广东省江门市广德实验学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（广德班）
1．（2025高二上·江门月考）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生人数为
A．8 B．11 C．16 D．10
2．（2025高二上·江门月考）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·江门月考）已知空间向量，，若，则（ ）
A．4 B．5 C． D．
4．（2025高二上·江门月考）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·江门月考）在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·江门月考）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·江门月考）双曲线的左 右焦点分别为，过作轴垂线交双曲线于两点，为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·江门月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·江门月考）某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人
B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时
C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时
D．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时
10．（2025高二上·江门月考）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
11．（2025高二上·江门月考）在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；
（2）过点，且为法向量的平面的方程为．
现已知平面，，，，则（ ）．
A． B． C． D．
12．（2025高二上·江门月考）若五个数的平均数为1，则这五个数的方差等于 .
13．（2025高二上·江门月考）已知，，若点关于平面的对称点为，则，两点间的距离为 .
14．（2025高二上·江门月考）过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ．
15．（2025高二上·江门月考）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；
（2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
16．（2025高二上·江门月考）柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么
（1）写出试验的样本空间；
（2）求下列事件的概率：
①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋.
（3）求取出的鞋不成双的概率.
17．（2025高二上·江门月考）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
18．（2025高二上·江门月考）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程；
（3）设双曲线C：的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率.
19．（2025高二上·江门月考）如图，过椭圆的左右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为．
（1）求椭圆段的方程；
（2）已知直线l过点与“椭圆帽”的交于两点为M，N，若，求直线l的方程；
（3）已知P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l经过点，与“椭圆帽”交于两点为M，N，若，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设高一学生数为，
由题意可得：高三学生数为，高二学生数为，，解得，
则高一学生数为800，应抽取高一学生数为.
故答案为：A.
【分析】设高一学生数为，由题意求得高二、高三人数，结合总人数为3500求得x的值，再根据分层抽样法求解即可．
2．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：易知直线的斜率，则直线的倾斜角为.
故答案为：C.
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系求解即可.
3．【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：∵，∴，∴
∴，，
故答案为：C.
【分析】先由得，得代入模长公式可得.
4．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：易知圆的标准方程为，圆心，半径为，
圆的圆心为，半径为，
，则两圆外切，两圆的公切线条数为.
故答案为：B.
【分析】先化圆的一般方程为标准式，求得圆心和半径，再利用两点间距离公式求圆心距，结合半径判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系确定切线条数即可.
5．【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
在上的投影为，
则点到直线的距离.
故答案为：C.
【分析】 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
6．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理
【解析】【解答】从4名学生中随机选2人组织文艺汇演共有种情况，
这2名同学来自不同年级的有种情况，
2名同学来自不同年级的概率为。
故选：D
【分析】利用古典概型分别求出基本事件总数和满足条件的基本事件个数，得出答案。
7．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，代入双曲线方程可得，
所以即正三角形的边长，所以正三角形的高为，
所以，
故答案为：C.
【分析】将点代入双曲线方程得三角形的边长，求出正三角形的高，代入化简可得.
8．【答案】B
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：取的中点分别为，连接，如图所示：
易得，，，
因为平面，平面，所以平面，同理平面，
又因为平面，，所以平面平面，
因为平面，所以为线段上的点，
由平面，平面，得，
又因为，所以，
又因为平面，所以平面，
因为，所以平面，，，
因为，所以，，.
则
，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】取的中点分别为，连接，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再根据线面垂直的判定定理可得平面，从而推得，，结合空间向量的数量积运算求解即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、从频率分布直方图，可以得到，即这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有200人，故A错误；
B、由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B正确；
C、由频率分布直方图可以得到，设抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为k小时，则有：，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，故C正确；
D、由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由频率分布直方图可得6~8小时的频率，再计算6~8小时的人数即可判断A；根据评论分布直方图中众数的定义求解即可判断B；直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断C；利用频率分布直方图计算平均数即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为抛物线：的焦点到准线的距离是4，
所以，，故A正确；
对于选项B，当直线的斜率不存在时，，所以，
当直线的斜率存在时，设直线，
得，所以，故B正确；
对于选项C，因为，故C错误.
