广东实验中学 2025—2026 学年（上）高一级期末模块考试
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
B C D C D B B A AC BD 12 2 1,
1.【答案】B 解：因为集合 = | 2 < < 4 , = {2,3,4,5}，所以 ∩ = {2,3}．
2 sin < 0.【答案】 解：若 (sin , tan )在第二象限，则 tan > 0 ,则 位于第三象限，则点 (sin , tan )在第二象
限是角 的终边在第三象限的充要条件，
3.【答案】D 解：对于 ： = 2 + 2 + 4 = ( + 1)2 + 3，当 = 1 时，取最小值 3，故 A 错误；
4 4
对于 ： = | | + | | 2 | |· = 4，当且仅当| | = 2 时等式成立，∵ | |最大值为 1，故| |
取不到等号，故 B 错误；对于 ：∵ 2 > 0，22 > 0，∴ = 2 + 22 2 2 ·22 = 2 2 +2 = 4，当且
仅当2 = 22 ，即 = 1 时取等号，故 D 正确；对于 C： 可取负值，故错误，
4.【答案】C 解：由题意可得 = 2 ，再将函数 的图象向下平移 2 个单位长度可得 2 2 =
，即 2 2 = 2 = 2，故 = 2，又 > 0，故 = 2．
5.【答案】 解：根据题意得6 3 = 2， ∈ ，则 = 3 + 2，又 > 0，
= 2则 | | = = 3 +2， ∈ ，对于 ，由3 +2 = 4得 = 3，不满足 ∈ 条件，故 A 错误：
1对于 ，若3是 ( )的最小正周期，则3 +2 = 3，得 = 3，与 ∈ 矛盾，故 B 不正确：
2 1对于 ，由3 +2 = 5得 = 6，与 ∈ 矛盾，故 C 错误;
对于 ，由3 +2 = 5得 = 1 ∈ ，故 D 正确．
6【答案】 解：∵ = ( + ) ( + ) = ( + ) ( )
2 2 2 2 2= = 20，∴ = 24，∴ = ( + ) ( + ) = = 24 16 = 8．
7.【答案】 解：由题意，可知 (3,2)由三角函数的定义，有 tan = 23，sin =
2 = 2 ，
32+22 13
1 1 3+ 13
所以tan + sin = 2 ;
8.【答案】A 解：函数 = ， = 在(0, + ∞)上单调递增，则函数 ( ) = + 在(0, + ∞)上单调递增，
( 1 1而 ) = 1 + < 0， (1) = 1 > 0，则存在 0 ∈ (
1
, 1)，使得 ( 0) = 0，函数 ( )在(0, + ∞)上有 1 个零
点，
第 1页，共 6页
由函数 ( )有 4 个零点，则函数 ( ) = sin( 3 )在[ , 0]有 3 个零点，由 ≤ ≤ 0， > 0，
得 ≤ ≤ ，则 3
> 4
, 8 < 11 8 113 3 3 解得 ，所以正数 的取值范围是[ 3 3 3 3
, 3 )．
3
9.【答案】AC 解：对于 ：命题： > 0，ln ≤ 1 的否定是： 0 > 0，ln 0 > 0 1， 选项正确．
对于 ：由题知2 + 2 < < + 2 , ∈ ，∴ 4 + < 2 < 2 + , ∈ ，即2是第一或第三象限角，
选项错误．
对于 ：∵ 的图像关于直线 = 6对称，∴ (0) = (
3 )，即 = sin
3 + cos
3，
∴ = 3．此时 ( ) = + 3 = 2 ( + 3 )，则 (
6 ) = 2 为最大值，故函数 ( )的图象关于直线
= 6对称，∴ = 3．， 选项正确．
1 1对于 ：扇形面积 = 2
2 = 2 × 1 × 2
2 = 2， 选项错误．
10.【答案】BD 对于 D：| | = | |，且 在 上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形 中， = , =
