湖南省湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2025—2026学年高三上学期12月月考数学试卷
1．（2025高三上·泸溪月考）已知随机事件满足：，，则下列选项错误的是（ ）
A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则
C．若与互斥，则 D．若，则
2．（2025高三上·泸溪月考）已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
3．（2025高三上·泸溪月考）=的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·泸溪月考）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·泸溪月考）圆关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2025高三上·泸溪月考）正四面体的体积为为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·泸溪月考）（ ）
A． B．0 C． D．
8．（2025高三上·泸溪月考）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·泸溪月考）为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（ ）
A．a的值为0.030
B．抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间
C．2000名考生中约有10名成绩优秀
D．估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间
10．（2025高三上·泸溪月考）已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（ ）
A．若用方案甲，化验次数为2次的概率为
B．若用方案乙，化验次数为3次的概率为
C．若用方案甲，平均化验次数为4
D．若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好
11．（2025高三上·泸溪月考）如图，正方体中，其棱长为3.，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，截面是一个多边形.则（ ）
A．截面和面的交线与截面和面的交线等长
B．截面是一个五边形.
C．截面是一个梯形.
D．截面在顶点处的内角的余弦值为
12．（2025高三上·泸溪月考）在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为 .
13．（2025高三上·泸溪月考）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为
14．（2025高三上·泸溪月考）点P是长方体内的动点，已知，Q是平面BC1D上的动点，满足，则的最小值是 .
15．（2025高三上·泸溪月考）已知曲线，
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
16．（2025高三上·泸溪月考）（1）解方程：.
（2）求值：.
17．（2025高三上·泸溪月考）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
18．（2025高三上·泸溪月考）已知函数.
（1）设为的导函数，求在上的最小值；
（2）令，证明：当时，在上.
19．（2025高三上·泸溪月考）设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
（1）若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
（2）设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
（3）设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以与相互独立，则命题正确，故A不符合条件；
对于B，若与相互独立，
则与也相互独立，
所以，
则命题正确，故B不符合条件；
对于C，若与互斥，则，
因为，
则命题错误，故C符合条件；
对于D，因为，
由全概率公式，可得，
则，
所以，
则，
所以命题正确，故D不符合条件.
故答案为：C.
【分析】由独立事件的定义和独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式，则判断出选项A和选项B；由互斥事件的加法求概率公式，则可判断选项C；由全概率公式和条件概率公式、对立事件求概率公式，则可判断选项D，从而找出错误的选项.
2．【答案】C
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：∵函数f(x)满足f(2x)＝log2x，且f(16)＝f(24)，
∴f(16)＝f(24)＝log24＝2，
故答案为：C．
【分析】由题意代入x=4求解即可．
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、因为，显然=没意义，根据充分条件的定义知，该选项错误，不合题意；
B、当时，=成立；而当=成立时，a≥0，b>0.
根据充分条件的定义知，该选项正确，符合题意；
C、由可知，=没意义，该选项错误，不合题意；
D、该选项错误，不合题意
故答案为：B.
【分析】，可判断A；代入得=成立，反之，得或可判断B；代入可知，=没意义，可判断C、D.
4．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，得曲线在处的切线斜率为.
由，得曲线在处的切线斜率为.
又曲线上总存在切线满足，且，而，
则，故，
所以，解得，
即．
故答案为：D．
【分析】求导，得切线斜率为.同理得曲线切线斜率为，由得，可得参数范围.
5．【答案】A
【知识点】基本不等式；恒过定点的直线；圆的一般方程
【解析】【解答】解：由圆可得标准方程为，
即圆心为，
因为圆关于直线对称，则该直线经过圆心，
即，整理得（，），
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：A．
【分析】将圆的一般方程化为标准方程得可知圆心为，由圆关于直线对称得圆心在直线上，化简得，由基本不等式1的妙用，可解.
6．【答案】B
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意结合几何体的结构特征，可将该几何体放于一个正方体中，如图：
所以分别是的中点，且，平面，平面，
则平面，
同理可得平面，平面，
则平面平面，
由此可知∽，且，
则，
由题意可知，
正四面体EFGH与正四面体ABCD的公共部分的体积等于正四面体ABCD的体积减去其每个顶点处的小正四面体的体积，
则公共部分的体积为.
