苏科版数学八年级下册第七章 认识概率（提升卷）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（【初数补题苏科八下】可能性大小）下列事件是必然事件的是（ ）
A．通常温度降到 ，纯净的水结冰
B．汽车累计行驶1万千米，从未出现故障
C．姚明在罚球线上投篮一次，投中
D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、通常温度降到
，纯净的水结冰，是必然事件，符合题意；
B、汽车累计行驶1万千米，从未出现故障，是随机事件，不符合题意；
C、姚明在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不可能发生的事件，叫做不可能事件；随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，据此一一判断得出答案.
2．（2017八下·武进期中）一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
【答案】D
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】A．摸到红球是随机事件，故此选项错误；
B．摸到白球是随机事件，故此选项错误；
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项错误；
D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，摸到的球可能是红球也可能是白球，因此可对A、B作出判断；根据两种颜色球的个数得出摸到红球与摸到白球的可能性不相等，可对D、C作出判断。即可得出答案。
3．（【初数补题苏科八下】可能性大小）有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如下图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（ ）
A．不可能 B．不太可能 C．非常有可能 D．一定可以
【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：先旋转转盘的指针，指针箭头停在奇数的位置就可以获得一次摸球机会，而只有摸到黑弹珠才能获得奖品，这个游戏得到奖品的可能性很小，属于不确定事件中的可能事件.
故答案为：B.
【分析】根据转盘可知只有1个奇数，且白球的个数远大于黑球的个数，据此可判断出可能性的大小.
4．（2025八下·浙江月考）从四个数中任取两个不同的数相乘，则乘积等于0的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从四个数中任取两个不同的数，则有（-2，-1）、（-2，0）、（-2，3）、（-1，0）、（-1，3）、（0，3），共6组；其中乘积为0的两个不同的数是（-2，0）、（-1，0）、（0，3），即3组，因此乘积等于0的概率为.
故答案为：D.
【分析】本题计算概率，首先列出四个数中任取两个不同的数有6组，然后从中找出乘积为0的数有3组，最后计算即可。
5．（2020八下·重庆月考）根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类. 现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，
∵将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶一共有12种可能，投放正确的只有一种可能，
∴投放正确的概率是： .
故答案为：C.
【分析】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，画出树状图，根据概率公式，即可求解.
6．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15％左右，则口袋中红色球可能有（ ）
A．4个 B．6个 C．34个 D．36个
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【分析】由题意分写，设红球有X个，所以，，故选B
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A)= ．
7．（2020八下·镇江月考）甲、乙两位同学在一次实验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的 两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从统计图可知试验结果的频率在0.33附近波动，可知这一试验的概率约为0.33.
A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率为，故A不符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是，故B不符合题意；
C、任意写出一个整数，能被2整除的概率是，故C不符合题意；
D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】从统计图可知试验结果的概率在0.33附近波动，可知这一试验的概率约为0.33，再分别求出各选项中的概率，就可得出答案。
8．（2026九上·期末）“二维码”是一种用于编码和解码信息的图像，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图像的形式表现出来．如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，由此估计黑色部分的总面积为（ ）
A．1.8 B．3.6 C．6.8 D．7.2
【答案】D
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得，点落入黑色部分的概率为0.45，
该二维码是边长为4的正方形，
估计黑色部分的总面积为，
故答案为：D．
【分析】首先根据点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，可得出黑色部分的概率为0.45 ，正方形的面积计算公式可得出正方形的面积为16，再根据黑色部分的概率为0.45 ，即可得出黑色部分的总面积为。
9．（2025九上·东阳期中）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．白球 C．红球 D．黄球
【答案】D
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在0.20左右，所以抽到该球的概率为0.20，
∵抽到白球的概率为＝0.4，
抽到红球的概率为＝0.3，
抽到黄球的概率为＝0.2，
抽到黑球的概率为＝0.1，
∴该种球的颜色最有可能是黄球．
故选：D．
【分析】用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为0.20，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案．
10．（2026九上·西城期末）下列说法正确的是（ ）
A．“通常加热到100℃时，水沸腾”是随机事件
B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20 次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 .在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上
D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为0.4.在接下来的投篮练习中，小东10 次投篮可能投中3次
【答案】D
【知识点】事件的分类；可能性的大小；概率的意义；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】
解：A、“通常加热到100℃时水沸腾”是必然事件，故A错误，不符合题意；
B、瓶盖不均匀，不能用频率直接估计概率，且20次盖面向上的频率为，故B错误，不符合题意；
C、抛硬币每次结果独立，第四次正面朝上是随机事件，故C错误，不符合题意；
D、频率估计概率为0.4，10次投篮可能投中3次(符合概率的随机性)，故D正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据事件的分类，“通常加热到100℃时水沸腾”是必然事件，可判断A；抛硬币每次结果独立，第四次正面朝上是随机事件，可判断C；根据频率估计概率可得瓶盖不均匀，不能用频率直接估计概率，可判断B；当频率估计概率为0.4时，10次投篮可能投中3次，符合概率的随机性，可判断D，逐一判断即可解答.
