【单元提升培优】第2单元 因数和倍数 考点01 因数和倍数的认识-2025-2026学年五年级数学下册单元提升培优精练人教版（含答案解析）
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| 名称 | 【单元提升培优】第2单元 因数和倍数 考点01 因数和倍数的认识-2025-2026学年五年级数学下册单元提升培优精练人教版（含答案解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 483.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-06 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025-2026学年五年级数学下册单元提升培优精练人教版
第2单元 因数和倍数 考点01 因数和倍数的认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．想要把90瓶饮料正好装完，选择哪种包装盒不合适？（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）。
A．10÷2＝5，10是倍数，2是因数
B．42既是6的倍数，也是7的倍数
C．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数
3．下列各数中，（ ）不是12的因数。
A．12 B．6 C．5
4．若a是8的倍数，b是16的倍数，则a与b的关系是（ ）。
A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．以上均有可能
5．如果a是17的因数，那么（ ）。
A．a只能是1 B．a只能是17 C．a是1或17 D．a是任意自然数
6．下列各数中，因数个数最多的是（ ）。
A．18 B．24 C．48 D．60
7．下面各组数中，有因数和倍数关系的是（ ）。
A．8和18 B．51和17 C．3.2和4
8．在人类文明的长河中，因数与倍数的概念如璀璨星辰照耀着数学探索的道路。下面四个算式中，能表示因数和倍数关系的是（ ）。
A．0.3×9＝2.7 B．3.5÷5＝0.7
C．13÷52＝0.25 D．45÷15＝3
9．根据56÷14＝4判断，下面说法正确的是（ ）。
A．56是倍数 B．14和4是因数 C．56是14和4的倍数
10．老师要将24本作业本平均分给若干名学生，刚好分完，每人得到的本数相同且多于1本。以下哪种分法不可能实现（ ）。
A．分给2人 B．分给5人 C．分给8人 D．分给12人
11．一个数既是12的因数，又是18的因数，同时还是3的倍数。这个数可能是（ ）。
A．6 B．12 C．18 D．36
12．军军家的客厅长3.6m，宽3.3m。要给客厅铺地砖，下面的地砖规格中，可以不用切割，正好铺满的是（ ）。
A．40cm×40cm B．110cm×60cm C．80cm×80cm
二、填空题
13．设3600的因数个数为M，10000的因数个数为N，那么M＋N等于 。
14．48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。
15．在ab＝c（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的( )，b是c的( )，c是a和b的( )。
16．为庆祝中华人民共和国成立76周年，大力弘扬爱国主义精神，激发师生的民族自豪感和历史责任感，9月29日，红旗小学开展了“喜迎国庆，爱我中华”主题活动，五（1）班领到的数字小旗如图，小旗上面的数字( )是( )的因数，( )是( )的倍数。
17．12的因数有( )个，其中最小的因数是( )，最大的因数是( )；13的最小倍数是( )。
18．在中，4和8是32的 数，32是4和8的 数。
19．已知是非零自然数，最小的因数是( )，最大的因数是( )，最小的倍数是( )；若，它的因数有( )。
20．，已知均为大于0的自然数，那么是的( )，是的( )。（填“因数”或“倍数”）
21．一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是( )，它的因数有( )。
22．一个数的最大因数和最小倍数都是36，这个数是( )。
23．a的最大因数是15，则a的因数有( )；b既是25的因数，又是25的倍数，b是( )。
24．《西游记》是我国的四大名著之一，主要讲述了唐僧师徒历经九九八十一难去西天取经的故事。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。
25．根据240÷15＝16，我们就说15和16是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。
三、判断题
26．一个数的最大因数和最小倍数一定相等。( )
27．因为3×6＝18，所以3和6是因数。( )
28．3.6÷0.4＝9，所以3.6是0.4的倍数，0.4是3.6的因数。( )
29．一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身。( )
30．一个自然数如果有因数6，它就一定有因数3。( )
31．一个数既是18的因数，又是18的倍数，这个数是18。( )
32．钟表上分针转动的速度是时针的60倍。( )
33．一个数越大，倍数的个数越多。( )
34．因为25÷2.5＝10，所以25是2.5的倍数，2.5是25的因数。( )
35．8的倍数一定是4的倍数。( )
四、计算题
36．若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。
37．下面的3组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？
（1）72和8 （2）20和140 （3）17和51
五、作图题
38．画一个面积是的长方形，可以画出（ ）种不同的长方形，请在下面的方格图中把它们都画出来。（长、宽都是整厘米数）
六、解答题
39．如下图，7名学生在玩“逢7过”的游戏，按顺时针方向依次报数，说到“7”的倍数时，要说“过”，而不能说出这个数字是几。
（1）（ ）先说“过”。
（2）像这样一直报下去，其他学生有可能说“过”吗？为什么？
40．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。
41．为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？
42．设某个N位自然数的N个数字是{1，2，3，…，N}的一个排列，如果它的前K个数字所组成的整数能被K整除，其中K＝1，2，3，…，N，那么就称这个N位数为一个“好数”，例如三位数321就是一个“好数”，因为1|3，2|32，3|321（2|32表示2被32整除）。求六位“好数”共有多少个？
43．小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？
44．五（1）班学生在体育节进行队列表演，无论是3人一排、4人一排，还是6人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在30～40之间，五（1）班有多少人？
45．某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表：
人数 50人以内 51~99人 100人及以上
票价 30元/人 28元/人 25元/人
（例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。）
导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？
46．实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。
陈明 王一 许强 张雪
41棵 43棵 45棵 47棵
47．选择包装盒并说明理由。
设计与上面不同的其它包装方式，并给予说明。
48．某单位有员工共99人，准备租车郊游，客车公司有以下几种客车。要使租的车上空位最少，应租哪种车？为什么？
车型 大客车 中型客车 小客车
座位数 58 33 16
49．校运会开始了，李老师为运动员们买了80瓶饮料，选用哪种包装正好能把饮料装完？选择这种包装方式需要几个包装盒？
50．42是6的倍数，18也是6的倍数。42与18的和是6的倍数吗？42与18的差呢？15是5的倍数，40也是5的倍数。15与40的和是5的倍数吗？15与40的差呢？
我的发现：如果m是a的倍数，n也是a的倍数。 那么（ ）与（ ）也都是a的倍数。
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参考答案与试题解析
1．A
【分析】要使饮料正好装完，每箱装的瓶数必须是90的因数，找出各选项中哪个是90的因数，再找哪个选项不是90的因数，该选项即为不合适。
【解析】A．一箱装8瓶，90÷8＝11（箱）……2（瓶），8不是90的因数，选择A种包装盒不合适；
B．一箱装5瓶，90÷5＝18（箱），5是90的因数，选择B种包装盒合适；
C．一箱装3瓶，90÷3＝30（箱），3是90的因数，选择C种包装盒合适；
D．一箱装6瓶，90÷6＝15（箱），6是90的因数，选择D种包装盒合适。
只有A种包装盒不合适。
故答案为：A
2．B
