高考数学二轮复习函数、导数、不等式微专题6导数与不等式的证明课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
微专题6　导数与不等式的证明
·体验真题
导数与不等式的交会命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、不等式及其性质等．
聚焦热点
·重难攻坚
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．
1．若直接求导比较复杂或无从下手时，或两次求导都不能判断导数的正负时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．含ln x与ex的混合式不能直接构造函数，要将指数与对数分离，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．
2．等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与ln x要分离，常构造xn与ln x，xn与ex的积、商形式，便于求导后找到极值点．
1．导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构造函数进行证明．
2．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号．(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．若已知参数范围，则利用参数的范围进行放缩，达到消参的目的．也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明．
从而g′(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g′(x)＝2ex－2x－2>g′(1)＝2(e－2)>0，
从而g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)＝2ex－(x＋1)2>g(1)＝2(e－2)>0，
综上所述，命题得证．
3
4
1
2
课时作业
训 练(六)　导数与不等式的证明
3
4
1
2
2
1
3
4
2
1
3
4
(2)证明：由a＝e，f(x)>e(1－cos x)得2ex－ex>e(1－cos x)，即证2ex-1>x＋1－cos x，
①当x≤0时，设函数k(x)＝x＋1－cos x，则k′(x)＝1＋sin x≥0，k(x)在(－∞，0]上单调递增，
所以k(x)≤k(0)＝0，所以2ex-1>0≥x＋1－cos x成立；
②当x>0时，要证2ex-1>x＋1－cos x成立，即证2ex-1－2x>1－cos x－x
设函数h(x)＝2ex-1－2x，x>0，则h′(x)＝2ex-1－2，
当h′(x)<0时，0当h′(x)>0时，x>1，函数h(x)单调递增，
2
1
3
4
所以h(x)≥h(1)＝2e0－2＝0，即2ex-1－2x≥0，
设g(x)＝1－cos x－x，x>0，则g′(x)＝sin x－1≤0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以g(x)1－cos x－x，
所以2ex-1－2x≥0>1－cos x－x，
综上：f(x)>e(1－cos x)成立．
2
3
1
4
2
3
1
4
2
3
4
1
2
3
4
1
则当－2＜x＜－1时，h′(x)＜0，
当x＞－1时，h′(x)＞0，
即有h(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
于是当x＝－1时，h(x)min＝h(－1)＝0，
因此x＋1≥ln (x＋2)(当且仅当x＝－1时取等号)，
因为等号不同时成立，所以当x＞－2时，f(x)＞ln (x＋2)．