二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分）
11．（【初数补题苏科八下】可能性大小）在20以内的素数中，随机抽取其中的一个素数，则所抽取的素数是偶数的可能性大小是 .
【答案】
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：∵20以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19有8个，是偶数的只有一个2，
∴所抽取的素数是偶数的可能性大小是
.
故答案为：
.
【分析】根据素数、偶数的概念可得20以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19有8个，是偶数的只有一个2，然后用是偶数又是素数的个数除以素数的总个数进行计算.
12．（2024八下·重庆市期末）重庆被誉为“美食之都”，这座城市以其丰富多样的美食而闻名，吸引了无数食客前来品尝．甲、乙两人分别从火锅、烤鱼和辣子鸡中随机选取一个美食，他们同时选中火锅的概率是
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设A、B、C表示火锅、烤鱼和辣子鸡，画树状图如下：
∴共有9种等可能的结果，其中他们同时选中火锅的结果有1种，
∴他们同时选中火锅的概率为，
故答案为：．
【分析】先设A、B、C表示火锅、烤鱼和辣子鸡，然后画树状图得到所有等可能性的结果数，从而得他们同时选中火锅的结果数，最后利用概率公式进行求解即可．
13．（2026九上·路桥期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示．
试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000
发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901
据此估计，这批种子100kg中大约有 kg是能发芽的．（精确到个位）
【答案】90
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由试验数据可知，试验种子数为1000粒时，发芽频率为0.901，
该值可作为发芽概率的估计值．
因此，种子中能发芽的种子重量约为，精确到个位为．
故答案为∶．
【分析】此根据大量反复试验下频率稳定值即为概率，再根据概率公式计算解答即可．
14．（2026九上·临平月考）在分别写有数字2，3，5的三张小卡片中 (卡片只有数字不同，其余完全一样)，随机抽出两张卡片，卡片上数字之和为偶数的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得：
2 3 5
2
3
5
共有6种等可能出现的结果，其中卡片上数字和为偶数的结果有，，共2种 ，
∴卡片上数字和为偶数的概率为，
故答案为：．
【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
15．（2026九上·新会期末）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有字母H和1.从三个口袋中各随机取出1个小球，则取出的3个小球恰有一个元音字母的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图得：
由树状图知共有12种等可能的结果，取出的3个小球恰有一个元音字母的有5种情况，
∴取出的3个小球恰有一个元音字母的概率为，
故答案为：．
【分析】本题考查用树状图求概率，关键是列出所有等可能的结果，并准确找出符合“恰有一个元音字母”的结果数。解题时先确定元音字母的种类，再通过分步计数原理计算总结果数，分类统计符合条件的结果数，最后利用概率公式求解。
16．（初中数学苏科版八年级下册8.1-8.2 确定事件与随机事件，可能性的大小 同步练习）初一(5)班有学生37人，其中4个或4个以上学生在同一个月出生的可能性用百分数表示为 %.
【答案】100
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：∵一年中有12个月，把37人平均分到12个月中，
，
∴剩下的那名学生无论是哪个月份出生，都会使那个月份里的人数为4个或4个以上.
∴可能性为100%.
故答案为：100.
【分析】此题考查可能性的大小，运用抽屉原理，至少有4个学生在同一月出生. 求出37人中4个学生在同一月出生的可能性（即概率）是解答此题的关键.