【分析】根据倍数和因数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，倍数和因数是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数。据此对比选项，做出选择。
【解析】A.仅说“10是倍数，2是因数”，未明确10是谁的倍数，2是谁的因数，不符合倍数和因数相互依存的关系，选项错误；
B.，商是整数且没有余数，所以42是6的倍数；，商是整数且没有余数，所以42是7的倍数。因此42既是6的倍数，也是7的倍数，选项正确；
C.倍数和因数的研究范围是整数，除数和被除数都必须是整数，不能是小数，题目中0.5为小数，选项错误。
故答案为：B
3．C
【分析】根据因数的定义，若一个数能整除12，则这个数是12的因数，对比选项进行判断。
【解析】A.，结果没有余数，则12是12的因数，不符合；
B.，结果没有余数，则6是12的因数，不符合；
C.，计算结果有余数2，所以5不是12的因数，符合。
故答案为：C
4．D
【分析】a是8的倍数，b是16的倍数，通过举例子，判断a与b的关系，从而解答。
【解析】假设（8的倍数），（16的倍数），此时；
假设（8的倍数），（16的倍数），此时；
假设（8的倍数），（16的倍数），此时；
因此，，，均有可能。
故答案为：D
5．C
【分析】如果整数a除以整数的商是整数且没有余数，那么b就是a的因数。商是整数且没有余数，所以1是17的因数，，商是整数且没有余数，所以17也是17的因数。因此17的因数只有1和17，对比选项，解决问题。
【解析】A.17也是17的因数，选项错误；
B.1也是17的因数，选项错误；
C.“a是1或17”，与17的因数只有1和17相符，选项正确；
D.只有1和17能整除17，不是任意自然数，选项错误。
故答案为：C
6．D
【分析】如果自然数a和自然数b的乘积是c，即，那么a、b都是c的因数，c是a和b的倍数。
先分别找出每个选项中数的所有因数，数出因数个数，再比较得出个数最多的选项。
【解析】A.，，，因此，18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个；
B.，，，，因此，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个；
C.，，，，，因此，48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个；
D.，，，，，，因此，60的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共12个。
，所以60的因数个数最多。
故答案为：D
7．B
【分析】在整数范围内，若整数a能被整数b整除，则a是b的倍数，b是a的因数。据此分析选项。
【解析】A.，商不是整数，所以8和18 没有因数和倍数的关系，不符合。
B.，商是整数，所以51是17的倍数，17是51的因数，二者有因数和倍数的关系，符合。
C.因数和倍数关系仅在整数范围内讨论，3.2是小数，不满足整数条件，直接排除，不符合。
故答案选：B
8．D
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
【解析】A．0.3×9＝2.7，其中0.3、2.7是小数，不能表示因数和倍数关系；
B．3.5÷5＝0.7，其中3.5、0.7是小数，不能表示因数和倍数关系；
C．13÷52＝0.25，其中0.25是小数，不能表示因数和倍数关系；
D．45÷15＝3，被除数、除数、商都是整数，且没有余数，所以能表示因数和倍数关系，45是15和3的倍数。
故答案为：D
9．C
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。
【解析】A．56是倍数，不符合“因数与倍数是相互依存”的关系，应说56是14和4的倍数，原说法错误；
B．14和4是因数，不符合“因数与倍数是相互依存”的关系，应说14和4是56的因数，原说法错误；
C．56是14和4的倍数，符合“因数与倍数是相互依存”的关系，原说法正确。
故答案为：C
10．B
【分析】若整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数且没有余数，称b是a的因数。本题中，学生人数必须是24的因数，才能保证24本作业本平均分配后刚好分完，据此分析各选项，进而确定符合题意的答案。
【解析】A．分给2人，因为24÷2＝12（本），商是整数且无余数，所以2是24的因数，这种分法可以实现。
B．分给5人，因为24÷5＝4（本）……4（本），每人得到4本，但没有分完，5不是24的因数，所以这种分法不可能实现。
C．分给8人，因为24÷8＝3（本），商是整数且无余数，所以8是24的因数，这种分法可以实现。
D．分给12人，因为24÷12＝2（本），商是整数且无余数，所以12是24的因数，这种分法可以实现。
故答案为：B
11．A
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数叫除数的倍数。
18的因数：1、2、3、6、9、18；
12的因数：1、2、3、4、6、12；
3的倍数：3、6、9、12、15、18…；结合选项做出选择即可。
【解析】由分析可知：一个数既是12的因数，又是18的因数，同时还是3的倍数。这个数可能是6。
故答案为：A
12．B
【分析】客厅长3.6m，宽3.3m，1m＝100cm，所以3.6m为3.6×100＝360cm。3.3m为3.3×100＝330cm。要不用切割正好铺满，地砖的长是360的因数，宽是330因数。据此分析计算各选项，进而确定答案。
【解析】A．40cm×40cm，360÷40＝9，但330÷40＝8.25，说明40不是330的因数，不符合。
B．110cm×60cm，360÷60＝6，330÷110＝3，说明60是360的因数，110是330的因数，符合“不用切割，正好铺满”。
C．80cm×80cm，360÷80＝4.5，330÷80＝4.125，80既不是360的因数，也不是330的因数，不符合。
所以不用切割，正好铺满的规格是110cm×60cm。
故答案为：B
13．70
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数，用除法找因数，从1开始试除：因为任何非0自然数都能被1整除，所以从1开始用要找因数的数除以1，得到的商就是它的一个因数；按顺序试除：接着用这个数除以2，若能整除，除数和商都是它的因数；避免重复：当除数和商接近或相等时，就不用再往后除了，因为后面的情况会和前面重复；找出所有因数，通过这样按顺序用除法试除，就能找出这个数的所有因数。
【解析】从1开始找3600的因数：3600÷1＝3600，所以1和3600是3600的因数；3600÷2＝1800，所以2和1800是3600的因数；3600÷3＝1200，所以3和1200是3600的因数；3600÷ 4＝900，所以4和900是3600的因数；3600÷5＝720，所以5和720是3600的因数；3600÷6＝600，所以6和600是3600的因数；3600÷8＝450，所以8和450是3600的因数；3600÷9＝400，所以9和400是3600的因数；3600÷10＝360，所以10和360是3600的因数；3600÷12＝300，所以12和300是3600的因数：3600÷15＝240，所以15和240是3600的因数；3600÷16＝225，所以16和225是3600的因数；3600÷18＝200，所以18和200是3600的因数；3600÷20＝180，所以20和180是3600的因数；3600÷24＝150，所以24和150是3600的因数；3600÷25＝144，所以25和144是3600的因数；3600÷30＝120，所以30和120是3600的因数；3600÷36＝100，所以36和100是3600的因数；3600÷40＝90，所以40和90是3600的因数；3600÷45＝80，所以45和80是3600的因数；3600÷48＝75，所以48和75是3600的因数；3600÷50＝72，所以50和72是3600的因数；3600÷60＝60，此时两个因数相同，算1个。经统计，3600的因数有45个，即M＝45。
从1开始找10000的因数：10000÷1＝10000，所以1和10000是10000的因数；10000÷2＝5000，所以2和5000是10000的因数；10000÷4＝2500，所以4和2500是10000的因数；10000÷5＝2000，所以5和2000是10000的因数，10000÷8＝1250，所以8和1250是10000的因数；10000÷10＝1000，所以10和1000是10000的因数；10000÷16＝625，所以16和625是10000的因数；10000÷20＝500，所以20和500是10000的因数；10000÷25＝400，所以25和400是10000的因数；10000÷40＝250，所以40和250是10000的因数；10000÷50＝200，所以50和200是10000的因数；10000÷80＝125，所以80和125是10000的因数；10000÷100＝100，此时两个因数相同，算1个。经统计，10000的因数有25个，即N＝25。
计算M＋N，45＋25＝70。
所以M＋N等于70。
14．6 8 6 8
【分析】因数：一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数，如1，2，4都是8的因数；
倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。
【解析】所以48÷6＝8，6和8是48的因数，48是6和8的倍数。