故答案为：B.
【分析】根据几何体的结构特征，将该几何体放置于一个正方体中，再结合正方体的结构特征和正四面体的体积公式结合作差法，从而得出这两个正四面体的公共部分的体积.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；半角公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
根据半角公式，
所以.
故答案为：D.
【分析】先由诱导公式将两个三角函数值都化为，代入半角公式求出，可解.
8．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设双曲线的右焦点为，
则直线，
联立方程，
消去y得：，
则，
所以，
设线段的中点，
则，
所以，且，线段的中垂线的斜率为，
则线段的中垂线所在直线方程为，
令，则，
解得，
则，
所以，
由题意，可得：，
则，
整理得，
则，
注意到双曲线的离心率，
∴双曲线的离心率取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合韦达定理，再利用弦长公式得出，再利用知道坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出线段AB的中垂线的方程，再利用赋值法和两点距离公式，进而得出点D坐标和，再结合和双曲线的离心率公式以及双曲线离心率的取值范围，从而得出双曲线的离心率取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：A、依题意，，
解得，该选项正确，符合题意.
B、根据频率分布直方图，，
所以极差介于40分至60分之间，该选项正确，符合题意.
C、90分以上频率为，对应有人，该选项错误，不合题意.
成绩介于70分至90分之间的频率为，
D、所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，该选项正确，符合题意.
故答案为：ABD
【分析】由频率分布直方图性质得面积之和等于频率之和为可判断A；代入极差=最大值-最小值可判断B；计算出优秀率、频率进行分析判断CD，从而确定正确答案.
10．【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】若用方案甲，设化验次数为，
则的可能取值为，
所以故A正确；
若用方案乙，设化验次数为，
若，有两种情况：
①头4只均为阴性，则；
②头4只有阳性，则，
所以化验次数为3次的概率为，故B错误；
若用方案甲，
则，
所以，故C错误；
若用方案乙，可取2，3，4，
，
所以，
因为，
所以方案乙比方案甲好，故D正确.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和古典概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出两种方案的化验次数的分布列，从而得出两种方案的化验次数的数学期望，再利用比较法找出更好的方案，从而逐项判断找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：延长至，使；延长至，使；
连接，因，，则为等腰直角三角形，
同理可得为等腰直角三角形，又，
则三点共线.连接.因分别为中点，则.又，则四边形为平行四边形，得
.又分别是中点，则.
故，，则，
则五点共面.设这五点所在平面为.
平面，平面，
则平面，连接交于.
因，则，得.
同理，可得平面，连接交于，则.
又，
则.即五点共面.
顺次连接，得截面为五边形.
A、如图可知，截面和面的交线为DE，截面和面的交线为，
又几何体棱长为3，，，
则，
，故，该选项正确，符合题意；
B、由图可知该选项正确，符合题意
C、由图可知，该选项错误，不合题意；
D、由图可知截面在顶点处的内角为，连接，
因，则四边形为平行四边形，得.
又由A选项分析可知，，则在三角形中由余弦定理有
，该选项正确，符合题意.
故答案为：ABD
【分析】延长至，使；延长至，使，五点共面，易得.，得五点共面.截面为五边形.可判断BC；截面和面的交线为DE，截面和面的交线为，分别求出DF，DE的长度，可判断A；解三角形即可得到.
12．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆定理可得：，
因为，所以，
又因为与互补，且，
由余弦定理可得，解得，则.
故答案为：C．
【分析】由椭圆的定义结合题意可得，再利用余弦定理列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列中，由后项减前项，得，
因此当时，，
，而满足上式，
所以该数列的通项公式为.
故答案为：
【分析】利用高阶等差数列的定义，将各项列出来，再用累加法可得通项公式.
14．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：取底面的中心，
因为，
所以，点在平面上，且，
则点在线段上，
由
得，
由，
得，
由，
得，
又因为平面，
所以平面.
因为Q是平面BC1D上的动点，满足，
所以当在点时，点Q在点；当在点时，点Q在点为圆心，半径为2的圆上；
则点在线段上运动时，点Q的运动范围是以点为圆心，半径为2的圆面，
以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，，R，
过点作于点，，
则点为的中点，
所以，，
则，，，
所以，
当时，取最小，
则为最小值，
因为，所以，
设，R，
则，
当时，取最大值，
所以取最小值.