对于选项D，如图所示：
过分别向准线作垂线，垂足为，
因为，
所以，
即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合 焦点到准线的距离是4得到的值，从而得出抛物线C的焦点坐标，则判断出选项A；分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，再联立直线与抛物线方程结合韦达定理，即可判断选项B；根据焦点弦的公式，即可判断选项C；首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的定义，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：易知平面的法向量为，
，则，即，
经过点，方向向量为，则，即，则，故A正确，D错误；
，即，则经过点，方向向量为，
点满足平面，即与有公共点，故B错误；
，可知经过点，方向向量为，
，则，即或，
但点不满足平面，即，则，故C正确.
故答案为：AC.
【分析】先求平面的法向量，再化直线形式为求出直线的方向向量，判断直线的方向向量和平面的法向量的关系即可判断线面的位置关系..
12．【答案】2
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由，方差.
故答案为：2.
【分析】本题考查的是平均数和方差的求法，根据平均数公式，求出a的值，再用方差的公式计算，进行计算，即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：已知点、，则关于平面的对称点，
所以
故答案为：
【分析】先利用对称关系求出点坐标，再利用两点间距离公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
【分析】求出椭圆、两圆的基本几何性质得椭圆的两焦点为两圆的圆心，由椭圆的定义可得，由勾股定理可得，，设，代换得，运用一元二次函数性质可求最小值.
15．【答案】（1）解：由点，，可得BC边的中点D的坐标为，中线AD的斜率为，
则中线AD的直线方程为：，即；
（2）解：设△ABC的外接圆O的方程为，
由题意可得，解得，
则外接圆O的方程为，即，圆心，半径，
又圆心O到直线l的距离为，所以被截得的弦长的一半为，
则被截得的弦长为.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式以及斜率公式、点斜式求解即可；
（2）设△ABC的外接圆方程为，利用待定系数法求解即可；再求圆心到直线l的距离，结合勾股定理求解即可.
（1）∵，
∴BC边的中点D的坐标为，
∴中线AD的斜率为，
∴中线AD的直线方程为：，即
（2）设△ABC的外接圆O的方程为，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为，即，
其中圆心O为，半径，
又圆心O到直线l的距离为，
∴被截得的弦长的一半为，
∴被截得的弦长为.
16．【答案】（1）解：该试验的样本空间可表示为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（2）解：记：“取出的鞋都是一只脚的”，，，，，，，，，，，，，包含的基本事件个数为6，则；
记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，
，，，，，，，，，包含的基本事件个数为6，
则；
（3）解：记“取出的鞋不成双”，由（1）得，
，，，，，，，则.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）由题意，直接写出试验的样本空间即可；
（2）记：“取出的鞋都是一只脚的”，记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，利用列举法分别求概率即可；
（3）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可．
（1）该试验的样本空间可表示为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（2）记：“取出的鞋都是一只脚的”
，，，，，，，，，，，，
，
；
记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，
，，，，，，，，，，
，
，
（3）记“取出的鞋不成双”，
由（1）得，
，，，，，，
，
；
17．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面平面，
所以.
又因为，则，所以.
又平面平面，
所以平面.
又平面，所以.
（2）解：以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
故.
设平面的法向量，
则令，则.
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先由线面垂直证得线线垂直，即，再由勾股定理证线线垂直，可证线面垂直，平面.又平面，所以；
（2）利用（1）证得的结论建立空间直角坐标系，求点的坐标、直线方向向量，法向量，代入线面角公式可求.
（1）在直三棱柱中，平面平面，
所以.
又因为，则，所以.
又平面平面，
所以平面.
又平面，所以.
（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
故.