15．因数；因数；倍数
【分析】在非0自然数范围内，如果两个数相乘的积是另一个数，那么这两个数就是积的因数，积就是这两个数的倍数。据此解答。
【解析】根据分析可知：
在（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的（因数），b是c的（因数），c是a和b的（倍数）。
16．7 35 35 7
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。
【解析】7、8、35、6中，35÷7＝5，35÷8＝4……3，35÷6＝5……5；
所以，小旗上面的数字（7）是（35）的因数，（35）是（7）的倍数。
17．6 1 12 13
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此列举出12的所有因数，数出因数的个数，并得出它的最小因数和最大因数。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。据此得出13的最小倍数。
【解析】12的因数：1，2，3，4，6，12；共有6个；
12的因数有（6）个，其中最小的因数是（1），最大的因数是（12）；13的最小倍数是（13）。
18．因 倍
【分析】如果（、、均为非0自然数），那么和是的因数，是和的倍数。据此解答。
【解析】因为，所以4和8是32的因数，32是4和8的倍数。
19．1 1、2、3，6、9、18、27、54
【分析】一个非零自然数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；它的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；求54的因数，只需找出乘积等于54的因数对即可，据此解答。
【解析】因为54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9
所以54的因数有1，2，3，6，9，18，27，54。
已知是非零自然数，最小的因数是1，最大的因数是，最小的倍数是；若，它的因数有1、2、3，6、9、18、27、54。
20．因数 倍数
【分析】当A＝3时，B＝15，所以3和5是15的因数，15是3和5的倍数，即可回答此题。
【解析】当A＝3时，B＝15，所以3和5是15的因数，15是3和5的倍数，所以A和5是B的因数，B时A和5的倍数。
21．35 1，5，7，35
【分析】一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身，所以既是35的因数，又是35的倍数的数是35。
在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此找出35的因数。
【解析】35＝1×35＝5×7
一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是35，它的因数有1、5、7、35。
22．36
【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。
【解析】由分析可得：一个数的最大因数和最小倍数都是36，这个数是36。
23．1、3、5、15 25
【分析】一个数的最大因数是它本身，据此确定a的值，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此确定b的值。
【解析】a的最大因数是15，则a是15。
15＝1×15＝3×5
a的最大因数是15，则a的因数有1、3、5、15；b既是25的因数，又是25的倍数，根据分析，b是25。
24．1，3，9，27，81 81
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。
【解析】81＝1×81＝3×27＝9×9
81的因数有（1，3，9，27，81），81的最小倍数是（81）。
25．240 240 15 16
【分析】如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。
【解析】根据240÷15＝16，即15×16＝240，我们就说15和16是240的因数，240是15和16的倍数。
26．√
【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。因此，一个数的最大因数和最小倍数一定相等（在提到因数和倍数时，一般是不包括0的。）。
【解析】例如，10的最大因数是10，最小倍数是10；15的最大因数是15，最小倍数是15。因此，一个数的最大因数和最小倍数一定相等，原题说法正确。
故答案为：√
27．×
【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。3×6＝18，就说3是18的因数，6是18的因数，或者说3和6都是18的因数，不能单独说3和6是因数。
【解析】3×6＝18，那么3和6都是18的因数，而不能说单独说3和6是因数，原说法错误。
故答案为：×
28．×
【分析】根据因数和倍数的定义，当且仅当被除数、除数、商均为整数时，才能讨论因数与倍数的关系。本题中3.6和0.4均为小数，不符合整数条件，因此结论错误。
【解析】因数和倍数只在整数范围内讨论。虽然3.6÷0.4＝9成立，但3.6和0.4均为小数，不符合整数要求，因此3.6不是0.4的倍数，0.4也不是3.6的因数。原题说法错误。
故答案为：×
29．√
【分析】这句话是正确的，这是由因数和倍数的定义决定的：对于任意一个非零自然数，它的因数是能整除它的数，这些因数里最大的那个就是它自己（比如8的因数有1、2、4、8，最大因数是8）；而它的倍数是这个数乘1、2、3……得到的数，其中最小的倍数就是它乘1的结果，也就是它本身（比如8的倍数有8、16、24……，最小倍数是8）。所以“一个数的最小倍数和最大因数都是它本身”的说法是成立的。
【解析】因数的定义：一个数的因数是指能整除这个数的数。一个数的因数个数是有限的，其中最大的因数是它本身（因为一个数除以它自己，商是 1，能整除）。
倍数的定义：一个数的倍数是指这个数的整数倍（乘以 1、2、3……）。一个数的倍数个数是无限的，其中最小的倍数是它本身（因为这个数乘 1，结果就是它自己）。
因此，“一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身” 的说法符合因数和倍数的基本概念，是正确的。
故答案为：√
30．√
【分析】根据因数的定义，若一个自然数有因数6，则它必定能被6整除。由于6＝2×3，因此该自然数必定含有因数3。
【解析】假设自然数N有因数6，则N是6的倍数，可表示为N＝6k（k为自然数）。因为6＝2×3，所以N＝2×3×k。无论k取何自然数，N中必然包含因数3，因此N一定有因数3。结论正确。
故答案为：√
31．√
【分析】因数和倍数的定义，在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。用乘法计算出18的因数和倍数，再进行判断。
【解析】18＝1×18＝2×9＝3×6
18×1＝18、18×2＝36、18×3＝54、18×4＝72……
18的因数有1、2、3、6、9、18，其中最大的因数是18；18的倍数有18、36、54……，其中最小的倍数是18。因此，既是18的因数又是18的倍数的数只能是18本身。
故答案为：√
32．×
【分析】分针每小时转动360度，时针每小时转动30度，计算分针转动速度是时针的倍数即可判断。
【解析】分针每小时转动：360度÷1小时＝360度/小时。时针每小时转动：360度÷12小时＝30度/小时。分针转动速度是时针的：360÷30＝12。因此，分针转动的速度是时针的12倍，而非60倍。原题说法错误。
故答案为：×
33．×
【分析】根据倍数的定义，一个数的倍数的个数是无限的。例如，2的倍数有2、4、6、8……，100的倍数有100、200、300……，它们的倍数的个数都是无限的。因此，无论数的大小，倍数的个数都是无限的。
【解析】一个数的倍数的个数是无限的，因此，无法比较倍数的个数。
故答案为：×
34．×
【分析】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数；如：4×9＝36，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；倍数和因数都是在非零自然数范围内讨论的，据此解答。
【解析】根据分析可知：2.5是小数，不属于非零自然数，所以原说法错误。
故答案为：×
35．√
【分析】根据倍数关系的定义，若一个数是另一个数的倍数，则它必定也是另一个数因数的倍数。8＝4×2，所以8是4的倍数，因此8的倍数能被4整除，即8的倍数一定是4的倍数。
【解析】8＝4×2
8是4的倍数，因此8的倍数能被4整除，即8的倍数一定是4的倍数，原说法正确。
故答案为：√
36．12、24、36、48
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，这个数的最小倍数是12，则这个数是12，用乘法依次求出50以内12的倍数即可。
【解析】12×1＝12
12×2＝24
12×3＝36
12×4＝48
12×5＝60，60＞50，不符合题意。
所以，若一个数的最小倍数是12，这个数50以内的倍数是12、24、36、48。
37．（1）8是72的因数，72是8的倍数；
（2）20是140的因数，140是20的倍数；
（3）17是51的因数，51是17的倍数。
【分析】
