模块综合检测（一）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：B ∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，∴d＝a4－a3＝7－5＝2.
2.若函数f（x）＝x2－3x－5ln x的导函数为f'（x），则f'（x）＞0的解集为（ ）
A.（0，＋∞） B.（－1，0）∪
C.（－1，0） D.
解析：D ∵函数f（x）＝x2－3x－5ln x的导函数为f'（x）＝2x－3－（x＞0），令f'（x）＞0，
∴解得x＞.
3.已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2－a1）＝（ ）
A.8 B.－8
C.±8 D.
解析：A 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有1＋3d＝9，1·q4＝9，解得d＝，q2＝3，∴b2（a2－a1）＝1×q2×＝8.故选A.
4.设曲线y＝sin x上任一点（x，y）处的切线斜率为g（x），则函数y＝x2g（x）的部分图象可以为（ ）
解析：C 由曲线方程y＝sin x，可知g（x）＝cos x，所以y＝x2g（x）＝x2cos x为偶函数，排除A、B；当x＝0时，y＝0，排除D，故选C.
5.已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝（ ）
A.－3×2n－1 B.3×2n－1
C.5n＋3×2n－1 D.5n－3×2n－1
解析：D 法一 在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝×＋①，令bn＝，则①式变为bn＋1＝bn＋，即bn＋1－1＝，所以数列是等比数列，其首项为b1－1＝－1＝－，公比为，所以bn－1＝－×，即bn＝1－×，所以＝1－×＝1－，所以an＝5n－3×2n－1.
法二 设an＋1＋k×5n＋1＝2（an＋k×5n），则an＋1＝2an－3k×5n，与an＋1＝2an＋3×5n比较可得k＝－1，所以an＋1－5n＋1＝2（an－5n），所以数列是首项为a1－5＝－3，公比为2的等比数列，所以an－5n＝－3×2n－1，所以an＝5n－3×2n－1，故选D.
6.函数f（x）在定义域R上的导函数是f'（x），若f（x）＝f（2－x），且当x∈（－∞，1）时，（x－1）·f'（x）＜0.设a＝f（0），b＝f（），c＝f（log28），则（ ）
A.c＜a＜b B.c＜b＜a
C.a＜b＜c D.a＜c＜b
解析：A ∵当x∈（－∞，1）时，（x－1）f'（x）＜0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在区间（－∞，1）上单调递增.又∵f（x）＝f（2－x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减.∵a＝f（0）＝f（2），b＝f（），c＝f（log28）＝f（3），∴c＜a＜b.
7.已知函数f（x）＝ln x－（x－a）2（a∈R）在区间[1，＋∞）上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C.[1，＋∞） D.（1，＋∞）
解析：B 因为f（x）＝ln x－（x－a）2（a∈R），则f'（x）＝－2x＋2a，因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上存在单调递增区间，则存在x∈[1，＋∞），使得f'（x）＞0，即－2x＋2a＞0，可得a＞x－，设g（x）＝x－，因为函数y＝x、y＝－在[1，＋∞）上均单调递增，则函数g（x）在[1，＋∞）上单调递增，当x≥1时，g（x）min＝g（1）＝1－＝，故a＞.故选B.
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为（ ）
A.30 B.
