华东师大版数学八（下）第16章 函数及其图象 单元测试培优卷

华东师大版数学八（下）第16章 函数及其图象 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．如图，直线l1 过原点，直线 l2的表达式为 且直线 l1和l2 互相垂直，交点为 P，那么直线 l1的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·青山期末）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　）
A．函数图象的对称中心是
B．当时，随的增大而增大
C．当时，函数有最小值，且最小值为4
D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点
3．（2025八上·福田期中）周末，小张、小李两人相约沿鲲鹏径同一路线从处骑行至处，小张、小李分别以不同的速度匀速骑行，小李比小张早出发分钟．小李骑行分钟后，小张以原速的继续骑行，小李骑行一段时间，小张先到达地，小李一直保持原速前往地．在此过程中，小张、小李两人相距的路程（单位：米）与小李骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．有以下几个结论①小李的速度为米/分钟；②小张出发分钟追上小李；③两地相距米；④小李比小张晚分钟到达地．其中正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
4．如图，已知直线y= ax+2与直线y= mx+b的交点的横坐标是-2.根据图象有下列四个结论：①a>0；②b<0；③方程 ax+2= mx+b的解是 x=-2；④不等式 ax-b> mx-2的解集是x>-2.其中正确的结论个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y=-| kx+1|+b(k，b为常数，k≠0)的图象上，下列说法正确的是(　　)
A．若 则
B．若 则
C．若 则
D．若 则
6．（2025九下·瑞安开学考）已知某手机目前电量为，经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：％）与充电时间（单位：小时）的函数图象分别为图中的线段AB、AC.已知该手机正常使用时耗电量为小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电——耗电——充电”的总时间是8小时，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
7．（2025·荔湾模拟）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为8，则k的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．（2025·江北模拟）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
9．（2025八下·潮南月考）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（　　）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
10．如图，矩形的边，，动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是；④若，则；其中正确的命题个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11． 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象一定经过第　 　象限.
12．（2025九上·郫都期末）设直线与双曲线分别交于点、点．若，则的值为　 　．
13．如图，已知点A（-2，3)，B（2，1)，当直线y= kx-k与线段AB有交点时，k的取值范围是 .
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(-1，1)，点B 在x轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线 上，过点 C 作CE∥x 轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE 的面积为　 　.
15．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45min，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇.已知货车的速度为60km/h，两车之间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度为100km/h；
②甲、乙两地之间的距离为120km；
③图中点B 的坐标为(，75)；
④快递车从乙地返回时的速度为90km/h.
以上4个结论中正确的是　 　(填序号).
16．（2025九下·南山期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为　 　．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。
17．（2025八上·绍兴月考）已知点P(a-1， 6+2a) ， 解答下列各题：
（1）若点 P在x轴上，求点 P 的坐标 ；
（2） 若点Q (5， 8) ， 且PQ∥y轴， 求点P 的坐标.
18．（2026八上·宁波期末）已知y是x的一次函数，且当x=1时，y的值是2，当x=2时，y的值是3，
（1）求y关于x的函数表达式；
（2） 当y>3时， 求x的取值范围.
19．（2026九上·永吉期末）如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠16m，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？
20．（2026九上·路桥期末）小王驾驶汽车从甲地走高速公路前往乙地办事，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地，之后他按原路返回甲地．
（1）求行驶时间（小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式；
（2）根据规定：在高速公路上行驶时，最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时．求小王返程行驶时间的取值范围．
21．（2025八下·临海月考） 一次函数 (k为常数)，且 .
（1） 若点(-1，4)在一次函数的图象上，求一次函数的解析式.
（2） 当 时，一次函数 (k 为常数，且 )有最大值 k，求 k 的值.
（3） 若一次函数 (k 为常数，且 )与 x 轴的交点为(m，0)，且 ，设 ，求 P 的取值范围.