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此依次进行解答即可。
【解析】（1）
8是72的因数，72是8的倍数。
（2）20和140
20是140的因数，140是20的倍数。
（3）17和51
17是51的因数，51是17的倍数。
38．3，画图见详解。
【分析】画一个面积是的长方形，根据乘法算式找出18的因数，即是长方形的长和宽，
当长是18厘米，宽是1厘米，面积是平方厘米；
当长是9厘米，宽是2厘米，面积是平方厘米；
当长是6厘米，宽是3厘米，面积是平方厘米；共3种画法，据此画图。
【解析】画一个面积是的长方形，可以画出3种不同的长方形，画图如下：
39．（1）乐乐
（2）不可能。
【分析】（1）根据题意，说到“7”的倍数要说“过”，结合报数顺序，依次找到第一个报“7”的人
（2）根据参与报数的人数及“7”的倍数的特点，据此判断解答。
【解析】（1）根据报数顺序，第一个报出“7”的倍数的人是乐乐，所以乐乐先说“过”；
（2）因为一共有7名学生，7÷7＝1，只有乐乐的位置对应的数是7的倍数，也就是只有乐乐能说“过”；所以其他学生不可能说“过”。
40．一共有3种装法。一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。
【分析】根据题意，把20枚阅兵式纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，要解决这个问题，我们需要找到20的所有因数，题目要求盒子个数大于3且小于11，筛选出符合条件的因数，再计算出每盒要装多少枚即可。
【解析】20的因数有：1，2，4，5，10，20；
其中大于3小于11的有：4，5，10；
当盒子数为4时，每个盒子装20÷4＝5（枚）
当盒子数为5时，每个盒子装20÷5＝4（枚）
当盒子数为10时，每个盒子装20÷10＝2（枚）
答：一共有3种装法，一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。
41．1行、2行、4行、8行、16行、32行；6种
【分析】每行的方格数和行数必须均为32的因数。通过列举32的所有因数，即可确定符合条件的行数。
【解析】32＝32×1＝16×2＝8×4
32的因数有：1、2、4、8、16、32，共6个。
答：可以排1行、2行、4行、8行、16行、32行，有6种不同的排法。
42．2个
【分析】根据“好数”的定义，六位“好数”是由1，2，3，4，5，6这六个数字排列而成，且第二位必须是偶数（前两位组成的数能被2整除），第五位上必须是5，首位可在其他四个数字中任取，据此分类讨论解答。
【解析】当首位为1时，
（1）若第二位为2，第三位必为3或6（前三位组成的数能被3整除），第六位和第四位只能是4或6，可能的“好数”为123456，123654，126453，126354，但1234和1263不能被4整除，126453不能被6整除，只有123654为所求的一个“好数；
（2）若第二位为4，第三位为2，3，6时，142，143，146都不能被3整除，此时没有“好数”；
（3）若第二位为6，第三位只能是2，此时162453不能被6整除，1623不能被4整除，此时仍无“好数”。
当首位为2时，
（1）若第二位为4，第三位必为3或6（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为246351，246153，243156，243651。但是2463，2461，2431不能被4整除，243651不能被6整除，此时没有“好数”；
（2）若第二位为6，第三位必为1或4（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为261354，261453，264356，264653。但是2613，2614，2643，2646不能被4整除，此时没有“好数”。
当首位为3时，
（1）若第二位为2，第三位必为1或4（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为321456，321654，324156，324651。但是3214，3241，3246不能被4整除，3216能被4整除，321654能被6整除，只有321654为所求的一个“好数；
（2）若第二位为4，第三位只能为2，可能的“好数”为342156，342651。但是3421，3426不能被4整除，此时没有“好数”；
（3）若第二位为6，第三位是1，2，4中的任意一个，都不能被3整除，此时没有“好数”。
以同样的方法讨论，当首位是4，6时都不存在“好数”。
答：所求的“好数”只有123654和 321654共计2个。
43．3个月
【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可得文具盒的钱数。再用24除以8即可得解。
【解析】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48
48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48
既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48
在15到25之间的是24
（个）
答：3个月后他存的钱够买这个文具盒。
44．36人
【分析】根据题意，五（1）班的人数同时是3、4、6的倍数，用列举法找出3、4、6的倍数，并且保证人数在30～40之间，据此解答。
【解析】3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39…
4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40…
6的倍数：6、12、18、24、30、36、42…
所以36同时是3、4、6的倍数，且在30～40之间。
答：五（1）班有36人。
45．90人
【分析】当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×30＝1500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×28＝2772（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元，超过了2772元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有128人。如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是28的倍数，显然3660不是28的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，128人应该付128×30＝3840（元），和总门票钱3660元对比，多了180元，也就是需要将180元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减2元，就是求180元里面有几个2元，用除法。则星星带的团有90人。
【解析】3200÷25＝128（人）
（128×30－3660）÷（30－28）
＝（3840－3660）÷（30－28）
＝180÷2
＝90（人）
答：星星带的团共有90人。
46．这位同学是许强。
【分析】根据找一个数的因数的方法：找配对如：41＝1×41，所以41的因数有：1、41；43＝1×43，所以43的因数有：1、43；45＝1×45、45＝5×9，所以45的因数有：1、5、9、45；47＝1×47，所以47的因数有：1、47；结合题意可知只有许强数对了。
【解析】经过查找，只有45÷5＝9，表示共5行，每行植9棵；或共9行，每行植5棵，故这位同学是许强。
答：这位同学是许强。
47．见详解
【分析】由题意可知，若包装盒内能装的瓶数能够整除90即正好能够装完。据此解答即可。
【解析】可以选择四种包装盒中的3瓶装、5瓶装或6瓶装。
理由：90＝3×30＝6×15＝18×5
创新包装：
还可以设计成1瓶装、2瓶装、9瓶装、10瓶装、15瓶装、18瓶装、30瓶装、45瓶装、90瓶装。
理由：90＝2×45＝3×30＝18×5＝6×15＝9×10＝1×90，只要包装盒所包装饮料的瓶数是90的因数就可。
48．因为99是33的倍数，不是58和16的倍数，所以应租中型客车。
【分析】由题意可知，要使租的车上空位最少，则应该找到99的因数即可。
【解析】99÷33＝3（辆）
答：应租中型客车，因为99是33的倍数，不是58和16的倍数。
49．①或②；选择①包装，需要20个包装盒。选择②包装，需要16个包装盒。
【分析】根据题意可知就是求出每种饮料包装瓶数是否是80的因数，如果是就能正好装完，据此解答即可。
【解析】80÷4＝20，4是80的因数；
80÷5＝16，5是80的因数；
80÷6＝13……2，6不是80的因数；
80÷12＝6……8，12不是80的因数；
答：选择①或②包装正好能把80瓶饮料装完；选择①包装，需要20个包装盒。选择②包装，需要16个包装盒。
50．42与18的和是6的倍数，42与18的差也是6的倍数；
15与40的和是5的倍数，15与40的差也是5的倍数；
m与n的和；m与n的差
【分析】42＋18＝60，42－18＝24，60和24都是6的倍数；15＋40＝45，40－15＝25，45和15都是5的倍数；如果m是a的倍数，则m可以表示为a×x，n是a的倍数，n可以表示为a×y（x与y都是整数）。m与n的和是a×x＋a×y＝a×（x＋y），由于x和y都是整数，所以（x＋y）也是整数。因此，m与n的和是a的倍数。用同样的方法也可以证明m与n的差也是a的倍数，由此解答即可。
