模块综合检测（二）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设函数f（x）＝ax3＋b，若f'（－1）＝3，则a＝（ ）
A.－1 B.
C.1 D.
解析：C ∵f'（x）＝3ax2，∴f'（－1）＝3a＝3，∴a＝1.
2.在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a3＋a4＝5，则a9＋a10＝（ ）
A.9 B.10
C.11 D.12
解析：C 设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a3＝4，a3＋a4＝5，得2d＝5－4＝1，所以a9＋a10＝a3＋6d＋a4＋6d＝（a3＋a4）＋12d＝5＋6＝11.
3.曲线y＝ex－ln x在点（1，e）处的切线方程为（ ）
A.（1－e）x－y＋1＝0
B.（1－e）x－y－1＝0
C.（e－1）x－y＋1＝0
D.（e－1）x－y－1＝0
解析：C 由于y'＝e－，所以y'｜x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点（1，e）处的切线方程为y－e＝（e－1）·（x－1），即（e－1）x－y＋1＝0.
4.已知数列{an}为等比数列，Tn为数列{an}前n项积，且T2＝，T6＝8，则T4＝（ ）
A.1 B.
C. D.2
解析：B 由题意，数列{an}为等比数列，Tn为数列{an}前n项积，所以T2＝a1a2＝，T6＝a1a2a3a4a5a6＝＝8，则a3a4＝2，可得T4＝a1a2a3a4＝×2＝.
5.已知函数f（x）＝ln x＋x2－mx.若函数f（x）在上单调递减，则实数m的最小值为（ ）
A.0 B.3
C. D.2
解析：C f'（x）＝＋2x－m，令f'（x）≤0，得m≥＋2x，令g（x）＝＋2x，若函数f（x）在上单调递减，则m≥g（x）max，当x∈时，g'（x）＝2－＝＞0，所以函数g（x）在上单调递增，则g（x）max＝g＝，所以m≥.
6.函数y＝（2x－1）ex的图象大致是（ ）
解析：A 因为当x＜时，y＝（2x－1）ex＜0，所以D错误；又y'＝（2x＋1）ex，所以当x＜－时，y'＜0，即y＝（2x－1）ex在区间上单调递减，所以C错误；又当x＞时，u＝（2x＋1）ex的导数u'＝（2x＋3）ex＞0，所以y'＝（2x＋1）ex单调递增，即y＝（2x－1）ex随x的增大越来越陡，所以B错误.
7.已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，令Tn＝a1·a2＋a2·a3＋…＋an·an＋1，则Tn＝（ ）
A.16× B.16×
C.× D.×
解析：C 设数列{an}的公比为q，由题意可知当n≥2时，＝q2，即数列{an·an＋1}是以q2为公比的等比数列，由a2＝2，a5＝得q＝，所以a1＝4，a1·a2＝8，所以Tn＝＝×.
8.定义在（1，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且（x－1）f'（x）－f（x）＞x2－2x对任意x∈（1，＋∞）恒成立.若f（2）＝3，则不等式f（x）＞x2－x＋1的解集为（ ）
A.（1，2） B.（2，＋∞）
C.（1，3） D.（3，＋∞）
解析：B 由（x－1）f'（x）－f（x）＞x2－2x，得（x－1）f'（x）－f（x）＋1＞（x－1）2，即－1＞0，即'＞0对任意x∈（1，＋∞）恒成立，令g（x）＝－x，则g（x）在（1，＋∞）上单调递增，∵f（2）＝3，∴g（2）＝0，∴f（x）＞x2－x＋1等价于－x＞0，即g（x）＞g（2），∴x＞2.∴不等式f（x）＞x2－x＋1的解集为（2，＋∞）.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1（2－an）＝2（an≠2），则（ ）
A.a3＝ B.{an}是周期数列且周期为4
C.S4＝ D.S21＝
解析：BCD 由an＋1（2－an）＝2（an≠2），可得an＋1＝，所以a2＝＝－4，a3＝＝，A错误；a4＝＝，a5＝＝＝a1，所以数列{an}是周期数列且周期为4，B正确；S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝，C正确；S21＝5×＋＝，D正确.
10.设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（ ）
A.x＝3是f（x）的极小值点
B.当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C.当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0
D.当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x）
解析：ACD 对于A，因为函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝2（x－1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知当x∈时，f'（x）＜0，当x∈或x∈时，f'（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，正确；对于B，当0＜x＜1时，x－x2＝x＞0，所以1＞x＞x2＞0，而由上可知，函数f（x）在上单调递增，所以f（x）＞f，错误；对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f（x）在上单调递减，所以f＞f＞f，即－4＜f＜0，正确；对于D，当－1＜x＜0时，f（2－x）－f（x）＝－·＝·＞0，所以f（2－x）＞f（x），正确.故选A、C、D.