22．（2025八上·莲都期末）
拟定游玩计划
信息1：某风景区的游览地图如图1所示。 信息2：景区内有一辆免费的电动观光车，匀速地在古刹和飞瀑之间不间断地来回载客（上下车时间忽略不计），首趟观光车于早上9：00从古刹出发。
信息3：小聪在景点古刹游玩结束后，恰好坐上首趟观光车前往塔林。在塔林游玩若干时间后，再坐上第二趟观光车去草甸游玩，小聪和观光车离古刹的路程s（m）与时间t（min）的函数关系如图2所示。 信息4：小聪在飞瀑游玩后，要在中午12：00前赶回古刹吃中饭。
（1）任务1：确定车速：根据游览地图和函数图象，计算出电动观光车的车速。
（2）任务2：探究时间：求出小聪到达草甸的具体时间。
（3）任务3：拟定计划：请为小聪拟定在草甸、飞瀑这两个景点游玩的最长时间及搭乘的车次。
23．（2025八下·玉环期末） 如图，直线与轴，轴分别交于点，，在线段上取一点，连结，若的面积为3，求直线的解析式．
24．（2025九上·渌口期末）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
（1）求、的值和一次函数的表达式；
（2）连接，求点到线段的距离．
25．（2025九上·水城期末）如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数．当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象；
（3）若小孔到蜡烛的距离为时，求火焰的像高．
26．（2025八上·南山期中）【了解概念】对于给定的一次函数y=kx+b（其中k，b为常数，且k≠0），称函数为一次函数y=kx+b的关联函数.
【理解运用】
（1）例如：一次函数y=-3x-1的关联函数为
若点P（2，m）在一次函数y=-3x-1的关联函数的图象上，则m的值为　 　.
（2）已知一次函数y=-3x-1，我们可以根据学习函数的经验，对它的关联函数的图象与性质进行探究.下面是嘉嘉的探究过程：
①填表：
x ... -1 0 1 2 ...
y ... 　 　 　 　 ...
②根据①中的结果，请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y=-3x-1的关联函数的图象；
③若-1≤x≤2，则y的取值范围为 ▲ .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵ 直线 l2的表达式为 直线 l1和l2 互相垂直，
∴l1 的表达式为y=
故答案为：y=.
【分析】若两直线y=k1x+b1（k1≠0），y=k2x+b2 （k≠0）互相垂直，则k1k2=-1.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】A、原函数关于原点对称，则新函数可变形为：，即原函数向右平移1个单位长度，向上平移两个单位长度，
∴对称中心变为（1，2），故A错误；B、新函数可变形为：，
由图可知，当时，函数不存在连续的增减性，
∴当时，函数的图象不存在连续的增减性，故B错误；
C、∵x＞1，
∴x-1＞0，
由图象可知，令t=x-1（t＞0）时，则新函数可化为y=t++2，
∵t＞0，
∴t+≥2，
∴=2+2=4，故C正确；
D、∵由函数与函数，
联立可得：，
整理得：，
解得：，，
∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D错误．
故答案为：C.
【分析】将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，可判断A，将函数可变形为：，根据函数的图象在x＜0时的增减性可判断B，令t=x-1，将函数可化为y=t++2，取得t+的最小值，即可判断C，将两个函数联立方程求解即可判断D.