【解析】42与18的和是6的倍数，42与18的差也是6的倍数；15与40的和是5的倍数，15与40的差也是5的倍数；如果m是a的倍数，n也是a的倍数，那么m与n的和与m与n的差也都是a的倍数。
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2025-2026学年五年级数学下册单元提升培优精练人教版
第2单元 因数和倍数 考点01 因数和倍数的认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．想要把90瓶饮料正好装完，选择哪种包装盒不合适？（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）。
A．10÷2＝5，10是倍数，2是因数
B．42既是6的倍数，也是7的倍数
C．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数
3．下列各数中，（ ）不是12的因数。
A．12 B．6 C．5
4．若a是8的倍数，b是16的倍数，则a与b的关系是（ ）。
A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．以上均有可能
5．如果a是17的因数，那么（ ）。
A．a只能是1 B．a只能是17 C．a是1或17 D．a是任意自然数
6．下列各数中，因数个数最多的是（ ）。
A．18 B．24 C．48 D．60
7．下面各组数中，有因数和倍数关系的是（ ）。
A．8和18 B．51和17 C．3.2和4
8．在人类文明的长河中，因数与倍数的概念如璀璨星辰照耀着数学探索的道路。下面四个算式中，能表示因数和倍数关系的是（ ）。
A．0.3×9＝2.7 B．3.5÷5＝0.7
C．13÷52＝0.25 D．45÷15＝3
9．根据56÷14＝4判断，下面说法正确的是（ ）。
A．56是倍数 B．14和4是因数 C．56是14和4的倍数
10．老师要将24本作业本平均分给若干名学生，刚好分完，每人得到的本数相同且多于1本。以下哪种分法不可能实现（ ）。
A．分给2人 B．分给5人 C．分给8人 D．分给12人
11．一个数既是12的因数，又是18的因数，同时还是3的倍数。这个数可能是（ ）。
A．6 B．12 C．18 D．36
12．军军家的客厅长3.6m，宽3.3m。要给客厅铺地砖，下面的地砖规格中，可以不用切割，正好铺满的是（ ）。
A．40cm×40cm B．110cm×60cm C．80cm×80cm
二、填空题
13．设3600的因数个数为M，10000的因数个数为N，那么M＋N等于 。
14．48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。
15．在ab＝c（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的( )，b是c的( )，c是a和b的( )。
16．为庆祝中华人民共和国成立76周年，大力弘扬爱国主义精神，激发师生的民族自豪感和历史责任感，9月29日，红旗小学开展了“喜迎国庆，爱我中华”主题活动，五（1）班领到的数字小旗如图，小旗上面的数字( )是( )的因数，( )是( )的倍数。
17．12的因数有( )个，其中最小的因数是( )，最大的因数是( )；13的最小倍数是( )。
18．在中，4和8是32的 数，32是4和8的 数。
19．已知是非零自然数，最小的因数是( )，最大的因数是( )，最小的倍数是( )；若，它的因数有( )。
20．，已知均为大于0的自然数，那么是的( )，是的( )。（填“因数”或“倍数”）
21．一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是( )，它的因数有( )。
22．一个数的最大因数和最小倍数都是36，这个数是( )。
23．a的最大因数是15，则a的因数有( )；b既是25的因数，又是25的倍数，b是( )。
24．《西游记》是我国的四大名著之一，主要讲述了唐僧师徒历经九九八十一难去西天取经的故事。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。
25．根据240÷15＝16，我们就说15和16是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。
三、判断题
26．一个数的最大因数和最小倍数一定相等。( )
27．因为3×6＝18，所以3和6是因数。( )
28．3.6÷0.4＝9，所以3.6是0.4的倍数，0.4是3.6的因数。( )
29．一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身。( )
30．一个自然数如果有因数6，它就一定有因数3。( )
31．一个数既是18的因数，又是18的倍数，这个数是18。( )
32．钟表上分针转动的速度是时针的60倍。( )
33．一个数越大，倍数的个数越多。( )
34．因为25÷2.5＝10，所以25是2.5的倍数，2.5是25的因数。( )
35．8的倍数一定是4的倍数。( )
四、计算题
36．若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。
37．下面的3组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？
（1）72和8 （2）20和140 （3）17和51
五、作图题
38．画一个面积是的长方形，可以画出（ ）种不同的长方形，请在下面的方格图中把它们都画出来。（长、宽都是整厘米数）
六、解答题
39．如下图，7名学生在玩“逢7过”的游戏，按顺时针方向依次报数，说到“7”的倍数时，要说“过”，而不能说出这个数字是几。
（1）（ ）先说“过”。
（2）像这样一直报下去，其他学生有可能说“过”吗？为什么？
40．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。
41．为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？
42．设某个N位自然数的N个数字是{1，2，3，…，N}的一个排列，如果它的前K个数字所组成的整数能被K整除，其中K＝1，2，3，…，N，那么就称这个N位数为一个“好数”，例如三位数321就是一个“好数”，因为1|3，2|32，3|321（2|32表示2被32整除）。求六位“好数”共有多少个？
43．小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？
44．五（1）班学生在体育节进行队列表演，无论是3人一排、4人一排，还是6人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在30～40之间，五（1）班有多少人？
45．某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表：
人数 50人以内 51~99人 100人及以上
票价 30元/人 28元/人 25元/人
（例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。）
导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？
46．实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。
陈明 王一 许强 张雪
41棵 43棵 45棵 47棵
47．选择包装盒并说明理由。
设计与上面不同的其它包装方式，并给予说明。
48．某单位有员工共99人，准备租车郊游，客车公司有以下几种客车。要使租的车上空位最少，应租哪种车？为什么？
车型 大客车 中型客车 小客车
座位数 58 33 16
49．校运会开始了，李老师为运动员们买了80瓶饮料，选用哪种包装正好能把饮料装完？选择这种包装方式需要几个包装盒？
50．42是6的倍数，18也是6的倍数。42与18的和是6的倍数吗？42与18的差呢？15是5的倍数，40也是5的倍数。15与40的和是5的倍数吗？15与40的差呢？
我的发现：如果m是a的倍数，n也是a的倍数。 那么（ ）与（ ）也都是a的倍数。
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参考答案与试题解析
1．A
【分析】要使饮料正好装完，每箱装的瓶数必须是90的因数，找出各选项中哪个是90的因数，再找哪个选项不是90的因数，该选项即为不合适。
【解析】A．一箱装8瓶，90÷8＝11（箱）……2（瓶），8不是90的因数，选择A种包装盒不合适；
B．一箱装5瓶，90÷5＝18（箱），5是90的因数，选择B种包装盒合适；
C．一箱装3瓶，90÷3＝30（箱），3是90的因数，选择C种包装盒合适；
D．一箱装6瓶，90÷6＝15（箱），6是90的因数，选择D种包装盒合适。
只有A种包装盒不合适。
故答案为：A
2．B
【分析】根据倍数和因数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，倍数和因数是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数。据此对比选项，做出选择。
【解析】A.仅说“10是倍数，2是因数”，未明确10是谁的倍数，2是谁的因数，不符合倍数和因数相互依存的关系，选项错误；
B.，商是整数且没有余数，所以42是6的倍数；，商是整数且没有余数，所以42是7的倍数。因此42既是6的倍数，也是7的倍数，选项正确；