, = , 为 的中点，则| | = 1，| | = | | = 2| | = 2．D 选项正确
11.【答案】 解：由题意知， = (2 3)2 + ( 2)2 = 4， = 60 2 ，所以 = = 30，
把点 (2 3, 2)对应的 = 0， = 2 代入 = 4 ( 30 + )，可得 2 = 4
1
，解得 = 2，
| | < 又 2，所以 =
6，所以 = 4 ( 30 6 )，则 B 正确；
当 = 45 时， = 4 ( 30 × 45
3
6 ) = 4 ( 2 6 ) = 4 6 = 2 3，
易得，当 = 45 时，点 的横坐标为 = 4 ( 30 × 45
6 ) = 2，所以点 ( 2, 2 3)，
则| | = ( 2 2 3)2 + ( 2 3 + 2)2 = 4 2，所以| | = 4 2．C正确；
= 2000 时， = 4 ( 30 × 2000
6 ) = 4 (66 +
2 3 6 ) = 4，D 正确
12.【答案】2 解： ， ， 共线，则 2 + 7 5 = 1，解出 = 2
13 1.【答案】 由 2 + = 4，得 = 4 22 = 4 4
218 = 4 218，
1 2 227 54 36 1 1
代入所求表达式，可得2 18 ×2 18 = 2 36 = 2 36 = 2．故答案为 2．
第 2页，共 6页
14.【答案】 1,
【解析】因为函数 的定义域为 0, + ∞ ，所以 ln > 0，则 > 1，
又因为当 1 > 2 > 0 时 ， 1 2 1 2 < 2 1 1 2，
1 2 1 2
所以 1 2 < ，则 1 < 2 ，令 = ，则 1 < 2 ，1 2 1 2
又 1 > 2，所以 在 0, + ∞ 上单调递减，因为 ln > 0，所以 ln ln >
可变为 ln > ln ，
ln
则 (ln ) = (ln ) = (ln ) > 0① ，令 = ln > 0，则①可变为 = > 0②，ln ln
又因为 1 = 1 1 = 0，故②变为 > 1 ，
又 在 0, + ∞ 上单调递减，则 = ln < 1,解得 ∈ (1, )．故答案为 1, ．
四、解答题
15.(本小题 13 分) 列表如下：
， (3 分)
描点如图：
； 4分（每段 2 分）
(ⅱ)由上图可知：单调递增区间为：(0, ) ( 3 , 5 ， 2 2 )
3
；单调递减区间为：( , 2 )； 3分（可开可闭）
< 1 的解集为{ |0 ≤ < 或 < < 2 } 3 分（注意端点）
16 2. (本小题 15 分)解：由已知，得 = | || |cos = 3 × 2 2 × ( 2 ) = 6． 2 分
（1）由 与 垂直，则 = 2 · = 9 + 6 = 0 2，则 = 3 4 分
2
（2） | + | = ( + )2 = 2 + 2 · + = 32 + 2 × ( 6) + (2 2)2 = 5; 4 分
第 3页，共 6页
设 与 + 的夹角为 ． 1分
cos = ( +
) 2= +
= 9 6 5则 = ， 3 分
| || + | | || + | 3 5 5
∴ 与 + 5的夹角的余弦值为 5 ． 1分
17、(本小题 15 分)【答案】解： 1 因为第 9 天的日销售收入为 552 元，所以有 9 9 = 552，
即 54 × 10 + 9 = 552，解得： = 2； （2 分）
2 由函数 = + ， = + 的解析式可知，
这三个函数的单调性在定义域内要么递增，要么递减，要么是常数函数，不会出现在定义域内，即有单调
递减区间又有单调递增区间的情况，
当 < 0 时，函数 = + 在 ∞, 上单调递增，在 , + ∞ 上单调递减，
由列表可知， 的单调性是先增后减，因此 = + < 0 合适， （2分）
把 14,59 ， 18,63 ， 22,59 代入 = + ，
14 + = 59 = 18