17．（2024九上·锦州期中）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．
【答案】7
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从图②可以得出概率为，
长为，宽为的长方形的面积=5×4=，
设不规则图案的面积为，则，
解得，
∴不规则图案的面积大约为，
故答案为： ．
【分析】本题首先观察图②，可以发现图②中的频率随着实验次数的增加，基本稳定在0.35，由此得到相应的概率。然后计算出长方形的面积，由不规则图形的面积除以长方形的面积等于，由此计算即可。
18．（初中数学苏科版八年级下册8.3 频率与概率 同步练习）在平面直角坐标系中，作OOAB，其中三个顶点分别是O(0，0)，B(1，1)，A( ， )，其中点A，O，B不在同一直线上且-2≤ ≤2，-2≤ ≤2， ， 均为整数，则所作OOAB为直角三角形的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： ∵A（x，y）且-2≤ ≤2，-2≤ ≤2 ，
∴A的坐标可以为：（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，0），（-1，1），（-1，2），
（0，-2），（0，-1），（0，1），（0，2），
（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，2），
（2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）.
则以O、A、B为顶点的三角形共有20个.
当点A的坐标为：（0，2），（0，1），（1，0），（2，0），（1，-1），（-1，1），（2，-2），（-2，2）时，△OAB为直角三角形，一共有8种情况，
∴△OAB为直角三角形的概率是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件列举出所有A点的坐标，然后求出△OAB为直角三角形时点A的个数，最后利用概率公式计算即可.
三、解答题（共8题，共90分）
19．（2021七下·清苑期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个．
（1）先从袋子中取出 个红球（ 且 为正整数），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A．
①若事件 为必然事件，则 的值为 ；
②若事件 为随机事件，则 的值为 ．
（2）先从袋子中取出 个红球，再放入 个一样的黄球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个黄球的频率在 附近摆动，求 的值．
【答案】（1）4；2或3
（2）解：依题意，得 ，解得 m=2，所以 m的值为2．
【知识点】利用频率估计概率；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：（1）①要使袋子中全为黄球，必须摸出4个红球，此时摸一个小球是黄球是必然事件；
故答案为：4；
②∵m＞1，所以当摸出2个或3个红球时，袋子中剩余小球没有全部为黄球，此时摸到黄球为随机事件，
故答案为：2或3．
【分析】（1）①当袋子中全部为黄球时，摸出黄球是必然事件；②当袋子中不全部为黄球时，摸出黄球是随机事件；
（2）根据频率估计概率，利用概率公式列出方程，求解即可.
20．（2026九上·安州期末）将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为 ；
（2） 小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为a，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为b. 请用列表或画树状图的方法求关于x的一元二次方程有实根的概率.
【答案】（1）
（2）解：树状图为：
∵有实数根的概率
∵
∴
∵共有12种等可能结果，其中满足方程有实数根的结果有6种，
∴P（方程有实数根）= .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)
故答案为：.
【分析】(1)根据数字1、2、3、4的四张卡片，从这四张卡片中随机抽取一张，即可求出抽到一张恰好是偶数的既率；
(2)随机抽出一张，记其数字为a，不放回，再随机抽出一张，记其数字为b，画出树状图，再根据根的判别式即可求出关于x的方程x2+ax+b=0有实数根的概率.
21．（2026九上·椒江期末）小明、小强、小华三人参加传球游戏，游戏规则为：每人都可以随机向其他两人传球，球从一人传到另一人记为传球一次.游戏从小强传球开始，请完成以下各题：
（1）经过一次传球，球传到小华处的概率是多少
（2）经过两次传球，球传回到小强处的概率是多少 请用树状图或列表说明.
【答案】（1）解：∵游戏从小强传球开始，小强可以随机向小明和小华两人传球，
∴经过一次传球，所有等可能的传球情况有种，球传到小华处的情况有种。
∴经过一次传球，球传到小华处的概率为 ．
（2）解：树状图如下：
∵从树状图可以看出，经过两次传球，所有等可能的传球情况有种，球传回到小强处的情况有种，
∴经过两次传球，球传回到小强处的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】
（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和球传到小强处的情况数，再根据概率公式计算即可得出答案．
22．（2026九上·金华期末）在古镇的休息区摆有圆形桌子，每张桌子配有6个座位，如图所示，小聪和小慧在古镇游玩，玩累了想坐下休息，涂色座位代表已有人.
