2025~2026学年第一学期高三年级期末学业诊断
6.某次市运会跳水项目的预赛中有6名参赛选手，其中A校有3名，B校有2名，C校有1名.现要
求B校2名选手的出场均不能和C校选于的出场相邻，则这6名选手不同出场顺序的种数为
数学试卷
4.144
B.288
C.360
D.432
(考试时间：上午8：00一10：00)
7.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3,点M满足AM=4BM,则Cf.CB=
注意事项：
B
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第1卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页
C.12
D.18
2.回答第I卷前，考生务必将自已的姓名、考试编号填写在答题卡上.
2x为
3回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
8.如图，数(x)=Y3x+的图象是以坐标原点0为对称中心，以y轴和直线y=3为
3
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
两条渐近线的双曲线，则其离心率为
4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.
46
B.2v6
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
2
3
012345
第I卷（选择题共58分）
C.V3
D.23
3
一.单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
符合题目要求
1.已知集合A={←2，-1,0,1,2，B={x(x+1)(x-2)<0],则A∩B=
合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
A.{1,2}
B.(-1,2)
9.已知S,是等差数列{a}的前n项和，S,=12,a:=8,则下列结论正确的是
C.0,1)
D.0,11
2.已知复数z满足iz-1=i,则z=
A.a,=1
B.a0=20
A.-1+i
B.-1-i
C.So=110
D.45=a
C.1+i
D.1-i
10.已知棱长为4的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E为棱AB的中点，动点F为四边形ABCD
3
3.已知c0a=亏，0
内一个动点（包括边界），则下列结论正确的是
A.若AF⊥BF,则点F的轨迹的长度为T
c
D
B.若AFI+|BF=6,则EF的最小值为V5
C.若AF-BF=2,则|EF的最大值为VI3
4.已知{a}是递减的等比数列，S是其前n项和，且a=1,S=7,则数列{a}的公比q=
D.若点F到点E的距离等于它到直线AD,的距离，则EF的最大值为2√3
A.9=3
B.g=2
1
C.q=-3或g=2
1
11.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，asinA+bsinB=c,cosA cos B=Y3.△ABC
D.g=3
5.已知直线：x+y-6=0与圆x2+y2-2x-6y+F=0相交于A,B两个不同点，直线l与x
的面积为2√了，则下列结论正确的是
轴、y轴分别相交于D,E两点，若DE=3引AB,则F=
A.2
B.2v2
A.sindsin=V③
4
B.sind sinB=31
2
C.6
D.6v2
C.a=2
D.c=4
高三数学第1页（共4页）
高三数学第2页（共4页）2025～2026 学年第一学期高三年级期末学业诊断
数学试题参考答案及评分建议
一．单项选择题： C D A B C B C D
二．多项选择题： 9.BCD 10.BC 11.ABD
1
三．填空题: 12. ( 2,0), (2,0) 13. (100 16 3) 14. ( , )
e
1 2 2
四．解答题: 15.解：（1） cos B ，0 B ， sin B ， ………1 分
3 3
a b
由 得 a sin B b sin A 2 2 ， a 3 . ………4 分
sin A sin B
a2 c2 b2 9 c2 12 1
（2）由（1）得 a 3，b 2 3， cos B ， ……6分
2ac 6c 3
c 1 1或 c 3（舍去）， △ ABC 的面积 S ABC bc sin A 2 ． ………8 分2
（3）设sin ABD ，则 cosB cos2 1 2sin2 1 ， sin 6 ，……10 分
3 3
S 1 1 ABC AB BDsin BC BDsin 2BDsin
2 6
BD 2 3， BD .……13 分
2 2 3 2
16.解（1）记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件 A，“用户输入一个问题软件生成
正确答案”为事件 B，由题意可得P(A) 0.9，P(A) 0.1，P(B | A) 0.85，P(B | A) 0.35，
P(B) P(A)(B | A) P(A)P(B | A) 0.9 0.85 0.1 0.35 0.8 . ………6 分
（2）由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为 0.8，
则 X ～B(n,0.8) P(X 8) C 8， n 0.8
8 0.2n 8， ………9分
a C 8 8a C 8 8 n 8 n 1 n 1 0.8 0.2
n 7 n 1
令 n n 0.8 0.2 ，则 8 8 n 8 ， ………11 分an Cn 0.8 0.2 5(n 7)
n 1 1 n 9 n 1 1 n 9 n 1令 ，则 ；令 ，则 ；令 1，则 n 9；
5(n 7) 5(n 7) 5(n 7)
当 n 9或 n 10时，P(X 8)取最大值. ………15 分
17.（1）证明： 底面 ABCD为平行四边形， BAD 120 ， CDE 60 ，