11.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝.则（ ）
A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数 D.tanh ＝
解析：ACD 对于A，令f（x）＝sinh x＝，则f'（x）＝＞0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对于B，令g（x）＝cosh x＝，则g'（x）＝，由A知，g'（x）为增函数，又g'＝＝0，故当x∈时，g'（x）＜0，当x∈时，g'（x）＞0，故g（x）在上单调递减，在上单调递增，故B错误；对于C，tanh x＝＝＝＝＝1－，由y＝e2x＋1在R上单调递增，且y＝e2x＋1＞1，故tanh x＝1－是增函数，故C正确；对于D，由C知tanh x＝，则tanh ＝，＝
＝
＝
＝＝，故tanh ＝，故D正确.故选A、C、D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知数列{an}是等差数列，且其前n项和为Sn.若S3＝9，S6＝36，则a1＝ 1 .
解析：由S3＝9，S6＝36得a1＋a2＋a3＝3a2＝9，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝3＝36，解得a2＝3，a3＋a4＝12，即a2＋d＋a2＋2d＝12，解得d＝2，所以a1＝a2－d＝1.
13.若函数f（x）＝x2－4x＋aln x有唯一的极值点，则实数a的取值范围为 （－∞，0] .
解析：由f（x）＝x2－4x＋aln x可知，f'（x）＝2x－4＋＝（x＞0），令g（x）＝2x2－4x＋a＝2（x－1）2＋a－2，由f（x）有唯一的极值点，可得g（0）≤0，即a≤0，则实数a的取值范围为（－∞，0].
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为，，，，，，，，，，…，，，…，
，…，若Sk＝14，则k＝ 28 ，ak＝ .
解析：因为＋＋…＋＝＝－，＋＋…＋＝＝，所以数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋是首项为，公差为的等差数列，所以该数列的前m项和Tm＝＋1＋＋…＋＝.令Tm＝＝14，解得m＝7，所以ak＝，k＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x2＋aln x.
（1）若a＝－1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若a＝1，求函数f（x）在上的最大值和最小值.
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
当a＝－1时，f'（x）＝x－＝，
令f'（x）＝0，得x＝1或x＝－1（舍去），
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
所以f（x）在x＝1处取得极小值，极小值为，无极大值.
（2）当a＝1时，易知函数f（x）在上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝，
f（x）max＝f（e）＝e2＋1.
16.（本小题满分15分）下列三个条件：①a1＝1，a1a5＝；②S3＝9，S5＝25；③Sn＝n2.从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中并解答.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0， .
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：（1）若选条件①：由a1＝1，a1a5＝，
得a1（a1＋4d）＝（a1＋d）2，即1＋4d＝（1＋d）2，∴d2＝2d.
∵d≠0，∴d＝2.∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1.
若选条件②：设等差数列{an}的首项为a1，
由S3＝9，S5＝25，得解得
∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1.
若选条件③：当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1.
显然当n＝1时也满足an＝2n－1，∴an＝2n－1.
（2）由（1）知an＝2n－1，
∴bn＝＝
＝，
则Tn＝（1－＋－＋…＋－）＝＝.
17.（本小题满分15分）某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝＋10（x－6）2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
（1）求实数a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.
解：（1）∵当x＝5时，y＝11，∴由函数式y＝＋10（x－6）2，得＋10＝11，∴a＝2.
（2）由（1）知该商品每日的销售量y＝＋10（x－6）2，
设商场每日销售该商品所获得的利润为f（x），则
f（x）＝（x－3）＝2＋10（x－3）（x－6）2，3＜x＜6，
f'（x）＝10＝30（x－4）（x－6），
令f'（x）＝0，得x＝4，
当3＜x＜4时，f'（x）＞0，函数 f（x）在（3，4）上单调递增；
当4＜x＜6时，f'（x）＜0，函数f（x）在（4，6）上单调递减，
∴当x＝4时，函数f（x）取得最大值f（4）＝42，
∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ln x＋ax2＋（2a＋1）x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤－－2.
解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，则当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
若a＜0，则当x∈时，f'（x）＞0；
当x∈时，f'（x）＜0.