3．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①、由函数图象可知，小李分钟骑行了米，
∴小李的速度为米/分钟，故①正确；
②、设小张一开始的速度为米/分钟，
则，
解得，
提速后小张的速度为米/分钟，
则小张提速后追上小李的时间为分钟，
∴小张出发分钟追上小李，故②错误；
③、由函数图象可知，小张从地到地共骑行了分钟，
∴两地的距离为：米，故③错误；
④、当小张到达地时，小李距离的路程为：，
∴小李比小张晚分钟到达地，故④正确；
综上，正确的结论为①④，
故答案为：．
【分析】
根据函数图象可知小李分钟骑行了米可判断①；设小张一开始的速度为米/分钟，列出方程求出的值，可得提速后小张的速度，再求出小张提速后追上小李的时间，得到小张出发追上小李的时间可判断②；观察图像横轴可得小张从地到地共骑行的时间，求出两地的距离为可判断③；再求出小张到达地时，小李距离的路程可判断④，逐一判断即可解答．
4．【答案】D
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据图象得，直线y=ax+2经过第一、二、三象限，直线y=mx+b 交 y 轴于负半轴，所以a>0，b<0，故①②正确.因为直线y=ax+2与直线y=mx+b 的交点的横坐标是-2，所以当x=-2时， ax+2= mx+b，所以方程ax+2= mx+b 的解是x=-2，故③正确. ax-b> mx-2 整理，得 ax+2> mx+b.因为当x>-2时，直线y= ax+2 位于直线y= mx+b 的上方，所以不等式 ax+2> mx+b 的解集为 x>-2，即不等式 ax-b> mx-2的解集是x>-2，故④正确.综上，正确的结论为①②③④，共有4个.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的图象和性质可得a>0；b<0；直线y=ax+2与直线y=mx+b的交点的横坐标是-2，即方程ax+2=mx+b的解为：x=-2；当x>-2时，直线y=ax+2在直线y=mx+b的上方，即可得不等式ax-b>mx-2的解集判断解答即可.
5．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：由题知，函数y=| kx+1|的图象是将函数y=kx+1图象在x轴下方的部分关于x轴对称到x轴的上方，函数y=-|kx+1|的图象与函数y=|kx+1|的图象关于x轴对称，函数y=-| kx+1|+b的图象可由函数y=-| kx+1|的图象向上(或向下)平移|b|个单位长度得到，所以函数y=-lkx+1|+b的大致图象如图所示.由函数的图象可知，函数图象上的点，纵坐标越大，这个点离直线 越近.当 时， 即 所以A 选项符合题意，C选项不符合题意.当 时，点A 在直线 的左侧，点B 在直线 的右侧，但这两个点离直线y=b的远近无法判断，所以B、D选项不符合题意.
故答案为： A.
【分析】根据题意，画出示意图，利用数形结合的数学思想即可解决问题.
6．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图象知：快充每小时充电量为（%），慢充每小时充电量为（%），由题意列方程得：
解方程得：
故答案为：B.
【分析】因为快充2小时充了（100-20）%，所以每小时充电量为40%；同理慢充每小时充电量为%，由题意知，由起始的20%电量开始充电到用慢充充满电量共用8小时，则用慢充给手机充满电量用时为（8－2－a）小时，显然慢充的充电量等于正常使用a小时的耗电量，列方程为，解方程得.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，
过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，
与关于原点对称，
是的中点，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，的面积为8，
，
设点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：。
【分析】连接，，过点作轴，过点作轴，过点作；根据题意，可知O是AB的中点，再根据平行线的判定定理，可得，进而可得；设点，根据题干信息，可得，，可得，进而可求出点D的坐标，易证，从而可得，所以，代入数据即可求解。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
反比例函数的图象上有，两点，
当时，，都在第一象限，当时，即时，有，即，故A错误；
当时，，关于原点的对称点为，则，都在第一象限，若，则，即，故B错误；
当时，，此时，都在第一象限，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，故C正确；
当时，，在第三象限，取关于原点的对称点，此点在第一象限，也在第一象限，
∴，
∴，
∴，即，故D错误．
故答案为：C．
【分析】对于，函数位于一、三象限，根据的取值范围，结合反比例函数的增减性逐逐项判断解答．
9．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数图象与x轴交于点B
将代入得，，点A的坐标为，
同理可得，点B的坐标为，
，
则，
令边长的高为，
则，
则，
点在线段上，且，
OC即为AB边上的高h，即
，
过点D作的垂线，垂足为H，
，平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，
，
解得：，
即点的坐标为，
．
故选：A．
【分析】本题主要对一次函数图象上点的坐标特征进行考查，根据一次函数与x，y轴分别交于A、B两点．可求出点A和点B的坐标分别为点A的坐标为，点B的坐标为，再求出的长，利用面积法求出边上的高h=2.4，由意义中可以得出，过点D作的垂线，垂足为H，证明，可得出，设，则，在中有，解方程计算出。
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：命题①正确.理由如下：
∵k=6，
∴E(2，3)，，
∴CE=4-2=2，，
∴S△OEF=S矩形AOBC-S△AOE-S△BOF-S△CEF
，故①正确；
命题②正确.理由如下：
∵，
∴，，
∴，，
如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM=3，；
在线段BM上取一点N，使得，连接NF.
