高考数学二轮复习函数、导数、不等式微专题4利用导数研究函数的性质课件(共62张PPT)
文档属性
| 名称 | 高考数学二轮复习函数、导数、不等式微专题4利用导数研究函数的性质课件(共62张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 7.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共62张PPT)
微专题4 利用导数研究函数的性质
·体验真题
1．导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小．
2．利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题．
A
C
3．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则( )
A．x＝3是f(x)的极小值点
B．当0C．当1D．当－1f(x)
解析：ACD 因为f(x)＝(x－1)2(x－4)，所以f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，当x<1或x>3时，f′(x)>0，当1ACD
当00，即0当1当－10，所以f(2－x)>f(x)，所以D正确．综上，选A，C，D.
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y＝f(x)的定义域．
(2)求f(x)的导数f′(x)．
(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．
3．由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．
(2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，进而确定极值点．
4．求连续函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
热点一 导数的几何意义
例1 (1)若过点P(t，0)可以作曲线y＝(1－x)ex的两条切线，则t的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
聚焦热点
·重难攻坚
D
B
1．求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
2．求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．
D
训练2 写出与函数f(x)＝sin x在x＝0处有公共切线的一个函数g(x)＝______．
解析：由题f(0)＝0，f′(x)＝cos x，f′(0)＝1，答案不唯一，满足g(0)＝0，g′(0)＝1即可．取g(x)＝x2＋x，则g′(x)＝2x＋1，显然满足g(0)＝0，g′(0)＝1.
答案：x2＋x(答案不唯一)
1．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．
2．在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论．
3．在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
B
(2)设函数f(x)＝sin πx＋e3x-3－e3-3x－x＋3则满足f(x)＋f(3－2x)<4的x的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
解析：C 因为f(x)＝sin πx＋e3x-3－e3-3x－x＋3，所以f(x＋1)＝sin (πx＋π)＋e3x+3-3－e3-3x-3－x－1＋3＝－sin πx＋e3x－e-3x－x＋2，
设g(x)＝f(x＋1)－2＝－sin πx＋e3x－e-3x－x，显然定义域为R，g(x－1)＝f(x)－2，又g(－x)＝－sin (－πx)＋e-3x－e3x＋x＝－(－sin πx＋e3x－e-3x－x)＝－g(x)，所以g(x)为R上的奇函数，
C
1．根据函数的单调性求参数的类型及方法
(1)函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0[或f′(x)≤0]在x∈D上恒成立．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．
(3)函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0[或f′(x)<0]在x∈D上有解．
2．利用导数比较大小或解不等式的策略
利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．
C
B
已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
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1．已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为
( )
A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x·ln 2－y－1＝0 D．x·ln 2－y＋1＝0
课时作业
训 练(四) 利用导数研究函数的性质
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2．若曲线y＝aex-2＋x在点(2，2＋a)处的切线方程为y＝4x＋b，则a＋b＝
( )
A．3 B．－3
C．0 D．1
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4．已知函数f(x)＝3x－2x－1，则不等式f(x)<0的解集是( )
A．(0，1) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：A 因为f′(x)＝3x ln 3－2单调递增，且f′(0)＝ln 3－2<0，f′(1)＝3ln 3－2>0，
所以存在唯一x0∈(0，1)，使得f′(x0)＝0，
所以当xx0时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
又f(0)＝f(1)＝0，且0所以由f(x)<0可得014
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解析：A f′(x)＝－sin x＋ax，令g(x)＝f′(x)＝－sin x＋ax，则g′(x)＝－cos x＋a，
当a≥1时，g′(x)＝－cos x＋a≥0，故g(x)单调递增，
又g(0)＝－sin 0＋0＝0，故当x>0时，g(x)>0，当x<0时，g(x)<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故x＝0是函数f(x)的唯一极小值点，符合题意，
当a<1时，g′(0)＝－cos 0＋a＝－1＋a<0，
故一定存在m>0，使g(x)在(0，m)上单调递减，
此时x＝0不是函数f(x)的极小值点，故a<1时不符合题意，
综上所述，a的取值范围为[1，＋∞)．
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对于B：令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以函数在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，故x＝－1时取得极大值，x＝1取得极小值，故B正确；
对于C：因为f(－1)＝3>0，f(1)＝－1<0，所以由单调性可知函数有三个零点，故C正确；
对于D：取an＝n－3，则
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＝5，故D正确；故选B、C、D.
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12．已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax2的最小值为－1，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝(x－1)ex＋ax2，所以f′(x)＝xex＋2ax＝x(ex＋2a)，
若a≥0，则x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，
x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝－1，满足题意；
若a<0，则当x无限趋近于负无穷大时，f(x)无限趋向于负无穷大，f(x)没有最小值，不符合题意；
综上，a≥0，所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
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14．已知函数f(x)＝ax＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．
(1)当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点；
(2)若x∈[－1，1]，且b＝0，求f(x)＝ax＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)的最小值和最大值．
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解：(1)当a＝e，b＝4时，f(x)＝ex＋x2－x－4，
∴f′(x)＝ex＋2x－1，∴f′(0)＝0，
当x>0时，ex>1，∴f′(x)>0，故f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
同理f(x)是(－∞，0)上的减函数，
f(－2)＝e-2＋2>0，f(－1)＝e-1－2<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－4<0，f(2)＝e2－2>0，
故当x>2时，f(x)>0，当x<－2时，f(x)>0，
故当x>0时，函数f(x)的零点在(1，2)内，∴k＝1满足条件．
同理，当x<0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内，∴k＝－2满足条件，
综上k＝1或－2.