C.倍数和因数的研究范围是整数，除数和被除数都必须是整数，不能是小数，题目中0.5为小数，选项错误。
故答案为：B
3．C
【分析】根据因数的定义，若一个数能整除12，则这个数是12的因数，对比选项进行判断。
【解析】A.，结果没有余数，则12是12的因数，不符合；
B.，结果没有余数，则6是12的因数，不符合；
C.，计算结果有余数2，所以5不是12的因数，符合。
故答案为：C
4．D
【分析】a是8的倍数，b是16的倍数，通过举例子，判断a与b的关系，从而解答。
【解析】假设（8的倍数），（16的倍数），此时；
假设（8的倍数），（16的倍数），此时；
假设（8的倍数），（16的倍数），此时；
因此，，，均有可能。
故答案为：D
5．C
【分析】如果整数a除以整数的商是整数且没有余数，那么b就是a的因数。商是整数且没有余数，所以1是17的因数，，商是整数且没有余数，所以17也是17的因数。因此17的因数只有1和17，对比选项，解决问题。
【解析】A.17也是17的因数，选项错误；
B.1也是17的因数，选项错误；
C.“a是1或17”，与17的因数只有1和17相符，选项正确；
D.只有1和17能整除17，不是任意自然数，选项错误。
故答案为：C
6．D
【分析】如果自然数a和自然数b的乘积是c，即，那么a、b都是c的因数，c是a和b的倍数。
先分别找出每个选项中数的所有因数，数出因数个数，再比较得出个数最多的选项。
【解析】A.，，，因此，18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个；
B.，，，，因此，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个；
C.，，，，，因此，48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个；
D.，，，，，，因此，60的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共12个。
，所以60的因数个数最多。
故答案为：D
7．B
【分析】在整数范围内，若整数a能被整数b整除，则a是b的倍数，b是a的因数。据此分析选项。
【解析】A.，商不是整数，所以8和18 没有因数和倍数的关系，不符合。
B.，商是整数，所以51是17的倍数，17是51的因数，二者有因数和倍数的关系，符合。
C.因数和倍数关系仅在整数范围内讨论，3.2是小数，不满足整数条件，直接排除，不符合。
故答案选：B
8．D
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
【解析】A．0.3×9＝2.7，其中0.3、2.7是小数，不能表示因数和倍数关系；
B．3.5÷5＝0.7，其中3.5、0.7是小数，不能表示因数和倍数关系；
C．13÷52＝0.25，其中0.25是小数，不能表示因数和倍数关系；
D．45÷15＝3，被除数、除数、商都是整数，且没有余数，所以能表示因数和倍数关系，45是15和3的倍数。
故答案为：D
9．C
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。
【解析】A．56是倍数，不符合“因数与倍数是相互依存”的关系，应说56是14和4的倍数，原说法错误；
B．14和4是因数，不符合“因数与倍数是相互依存”的关系，应说14和4是56的因数，原说法错误；
C．56是14和4的倍数，符合“因数与倍数是相互依存”的关系，原说法正确。
故答案为：C
10．B
【分析】若整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数且没有余数，称b是a的因数。本题中，学生人数必须是24的因数，才能保证24本作业本平均分配后刚好分完，据此分析各选项，进而确定符合题意的答案。
【解析】A．分给2人，因为24÷2＝12（本），商是整数且无余数，所以2是24的因数，这种分法可以实现。
B．分给5人，因为24÷5＝4（本）……4（本），每人得到4本，但没有分完，5不是24的因数，所以这种分法不可能实现。
C．分给8人，因为24÷8＝3（本），商是整数且无余数，所以8是24的因数，这种分法可以实现。
D．分给12人，因为24÷12＝2（本），商是整数且无余数，所以12是24的因数，这种分法可以实现。
故答案为：B
11．A
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数叫除数的倍数。
18的因数：1、2、3、6、9、18；
12的因数：1、2、3、4、6、12；
3的倍数：3、6、9、12、15、18…；结合选项做出选择即可。
【解析】由分析可知：一个数既是12的因数，又是18的因数，同时还是3的倍数。这个数可能是6。
故答案为：A
12．B
【分析】客厅长3.6m，宽3.3m，1m＝100cm，所以3.6m为3.6×100＝360cm。3.3m为3.3×100＝330cm。要不用切割正好铺满，地砖的长是360的因数，宽是330因数。据此分析计算各选项，进而确定答案。
【解析】A．40cm×40cm，360÷40＝9，但330÷40＝8.25，说明40不是330的因数，不符合。
B．110cm×60cm，360÷60＝6，330÷110＝3，说明60是360的因数，110是330的因数，符合“不用切割，正好铺满”。
C．80cm×80cm，360÷80＝4.5，330÷80＝4.125，80既不是360的因数，也不是330的因数，不符合。
所以不用切割，正好铺满的规格是110cm×60cm。
故答案为：B
13．70
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数，用除法找因数，从1开始试除：因为任何非0自然数都能被1整除，所以从1开始用要找因数的数除以1，得到的商就是它的一个因数；按顺序试除：接着用这个数除以2，若能整除，除数和商都是它的因数；避免重复：当除数和商接近或相等时，就不用再往后除了，因为后面的情况会和前面重复；找出所有因数，通过这样按顺序用除法试除，就能找出这个数的所有因数。
【解析】从1开始找3600的因数：3600÷1＝3600，所以1和3600是3600的因数；3600÷2＝1800，所以2和1800是3600的因数；3600÷3＝1200，所以3和1200是3600的因数；3600÷ 4＝900，所以4和900是3600的因数；3600÷5＝720，所以5和720是3600的因数；3600÷6＝600，所以6和600是3600的因数；3600÷8＝450，所以8和450是3600的因数；3600÷9＝400，所以9和400是3600的因数；3600÷10＝360，所以10和360是3600的因数；3600÷12＝300，所以12和300是3600的因数：3600÷15＝240，所以15和240是3600的因数；3600÷16＝225，所以16和225是3600的因数；3600÷18＝200，所以18和200是3600的因数；3600÷20＝180，所以20和180是3600的因数；3600÷24＝150，所以24和150是3600的因数；3600÷25＝144，所以25和144是3600的因数；3600÷30＝120，所以30和120是3600的因数；3600÷36＝100，所以36和100是3600的因数；3600÷40＝90，所以40和90是3600的因数；3600÷45＝80，所以45和80是3600的因数；3600÷48＝75，所以48和75是3600的因数；3600÷50＝72，所以50和72是3600的因数；3600÷60＝60，此时两个因数相同，算1个。经统计，3600的因数有45个，即M＝45。
从1开始找10000的因数：10000÷1＝10000，所以1和10000是10000的因数；10000÷2＝5000，所以2和5000是10000的因数；10000÷4＝2500，所以4和2500是10000的因数；10000÷5＝2000，所以5和2000是10000的因数，10000÷8＝1250，所以8和1250是10000的因数；10000÷10＝1000，所以10和1000是10000的因数；10000÷16＝625，所以16和625是10000的因数；10000÷20＝500，所以20和500是10000的因数；10000÷25＝400，所以25和400是10000的因数；10000÷40＝250，所以40和250是10000的因数；10000÷50＝200，所以50和200是10000的因数；10000÷80＝125，所以80和125是10000的因数；10000÷100＝100，此时两个因数相同，算1个。经统计，10000的因数有25个，即N＝25。
计算M＋N，45＋25＝70。
所以M＋N等于70。
14．6 8 6 8
【分析】因数：一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数，如1，2，4都是8的因数；
倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。
【解析】所以48÷6＝8，6和8是48的因数，48是6和8的倍数。
15．因数；因数；倍数
【分析】在非0自然数范围内，如果两个数相乘的积是另一个数，那么这两个数就是积的因数，积就是这两个数的倍数。据此解答。
【解析】根据分析可知：
在（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的（因数），b是c的（因数），c是a和b的（倍数）。
16．7 35 35 7