在Rt△EMN中，由勾股定理得：，
∴，
在Rt△BFN中，由勾股定理得：
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，故②正确；
命题③错误.理由如下：
由题意，点F与点C(4，3)不重合，所以k≠4×3=12
∴0命题④错误.理由如下：
设k=12m，则E(4m，3)，F(4，3m)，
设直线EF的解析式为y=ax+b，则有，
解得
∴
令x=0，得y=3m+3，
∴D(0，3m+3)；
令y=0，得x=4m+4，
∴G(4m+4，0).
如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3.
在Rt△ADE中，AD=OD-OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
在Rt△MEG中，MG=OG-OM=(4m+4)-4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5.
∴，解得.
∴k=12m=2，故命题④正确.
综上所述，正确的命题是：①②④，共3个，
故答案为：C.
【分析】①若k=6，则计算，故命题①正确，②如图所示，若，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；③因为点F不经过点C(4.3)，所以k≠12，即可得出k的范围；④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式，求出k=1，故命题④正确.
11．【答案】一
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵y=(m+1)x-2m+3 =mx+x-2m+3=(x-2)m+x+3，
∴当x=2时，y=2+3=5，
即 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象 一定经过（2，5），
又（2，5）在第一象限，
∴ 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象一定经过第一象限，
故答案为：一.
【分析】对函数y=(m+1)x-2m+3 变形知其图像经过（2，5），再根据（2，5）在坐标系的位置判断函数图象经过的象限.
12．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意，令，
解得：，
点，的横坐标分别为：，
则，
所以
由得，
解得，舍去．
故答案为：．
【分析】先根据直线及双曲线的解析式建立方程，进而用表示出点，的横坐标，进一步表示出，最后建立关于的方程，解方程求出符合题意的k的值.
13．【答案】k≤-1或k≥1.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：因为y= kx-k=k(x-1)，所以直线y= kx-k恒过点(1，0).当直线刚好过点A时，将A(-2，3)代入y= kx-k中得3=-2k-k，解得k=-1.当直线刚好过点B时， 将B(2，1)代入y= kx-k中得1=2k-k，解得k=1，所以当直线y= kx-k与线段AB 有交点时，k的取值范围为k≤-1或k≥1，
故答案为：k≤-1或k≥1.
【分析】由已知得直线y=kx-k恒过点P(1，0)，分别求出直线PA和直线PB的比例系数k，即可求解.
14．【答案】7
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点 B 作BM⊥CE 于点M，过点 D 作DH⊥CE 于点H，过点A作AG⊥DH 于点G，
设
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD = CD = BC， ∠ADC =∠DCB =90°，
∴△AGD≌△DHC≌△CMB
∴AG=DH=-x-1，DG=BM，
得x=-2.
，
，
∵AG=DH=-1-x=1，
∴点E的纵坐标为-4，
当y=-4时，x=，
∴，
∴EH=2-，
∴CE=CH-HE=4-=，
故答案为：7
【分析】
作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明△AGDS△DHCS△CMB，根据点D的坐标表示：AG=DH=-x-1，由DG=BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论.