C. D.41
解析：B 被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排列为：2，5，8，11，…，该数列即为bn＝2＋3＝3n－1，被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排列为：3，8，13，18，…，该数列即为cn＝3＋5＝5n－2，数列、的第一个公共项为a1＝8，由题意被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列所构成的数列也是等差数列，其首项即为数列、的第一个公共项a1＝8，其公差为数列、的公差的最小公倍数d＝3×5＝15，所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋d＝8＋15＝15n－7，由等差数列前n项公式得Sn＝＝，所以＝＝＋＋，由基本不等式得＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，n∈N*，即n＝2时，等号成立，所以的最小值为.故选B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若{an}是公比为q（q≠0）的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A.若a1＞0，0＜q＜1，则{an}为递减数列
B.若a1＜0，0＜q＜1，则{an}为递增数列
C.若q＞0，则S4＋S6＞2S5
D.若bn＝，则{bn}是等比数列
解析：ABD 在等比数列中，an＋1－an＝an（q－1），当a1＞0，0＜q＜1时，显然有an（q－1）＜0，故{an}为递减数列，故A正确；当a1＜0，0＜q＜1时，显然有an（q－1）＞0，故{an}为递增数列，故B正确；若等比数列{an}的公比q＝1，则S4＋S6＝10a1，2S5＝10a1，则S4＋S6＝2S5，故C不正确；等比数列{an}的公比为q（q≠0），若bn＝，则{bn}是等比数列，公比为，故D正确.
10.以下不等式成立的是（ ）
A.x＞sin x，x∈
B.x－1≥ln x，x∈（0，＋∞）
C.ex－x－1≥0，x∈R
D.ln x＋1－ex＞0，x∈（0，＋∞）
解析：ABC 对于A，令f（x）＝x－sin x，x∈，由f'（x）＝1－cos x＞0，则f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（0）＝0 x＞sin x，不等式成立；由两个经典不等式，易知B、C正确；对于D，令g（x）＝ln x＋1－ex，x∈（0，＋∞），当x＝1时，g（1）＝1－e＜0，所以不等式不成立.
11.设函数f（x）＝，则下列选项正确的是（ ）
A.f（x）为奇函数
B.f（x）的图象关于点（0，1）对称
C.f（x）的最大值为＋1
D.f（x）的最小值为－＋1
解析：BCD f（x）＝＋1，不满足f（－x）＝－f（x），故A项错误；令g（x）＝，则g（－x）＝＝＝－g（x），所以g（x）为奇函数，则f（x）关于点（0，1）对称，B项正确；设f（x）＝＋1的最大值为M，则g（x）的最大值为M－1，设f（x）＝＋1的最小值为N，则g（x）的最小值为N－1，当x＞0时，g（x）＝，所以g'（x）＝，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，当x＞1时，g'（x）＜0，所以当0＜x＜1时，g（x）单调递增，当x＞1时，g（x）单调递减，所以g（x）在x＝1处取得最大值，最大值为g（1）＝，由于g（x）为奇函数，所以g（x）在x＝－1处取得最小值，最小值为g（－1）＝－，所以f（x）的最大值为M＝＋1，最小值为N＝－＋1，故C、D项正确.故选B、C、D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 025，则m＝ 1 013 .
解析：∵S3＝3a1＋3d，∴3a1＋3d＝a1＋4d，即d＝2，am＝a1＋（m－1）×2＝2m－1＝2 025，∴m＝1 013
13.若直线y＝－x＋m是曲线y＝2x2＋3x＋4与曲线y＝－ex＋n的公切线，则m＋n＝ －1 .
解析：令f（x）＝2x2＋3x＋4，则f'（x）＝4x＋3，令f'（x）＝4x＋3＝－1，得x＝－1，则f（－1）＝2－3＋4＝3，即有y－3＝－（x＋1），即y＝－x＋2，故m＝2.令g（x）＝－ex＋n，则g'（x）＝－ex＋n，令g'（x）＝－ex＋n＝－1，有x＝－n，则g（－n）＝－e0＝－1，即有y＋1＝－（x＋n），即y＝－x－n－1.故有－n－1＝2，即n＝－3.故m＋n＝－1.
14.已知f（x）＝x2＋bx＋c有极小值点－1，设bn＝，若对于任意的n∈N*，都有bn≥b4成立，则实数c的取值范围是 [12，20] .
