人教版高中数学必修第一册第5章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
第五章　三角函数
5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
1. 了解任意角的概念.
2. 理解并掌握终边相同的角、象限角的概念.
一、任意角的概念
1. 角的概念
角可以看成平面内 绕着它的 旋转所成的图形.
2. 角的表示
如图，①始边：射线的 位置OA；
预习教材新知
一条射线　
端点　
起始　
②终边：射线的 位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，在不引起混淆 的前提下，也可简记成“α”.
终止　
3. 角的分类
名称 定义 图形
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转 形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转 形成的角
零角 一条射线没有做 旋转形成的角
逆时针　
顺时针　
任何　
二、平面直角坐标系中的任意角
原点　
非负半
轴　
终边　
轴线角
在x轴的非负半轴上{α｜α＝k·360°，k∈Z}，
在x轴的非正半轴上{α｜α＝180°＋k·360°，k∈Z}，
在y轴的非负半轴上{α｜α＝90°＋k·360°，k∈Z}，
在y轴的非正半轴上{α｜α＝270°＋k·360°，k∈Z}，
在x轴上{α｜α＝k·180°，k∈Z}，
在y轴上{α｜α＝90°＋k·180°，k∈Z}，
在坐标轴上{α｜α＝k·90°，k∈Z}
角的终边在 上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴 线角
坐标轴　
想一想：已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重 合，作出下列各角， 并说明是第几象限的角？ 这些角有什么内在联系？
α
＋k·360°　
周角　
（1）－32°；（2）328°；（3）－392°.
提示：都是第四象限角，这些角相差360°的整数倍.
解析：（1）－120°小于90°，不是锐角，错误.
解析：（2）逆时针旋转一周，终边与始边重合，角的大小为360°不是零 角，错误.
解析：（3）210°大于90°，不是钝角，错误.
解析：（4）分针是顺时针旋转，是负角，错误.




2. 下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③钝角比第三象限角小；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确的结论为 （填序号）.
解析：①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；② 始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③钝角大于－100°的 角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确；④0°角小于180°，但它既 不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确.
②　
　任意角的概念
课堂互动探究
A. 150° B. －150°
C. 390° D. －390°
解析：因为各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以120°＋（－270°） ＝－150°，故选B.
B
A. 120° B. －120° C. －60° D. 60°
B
对任意角的理解
对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字，弄清角的始边与终边及旋转方 向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证 明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
　终边相同的角的表示及应用
【例1】已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最小的正角；
解：因为－1 845°＝－45°＋（－5）×360°，即－1 845°角与－45°角的 终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β｜β＝－45°＋k·360°， k∈Z}.
（1）最小的正角为315°.
（2）最大的负角；
解：（2）最大的负角为－45°.
（3）－360°～720°之间的角.
解：（3）－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
母题探究：（变式）本例条件不变，指出α所在象限及720°～1 080°之 间的角.
解：∵－1 845°＝－45°＋（－5）×360°，
∴α是第四象限角.
令720°＜－45°＋k·360°＜1 080°（k∈Z），
解得k＝3.
∴在720°～1 080°之间与其终边相同的角为－45°＋3×360°＝1 035°.
1. 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式组－360°
≤β＜720°的元素β写出来.
解：直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝ x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β｜β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β｜β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β｜β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β｜β＝45°＋（2k＋1）·180°， k∈Z}＝{β｜β＝45°＋n·180°，n∈Z}.
∴S中适合－360°≤β＜720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
总结：在终边相同的角的表示中，k·360°可以理解为按一定方向转动的圈 数，k取正整数时，按逆时针转，k取负整数时，按顺时针转，k＝0时，没 有转动.
　象限角与区间角的表示
　象限角的判断
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
A
解析：由α是第二象限角可得，90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360° （k∈Z）.
所以180°－（90°＋k·360°）＞180°－α＞180°－（180°＋k·360°） （k∈Z），
即90°－k·360°＞180°－α＞－k·360°（k∈Z），
所以180°－α为第一象限角.