15．【答案】①③④
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，则
故①正确；
②因为120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，故②错误 ；
③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，
所以图中点B的横坐标为 纵坐标为 故③正确；
④设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时，则
故④正确。
故答案为： ①③④.
【分析】根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案.联立方程组即可求得交点横坐标，即为相遇的时间.
16．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，过A作AH丄c轴于H，过B作BG⊥c轴于G，
∴AH//BG，
∵AB=BC，
∴CG = HG，
∴AH=2BG，
∵A、B两点在反比例函数得图像上
设：
∵OD//AB，
∴S△AOC= S△ADC = 12，
∴S△AOB=S△AOC=6，
∴ S△AOH= S△OBG=
∴ S△AOH-S△EOH+ S△AEB = S△OBG-S△EOH +S△AEB，
即S四边形AHGB= S△AOB=6，
∴
解得：k=8
故答案为：8.
【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，由OD//AB，得到S△AOB= 12S△AOC =12S△ADC =6=S四边形AHGB，根据梯形的面积公式列方程即可得到结论。
17．【答案】（1）解：∵点在轴上，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：∵点，点，且轴，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为．
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据“轴上的点纵坐标为0”列式计算即可求解；
（2）根据“轴时，横坐标相等” 列式计算即可求解．
18．【答案】（1）解：设，
∵当时，的值是，当时，的值是，
∴，
解得，
∴关于的函数表达式为；
（2）解：当时，，
解得，
∵，
∴的值随着的增大而增大，
∴当时，的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）求出时的值，再根据一次函数的性质解答即可求解.
19．【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为，
∵点（24，50）在函数图象上，
∴，
∴，
∴所求函数关系式为；
（2）解：当y=15时，，
∴x=80，
80÷16=5（台），
答：需要5台这样的挖掘机．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
(2)求出当y=15时，x的值，再用x的值除以16即可得到答案.
20．【答案】（1）解：由题意得，
答：行驶时间（小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式为；

（2）解：对于函数，，随的减小而增大，
当，，
当时，，
．
答：小王返程行驶时间的取值范围为．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据路程不变得到速度与时间的函数关系式；
（2）根据速度的范围计算返程时间．
21．【答案】（1）解：把代入 得 ，解得
∴ 一次函数解析式为：
（2）解：① 当时，y随 x 的增大而增大，
∴ 当时，y有最大值，即，解得：
② 当时，y随 x 的增大而减小，
∴ 当时，y有最大值，即，解得：（舍去）
综上所述
（3）解：如图，∵，
∴ 当 时，， 时，
∴
∴，
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）直接代入x=-1到 求出k值，即得到一次函数的解析式；
（2）分别对或时讨论，当时，函数在x=-1处取得最大值；当时，函数在x=-3处取得最大值. 最后计算（舍弃不符合的k值）得出结果；
（3）通过k取值范围的不同计算出m的取值范围，从而得到P的取值范围.
22．【答案】（1）解：由题意可得2×10000÷40=500(m/min)
∴电动观光车的车速为500m/min。
（2）解：由（1）可得，第一趟前往飞瀑的观光车，s关于t的函数表达式为s=500t(0≤t≤20），
设第二趟前往飞瀑的观光车s关于t的函数表达式为s=kt+b(40≤1≤60)
把(40，0)，（60，10000）代入，得
解得：
∴s=500t-20000，
把s=8000代入，得500t-20000=8000
解得t=56
∴小聪到达草甸的具体时间是上午9：56
（3）解：由图可得，观光车来回一趟所需时间是40min，
12-9=3(h），3×60÷40=4.5(趟），
∴第五趟车到达飞瀑已是12时.
∴小聪在草甸最多游玩40min，坐第三趟车前往飞瀑，在飞瀑最多游玩40min，坐第四趟车回古刹
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据图象信息，结合有理数的乘除即可求出答案.