解析：因为f（x）＝x2＋bx＋c有极小值点－1，所以－＝－1，解得b＝2（经检验符合），即bn＝＝n＋＋2，令g（x）＝x＋＋2（x≥1），则g'（x）＝1－＝，当c≤1时，g'（x）≥0，g（x）在[1，＋∞）上单调递增，此时{bn}是递增数列，不满足题意，故c＞1.当1＜x＜时，g'（x）＜0，当x＞时，g'（x）＞0，即g（x）在（1，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，即数列{bn}先减后增，因为对于任意的n∈N*，都有bn≥b4成立，所以只需b3≥b4且b4≤b5，即解得12≤c≤20.
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）设函数f（x）＝x3－x2－mx.
（1）若f（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间，求m的取值范围；
（2）若x＝－1是函数的极值点，求函数f（x）在[0，5]上的最小值.
解：（1）f'（x）＝x2－2x－m，
由题意可知，f'（x）＝x2－2x－m＜0在（0，＋∞）上有解，
所以存在x∈（0，＋∞），使得m＞x2－2x，
因为y＝x2－2x的最小值为12－2×1＝－1，
则m＞－1，即m的取值范围为（－1，＋∞）.
（2）因为f'（－1）＝1＋2－m＝0，
所以m＝3.所以f'（x）＝x2－2x－3，
令f'（x）＝0，解得x＝－1或x＝3.
所以当x∈[0，3）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（3，5]时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增.
所以函数f（x）在[0，5]上的最小值为f（3）＝9－9－9＝－9.
16.（本小题满分15分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝n2＋n.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设Tn＝a1·＋a2·＋…＋an·，求Tn.
解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝12＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝2n；
经检验：a1＝2满足上式，
所以{an}的通项公式是an＝2n.
（2）由（1）得，Tn＝2·32＋4·34＋…＋（2n－2）·32n－2＋（2n）·32n，
9Tn＝2·34＋4·36＋…＋（2n－2）·32n＋（2n）·32n＋2，
所以－8Tn＝2·32＋2·34＋…＋2·32n－2＋2·32n－（2n）·32n＋2.
即Tn＝－，即Tn＝·9n－·9n＋.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln x＋2ax.
（1）当a＝－1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）＝f（x）－2x2，不等式g（x）≥－1在[1，＋∞）上存在实数解，求实数a的取值范围.
解：（1）当a＝－1时，f（x）＝ln x－2x（x＞0），
∴f'（x）＝－2，由f'（x）＞0，得0＜x＜，由f'（x）＜0，得x＞，
∴函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意得，g（x）＝ln x－2x2＋2ax≥－1在上存在实数解.
化为a≥在上存在实数解，
令h（x）＝，
则h'（x）＝＝，
∵在上，2x2＋ln x＞0，得h'（x）＝＞0，故h（x）在[1，＋∞）上单调递增，
∴h（x）的最小值为h（1）＝，
∴当a的取值范围为［，＋∞）时，不等式g（x）≥－1在上存在实数解.
18.（本小题满分17分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且a2，a5，a14成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当数列{an}的公差不为0时，记数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜.
解：（1）设数列{an}的公差为d，
由a2，a5，a14成等比数列，得＝a2a14，即＝，
即d2－2d＝0，
解得d＝0或d＝2.
当d＝0时，an＝1；
当d＝2时，an＝a1＋d＝2n－1.
综上所述，an＝1或an＝2n－1.
（2）证明：由（1）可知，当数列{an}的公差不为0时，
an＝2n－1，
∴Sn＝＝n2，
则S2n－1＝（2n－1）2，S2n＋1＝（2n＋1）2，
∴＝＝，
∴Tn＝［＋＋＋…＋］＝＝－，
又n∈N*，∴Tn＜.
19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝2ax－a－1，g（x）＝ex－ex.
（1）讨论g（x）的单调性并求极值；
（2）设函数h（x）＝g'（x）－f（x）（g'（x）为g（x）的导函数），若函数h（x）在内有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
解：（1）因为g'（x）＝ex－e在R上单调递增，
所以当x＜1时g'（x）＜0，当x＞1时g'（x）＞0，
所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以g（x）的极小值为g＝0，无极大值.