（3）已知α是第二象限角，求角2α的终边的位置.
解：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）.
∴k·720°＋180°＜2α＜k·720°＋360°（k∈Z）.
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
总结：象限角的判定有两种方法
一是根据图象，二是利用终边相同的角将角转化到0°～360°范围内，利用 图象实际操作时，依据的还是终边相同的角的思想.
　区域角的表示
【例3】如图所示.
（1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
解：（1）终边落在OA位置上的角的集合为{α｜α＝90°＋ 45°＋k·360°，k∈Z}＝{α｜α＝135°＋k·360°， k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α｜α＝－30°＋ k·360°，k∈Z}.
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
解：（2）由题图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有介于
－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α｜－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
A. {α｜－45°≤α≤120°}
B. {α｜120°≤α≤315°}
C. {α｜k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D. {α｜k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
解析：阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数 倍，即{α｜k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}.
C
解析：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为{α｜α＝30°＋ k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集 合为{α｜α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α 的取值范围为{α｜30°＋k·180°≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}.
{α｜30°＋k·180°
≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}　
总结：表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内 的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°.
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域 角集合.
1. 知识链：（1）正角、负角、零角的概念；（2）终边相同的角；（3）象 限角、区域角的表示.
2. 方法链：数形结合、分类讨论.
3. 警示牌：（1）锐角与小于90°角的区别；（2）终边相同的角的表示中漏 掉k∈Z.
参考答案
预习教材新知
一、任意角的概念
1. 一条射线　端点　
2. ①起始　②终止
3. 逆时针　顺时针　任何
二、平面直角坐标系中的任意角
原点　非负半轴　终边　坐标轴　α＋k·360°　周角
基础试练
1. （1） 　（2） 　（3） 　（4）
解析：（1）－120°小于90°，不是锐角，错误.
（2）逆时针旋转一周，终边与始边重合，角的大小为360°不是零角，错误.
（3）210°大于90°，不是钝角，错误.
（4）分针是顺时针旋转，是负角，错误.
2. ②　解析：①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正 确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确.
课堂互动探究
题型二　终边相同的角的表示及应用
【例1】解：因为－1 845°＝－45°＋（－5）×360°，即－1 845°角与－ 45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β｜β＝－45°＋ k·360°，k∈Z}.
（1）最小的正角为315°.
（2）最大的负角为－45°.
（3）－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
母题探究：解：∵－1 845°＝－45°＋（－5）×360°，
∴α是第四象限角.
令720°＜－45°＋k·360°＜1 080°（k∈Z），
解得k＝3.
∴在720°～1 080°之间与其终边相同的角为－45°＋3×360°＝1 035°.
练一练
1. 解：直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β｜β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β｜β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β｜β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β｜β＝45°＋（2k＋1）·180°， k∈Z}＝{β｜β＝45°＋n·180°，n∈Z}.
∴S中适合－360°≤β＜720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
题型三　象限角与区间角的表示
角度1　象限角的判断
【例2】（1）A　解析：由α是第二象限角可得，90°＋k·360°＜α＜180° ＋k·360°（k∈Z）.
所以180°－（90°＋k·360°）＞180°－α＞180°－（180°＋k·360°） （k∈Z），
即90°－k·360°＞180°－α＞－k·360°（k∈Z），
所以180°－α为第一象限角.
（3）解：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）.
∴k·720°＋180°＜2α＜k·720°＋360°（k∈Z）.
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
角度2　区域角的表示
【例3】解：（1）终边落在OA位置上的角的集合为{α｜α＝90°＋45°＋ k·360°，k∈Z}＝{α｜α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α｜α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
（2）由题图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有介于－30°
～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α｜－30°
＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
练一练
2. C　解析：阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的 整数倍，即{α｜k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}.
3. {α｜30°＋k·180°≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}
解析：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为{α｜α＝30°＋ k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集 合为{α｜α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α 的取值范围为{α｜30°＋k·180°≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}.