故f（x）在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由（1）知，当a＜0时，f（x）在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－.
所以f（x）≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.
设g（x）＝ln x－x＋1，则g'（x）＝－1.
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0.所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
故当x＝1时，g（x）取得极大值且为最大值，最大值为g（1）＝0.
所以当x＞0时，g（x）≤0.
从而当a＜0时，ln＋＋1≤0，
即f（x）≤－－2.
19.（本小题满分17分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，a3，…，an为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：
①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0，②｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝1.
（1）若等比数列{an}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q；
（2）若一个等差数列{an}既为2k（k∈N*）阶“期待数列”，又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”{ai}的前k项和为Sk（k＝1，2，3，…，n），求证：｜Sk｜≤.
解：（1）若q≠1，则由①a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝＝0，
由a1≠0，所以1－q2k＝0，得q＝－1，
由②得a1＝或a1＝－，满足题意.
若q＝1，由①得，a1·2k＝0，得a1＝0，不合题意，舍去.
综上所述q＝－1.
（2）设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k∈N*）的公差为d（d＞0）.
因为a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝0，所以＝0.
所以a1＋a2k＝ak＋ak＋1＝0.
因为d＞0，所以由ak＋ak＋1＝0，得ak＜0，ak＋1＞0.
由题中的①②得a1＋a2＋a3＋…＋ak＝－，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋…＋a2k＝，
两式相减得k2·d＝1，即d＝.
又a1k＋d＝－，得a1＝，
所以an＝a1＋（n－1）d
＝＋（n－1）·＝.
（3）证明：记a1，a2，a3，…，an中非负项和为A，负项和为B.
则A＋B＝0，A－B＝1，得A＝，B＝－.
因为－＝B≤Sk≤A＝，所以｜Sk｜≤.
6 / 6模块综合检测（二）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设函数f（x）＝ax3＋b，若f'（－1）＝3，则a＝（ ）
A.－1 B.
C.1 D.
2.在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a3＋a4＝5，则a9＋a10＝（ ）
A.9 B.10
C.11 D.12
3.曲线y＝ex－ln x在点（1，e）处的切线方程为（ ）
A.（1－e）x－y＋1＝0 B.（1－e）x－y－1＝0
C.（e－1）x－y＋1＝0 D.（e－1）x－y－1＝0
4.已知数列{an}为等比数列，Tn为数列{an}前n项积，且T2＝，T6＝8，则T4＝（ ）
A.1 B.
C. D.2
5.已知函数f（x）＝ln x＋x2－mx.若函数f（x）在上单调递减，则实数m的最小值为（ ）
A.0 B.3
C. D.2
6.函数y＝（2x－1）ex的图象大致是（ ）
7.已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，令Tn＝a1·a2＋a2·a3＋…＋an·an＋1，则Tn＝（ ）
A.16× B.16×
C.× D.×
8.定义在（1，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且（x－1）f'（x）－f（x）＞x2－2x对任意x∈（1，＋∞）恒成立.若f（2）＝3，则不等式f（x）＞x2－x＋1的解集为（ ）
A.（1，2） B.（2，＋∞）
C.（1，3） D.（3，＋∞）
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1（2－an）＝2（an≠2），则（ ）
A.a3＝
B.{an}是周期数列且周期为4
C.S4＝
D.S21＝
10.设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（ ）
A.x＝3是f（x）的极小值点
B.当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C.当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0
D.当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x）
11.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝.则（ ）
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh ＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知数列{an}是等差数列，且其前n项和为Sn.若S3＝9，S6＝36，则a1＝ .
13.若函数f（x）＝x2－4x＋aln x有唯一的极值点，则实数a的取值范围为 .
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为，，，，，，，，，，…，，，…，，…，若Sk＝14，则k＝ ，ak＝ .
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x2＋aln x.
（1）若a＝－1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若a＝1，求函数f（x）在上的最大值和最小值.
16.（本小题满分15分）下列三个条件：①a1＝1，a1a5＝；②S3＝9，S5＝25；③Sn＝n2.从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中并解答.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0， .
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
17.（本小题满分15分）某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝＋10（x－6）2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
（1）求实数a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ln x＋ax2＋（2a＋1）x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤－－2.
19.（本小题满分17分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，a3，…，an为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：
①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0，②｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝1.
（1）若等比数列{an}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q；
（2）若一个等差数列{an}既为2k（k∈N*）阶“期待数列”，又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”{ai}的前k项和为Sk（k＝1，2，3，…，n），求证：｜Sk｜≤.
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