（1）现小聪随机选择1个空座位坐下，选择2号空座位的概率为 .
（2）用画树状图或列表的方法，求小聪和小慧坐在相邻位置的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
① ② ③ ④
① — ①② ①③ ①④
② ②① — ②③ ②④
③ ③① ③② — ③④
④ ④① ④② ④③ —
由表可知，总共有种等可能的结果，其中小聪和小慧坐在相邻位置的情况有种，
小聪和小慧坐在相邻位置的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，圆形桌子还有个空座位，现小聪随机选择个空座位坐下，选择号空座位的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意，由一步概率问题求解方法，直接由简单概率公式代值计算即可得到答案；
（2）根据题意，列表，得到总的等可能结果及满足题意的结果，再由简单概率公式代值计算即可得到答案．
23．（2026九上·新华月考）在物理学上有一个著名的随机实验叫做伽尔顿板实验，如图在一块垂直的木板上分三层钉了6个铁钉，小球从入口处投入，每层都会碰到铁钉后等可能的向左或向右偏转下落，最后落入底部、、、共4个竖直的管道中．
（1）小球从入口处投入，碰到②号铁钉的概率是 ；
（2）小球从入口处投入，求小球落入管道的概率．（请用“画材状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中小球落入管道B的结果有3种，
∴小球落入管道B的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）P=；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可得出答案；
（2）根据树状图分析可得出共有8种等可能的结果，其中小球落入管道B的结果有3种，即可得出小球落入管道B的概率为．
24．（2026九上·邛崃期末）某校为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图如下：
“平均每天观看纪录片时长”频数表
观看时长（min） 频数（人） 频率
2
6
18
4
（1）频数分布表中， ▲ ， ▲，请将频数分布直方图补充完整；
（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有多少人；
（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用画树状图法或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1），10
补全频数分布直方图如下：
（2）解：（人），
即估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有52人．
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为：．
【知识点】统计表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：调查学生的人数为：（人）∴，
人，
故答案为：，10．
【分析】（1）用观看时间为 的频数除以频率求出调查的学生人数，再用18除以调查人数求出a的值，总人数乘以观看时间为分的频率求出b，补全频数分布直方图即可．
（2）用九年级人数乘以观看时间为分的频率解答即可．
（3）画树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
25．（2024八下·紫金期中）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法：
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 …
m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706
（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）．
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）．
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留）
【答案】（1）0.7
（2）0.4
（3）解：设封闭图形的面积为a，
根据题意得：=0.4，
解得：a=10π，
答：封闭图形的面积为10π平方米．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）解：20÷29≈0.69；
59÷91≈0.65；
123÷176≈0.70，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；
故答案为：0.7；
（2）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
故答案为：0.4.
【分析】（1）根据表格中的数据直接求出比值即可；
（2）利用频率估算概率的计算方法分析求解即可；
（3）设封闭图形的面积为a，利用概率公式列出方程=0.4，再求出a的值即可.