得 18 + = 63，解得： = 63 ，
22 + = 59 = 1
则 = 18 + 63，显然 9,54 ， 29,52 也满足该函数的解析式，
所以 = 18 + 63, ∈ 1,30 , ∈ ； （4 分）
3 由题意可知，当 1 ≤ ≤ 15， ∈ 时 = 18 + 63 = + 45, ∈ 1,15 , ∈ （1 分）
( ) = ( ) ( ) = (10 + 2 )( + 45)， ∈ 1,15 , ∈
（1分）
( ) = ( ) ( ) = (10 + 2 )( + 45) = 452 + 10 +
90
≥ 452 + 2 10
90
= 512， （2 分）
当且仅当 10 = 90 ，即 = 3 时取等号，此时 ( ) = 512； （2 分）
所以第 3 日销售额最少，最小值为 512 元，超过了 500 元。 （1 分）
18. (本小题 17 分)解：(1)因为 ( ) = + ( ∈ )，
1 5
所以 ( ) = 2( 2 ) 1 = ( 2 )2 + 2 1 = ( 2 + 2 )
2 4， （1分）
因为 ∈ [ 14 , 8]，所以log2 ∈ [ 2,3]， （1分）
当 2 =
1 5
2，即 =
2时，函数 ( )取得最小值 ， （1 分）
2 4
当log2 = 3，即 = 8 时，函数 ( )取得最大值 11， （1 分）
1 5
所以函数 ( )在[ 4 , 8]上的最小值为 4，最大值为 11； （1 分）
第 4页，共 6页
1
(2)由题意得： ( ) = + 2, > 0 ,作出其大致图象，如图所示：
sin , 0
因为函数 ( )有三个零点，所以 2 < ≤ ，故实数 的取值范围是( 2 , ]； （ 3 分 ）
(3)易知 3( ) = 3 + 是奇函数，也是 上的增函数，
5 11 1
因为 ∈ , ∈ [ 2 , 3 ]，不等式 3( 2 | | + sin
2 ) + 3(4 5 2) ≥ 3(0)成立， （1分）
所以 ∈ 1，不等式 3( 2 | | + sin
2 ) ≥ 23( 4 + 5)成立， （1分）
所以 ∈ 1，不等式2 | | + sin
2 ≥ 2 4 + 5 成立， （1分）
令 ( ) = 1 22 |cos | + =
2 + 12 |cos | + 1 = (|cos |
1 2 17
4 ) + 16， （1分）
又| | ∈ [0,1]，则当| | = 1 1时，函数 ( )取得最小值2， （1分）
∈ [ 5 , 11所以 2 12 3 ]， 4 + 5 ≤ 2成立， （1分）
∈ [ 5 , 11
9
即 22 3 ]，4 ≥ + ， （1分）
9
令 ( ) = + 2，由对勾函数的性质得，函数 ( )
5 11
在[ 2 , 3 ]上单调递增， （1分）
5 43 43 43 43
所以当 = 2时，函数 ( )取得最小值10，所以 4 ≥ 10，即 ≥ 40，所以实数 的最小值是40． （1 分）
19. (本小题 17 分)
(1) ∈ 0, π π π π解： 因为 0 2 是 ( )的“2 泊点”，所以 sin 0sin 0 + 2 = 在 0, 2 上有解，（1 分）
因为 sin + π2 = cos ，所以 sin 0cos = , ∈ 0,
π
0 0 2 ，即 2sin 0cos 0 = 2 = sin2 0， （1 分）
= π 1 1即 0 4时取得最大值 1，所以 ≤ 2，所以 的最大值为2． （1 分）
(2)因为任意 ∈ ， ( ) ( + 1) = 1，所以 ( + 2) ( + 1) = 1， （1分）
( + 2) = 1所以 ( +1) = ( )，所以 ( )为周期为 2 的周期函数， (1 分)
(0) = 1 1 (1) = 2025 （1分）
所以 2026 = 2 × 1013 = 0 = 1 ． （1分）
2025
