.20 B.18
C.3 D.0
解析：A 因为f'（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1），x∈[－3，2]，所以f（x）在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.f（－3）＝－19，f（－1）＝1，f（1）＝－3，f（2）＝1，所以在区间[－3，2]上，f（x）max＝1，f（x）min＝－19，又在[－3，2]上｜f（x1）－f（x2）｜≤f（x）max－f（x）min＝20，所以t≥20，故选A.
12.已知直线x＝t分别与函数f（x）＝ex＋x和g（x）＝3x－1的图象交于点A，B，则｜AB｜的最小值为（ ）
A.ln 2 B.2ln 2
C.2－ln 2 D.3－2ln 2
解析：D 当x＝t时，｜AB｜＝｜f（t）－g（t）｜＝｜et＋t－3t＋1｜＝｜et－2t＋1｜.令h（t）＝et－2t＋1，则h'（t）＝et－2.令h'（t）＝0，得t＝ln 2，当t ＜ln 2时，h'（t）＜0，当t＞ln 2时，h'（t）＞0，∴h（t）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增，则h（t）min＝h（ln 2）＝3－2ln 2＞0，∴｜AB｜的最小值为3－2ln 2.
13.已知函数f（x）＝，若函数在区间（a，a＋）（其中a＞0）内存在最大值，则实数a的取值范围为 （，1） .
解析：由题意知函数f（x）＝的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，即f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值，即为最大值，因为函数f（x）在区间（a，a＋）（其中a＞0）内存在最大值，所以解得＜a＜1.
14.已知函数f（x）＝＋kln x，k＜，求函数f（x）在上的最大值和最小值.
解：f'（x）＝＋＝.
①若k≤0，则在上恒有f'（x）＜0，
所以f（x）在上单调递减.
②若0＜k＜，则f'（x）＝＝，
由k＜，得＞e，则x－＜0在上恒成立，
所以＜0在上恒成立，
所以f（x）在上单调递减.
综上，当k＜时，f（x）在上单调递减，
所以f（x）min＝f（e）＝＋k－1，
f（x）max＝f（）＝e－k－1.
15.已知函数f（x）＝（ax－2）ex在x＝1处取得极值.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[m，m＋1]上的最小值.
解：（1）f'（x）＝aex＋（ax－2）ex＝（ax＋a－2）ex.
由已知得f'（1）＝0，即（2a－2）e＝0，
解得a＝1.
（2）由（1）得f（x）＝（x－2）ex，
则f'（x）＝ex＋（x－2）ex＝（x－1）ex.
令f'（x）＝0，得x＝1，
当x∈（－∞，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
①当m≥1时，f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f（m）＝（m－2）em；
②当0＜m＜1时，m＜1＜m＋1，f（x）在区间[m，1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f（1）＝－e；
③当m≤0时，m＋1≤1，f（x）在区间[m，m＋1]上单调递减，f（x）min＝f（m＋1）＝（m－1）em＋1.
综上，f（x）在区间[m，m＋1]上的最小值为
f（x）min＝
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