26．（2025·高州模拟）综合与实践
主题：池塘里有多少条鱼
活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张；
活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数50100150200摸到黑棋的次数12263850摸到黑棋的次数0.240.260.253
注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数12345678910平均值黑棋与样本的比值黑棋个数34423221322.60.26
②方案二：试验次数10次，每次摸10个；
活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量；
活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？
根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题．
【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；
活动二：0.25、0.25、40；
活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则：
解得：
经检验，是所列方程的解，
∴估计鱼塘中有1500条鱼．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：活动一：
袋子中有红球有3个 ；
这副扑克牌有20张；
故答案为：3，20；
活动二：，
表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25，
黑球的概率是；
总棋数是，
故答案为：、40；
【分析】活动一：问题1：根据红球和黑球共有的个数乘以红球的概率即可得出答案；
问题2：根据A的张数和A的概率，根据除法即可得出答案；
活动二：利用频率估计概率的一般方法估计即可；
活动四：设该人池塘里有x条鱼，根据频率=所求情况数与总情况数之比建立方程求解即可得出答案．
1 / 1苏科版数学八年级下册第七章 认识概率（提升卷）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（【初数补题苏科八下】可能性大小）下列事件是必然事件的是（ ）
A．通常温度降到 ，纯净的水结冰
B．汽车累计行驶1万千米，从未出现故障
C．姚明在罚球线上投篮一次，投中
D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
2．（2017八下·武进期中）一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
3．（【初数补题苏科八下】可能性大小）有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如下图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（ ）
A．不可能 B．不太可能 C．非常有可能 D．一定可以
4．（2025八下·浙江月考）从四个数中任取两个不同的数相乘，则乘积等于0的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八下·重庆月考）根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类. 现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15％左右，则口袋中红色球可能有（ ）
A．4个 B．6个 C．34个 D．36个
7．（2020八下·镇江月考）甲、乙两位同学在一次实验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的 两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
8．（2026九上·期末）“二维码”是一种用于编码和解码信息的图像，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图像的形式表现出来．如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，由此估计黑色部分的总面积为（ ）
A．1.8 B．3.6 C．6.8 D．7.2
9．（2025九上·东阳期中）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．白球 C．红球 D．黄球
10．（2026九上·西城期末）下列说法正确的是（ ）
A．“通常加热到100℃时，水沸腾”是随机事件
B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20 次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 .在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上
D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为0.4.在接下来的投篮练习中，小东10 次投篮可能投中3次
二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分）
11．（【初数补题苏科八下】可能性大小）在20以内的素数中，随机抽取其中的一个素数，则所抽取的素数是偶数的可能性大小是 .
12．（2024八下·重庆市期末）重庆被誉为“美食之都”，这座城市以其丰富多样的美食而闻名，吸引了无数食客前来品尝．甲、乙两人分别从火锅、烤鱼和辣子鸡中随机选取一个美食，他们同时选中火锅的概率是
13．（2026九上·路桥期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示．
试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000
发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901
据此估计，这批种子100kg中大约有 kg是能发芽的．（精确到个位）
14．（2026九上·临平月考）在分别写有数字2，3，5的三张小卡片中 (卡片只有数字不同，其余完全一样)，随机抽出两张卡片，卡片上数字之和为偶数的概率是 .
15．（2026九上·新会期末）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有字母H和1.从三个口袋中各随机取出1个小球，则取出的3个小球恰有一个元音字母的概率是 .
16．（初中数学苏科版八年级下册8.1-8.2 确定事件与随机事件，可能性的大小 同步练习）初一(5)班有学生37人，其中4个或4个以上学生在同一个月出生的可能性用百分数表示为 %.
17．（2024九上·锦州期中）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．
18．（初中数学苏科版八年级下册8.3 频率与概率 同步练习）在平面直角坐标系中，作OOAB，其中三个顶点分别是O(0，0)，B(1，1)，A( ， )，其中点A，O，B不在同一直线上且-2≤ ≤2，-2≤ ≤2， ， 均为整数，则所作OOAB为直角三角形的概率是 .
三、解答题（共8题，共90分）
19．（2021七下·清苑期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个．
（1）先从袋子中取出 个红球（ 且 为正整数），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A．
①若事件 为必然事件，则 的值为 ；
②若事件 为随机事件，则 的值为 ．
（2）先从袋子中取出 个红球，再放入 个一样的黄球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个黄球的频率在 附近摆动，求 的值．
20．（2026九上·安州期末）将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为 ；
（2） 小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为a，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为b. 请用列表或画树状图的方法求关于x的一元二次方程有实根的概率.
21．（2026九上·椒江期末）小明、小强、小华三人参加传球游戏，游戏规则为：每人都可以随机向其他两人传球，球从一人传到另一人记为传球一次.游戏从小强传球开始，请完成以下各题：
（1）经过一次传球，球传到小华处的概率是多少
（2）经过两次传球，球传回到小强处的概率是多少 请用树状图或列表说明.
22．（2026九上·金华期末）在古镇的休息区摆有圆形桌子，每张桌子配有6个座位，如图所示，小聪和小慧在古镇游玩，玩累了想坐下休息，涂色座位代表已有人.
（1）现小聪随机选择1个空座位坐下，选择2号空座位的概率为 .
（2）用画树状图或列表的方法，求小聪和小慧坐在相邻位置的概率.