故答案为：.
【分析】根据空间向量基本定理和勾股定理得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积的坐标表示和三角换元以及正弦型函数求最值的方法，从而得出的最小值.
15．【答案】（1）解：由函数，
可得，
则，
所以，曲线在点处的切线斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为点不在曲线上，
设切点为，所以，
则切线方程为，
又因为在直线上，
所以，
则，
解得或，
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：
或.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导，则，再利用代入法得到的值，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据直线的点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）设切点为，利用点斜式方程得出切线方程为，再结合点在直线上，则根据代入法列出方程得出的值，从而得出过点的切线方程.
（1）解：由函数，可得，可得，
即曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为点不在曲线上，
设切点为，所以，
所以切线方程为，
又因为在直线上，所以，
即，解得或.
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.
16．【答案】解：（1）由指数式与对数式的互化关系，
得，
则，
解得，经检验，符合题意，
所以，原方程的解为5.
（2）原式.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【分析】（1）利用指数式与对数式的互化关系和检验法，从而得出方程的解.
（2）利用分数指数幂的运算法则，从而化简求值.
17．【答案】证明：如图所示，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.
又ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以CD∥AB，A1B1∥AB，所以CD∥A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG，所以A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同，
所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
【知识点】平面的基本性质及推论；平行公理
【解析】【分析】先证A1D∥FG.，同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF，又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同，得三角形内三个角分别对应相等，得证.
18．【答案】（1）解：由题意知，
令，则，
当时，，
则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
则在上的最小值为.
（2）证明：由题意知，又因为，
所以，
令，
则，
因为，
所以，
则，
因此在上单调递增，
则当时，，
所以，
则在上单调递增，
所以，
则当时，在上.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先判断的正负判断出函数在上的单调性，再利用函数的单调性求出在上的最小值.
（2）利用得，令，先求导，再通过分析的正负，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的最值和的正负，从而判断出的单调性，进而得出函数g(x)的最值，从而证出当时，在上.
（1）由题意知，
令，则，
因为当时，，即，
所以即在上单调递增，
所以在上的最小值为.
（2）由题意知，又因为，
所以，
令，
则，
因为，所以，所以，
因此在上单调递增，
所以当时，，所以，
所以在上单调递增，所以，
即当时，在上.
19．【答案】（1）解：依题意，得，
解得，
所以双曲线方程为.
（2）解：设（或），
则，，，，
所以，，
则，
因为，
所以，
则，
所以，，
由，，三点共线，得；
又因为，，
由，，三点共线，
得，
，，
，
，
则，
所以，，
直线与直线的交点的轨迹的方程为，.
（3）解： 设，，，
则，
因为直线：，即，
又因为直线：，即，
由，
得，
所以，
则，
所以，
同理可得，，
由图形的对称性知，
若过定点，则定点在轴上，
取，可得，，
则直线PQ：，过点，
下面证明直线恒过定点为，
由且，
得，
所以直线恒过定点为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和双曲线的离心率公式、点代入法和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得到关于a，b，c的方程组，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出双曲线H的方程.
（2）设（或），，则，再利用两点求斜率公式，从而表示出，，再利用点在双曲线上得到，再由三点共线得到，，再代入双曲线方程，从而整理可得直线AP与BQ的交点M的轨迹方程.
（3）设，，，则，再利用点斜式方程得出直线、的方程，再联立直线方程和双曲线方程，从而表示出点、的坐标，再根据图形的对称性得出定点在轴上，再利用特殊值求出定点坐标，从而证出直线恒过定点为.