设平面的法向量，
则令，则.
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：设双曲线的方程为，
因为双曲线经过点，所以，即，
则双曲线的标准方程为；
（2）解：设，，，，
因为线段的中点为，所以，，
因为，两点都在双曲线上，所以，
作差可得，即，则，
则直线的方程为，即，
联立，消元整理可得，则，
故直线与双曲线有两个交点，则直线方程为，即；
（3）解：设直线的方程为，即，
由原点到直线的距离为，可得，即，
两边同时除以得，整理得，解得或，
故双曲线的离心率为或.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，设双曲线的方程为，将点代入，求解即可；
（2）设出，两点的坐标，利用中点坐标公式，结合，两点都在双曲线上，列出等式求出直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程即可；
（3）设直线的方程为，利用点到直线的距离公式，结合列式求解即可.
（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，
不妨设双曲线的方程为，
因为双曲线经过点，
解得，
则所求双曲线的标准方程为；
（2）不妨设，，，，
因为线段的中点为，
所以，，
因为，两点都在双曲线上，
所以，
可得，
即，
则，
所以直线的方程为，即，
联立，则，故直线与双曲线有两个交点，
从而可得直线方程为，即.
（3）由题可设直线的方程为，即，
由原点到直线的距离为得，即，
两边同时除以得，整理得，解得或，
故双曲线的离心率为或.
19．【答案】解：（1）设椭圆的标准方程为，
由图可得，
所以，所以，
椭圆段的方程：；
（2）由题，所以，设，
，解得：或（舍去）
所以或，
所以直线l的方程：或；
（3）若，
，
当M点在右侧圆弧上时，，
当M点在左椭圆弧上时，，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）设椭圆方程，根据得c得值，代入点，可得；
（2）根据，，设点，可得M的坐标，可得直线方程.
（3）代入展开化简得，当M点在右侧圆弧上时，，当M点在左椭圆弧上时，，可求的范围.
1 / 1广东省江门市广德实验学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（广德班）
1．（2025高二上·江门月考）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生人数为
A．8 B．11 C．16 D．10
【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设高一学生数为，
由题意可得：高三学生数为，高二学生数为，，解得，
则高一学生数为800，应抽取高一学生数为.
故答案为：A.
【分析】设高一学生数为，由题意求得高二、高三人数，结合总人数为3500求得x的值，再根据分层抽样法求解即可．
2．（2025高二上·江门月考）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：易知直线的斜率，则直线的倾斜角为.
故答案为：C.
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系求解即可.
3．（2025高二上·江门月考）已知空间向量，，若，则（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：∵，∴，∴
∴，，
故答案为：C.
【分析】先由得，得代入模长公式可得.
4．（2025高二上·江门月考）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：易知圆的标准方程为，圆心，半径为，
圆的圆心为，半径为，
，则两圆外切，两圆的公切线条数为.
故答案为：B.
【分析】先化圆的一般方程为标准式，求得圆心和半径，再利用两点间距离公式求圆心距，结合半径判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系确定切线条数即可.
5．（2025高二上·江门月考）在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
在上的投影为，
则点到直线的距离.
故答案为：C.
【分析】 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
6．（2025高二上·江门月考）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理
【解析】【解答】从4名学生中随机选2人组织文艺汇演共有种情况，
这2名同学来自不同年级的有种情况，
2名同学来自不同年级的概率为。
故选：D
【分析】利用古典概型分别求出基本事件总数和满足条件的基本事件个数，得出答案。
7．（2025高二上·江门月考）双曲线的左 右焦点分别为，过作轴垂线交双曲线于两点，为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，代入双曲线方程可得，
所以即正三角形的边长，所以正三角形的高为，
所以，
故答案为：C.
【分析】将点代入双曲线方程得三角形的边长，求出正三角形的高，代入化简可得.