(3)因为函数 ( )恰有 2 个“1 1 泊点”，所以 ( ) ( + 1) = 1 在定义域内恰有 2 个解， （1 分）
22 , > 0
因为 ( ) = 1 ,
2 +1+ , < 0
第 5页，共 6页
①当 > 0 时，则 + 1 > 1，
所以22 × 22( +1) = 1，即24 +2 = 1 1，所以 = 2 < 0，舍去； （1 分）
②当 1 < < 0 1时，所以 2( +1)2 +1+ × 2 = 1，即2
2( +1) 2 +1 = 0( )， （1分）
③当 < 1 时， + 1 < 0，
1 1
所以 2( +1) +1 +2 22 +1+ × 2 +2+ = 1，即 2 × 2 + 2 + 2 + 1 = 0( )； （1 分）
依据条件，( )和( )共有 2 个不同实数解；
( )对于( )式，令 = 2 +1，1 < < 2，
设 ( ) = 2 ，所以 ( )在(1,2)上递增， (1) = ， (2) = 2 ，
所以关于 的方程 2 = 0 在 ∈ (1,2)上解的情况如下：
当 (1) ≥ 0，即 ≤ 0 时，( )没有实数根；
当 (2) ≤ 0，即 ≥ 2 时，( )没有实数根；
(1) < 0,
当 (2) > 0,即 0 < < 2，( )只有一个实数根． (2 分)
( )对于( )式，令 = 2 +1，0 < < 1，设 ( ) = 2 2 + 3 + 2 1, ∈ (0,1)，
因为 = 9 2 8 2 1 = 2 + 8 > 0，函数 ( ) 3 的对称轴为 = 4，由( )得：
当 ≤ 0 时， ( )在 ∈ (0,1) 3 内需 2 个零点，且 > 0, 4 ≥ 0，
(0) > 0 2 1 > 0
(1) > 0 2所以 即 + 3 + 1 > 0，无解；
0 < 3 < 1 43 < < 04
当 ≥ 2 时， ( )在 ∈ (0,1)内需 2 个零点，
但 3 34 ≤ 2 < 0， ( )至多一个零点，舍去； （1分）
当 0 < < 2 时， ( )在 ∈ (0,1)内需 1 3 个零点，且 4 < 0，
所以 ( )在 ∈ (0,1)上递增，
(0) < 0 2 1 < 0
所以 (1) > 0，即 2 + 3 + 1 > 0， （1 分）
0 < < 2 0 < < 2
1 < < 1,
解得 < 3 5或 > 3+ 5 , （1分）2 2
0 < < 2,
所以 0 < < 1
综上所述， 的取值范围是(0,1)． （1分）
第 6页，共 6页广东实验中学 2025—2026 学年（上）高一级期末模块考试
数 学
本试卷共 4页，满分 150 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 设集合 = { | 2 < < 4}， = {2,3,4,5}，则 ∩ =( )
A. {2} B. {2,3} C. {3,4} D. {2,3,4}
2.“点 (sin , tan )在第二象限”是“角 为第三象限角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 下列函数中最小值为 4 的是( )
A. = 2 + 2 + 4 B. = | | + 4 4 2 | | C. = + D. = 2 + 2
4. 已知函数 = ( > 0 ≠ 1) 1 且 ，若将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的2
倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，再将函数 的图象向下平移 2 个单位长度，所得
图象与 的图象重合，则实数 =( )
A. 14 B.
2
2 C. 2 D. 4
5 . 设函数 ( ) = 2tan( 3 )( > 0)
的图象的一个对称中心为( 6 , 0)，则 ( )的一个最小正周
期是( )