23．（2026九上·新华月考）在物理学上有一个著名的随机实验叫做伽尔顿板实验，如图在一块垂直的木板上分三层钉了6个铁钉，小球从入口处投入，每层都会碰到铁钉后等可能的向左或向右偏转下落，最后落入底部、、、共4个竖直的管道中．
（1）小球从入口处投入，碰到②号铁钉的概率是 ；
（2）小球从入口处投入，求小球落入管道的概率．（请用“画材状图”或“列表”等方法写出分析过程）
24．（2026九上·邛崃期末）某校为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图如下：
“平均每天观看纪录片时长”频数表
观看时长（min） 频数（人） 频率
2
6
18
4
（1）频数分布表中， ▲ ， ▲，请将频数分布直方图补充完整；
（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有多少人；
（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用画树状图法或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
25．（2024八下·紫金期中）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法：
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 …
m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706
（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）．
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）．
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留）
26．（2025·高州模拟）综合与实践
主题：池塘里有多少条鱼
活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张；
活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数50100150200摸到黑棋的次数12263850摸到黑棋的次数0.240.260.253
注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数12345678910平均值黑棋与样本的比值黑棋个数34423221322.60.26
②方案二：试验次数10次，每次摸10个；
活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量；
活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？
根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、通常温度降到
，纯净的水结冰，是必然事件，符合题意；
B、汽车累计行驶1万千米，从未出现故障，是随机事件，不符合题意；
C、姚明在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不可能发生的事件，叫做不可能事件；随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】A．摸到红球是随机事件，故此选项错误；
B．摸到白球是随机事件，故此选项错误；
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项错误；
D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，摸到的球可能是红球也可能是白球，因此可对A、B作出判断；根据两种颜色球的个数得出摸到红球与摸到白球的可能性不相等，可对D、C作出判断。即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：先旋转转盘的指针，指针箭头停在奇数的位置就可以获得一次摸球机会，而只有摸到黑弹珠才能获得奖品，这个游戏得到奖品的可能性很小，属于不确定事件中的可能事件.
故答案为：B.
【分析】根据转盘可知只有1个奇数，且白球的个数远大于黑球的个数，据此可判断出可能性的大小.
4．【答案】D
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从四个数中任取两个不同的数，则有（-2，-1）、（-2，0）、（-2，3）、（-1，0）、（-1，3）、（0，3），共6组；其中乘积为0的两个不同的数是（-2，0）、（-1，0）、（0，3），即3组，因此乘积等于0的概率为.
故答案为：D.
【分析】本题计算概率，首先列出四个数中任取两个不同的数有6组，然后从中找出乘积为0的数有3组，最后计算即可。
5．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，
∵将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶一共有12种可能，投放正确的只有一种可能，
∴投放正确的概率是： .
故答案为：C.
【分析】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，画出树状图，根据概率公式，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【分析】由题意分写，设红球有X个，所以，，故选B
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A)= ．
7．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从统计图可知试验结果的频率在0.33附近波动，可知这一试验的概率约为0.33.
A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率为，故A不符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是，故B不符合题意；
C、任意写出一个整数，能被2整除的概率是，故C不符合题意；
D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】从统计图可知试验结果的概率在0.33附近波动，可知这一试验的概率约为0.33，再分别求出各选项中的概率，就可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得，点落入黑色部分的概率为0.45，
该二维码是边长为4的正方形，
估计黑色部分的总面积为，
故答案为：D．
【分析】首先根据点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，可得出黑色部分的概率为0.45 ，正方形的面积计算公式可得出正方形的面积为16，再根据黑色部分的概率为0.45 ，即可得出黑色部分的总面积为。
9．【答案】D
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在0.20左右，所以抽到该球的概率为0.20，
∵抽到白球的概率为＝0.4，
抽到红球的概率为＝0.3，
抽到黄球的概率为＝0.2，
抽到黑球的概率为＝0.1，
∴该种球的颜色最有可能是黄球．
故选：D．
【分析】用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为0.20，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案．
10．【答案】D
【知识点】事件的分类；可能性的大小；概率的意义；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】
解：A、“通常加热到100℃时水沸腾”是必然事件，故A错误，不符合题意；
B、瓶盖不均匀，不能用频率直接估计概率，且20次盖面向上的频率为，故B错误，不符合题意；
C、抛硬币每次结果独立，第四次正面朝上是随机事件，故C错误，不符合题意；
D、频率估计概率为0.4，10次投篮可能投中3次(符合概率的随机性)，故D正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据事件的分类，“通常加热到100℃时水沸腾”是必然事件，可判断A；抛硬币每次结果独立，第四次正面朝上是随机事件，可判断C；根据频率估计概率可得瓶盖不均匀，不能用频率直接估计概率，可判断B；当频率估计概率为0.4时，10次投篮可能投中3次，符合概率的随机性，可判断D，逐一判断即可解答.