8．（2025高二上·江门月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：取的中点分别为，连接，如图所示：
易得，，，
因为平面，平面，所以平面，同理平面，
又因为平面，，所以平面平面，
因为平面，所以为线段上的点，
由平面，平面，得，
又因为，所以，
又因为平面，所以平面，
因为，所以平面，，，
因为，所以，，.
则
，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】取的中点分别为，连接，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再根据线面垂直的判定定理可得平面，从而推得，，结合空间向量的数量积运算求解即可.
9．（2025高二上·江门月考）某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人
B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时
C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时
D．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时
【答案】B,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、从频率分布直方图，可以得到，即这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有200人，故A错误；
B、由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B正确；
C、由频率分布直方图可以得到，设抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为k小时，则有：，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，故C正确；
D、由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由频率分布直方图可得6~8小时的频率，再计算6~8小时的人数即可判断A；根据评论分布直方图中众数的定义求解即可判断B；直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断C；利用频率分布直方图计算平均数即可判断D.
10．（2025高二上·江门月考）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为抛物线：的焦点到准线的距离是4，
所以，，故A正确；
对于选项B，当直线的斜率不存在时，，所以，
当直线的斜率存在时，设直线，
得，所以，故B正确；
对于选项C，因为，故C错误.
对于选项D，如图所示：
过分别向准线作垂线，垂足为，
因为，
所以，
即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合 焦点到准线的距离是4得到的值，从而得出抛物线C的焦点坐标，则判断出选项A；分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，再联立直线与抛物线方程结合韦达定理，即可判断选项B；根据焦点弦的公式，即可判断选项C；首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的定义，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高二上·江门月考）在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；
（2）过点，且为法向量的平面的方程为．
现已知平面，，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：易知平面的法向量为，
，则，即，
经过点，方向向量为，则，即，则，故A正确，D错误；
，即，则经过点，方向向量为，
点满足平面，即与有公共点，故B错误；
，可知经过点，方向向量为，
，则，即或，
但点不满足平面，即，则，故C正确.
故答案为：AC.
【分析】先求平面的法向量，再化直线形式为求出直线的方向向量，判断直线的方向向量和平面的法向量的关系即可判断线面的位置关系..
12．（2025高二上·江门月考）若五个数的平均数为1，则这五个数的方差等于 .
【答案】2
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由，方差.
故答案为：2.
【分析】本题考查的是平均数和方差的求法，根据平均数公式，求出a的值，再用方差的公式计算，进行计算，即可得到答案.
13．（2025高二上·江门月考）已知，，若点关于平面的对称点为，则，两点间的距离为 .
【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：已知点、，则关于平面的对称点，
所以
故答案为：
【分析】先利用对称关系求出点坐标，再利用两点间距离公式求解即可.
14．（2025高二上·江门月考）过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
【分析】求出椭圆、两圆的基本几何性质得椭圆的两焦点为两圆的圆心，由椭圆的定义可得，由勾股定理可得，，设，代换得，运用一元二次函数性质可求最小值.
15．（2025高二上·江门月考）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；
（2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
【答案】（1）解：由点，，可得BC边的中点D的坐标为，中线AD的斜率为，
则中线AD的直线方程为：，即；
（2）解：设△ABC的外接圆O的方程为，
由题意可得，解得，
则外接圆O的方程为，即，圆心，半径，
又圆心O到直线l的距离为，所以被截得的弦长的一半为，
则被截得的弦长为.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式以及斜率公式、点斜式求解即可；
（2）设△ABC的外接圆方程为，利用待定系数法求解即可；再求圆心到直线l的距离，结合勾股定理求解即可.
（1）∵，
∴BC边的中点D的坐标为，
∴中线AD的斜率为，
∴中线AD的直线方程为：，即
（2）设△ABC的外接圆O的方程为，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为，即，
其中圆心O为，半径，
又圆心O到直线l的距离为，
∴被截得的弦长的一半为，
∴被截得的弦长为.