A. 3 B.
4 C.
2
5 D.
5
第 1页，共 4页
6.如图所示，已知△ 中，点 ， ， 依次是边 上的三个四等分点，若 = 20， = 8，
则 =( )
A. 6 B. 8
C.10 D.12
7. 已知函数 ( ) = log ( 2) + 2( > 0 且 ≠ 1)的图象经过定点 ，且点 在角 的终边上，
1 1
则tan + sin 的值是( )
A. 13+3 B. 13+3 C. 5+1 D. 5+14 2 4 2
+ , > 0
8. 若函数 ( ) = sin( ), ≤ ≤ 0有 4 个零点，则正数 的取值范围是( )3
A. [ 8 11 8 11 5 8 5 83 , 3 ) B. [ 3 , 3 ] C. ( 3 , 3 ] D. [ 3 , 3 ]
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 下列说法中正确的是( )
A.命题： > 0，ln ≤ 1 的否定是： 0 > 0，ln 0 > 0 1
B.若 是第二象限角，则2是第一象限角
C.若函数 ( ) = + 的图象关于直线 = 6对称，则实数 = 3
D.半径为 2，圆心角为 1 弧度的扇形面积为 1
10. 下列命题中，正确的是( )
A.若 = 0，则 = 0 或 = 0
B.若 ， 共线，则 =± | || |
C.若 = 且 ≠ 0 ，则 =
D.若向量 ， 满足| | = | |，且 在 上的投影向量为单位向量，则| | = 2．
11. 古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成
果之一。如图是一个半径为 的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面
的直线为 轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点 (2 3, 2)出发，沿圆周按逆时针方向
匀速旋转，且旋转一周用时 60 秒。经过 秒后，水斗旋转到 点，设 点的坐标为( , )，其
纵坐标满足 = sin( + )( ≥ 0, > 0, | | < 2 )，则正确的是（ ）
第 2页，共 4页
A. = 4 ( 30 + 6 ) B. = 4 ( 30 6 )
C.当 = 45 秒时，| | = 4 2 D.此水斗从 A点出发，工作 2000秒后 P点在最高点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 ， ， 在一条直线上，O在该直线外，已知 = 2 + (7 5 ) ，则 等于 .
13.公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金
2
分割值，这一数值可以表示为 = 2 18 2 + = 4 1 2 27。若 ，则 = . (用数字作答)
14.函数 的定义域为 0, + ∞ ， 1 = ，对于任意 1, 2 ∈ 0, + ∞ ，当 1 > 2时，
1 2 1 2 < 2 1 1 2(其中 为自然对数的底数)，若 ln ln > ，则实数 的取
值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
cos , 0 ,
15．(本小题 13 分)已知函数 ( ) = sin + 1, < 52 ,
(1)按关键点列表，并画出函数 ( )的简图（请在指定区域作答，画图先用铅笔画好再用黑笔
定稿）;
(2)写出 ( )的单调区间; 并解不等式 < 1
16．(本小题 15 分)．已知向量 与 的夹角 = 3 4，且 = 3，
= 2 2．
1 若 与 垂直，求 (2) 求 与 + 的夹角的余弦值．
17．(本小题 15 分)小明通过对 11 月(以 30 天计)的某种水果的销售情况的调查发现：
每千克的销售价格 ( )(单位：元/千克)关于第 天(1 ≤ ≤ 30, ∈ )的函数关系近似满足
( ) = 10 + ( > 0，且为常数)，日销售量 ( )(单位：千克)关于第 天的部分数据如下表
所示：
9 14 18 22 29
( ) 54 59 63 59 52
第 3页，共 4页
已知第 9 天的日销售收入为 552 元．
(1)求 的值；
(2) 日销售量 ( )给出以下三种函数模型：
① ( ) = + ；② ( ) = | | + ；③ ( ) = + ；
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型(简要说明理由)来描述日销
售量 ( )关于第 天的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)设该水果的上半月的日销售收入为函数 = ( )(单位：元)，问哪天的日销售收入最少，
最少值为多少，可以超过 500 元吗？
18．(本小题 17 分)
已知 ( ) = + ( ∈ )
(1)若函数 ( ) = 2(log2 ) 1
1
，求函数 ( )在[ 4 , 8]上的最值；
(2) ( ) 2, > 0若函数 ( ) = 1 , ≤ ≤ 0 有三个零点，求实数 的取值范围；
(3) ∈ , ∈ [ 5 , 112 3 ]，不等式 (
1
3 2 | | + sin
2 ) + 3(4 5 2) ≥ 3(0)成立，求实
数 的最小值．
19.(本小题 17 分)
对于函数 = ( )，若实数 0满足 0 0 + = ，其中 ， 为非零实数，则称 0为 ( )
的一个“ 泊点”．
(1) 设函数 ( ) = sin ，若 0 ∈ 0,
π π
2 是 ( )的“2 泊点”，求 的最大值；
(2) 已知任意实数 都是函数 ( )的“1 1 泊点”，若 (1) = 2025，求 (2025)；
22 , > 0,
(3)设函数 ( ) = 1
2 +1+ , < 0,
若 ( )恰有 2 个“1 1 泊点”，求实数 的取值范围．
第 4页，共 4页