11．【答案】
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：∵20以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19有8个，是偶数的只有一个2，
∴所抽取的素数是偶数的可能性大小是
.
故答案为：
.
【分析】根据素数、偶数的概念可得20以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19有8个，是偶数的只有一个2，然后用是偶数又是素数的个数除以素数的总个数进行计算.
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设A、B、C表示火锅、烤鱼和辣子鸡，画树状图如下：
∴共有9种等可能的结果，其中他们同时选中火锅的结果有1种，
∴他们同时选中火锅的概率为，
故答案为：．
【分析】先设A、B、C表示火锅、烤鱼和辣子鸡，然后画树状图得到所有等可能性的结果数，从而得他们同时选中火锅的结果数，最后利用概率公式进行求解即可．
13．【答案】90
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由试验数据可知，试验种子数为1000粒时，发芽频率为0.901，
该值可作为发芽概率的估计值．
因此，种子中能发芽的种子重量约为，精确到个位为．
故答案为∶．
【分析】此根据大量反复试验下频率稳定值即为概率，再根据概率公式计算解答即可．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得：
2 3 5
2
3
5
共有6种等可能出现的结果，其中卡片上数字和为偶数的结果有，，共2种 ，
∴卡片上数字和为偶数的概率为，
故答案为：．
【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图得：
由树状图知共有12种等可能的结果，取出的3个小球恰有一个元音字母的有5种情况，
∴取出的3个小球恰有一个元音字母的概率为，
故答案为：．
【分析】本题考查用树状图求概率，关键是列出所有等可能的结果，并准确找出符合“恰有一个元音字母”的结果数。解题时先确定元音字母的种类，再通过分步计数原理计算总结果数，分类统计符合条件的结果数，最后利用概率公式求解。
16．【答案】100
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：∵一年中有12个月，把37人平均分到12个月中，
，
∴剩下的那名学生无论是哪个月份出生，都会使那个月份里的人数为4个或4个以上.
∴可能性为100%.
故答案为：100.
【分析】此题考查可能性的大小，运用抽屉原理，至少有4个学生在同一月出生. 求出37人中4个学生在同一月出生的可能性（即概率）是解答此题的关键.
17．【答案】7
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从图②可以得出概率为，
长为，宽为的长方形的面积=5×4=，
设不规则图案的面积为，则，
解得，
∴不规则图案的面积大约为，
故答案为： ．
【分析】本题首先观察图②，可以发现图②中的频率随着实验次数的增加，基本稳定在0.35，由此得到相应的概率。然后计算出长方形的面积，由不规则图形的面积除以长方形的面积等于，由此计算即可。
18．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： ∵A（x，y）且-2≤ ≤2，-2≤ ≤2 ，
∴A的坐标可以为：（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，0），（-1，1），（-1，2），
（0，-2），（0，-1），（0，1），（0，2），
（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，2），
（2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）.
则以O、A、B为顶点的三角形共有20个.
当点A的坐标为：（0，2），（0，1），（1，0），（2，0），（1，-1），（-1，1），（2，-2），（-2，2）时，△OAB为直角三角形，一共有8种情况，
∴△OAB为直角三角形的概率是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件列举出所有A点的坐标，然后求出△OAB为直角三角形时点A的个数，最后利用概率公式计算即可.