16．（2025高二上·江门月考）柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么
（1）写出试验的样本空间；
（2）求下列事件的概率：
①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋.
（3）求取出的鞋不成双的概率.
【答案】（1）解：该试验的样本空间可表示为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（2）解：记：“取出的鞋都是一只脚的”，，，，，，，，，，，，，包含的基本事件个数为6，则；
记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，
，，，，，，，，，包含的基本事件个数为6，
则；
（3）解：记“取出的鞋不成双”，由（1）得，
，，，，，，，则.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）由题意，直接写出试验的样本空间即可；
（2）记：“取出的鞋都是一只脚的”，记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，利用列举法分别求概率即可；
（3）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可．
（1）该试验的样本空间可表示为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（2）记：“取出的鞋都是一只脚的”
，，，，，，，，，，，，
，
；
记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，
，，，，，，，，，，
，
，
（3）记“取出的鞋不成双”，
由（1）得，
，，，，，，
，
；
17．（2025高二上·江门月考）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面平面，
所以.
又因为，则，所以.
又平面平面，
所以平面.
又平面，所以.
（2）解：以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
故.
设平面的法向量，
则令，则.
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先由线面垂直证得线线垂直，即，再由勾股定理证线线垂直，可证线面垂直，平面.又平面，所以；
（2）利用（1）证得的结论建立空间直角坐标系，求点的坐标、直线方向向量，法向量，代入线面角公式可求.
（1）在直三棱柱中，平面平面，
所以.
又因为，则，所以.
又平面平面，
所以平面.
又平面，所以.
（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
故.
设平面的法向量，
则令，则.
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为.
18．（2025高二上·江门月考）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程；
（3）设双曲线C：的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率.
【答案】（1）解：设双曲线的方程为，
因为双曲线经过点，所以，即，
则双曲线的标准方程为；
（2）解：设，，，，
因为线段的中点为，所以，，
因为，两点都在双曲线上，所以，
作差可得，即，则，
则直线的方程为，即，
联立，消元整理可得，则，
故直线与双曲线有两个交点，则直线方程为，即；
（3）解：设直线的方程为，即，
由原点到直线的距离为，可得，即，
两边同时除以得，整理得，解得或，
故双曲线的离心率为或.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，设双曲线的方程为，将点代入，求解即可；
（2）设出，两点的坐标，利用中点坐标公式，结合，两点都在双曲线上，列出等式求出直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程即可；
（3）设直线的方程为，利用点到直线的距离公式，结合列式求解即可.
（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，
不妨设双曲线的方程为，
因为双曲线经过点，
解得，
则所求双曲线的标准方程为；
（2）不妨设，，，，
因为线段的中点为，
所以，，
因为，两点都在双曲线上，
所以，
可得，
即，
则，
所以直线的方程为，即，
联立，则，故直线与双曲线有两个交点，
从而可得直线方程为，即.
（3）由题可设直线的方程为，即，
由原点到直线的距离为得，即，
两边同时除以得，整理得，解得或，
故双曲线的离心率为或.
19．（2025高二上·江门月考）如图，过椭圆的左右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为．
（1）求椭圆段的方程；
（2）已知直线l过点与“椭圆帽”的交于两点为M，N，若，求直线l的方程；
（3）已知P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l经过点，与“椭圆帽”交于两点为M，N，若，求的取值范围．
【答案】解：（1）设椭圆的标准方程为，
由图可得，
所以，所以，
椭圆段的方程：；
（2）由题，所以，设，
，解得：或（舍去）
所以或，
所以直线l的方程：或；
（3）若，
，
当M点在右侧圆弧上时，，
当M点在左椭圆弧上时，，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）设椭圆方程，根据得c得值，代入点，可得；
（2）根据，，设点，可得M的坐标，可得直线方程.
（3）代入展开化简得，当M点在右侧圆弧上时，，当M点在左椭圆弧上时，，可求的范围.
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