在△CDE中， CD 1，DE 1 AD 2，
2
CE2 CD2 DE2 2CD DE cos CDE 5 4cos60 3， CE 3， ………2 分
DE2 CD2 CE2， DCE 90 ，即CD CE， ………3 分
PC CD，PC CE C， CD 平面 PCE ， CD PE， ………5 分
四边形 ABCD为平行四边形， AB //CD， AB PE . ………6 分
（2）由（1）得 PE CD， PE EC ，CD CE C， PE 平面CDE ， PE AE，
PA 2 3 PE PA 2， AE2 2 2， ………7 分
第 1页（共 3 页）高三数学
以 E为坐标原点， ED,EP所在直线分别为 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B( 3 , 5 3 3 ,0),C( , ,0),D(0,2,0),P(0,0,2 2),
2 2 2 2
假设存在点 F ，设DF DP(0 1)，
BF BD DF BD DP ( 3 , 9 2 ,2 2 ), ……9分
2 2
4y1 0,
设m (x1, y1, z )
m BC,
1 是平面 PBC 的一个法向量，则
3
m BP, x
5
y 2 2z 0,
2 1 2 1 1
令 x1 4 2 ，则 y1 0, z1 3 , m (4 2,0, 3)， ………11 分
设直线 BF 与平面 PBC 所成角为 ，
则 sin | cos m,BF | |m BF | | 2 6( 1) | 14 ， ………13 分
|m || BF | 3 9 2 2 3535 ( 2 ) 8
4 2
1 13 DF 1 或 （舍去）， DP，即点 F 是 PD的中点. ………15 分
2 8 2
2
18.解：（1）由题意可设抛物线C的标准方程为 x 2py(p 0)，
| AB | 8 2， 抛物线C经过点 (4,4)， 4 8p， p 2，
2抛物线C的标准方程为 x 4y. ………3分
（2）设 P(x, y) 2 2 2 19 2，由（1）得 F (0,1)，则 x ( y 1) 5 x ( y ) ，………5 分
5
x2化简得 y2 8y 15 0，即 x2 (y 4)2 1. ………7 分
1
P(x , y ) M (x , y ),N (x , y ) x2 4y y x2
1
（3）设 0 0 ， 1 1 2 2 ，由 得 ， y x，4 2
抛物线C在点M (x , y ) y y 11 1 处的切线方程为 1 x1(x x1)，即 x1x 2y 2y1 0，2
点 P在该切线上， x1x0 2y0 2y1 0，
同理可得 x2x0 2y0 2y2 0， 直线MN 的方程为 x0x 2y 2y0 0， ………9 分
x2 4y,
由 得 x2 2x0x 4y0 0， x1 x2 2x0， x1x2 4yx x 2y 2y 0 0
， ………11 分
0 0
|MN | (x1 x2)
2 (y1 y2)
2 (x1 x )
2 1 2 2 2 1 2
2 (x1 x2 ) (x1 x2) [16 (x1 x
2
16 4 2
) ]
| x 2 4y |
(x 2 4y )(x 20 0 0 4)， 点 P到直线MN 的距离 d 0 0 ，
x 20 4
第 2页（共 3 页）高三数学
1 3
△ PMN 1 2面积 S |MN | d | x0 4y 20 | ， ………14 分2 2
x 2 y 20 0 8y0 15 0 x
2 2
， 0 (y0 8y0 15)， 5 y0 3，
PMN S 1
1 3
△ 面积 |MN | d | (y 20 6) 21|2， ………16 分2 2
当 y0 5时，△ PMN 面积 S取得最大值 20 5 . ………17 分
19.解（1）当 a 1时，则 f (x) ex x2， f (x) ex 2x， f (1) e 1, f (1) e 2，
f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 y f (1) f (1)(x 1)，即 y (e 2)x 1. ………3分
f (x) aex x2 0 a x
2 x2 x(2 x)
（2）令 ，则 x ，x R，令 g(x) x ，x R，则 g (x) e e ex
，
令 g (x) 0，则 x 0或 x 2；令 g (x) 0，则0 x 2；
g(x)的递增区间为 (0,2)，递减区间为 ( ,0)和 (2, )； ………6 分
g(0) 0是 g(x) 4的极小值， g(2) 2 是 g(x)的极大值，e
x2 2
当 x 时， g(x) x ；当 x 时， g(x)
x
0，
e ex
当 a 0时，函数 f (x)无零点；当 a 0 a 4 或 2 时，函数 f (x)有1个零点；e
当 a 4 2 时，函数 f (x) 2 0 a
4
有 个零点；当 2 时，函数 f (x)有3个零点. ………10 分e e
x 2 x 2
（3）由题意得 f (x ) f (x ) 0， a 1 21 2 x x ， g(x1) g(x2) a， ………11 分e 1 e 2
x1, x2是方程 g(x) a
4
的两个正实数根，由（2）可知0 a 2 ， g(x)在 (0,2)上递增，e
在 (2, )递减，且 0 x1 2 x2，要证 x1x 4 x
4 g(x ) g( 42 ，需证 1 ，只需证 1 )，x2 x2
2
g(x1) g(x
4 x 16
2)，只需证 g(x2) g( )，即需证 2x 4 ，x 22 e x 2e x22
4
两边取对数，整理得 x2 4ln x2 4ln2 0， ………14 分x2
2
令 h(x) x 4 4ln x 4ln2 x 2 h (x) 1 4 4 (x 2) ， ，则 2 2 0，x x x x
h(x)在 (2, )上单调递增， h(x) h(2) 0，
x 4 2 4ln x2 4ln2 0成立， x1x2 4 . ………17 分x2
注：以上各题其它解法请酌情赋分.
第 3页（共 3 页）高三数学