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微专题4 利用导数研究函数的性质
·体验真题
1．导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小．
2．利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题．
A
C
3．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则( )
A．x＝3是f(x)的极小值点
B．当0
解析：ACD 因为f(x)＝(x－1)2(x－4)，所以f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，当x<1或x>3时，f′(x)>0，当1
当0
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y＝f(x)的定义域．
(2)求f(x)的导数f′(x)．
(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．
3．由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．
(2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，进而确定极值点．
4．求连续函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
热点一 导数的几何意义
例1 (1)若过点P(t，0)可以作曲线y＝(1－x)ex的两条切线，则t的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
聚焦热点
·重难攻坚
D
B
1．求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
2．求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．
D
训练2 写出与函数f(x)＝sin x在x＝0处有公共切线的一个函数g(x)＝______．
解析：由题f(0)＝0，f′(x)＝cos x，f′(0)＝1，答案不唯一，满足g(0)＝0，g′(0)＝1即可．取g(x)＝x2＋x，则g′(x)＝2x＋1，显然满足g(0)＝0，g′(0)＝1.
答案：x2＋x(答案不唯一)
1．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．
2．在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论．
3．在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
B
(2)设函数f(x)＝sin πx＋e3x-3－e3-3x－x＋3则满足f(x)＋f(3－2x)<4的x的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
解析：C 因为f(x)＝sin πx＋e3x-3－e3-3x－x＋3，所以f(x＋1)＝sin (πx＋π)＋e3x+3-3－e3-3x-3－x－1＋3＝－sin πx＋e3x－e-3x－x＋2，
设g(x)＝f(x＋1)－2＝－sin πx＋e3x－e-3x－x，显然定义域为R，g(x－1)＝f(x)－2，又g(－x)＝－sin (－πx)＋e-3x－e3x＋x＝－(－sin πx＋e3x－e-3x－x)＝－g(x)，所以g(x)为R上的奇函数，
C
1．根据函数的单调性求参数的类型及方法
(1)函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0[或f′(x)≤0]在x∈D上恒成立．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．
(3)函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0[或f′(x)<0]在x∈D上有解．
2．利用导数比较大小或解不等式的策略
利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．
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已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
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1．已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为
( )
A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x·ln 2－y－1＝0 D．x·ln 2－y＋1＝0
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训 练(四) 利用导数研究函数的性质
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2．若曲线y＝aex-2＋x在点(2，2＋a)处的切线方程为y＝4x＋b，则a＋b＝
( )
A．3 B．－3
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4．已知函数f(x)＝3x－2x－1，则不等式f(x)<0的解集是( )
A．(0，1) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：A 因为f′(x)＝3x ln 3－2单调递增，且f′(0)＝ln 3－2<0，f′(1)＝3ln 3－2>0，
所以存在唯一x0∈(0，1)，使得f′(x0)＝0，
所以当x
所以函数f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
又f(0)＝f(1)＝0，且0
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解析：A f′(x)＝－sin x＋ax，令g(x)＝f′(x)＝－sin x＋ax，则g′(x)＝－cos x＋a，
当a≥1时，g′(x)＝－cos x＋a≥0，故g(x)单调递增，
又g(0)＝－sin 0＋0＝0，故当x>0时，g(x)>0，当x<0时，g(x)<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故x＝0是函数f(x)的唯一极小值点，符合题意，
当a<1时，g′(0)＝－cos 0＋a＝－1＋a<0，
故一定存在m>0，使g(x)在(0，m)上单调递减，
此时x＝0不是函数f(x)的极小值点，故a<1时不符合题意，
综上所述，a的取值范围为[1，＋∞)．
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D
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C
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1
3
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BCD
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5
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2
对于B：令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以函数在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，故x＝－1时取得极大值，x＝1取得极小值，故B正确；
对于C：因为f(－1)＝3>0，f(1)＝－1<0，所以由单调性可知函数有三个零点，故C正确；
对于D：取an＝n－3，则
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＝5，故D正确；故选B、C、D.
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BC
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12．已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax2的最小值为－1，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝(x－1)ex＋ax2，所以f′(x)＝xex＋2ax＝x(ex＋2a)，
若a≥0，则x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，
x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝－1，满足题意；
若a<0，则当x无限趋近于负无穷大时，f(x)无限趋向于负无穷大，f(x)没有最小值，不符合题意；
综上，a≥0，所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
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14．已知函数f(x)＝ax＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．
(1)当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点；
(2)若x∈[－1，1]，且b＝0，求f(x)＝ax＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)的最小值和最大值．
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解：(1)当a＝e，b＝4时，f(x)＝ex＋x2－x－4，
∴f′(x)＝ex＋2x－1，∴f′(0)＝0，
当x>0时，ex>1，∴f′(x)>0，故f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
同理f(x)是(－∞，0)上的减函数，
f(－2)＝e-2＋2>0，f(－1)＝e-1－2<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－4<0，f(2)＝e2－2>0，
故当x>2时，f(x)>0，当x<－2时，f(x)>0，
故当x>0时，函数f(x)的零点在(1，2)内，∴k＝1满足条件．
同理，当x<0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内，∴k＝－2满足条件，
综上k＝1或－2.
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