19．【答案】（1）4；2或3
（2）解：依题意，得 ，解得 m=2，所以 m的值为2．
【知识点】利用频率估计概率；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：（1）①要使袋子中全为黄球，必须摸出4个红球，此时摸一个小球是黄球是必然事件；
故答案为：4；
②∵m＞1，所以当摸出2个或3个红球时，袋子中剩余小球没有全部为黄球，此时摸到黄球为随机事件，
故答案为：2或3．
【分析】（1）①当袋子中全部为黄球时，摸出黄球是必然事件；②当袋子中不全部为黄球时，摸出黄球是随机事件；
（2）根据频率估计概率，利用概率公式列出方程，求解即可.
20．【答案】（1）
（2）解：树状图为：
∵有实数根的概率
∵
∴
∵共有12种等可能结果，其中满足方程有实数根的结果有6种，
∴P（方程有实数根）= .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)
故答案为：.
【分析】(1)根据数字1、2、3、4的四张卡片，从这四张卡片中随机抽取一张，即可求出抽到一张恰好是偶数的既率；
(2)随机抽出一张，记其数字为a，不放回，再随机抽出一张，记其数字为b，画出树状图，再根据根的判别式即可求出关于x的方程x2+ax+b=0有实数根的概率.
21．【答案】（1）解：∵游戏从小强传球开始，小强可以随机向小明和小华两人传球，
∴经过一次传球，所有等可能的传球情况有种，球传到小华处的情况有种。
∴经过一次传球，球传到小华处的概率为 ．
（2）解：树状图如下：
∵从树状图可以看出，经过两次传球，所有等可能的传球情况有种，球传回到小强处的情况有种，
∴经过两次传球，球传回到小强处的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】
（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和球传到小强处的情况数，再根据概率公式计算即可得出答案．
22．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
① ② ③ ④
① — ①② ①③ ①④
② ②① — ②③ ②④
③ ③① ③② — ③④
④ ④① ④② ④③ —
由表可知，总共有种等可能的结果，其中小聪和小慧坐在相邻位置的情况有种，
小聪和小慧坐在相邻位置的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，圆形桌子还有个空座位，现小聪随机选择个空座位坐下，选择号空座位的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意，由一步概率问题求解方法，直接由简单概率公式代值计算即可得到答案；
（2）根据题意，列表，得到总的等可能结果及满足题意的结果，再由简单概率公式代值计算即可得到答案．
23．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中小球落入管道B的结果有3种，
∴小球落入管道B的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）P=；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可得出答案；
（2）根据树状图分析可得出共有8种等可能的结果，其中小球落入管道B的结果有3种，即可得出小球落入管道B的概率为．
24．【答案】（1），10
补全频数分布直方图如下：
（2）解：（人），
即估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有52人．
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为：．
【知识点】统计表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：调查学生的人数为：（人）∴，
人，
故答案为：，10．
【分析】（1）用观看时间为 的频数除以频率求出调查的学生人数，再用18除以调查人数求出a的值，总人数乘以观看时间为分的频率求出b，补全频数分布直方图即可．
（2）用九年级人数乘以观看时间为分的频率解答即可．
（3）画树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
25．【答案】（1）0.7
（2）0.4
（3）解：设封闭图形的面积为a，
根据题意得：=0.4，
解得：a=10π，
答：封闭图形的面积为10π平方米．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）解：20÷29≈0.69；
59÷91≈0.65；
123÷176≈0.70，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；
故答案为：0.7；
（2）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
故答案为：0.4.
【分析】（1）根据表格中的数据直接求出比值即可；
（2）利用频率估算概率的计算方法分析求解即可；
（3）设封闭图形的面积为a，利用概率公式列出方程=0.4，再求出a的值即可.
26．【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；
活动二：0.25、0.25、40；
活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则：
解得：
经检验，是所列方程的解，
∴估计鱼塘中有1500条鱼．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：活动一：
袋子中有红球有3个 ；
这副扑克牌有20张；
故答案为：3，20；
活动二：，
表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25，
黑球的概率是；
总棋数是，
故答案为：、40；
【分析】活动一：问题1：根据红球和黑球共有的个数乘以红球的概率即可得出答案；
问题2：根据A的张数和A的概率，根据除法即可得出答案；
活动二：利用频率估计概率的一般方法估计即可；
活动四：设该人池塘里有x条鱼，根据频率=所求情况数与总情况数之比建立方程求解即可得出答案．
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