高考数学二轮复习函数、导数、不等式微专题7导数与函数的零点课件(共37张PPT)
文档属性
| 名称 | 高考数学二轮复习函数、导数、不等式微专题7导数与函数的零点课件(共37张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 5.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
微专题7 导数与函数的零点
·体验真题
导数与函数的零点问题是高考的热点题型．常见题型：
(1)判断、证明或讨论函数零点的个数；
(2)已知零点存在求参数范围；
(3)函数零点性质的研究．
x (0，1) 1 (1，e2) e2 (e2，＋∞)
g′(x) － 0 ＋ 0 －
g(x) 单调递减 0 单调递增 单调递减
聚焦热点
·重难攻坚
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．
又由x→0时，g(x)→0，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
作出函数g(x)的图象，如图所示，结合图象可得：
当a<－e时，无零点；当a＝－e或0≤a热点二 利用函数的性质研究函数的零点
例2 已知函数f(x)＝ex－sin x－1.
(1)讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2)证明函数f(x)在区间(－π，0]上有且仅有两个零点．
解：(1)函数f(x)＝ex－sin x－1，当x>0时，f′(x)＝ex－cos x>1－cos x>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
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课时作业
训 练(七) 导数与函数的零点
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(2)由(1)可知，ymin＝f(e-2)＝1－ae-2，
由f(x)有两个零点，
x→0时，f(x)＝ax(ln x＋1)＋1→1，x→＋∞时，
f(x)＝ax(ln x＋1)＋1→＋∞，
所以，1－ae-2<0，即ae-2>1，解得：a>e2.
所以a的取值范围为(e2，＋∞)．
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3．已知函数f(x)＝x ln x＋a－ax(a∈R)．
(1)若a＝1，求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在区间[1，e]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x ln x＋1－x，f(1)＝0，
f′(x)＝ln x，f′(1)＝0，所以函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝0.
(2)f(x)＝x ln x－ax＋a，易知f(1)＝0，
所求问题等价于函数f(x)＝x ln x－ax＋a在区间(1，e]上没有零点，
因为f′(x)＝ln x＋1－a，令ln x＋1－a＝0，得x＝ea-1，
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当0当x>ea-1，f′(x)>0，在(ea-1，＋∞)上单调递增．
①当ea-1≤1，即a≤1时，函数f(x)在区间(1，e]上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，
此时函数f(x)在区间(1，e]上没有零点，满足题意．
②当12
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微专题7 导数与函数的零点
·体验真题
导数与函数的零点问题是高考的热点题型．常见题型：
(1)判断、证明或讨论函数零点的个数；
(2)已知零点存在求参数范围；
(3)函数零点性质的研究．
x (0，1) 1 (1，e2) e2 (e2，＋∞)
g′(x) － 0 ＋ 0 －
g(x) 单调递减 0 单调递增 单调递减
聚焦热点
·重难攻坚
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．
又由x→0时，g(x)→0，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
作出函数g(x)的图象，如图所示，结合图象可得：
当a<－e时，无零点；当a＝－e或0≤a
例2 已知函数f(x)＝ex－sin x－1.
(1)讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2)证明函数f(x)在区间(－π，0]上有且仅有两个零点．
解：(1)函数f(x)＝ex－sin x－1，当x>0时，f′(x)＝ex－cos x>1－cos x>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
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课时作业
训 练(七) 导数与函数的零点
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(2)由(1)可知，ymin＝f(e-2)＝1－ae-2，
由f(x)有两个零点，
x→0时，f(x)＝ax(ln x＋1)＋1→1，x→＋∞时，
f(x)＝ax(ln x＋1)＋1→＋∞，
所以，1－ae-2<0，即ae-2>1，解得：a>e2.
所以a的取值范围为(e2，＋∞)．
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3．已知函数f(x)＝x ln x＋a－ax(a∈R)．
(1)若a＝1，求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在区间[1，e]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x ln x＋1－x，f(1)＝0，
f′(x)＝ln x，f′(1)＝0，所以函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝0.
(2)f(x)＝x ln x－ax＋a，易知f(1)＝0，
所求问题等价于函数f(x)＝x ln x－ax＋a在区间(1，e]上没有零点，
因为f′(x)＝ln x＋1－a，令ln x＋1－a＝0，得x＝ea-1，
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当0
①当ea-1≤1，即a≤1时，函数f(x)在区间(1，e]上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，
此时函数f(x)在区间(1，e]上没有零点，满足题意．
②当1
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