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。
【解析】7、8、35、6中，35÷7＝5，35÷8＝4……3，35÷6＝5……5；
所以，小旗上面的数字（7）是（35）的因数，（35）是（7）的倍数。
17．6 1 12 13
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此列举出12的所有因数，数出因数的个数，并得出它的最小因数和最大因数。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。据此得出13的最小倍数。
【解析】12的因数：1，2，3，4，6，12；共有6个；
12的因数有（6）个，其中最小的因数是（1），最大的因数是（12）；13的最小倍数是（13）。
18．因 倍
【分析】如果（、、均为非0自然数），那么和是的因数，是和的倍数。据此解答。
【解析】因为，所以4和8是32的因数，32是4和8的倍数。
19．1 1、2、3，6、9、18、27、54
【分析】一个非零自然数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；它的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；求54的因数，只需找出乘积等于54的因数对即可，据此解答。
【解析】因为54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9
所以54的因数有1，2，3，6，9，18，27，54。
已知是非零自然数，最小的因数是1，最大的因数是，最小的倍数是；若，它的因数有1、2、3，6、9、18、27、54。
20．因数 倍数
【分析】当A＝3时，B＝15，所以3和5是15的因数，15是3和5的倍数，即可回答此题。
【解析】当A＝3时，B＝15，所以3和5是15的因数，15是3和5的倍数，所以A和5是B的因数，B时A和5的倍数。
21．35 1，5，7，35
【分析】一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身，所以既是35的因数，又是35的倍数的数是35。
在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此找出35的因数。
【解析】35＝1×35＝5×7
一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是35，它的因数有1、5、7、35。
22．36
【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。
【解析】由分析可得：一个数的最大因数和最小倍数都是36，这个数是36。
23．1、3、5、15 25
【分析】一个数的最大因数是它本身，据此确定a的值，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此确定b的值。
【解析】a的最大因数是15，则a是15。
15＝1×15＝3×5
a的最大因数是15，则a的因数有1、3、5、15；b既是25的因数，又是25的倍数，根据分析，b是25。
24．1，3，9，27，81 81
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。
【解析】81＝1×81＝3×27＝9×9
81的因数有（1，3，9，27，81），81的最小倍数是（81）。
25．240 240 15 16
【分析】如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。
【解析】根据240÷15＝16，即15×16＝240，我们就说15和16是240的因数，240是15和16的倍数。
26．√
【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。因此，一个数的最大因数和最小倍数一定相等（在提到因数和倍数时，一般是不包括0的。）。
【解析】例如，10的最大因数是10，最小倍数是10；15的最大因数是15，最小倍数是15。因此，一个数的最大因数和最小倍数一定相等，原题说法正确。
故答案为：√
27．×
【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。3×6＝18，就说3是18的因数，6是18的因数，或者说3和6都是18的因数，不能单独说3和6是因数。
【解析】3×6＝18，那么3和6都是18的因数，而不能说单独说3和6是因数，原说法错误。
故答案为：×
28．×
【分析】根据因数和倍数的定义，当且仅当被除数、除数、商均为整数时，才能讨论因数与倍数的关系。本题中3.6和0.4均为小数，不符合整数条件，因此结论错误。
【解析】因数和倍数只在整数范围内讨论。虽然3.6÷0.4＝9成立，但3.6和0.4均为小数，不符合整数要求，因此3.6不是0.4的倍数，0.4也不是3.6的因数。原题说法错误。
故答案为：×
29．√
【分析】这句话是正确的，这是由因数和倍数的定义决定的：对于任意一个非零自然数，它的因数是能整除它的数，这些因数里最大的那个就是它自己（比如8的因数有1、2、4、8，最大因数是8）；而它的倍数是这个数乘1、2、3……得到的数，其中最小的倍数就是它乘1的结果，也就是它本身（比如8的倍数有8、16、24……，最小倍数是8）。所以“一个数的最小倍数和最大因数都是它本身”的说法是成立的。
【解析】因数的定义：一个数的因数是指能整除这个数的数。一个数的因数个数是有限的，其中最大的因数是它本身（因为一个数除以它自己，商是 1，能整除）。
倍数的定义：一个数的倍数是指这个数的整数倍（乘以 1、2、3……）。一个数的倍数个数是无限的，其中最小的倍数是它本身（因为这个数乘 1，结果就是它自己）。
因此，“一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身” 的说法符合因数和倍数的基本概念，是正确的。
故答案为：√
30．√
【分析】根据因数的定义，若一个自然数有因数6，则它必定能被6整除。由于6＝2×3，因此该自然数必定含有因数3。
【解析】假设自然数N有因数6，则N是6的倍数，可表示为N＝6k（k为自然数）。因为6＝2×3，所以N＝2×3×k。无论k取何自然数，N中必然包含因数3，因此N一定有因数3。结论正确。
故答案为：√
31．√
【分析】因数和倍数的定义，在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。用乘法计算出18的因数和倍数，再进行判断。
【解析】18＝1×18＝2×9＝3×6
18×1＝18、18×2＝36、18×3＝54、18×4＝72……
18的因数有1、2、3、6、9、18，其中最大的因数是18；18的倍数有18、36、54……，其中最小的倍数是18。因此，既是18的因数又是18的倍数的数只能是18本身。
故答案为：√
32．×
【分析】分针每小时转动360度，时针每小时转动30度，计算分针转动速度是时针的倍数即可判断。
【解析】分针每小时转动：360度÷1小时＝360度/小时。时针每小时转动：360度÷12小时＝30度/小时。分针转动速度是时针的：360÷30＝12。因此，分针转动的速度是时针的12倍，而非60倍。原题说法错误。
故答案为：×
33．×
【分析】根据倍数的定义，一个数的倍数的个数是无限的。例如，2的倍数有2、4、6、8……，100的倍数有100、200、300……，它们的倍数的个数都是无限的。因此，无论数的大小，倍数的个数都是无限的。
【解析】一个数的倍数的个数是无限的，因此，无法比较倍数的个数。
故答案为：×
34．×
【分析】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数；如：4×9＝36，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；倍数和因数都是在非零自然数范围内讨论的，据此解答。
【解析】根据分析可知：2.5是小数，不属于非零自然数，所以原说法错误。
故答案为：×
35．√
【分析】根据倍数关系的定义，若一个数是另一个数的倍数，则它必定也是另一个数因数的倍数。8＝4×2，所以8是4的倍数，因此8的倍数能被4整除，即8的倍数一定是4的倍数。
【解析】8＝4×2
8是4的倍数，因此8的倍数能被4整除，即8的倍数一定是4的倍数，原说法正确。
故答案为：√
36．12、24、36、48
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，这个数的最小倍数是12，则这个数是12，用乘法依次求出50以内12的倍数即可。
【解析】12×1＝12
12×2＝24
12×3＝36
12×4＝48
12×5＝60，60＞50，不符合题意。
所以，若一个数的最小倍数是12，这个数50以内的倍数是12、24、36、48。
37．（1）8是72的因数，72是8的倍数；
（2）20是140的因数，140是20的倍数；
（3）17是51的因数，51是17的倍数。
【分析】
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此依次进行解答即可。
【解析】（1）
8是72的因数，72是8的倍数。
（2）20和140
20是140的因数，140是20的倍数。
（3）17和51
17是51的因数，51是17的倍数。
38．3，画图见详解。
【分析】画一个面积是的长方形，根据乘法算式找出18的因数，即是长方形的长和宽，
当长是18厘米，宽是1厘米，面积是平方厘米；
当长是9厘米，宽是2厘米，面积是平方厘米；