（2）因为h（x）＝g'（x）－f（x）＝ex－e－＝ex－2ax－e＋a＋1，
所以h'（x）＝ex－2a，
当x∈时，ex∈，
所以当2a≤1或2a≥e时，h（x）在上单调，至多只有一个零点，不满足题意；
当1＜2a＜e时，由ex－2a＝0可得x＝ln，
当x∈时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以要使函数h（x）在内有两个不同的零点，则有
由可得e－2＜a＜1，下面证明当e－2＜a＜1时h＜0，
令m＝h＝3a－2aln－e＋1，则m'＝1－2ln，
所以当a∈时，m'＞0，m单调递增，
当a∈时，m'＜0，m单调递减，
所以m＝m＝－e＋1＜0，
所以当e－2＜a＜1时h＜0，
综上，实数a的取值范围为.
5 / 6模块综合检测（一）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.若函数f（x）＝x2－3x－5ln x的导函数为f'（x），则f'（x）＞0的解集为（ ）
A.（0，＋∞） B.（－1，0）∪
C.（－1，0） D.
3.已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2－a1）＝（ ）
A.8 B.－8
C.±8 D.
4.设曲线y＝sin x上任一点（x，y）处的切线斜率为g（x），则函数y＝x2g（x）的部分图象可以为（ ）
5.已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝（ ）
A.－3×2n－1 B.3×2n－1
C.5n＋3×2n－1 D.5n－3×2n－1
6.函数f（x）在定义域R上的导函数是f'（x），若f（x）＝f（2－x），且当x∈（－∞，1）时，（x－1）·f'（x）＜0.设a＝f（0），b＝f（），c＝f（log28），则（ ）
A.c＜a＜b B.c＜b＜a
C.a＜b＜c D.a＜c＜b
7.已知函数f（x）＝ln x－（x－a）2（a∈R）在区间[1，＋∞）上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C.[1，＋∞） D.（1，＋∞）
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为（ ）
A.30 B.
C. D.41
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若{an}是公比为q（q≠0）的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A.若a1＞0，0＜q＜1，则{an}为递减数列
B.若a1＜0，0＜q＜1，则{an}为递增数列
C.若q＞0，则S4＋S6＞2S5
D.若bn＝，则{bn}是等比数列
10.以下不等式成立的是（ ）
A.x＞sin x，x∈
B.x－1≥ln x，x∈（0，＋∞）
C.ex－x－1≥0，x∈R
D.ln x＋1－ex＞0，x∈（0，＋∞）
11.设函数f（x）＝，则下列选项正确的是（ ）
A.f（x）为奇函数
B.f（x）的图象关于点（0，1）对称
C.f（x）的最大值为＋1
D.f（x）的最小值为－＋1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 025，则m＝ .
13.若直线y＝－x＋m是曲线y＝2x2＋3x＋4与曲线y＝－ex＋n的公切线，则m＋n＝ .
14.已知f（x）＝x2＋bx＋c有极小值点－1，设bn＝，若对于任意的n∈N*，都有bn≥b4成立，则实数c的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）设函数f（x）＝x3－x2－mx.
（1）若f（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间，求m的取值范围；
（2）若x＝－1是函数的极值点，求函数f（x）在[0，5]上的最小值.
16.（本小题满分15分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝n2＋n.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设Tn＝a1·＋a2·＋…＋an·，求Tn.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln x＋2ax.
（1）当a＝－1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）＝f（x）－2x2，不等式g（x）≥－1在[1，＋∞）上存在实数解，求实数a的取值范围.
18.（本小题满分17分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且a2，a5，a14成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当数列{an}的公差不为0时，记数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜.
19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝2ax－a－1，g（x）＝ex－ex.
（1）讨论g（x）的单调性并求极值；
（2）设函数h（x）＝g'（x）－f（x）（g'（x）为g（x）的导函数），若函数h（x）在内有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
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