（1）依题意，解得，所以双曲线方程为；
（2）设（或），则，，，，
则，，所以，
又，即，
所以，
则，，
由，，三点共线得：；
又，，
由，，三点共线得：，
，，
，
，即，则，，
直线与直线的交点的轨迹的方程为，；
（3）设，，则，
直线：，即；
直线：，即．
由得，
所以，即，则，
同理，，
由对称性知，若过定点，则定点在轴上．
取，可得，，则直线PQ：，过点．
下证明直线恒过定点为．
由且得，
所以直线恒过定点为．
1 / 1湖南省湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2025—2026学年高三上学期12月月考数学试卷
1．（2025高三上·泸溪月考）已知随机事件满足：，，则下列选项错误的是（ ）
A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则
C．若与互斥，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以与相互独立，则命题正确，故A不符合条件；
对于B，若与相互独立，
则与也相互独立，
所以，
则命题正确，故B不符合条件；
对于C，若与互斥，则，
因为，
则命题错误，故C符合条件；
对于D，因为，
由全概率公式，可得，
则，
所以，
则，
所以命题正确，故D不符合条件.
故答案为：C.
【分析】由独立事件的定义和独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式，则判断出选项A和选项B；由互斥事件的加法求概率公式，则可判断选项C；由全概率公式和条件概率公式、对立事件求概率公式，则可判断选项D，从而找出错误的选项.
2．（2025高三上·泸溪月考）已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：∵函数f(x)满足f(2x)＝log2x，且f(16)＝f(24)，
∴f(16)＝f(24)＝log24＝2，
故答案为：C．
【分析】由题意代入x=4求解即可．
3．（2025高三上·泸溪月考）=的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、因为，显然=没意义，根据充分条件的定义知，该选项错误，不合题意；
B、当时，=成立；而当=成立时，a≥0，b>0.
根据充分条件的定义知，该选项正确，符合题意；
C、由可知，=没意义，该选项错误，不合题意；
D、该选项错误，不合题意
故答案为：B.
【分析】，可判断A；代入得=成立，反之，得或可判断B；代入可知，=没意义，可判断C、D.
4．（2025高三上·泸溪月考）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，得曲线在处的切线斜率为.
由，得曲线在处的切线斜率为.
又曲线上总存在切线满足，且，而，
则，故，
所以，解得，
即．
故答案为：D．
【分析】求导，得切线斜率为.同理得曲线切线斜率为，由得，可得参数范围.
5．（2025高三上·泸溪月考）圆关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式；恒过定点的直线；圆的一般方程
【解析】【解答】解：由圆可得标准方程为，
即圆心为，
因为圆关于直线对称，则该直线经过圆心，
即，整理得（，），
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：A．
【分析】将圆的一般方程化为标准方程得可知圆心为，由圆关于直线对称得圆心在直线上，化简得，由基本不等式1的妙用，可解.
6．（2025高三上·泸溪月考）正四面体的体积为为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意结合几何体的结构特征，可将该几何体放于一个正方体中，如图：
所以分别是的中点，且，平面，平面，
则平面，
同理可得平面，平面，
则平面平面，
由此可知∽，且，
则，
由题意可知，
正四面体EFGH与正四面体ABCD的公共部分的体积等于正四面体ABCD的体积减去其每个顶点处的小正四面体的体积，
则公共部分的体积为.
故答案为：B.
【分析】根据几何体的结构特征，将该几何体放置于一个正方体中，再结合正方体的结构特征和正四面体的体积公式结合作差法，从而得出这两个正四面体的公共部分的体积.
7．（2025高三上·泸溪月考）（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；半角公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
根据半角公式，
所以.
故答案为：D.
【分析】先由诱导公式将两个三角函数值都化为，代入半角公式求出，可解.
8．（2025高三上·泸溪月考）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设双曲线的右焦点为，
则直线，
联立方程，
消去y得：，
则，
所以，
设线段的中点，
则，
所以，且，线段的中垂线的斜率为，
则线段的中垂线所在直线方程为，
令，则，
解得，
则，
所以，
由题意，可得：，
则，
整理得，
则，
注意到双曲线的离心率，
∴双曲线的离心率取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合韦达定理，再利用弦长公式得出，再利用知道坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出线段AB的中垂线的方程，再利用赋值法和两点距离公式，进而得出点D坐标和，再结合和双曲线的离心率公式以及双曲线离心率的取值范围，从而得出双曲线的离心率取值范围.
9．（2025高三上·泸溪月考）为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（ ）
A．a的值为0.030
B．抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间
C．2000名考生中约有10名成绩优秀
D．估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间
【答案】A,B,D
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：A、依题意，，
解得，该选项正确，符合题意.