当长是6厘米，宽是3厘米，面积是平方厘米；共3种画法，据此画图。
【解析】画一个面积是的长方形，可以画出3种不同的长方形，画图如下：
39．（1）乐乐
（2）不可能。
【分析】（1）根据题意，说到“7”的倍数要说“过”，结合报数顺序，依次找到第一个报“7”的人
（2）根据参与报数的人数及“7”的倍数的特点，据此判断解答。
【解析】（1）根据报数顺序，第一个报出“7”的倍数的人是乐乐，所以乐乐先说“过”；
（2）因为一共有7名学生，7÷7＝1，只有乐乐的位置对应的数是7的倍数，也就是只有乐乐能说“过”；所以其他学生不可能说“过”。
40．一共有3种装法。一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。
【分析】根据题意，把20枚阅兵式纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，要解决这个问题，我们需要找到20的所有因数，题目要求盒子个数大于3且小于11，筛选出符合条件的因数，再计算出每盒要装多少枚即可。
【解析】20的因数有：1，2，4，5，10，20；
其中大于3小于11的有：4，5，10；
当盒子数为4时，每个盒子装20÷4＝5（枚）
当盒子数为5时，每个盒子装20÷5＝4（枚）
当盒子数为10时，每个盒子装20÷10＝2（枚）
答：一共有3种装法，一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。
41．1行、2行、4行、8行、16行、32行；6种
【分析】每行的方格数和行数必须均为32的因数。通过列举32的所有因数，即可确定符合条件的行数。
【解析】32＝32×1＝16×2＝8×4
32的因数有：1、2、4、8、16、32，共6个。
答：可以排1行、2行、4行、8行、16行、32行，有6种不同的排法。
42．2个
【分析】根据“好数”的定义，六位“好数”是由1，2，3，4，5，6这六个数字排列而成，且第二位必须是偶数（前两位组成的数能被2整除），第五位上必须是5，首位可在其他四个数字中任取，据此分类讨论解答。
【解析】当首位为1时，
（1）若第二位为2，第三位必为3或6（前三位组成的数能被3整除），第六位和第四位只能是4或6，可能的“好数”为123456，123654，126453，126354，但1234和1263不能被4整除，126453不能被6整除，只有123654为所求的一个“好数；
（2）若第二位为4，第三位为2，3，6时，142，143，146都不能被3整除，此时没有“好数”；
（3）若第二位为6，第三位只能是2，此时162453不能被6整除，1623不能被4整除，此时仍无“好数”。
当首位为2时，
（1）若第二位为4，第三位必为3或6（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为246351，246153，243156，243651。但是2463，2461，2431不能被4整除，243651不能被6整除，此时没有“好数”；
（2）若第二位为6，第三位必为1或4（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为261354，261453，264356，264653。但是2613，2614，2643，2646不能被4整除，此时没有“好数”。
当首位为3时，
（1）若第二位为2，第三位必为1或4（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为321456，321654，324156，324651。但是3214，3241，3246不能被4整除，3216能被4整除，321654能被6整除，只有321654为所求的一个“好数；
（2）若第二位为4，第三位只能为2，可能的“好数”为342156，342651。但是3421，3426不能被4整除，此时没有“好数”；
（3）若第二位为6，第三位是1，2，4中的任意一个，都不能被3整除，此时没有“好数”。
以同样的方法讨论，当首位是4，6时都不存在“好数”。
答：所求的“好数”只有123654和 321654共计2个。
43．3个月
【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可得文具盒的钱数。再用24除以8即可得解。
【解析】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48
48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48
既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48
在15到25之间的是24
（个）
答：3个月后他存的钱够买这个文具盒。
44．36人
【分析】根据题意，五（1）班的人数同时是3、4、6的倍数，用列举法找出3、4、6的倍数，并且保证人数在30～40之间，据此解答。
【解析】3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39…
4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40…
6的倍数：6、12、18、24、30、36、42…
所以36同时是3、4、6的倍数，且在30～40之间。
答：五（1）班有36人。
45．90人
【分析】当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×30＝1500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×28＝2772（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元，超过了2772元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有128人。如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是28的倍数，显然3660不是28的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，128人应该付128×30＝3840（元），和总门票钱3660元对比，多了180元，也就是需要将180元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减2元，就是求180元里面有几个2元，用除法。则星星带的团有90人。
【解析】3200÷25＝128（人）
（128×30－3660）÷（30－28）
＝（3840－3660）÷（30－28）
＝180÷2
＝90（人）
答：星星带的团共有90人。
46．这位同学是许强。
【分析】根据找一个数的因数的方法：找配对如：41＝1×41，所以41的因数有：1、41；43＝1×43，所以43的因数有：1、43；45＝1×45、45＝5×9，所以45的因数有：1、5、9、45；47＝1×47，所以47的因数有：1、47；结合题意可知只有许强数对了。
【解析】经过查找，只有45÷5＝9，表示共5行，每行植9棵；或共9行，每行植5棵，故这位同学是许强。
答：这位同学是许强。
47．见详解
【分析】由题意可知，若包装盒内能装的瓶数能够整除90即正好能够装完。据此解答即可。
【解析】可以选择四种包装盒中的3瓶装、5瓶装或6瓶装。
理由：90＝3×30＝6×15＝18×5
创新包装：
还可以设计成1瓶装、2瓶装、9瓶装、10瓶装、15瓶装、18瓶装、30瓶装、45瓶装、90瓶装。
理由：90＝2×45＝3×30＝18×5＝6×15＝9×10＝1×90，只要包装盒所包装饮料的瓶数是90的因数就可。
48．因为99是33的倍数，不是58和16的倍数，所以应租中型客车。
【分析】由题意可知，要使租的车上空位最少，则应该找到99的因数即可。
【解析】99÷33＝3（辆）
答：应租中型客车，因为99是33的倍数，不是58和16的倍数。
49．①或②；选择①包装，需要20个包装盒。选择②包装，需要16个包装盒。
【分析】根据题意可知就是求出每种饮料包装瓶数是否是80的因数，如果是就能正好装完，据此解答即可。
【解析】80÷4＝20，4是80的因数；
80÷5＝16，5是80的因数；
80÷6＝13……2，6不是80的因数；
80÷12＝6……8，12不是80的因数；
答：选择①或②包装正好能把80瓶饮料装完；选择①包装，需要20个包装盒。选择②包装，需要16个包装盒。
50．42与18的和是6的倍数，42与18的差也是6的倍数；
15与40的和是5的倍数，15与40的差也是5的倍数；
m与n的和；m与n的差
【分析】42＋18＝60，42－18＝24，60和24都是6的倍数；15＋40＝45，40－15＝25，45和15都是5的倍数；如果m是a的倍数，则m可以表示为a×x，n是a的倍数，n可以表示为a×y（x与y都是整数）。m与n的和是a×x＋a×y＝a×（x＋y），由于x和y都是整数，所以（x＋y）也是整数。因此，m与n的和是a的倍数。用同样的方法也可以证明m与n的差也是a的倍数，由此解答即可。
【解析】42与18的和是6的倍数，42与18的差也是6的倍数；15与40的和是5的倍数，15与40的差也是5的倍数；如果m是a的倍数，n也是a的倍数，那么m与n的和与m与n的差也都是a的倍数。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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