B、根据频率分布直方图，，
所以极差介于40分至60分之间，该选项正确，符合题意.
C、90分以上频率为，对应有人，该选项错误，不合题意.
成绩介于70分至90分之间的频率为，
D、所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，该选项正确，符合题意.
故答案为：ABD
【分析】由频率分布直方图性质得面积之和等于频率之和为可判断A；代入极差=最大值-最小值可判断B；计算出优秀率、频率进行分析判断CD，从而确定正确答案.
10．（2025高三上·泸溪月考）已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（ ）
A．若用方案甲，化验次数为2次的概率为
B．若用方案乙，化验次数为3次的概率为
C．若用方案甲，平均化验次数为4
D．若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好
【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】若用方案甲，设化验次数为，
则的可能取值为，
所以故A正确；
若用方案乙，设化验次数为，
若，有两种情况：
①头4只均为阴性，则；
②头4只有阳性，则，
所以化验次数为3次的概率为，故B错误；
若用方案甲，
则，
所以，故C错误；
若用方案乙，可取2，3，4，
，
所以，
因为，
所以方案乙比方案甲好，故D正确.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和古典概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出两种方案的化验次数的分布列，从而得出两种方案的化验次数的数学期望，再利用比较法找出更好的方案，从而逐项判断找出结论正确的选项.
11．（2025高三上·泸溪月考）如图，正方体中，其棱长为3.，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，截面是一个多边形.则（ ）
A．截面和面的交线与截面和面的交线等长
B．截面是一个五边形.
C．截面是一个梯形.
D．截面在顶点处的内角的余弦值为
【答案】A,B,D
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：延长至，使；延长至，使；
连接，因，，则为等腰直角三角形，
同理可得为等腰直角三角形，又，
则三点共线.连接.因分别为中点，则.又，则四边形为平行四边形，得
.又分别是中点，则.
故，，则，
则五点共面.设这五点所在平面为.
平面，平面，
则平面，连接交于.
因，则，得.
同理，可得平面，连接交于，则.
又，
则.即五点共面.
顺次连接，得截面为五边形.
A、如图可知，截面和面的交线为DE，截面和面的交线为，
又几何体棱长为3，，，
则，
，故，该选项正确，符合题意；
B、由图可知该选项正确，符合题意
C、由图可知，该选项错误，不合题意；
D、由图可知截面在顶点处的内角为，连接，
因，则四边形为平行四边形，得.
又由A选项分析可知，，则在三角形中由余弦定理有
，该选项正确，符合题意.
故答案为：ABD
【分析】延长至，使；延长至，使，五点共面，易得.，得五点共面.截面为五边形.可判断BC；截面和面的交线为DE，截面和面的交线为，分别求出DF，DE的长度，可判断A；解三角形即可得到.
12．（2025高三上·泸溪月考）在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆定理可得：，
因为，所以，
又因为与互补，且，
由余弦定理可得，解得，则.
故答案为：C．
【分析】由椭圆的定义结合题意可得，再利用余弦定理列式求解即可.
13．（2025高三上·泸溪月考）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列中，由后项减前项，得，
因此当时，，
，而满足上式，
所以该数列的通项公式为.
故答案为：
【分析】利用高阶等差数列的定义，将各项列出来，再用累加法可得通项公式.
14．（2025高三上·泸溪月考）点P是长方体内的动点，已知，Q是平面BC1D上的动点，满足，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：取底面的中心，
因为，
所以，点在平面上，且，
则点在线段上，
由
得，
由，
得，
由，
得，
又因为平面，
所以平面.
因为Q是平面BC1D上的动点，满足，
所以当在点时，点Q在点；当在点时，点Q在点为圆心，半径为2的圆上；
则点在线段上运动时，点Q的运动范围是以点为圆心，半径为2的圆面，
以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，，R，
过点作于点，，
则点为的中点，
所以，，
则，，，
所以，
当时，取最小，
则为最小值，
因为，所以，
设，R，
则，
当时，取最大值，
所以取最小值.
故答案为：.
【分析】根据空间向量基本定理和勾股定理得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积的坐标表示和三角换元以及正弦型函数求最值的方法，从而得出的最小值.
15．（2025高三上·泸溪月考）已知曲线，
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
【答案】（1）解：由函数，
可得，
则，
所以，曲线在点处的切线斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为点不在曲线上，
设切点为，所以，
则切线方程为，
又因为在直线上，
所以，
则，
解得或，
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：
或.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导，则，再利用代入法得到的值，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据直线的点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）设切点为，利用点斜式方程得出切线方程为，再结合点在直线上，则根据代入法列出方程得出的值，从而得出过点的切线方程.
（1）解：由函数，可得，可得，
即曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为点不在曲线上，
设切点为，所以，
所以切线方程为，
又因为在直线上，所以，
即，解得或.
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.
16．（2025高三上·泸溪月考）（1）解方程：.
（2）求值：.
【答案】解：（1）由指数式与对数式的互化关系，
得，
则，
解得，经检验，符合题意，
所以，原方程的解为5.
（2）原式.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【分析】（1）利用指数式与对数式的互化关系和检验法，从而得出方程的解.
（2）利用分数指数幂的运算法则，从而化简求值.
17．（2025高三上·泸溪月考）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
【答案】证明：如图所示，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.
又ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以CD∥AB，A1B1∥AB，所以CD∥A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG，所以A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同，
所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
【知识点】平面的基本性质及推论；平行公理
【解析】【分析】先证A1D∥FG.，同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF，又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同，得三角形内三个角分别对应相等，得证.
18．（2025高三上·泸溪月考）已知函数.
（1）设为的导函数，求在上的最小值；
（2）令，证明：当时，在上.
【答案】（1）解：由题意知，
令，则，
当时，，
则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
则在上的最小值为.
（2）证明：由题意知，又因为，
所以，
令，
则，
因为，
所以，
则，
因此在上单调递增，
则当时，，
所以，
则在上单调递增，
所以，
则当时，在上.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先判断的正负判断出函数在上的单调性，再利用函数的单调性求出在上的最小值.
（2）利用得，令，先求导，再通过分析的正负，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的最值和的正负，从而判断出的单调性，进而得出函数g(x)的最值，从而证出当时，在上.
（1）由题意知，
令，则，
因为当时，，即，
所以即在上单调递增，
所以在上的最小值为.
（2）由题意知，又因为，
所以，
令，
则，
因为，所以，所以，
因此在上单调递增，
所以当时，，所以，
所以在上单调递增，所以，
即当时，在上.
19．（2025高三上·泸溪月考）设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
（1）若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
（2）设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
（3）设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：依题意，得，
解得，
所以双曲线方程为.
（2）解：设（或），
则，，，，
所以，，
则，
因为，
所以，
则，
所以，，
由，，三点共线，得；
又因为，，
由，，三点共线，
得，
，，
，
，
则，
所以，，
直线与直线的交点的轨迹的方程为，.
（3）解： 设，，，
则，
因为直线：，即，
又因为直线：，即，
由，
得，
所以，
则，
所以，
同理可得，，
由图形的对称性知，
若过定点，则定点在轴上，
取，可得，，
则直线PQ：，过点，
下面证明直线恒过定点为，
由且，
得，
所以直线恒过定点为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和双曲线的离心率公式、点代入法和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得到关于a，b，c的方程组，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出双曲线H的方程.
（2）设（或），，则，再利用两点求斜率公式，从而表示出，，再利用点在双曲线上得到，再由三点共线得到，，再代入双曲线方程，从而整理可得直线AP与BQ的交点M的轨迹方程.
（3）设，，，则，再利用点斜式方程得出直线、的方程，再联立直线方程和双曲线方程，从而表示出点、的坐标，再根据图形的对称性得出定点在轴上，再利用特殊值求出定点坐标，从而证出直线恒过定点为.
（1）依题意，解得，所以双曲线方程为；
（2）设（或），则，，，，
则，，所以，
又，即，
所以，
则，，
由，，三点共线得：；
又，，
由，，三点共线得：，
，，
，
，即，则，，
直线与直线的交点的轨迹的方程为，；
（3）设，，则，
直线：，即；
直线：，即．
由得，
所以，即，则，
同理，，
由对称性知，若过定点，则定点在轴上．
取，可得，，则直线PQ：，过点．
下证明直线恒过定点为．
由且得，
所以直线恒过定点为．
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