（2）由（1）可得，第一趟前往飞瀑的观光车，s关于t的函数表达式为s=500t(0≤t≤20），设第二趟前往飞瀑的观光车s关于t的函数表达式为s=kt+b(40≤1≤60)，根据待定系数法将点(40，0)，（60，10000）代入解析式可得s=500t-20000，再将s=8000代入解析式即可求出答案.
（3）由图可得，观光车来回一趟所需时间是40min，根据有理数的混合运算可得第五趟车到达飞瀑已是12时，即可求出答案.
23．【答案】解：当y=0时，-3x+6=0，
解得x=2，
∴A(2，0)，
当x=0时，y=-3x+6=6，
∴B(0，6)，
∵△ABC的面积为3，
∴，
解得BC=3，
∴C(0，3)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(2，0)，C(0，3)分别代入得，
解得
∴直线AC的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】先根据直线与坐标轴交点的求法确定点A、B的坐标，再利用三角形面积公式求出点C的坐标，最后用待定系数法求出直线AC的解析式.
24．【答案】（1）解：将，代入，得，
解得：，
∴，
∵一次函数过点，，
∴，
解得：
∴一次函数表达式为：；
（2）解：如图，连接，过点作于，过点作于，
，，
轴，，
点，，，
点，，，
∴在中，，
又，
∴，
解得：，
∴点到线段的距离为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式中求出，的值，利用待定系数法求出一次函数表达式；
（2）连接，过点作于，过点作于，根据点的坐标得到轴，、、的长度，然后利用勾股定理得到的长度，最后利用三角形面积公式求出的长度，即可求解.
（1）点、在反比例函数图象上
，
又一次函数过点，
解得：
一次函数表达式为：；
（2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
，
轴，
点，，
点，，
在中，
又
即
∴，即点C到线段的距离为．
25．【答案】（1）解：设与的函数表达式为：，当时，．代入中得：，
解得：，
∴关于的函数表达式为：；
（2）解：如图：
（3）解：解：把代入中得：，
∴火焰的像高为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】
（1）设与的函数表达式为：代入点的坐标（2，3）利用待定系数法进行计算得k=6，即可解答；
（2）根据函数图象画法，列表，描点，连线即可；
（3）把代入解析式中进行计算，即可解答；
（1）解：设与的函数表达式为：，
当时，．代入中得：，
解得：，
∴关于的函数表达式为：；
（2）如图：
（3）解：把代入中得：，
∴火焰的像高为．
26．【答案】（1）5
（2）①解：由题意可得：
当x=-1时，y=-3×(-1)-1=2
当x=0时，y=3×0-1=-1
当x=1时，y=3×1-1=2
当x=2时，y=3×2-1=5
∴填表如下：
x ... -2 -1 0 1 2 ...
y ... 5 2 -1 2 5 ...
②
③由图象可得：
若-1≤x≤2，则y的取值范围为-1≤y≤5
【知识点】分段函数；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）∵点P（2，m）在一次函数y=-3x-1的关联函数的图象上，且2>0
∴m=3×2-1=5
故答案为：5
（2）③由函数图象及表格数据可知：当x=0时，y=-1(最小值）；当x=2时，y=5(最大值)；
当x=-1时，y=2(在-1到5之间)。
因此-1≤x≤2时，y的取值范围为-1≤y≤5。
故答案为：-1≤y≤5
【分析】（1）根据题意将点P坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）①根据题意求出x值对应的y值，填表即可.
②根据描点法作图即可.
③根据函数图象信息即可求出答案.
1 / 1华东师大版数学八（下）第16章 函数及其图象 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．如图，直线l1 过原点，直线 l2的表达式为 且直线 l1和l2 互相垂直，交点为 P，那么直线 l1的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵ 直线 l2的表达式为 直线 l1和l2 互相垂直，
∴l1 的表达式为y=
故答案为：y=.
【分析】若两直线y=k1x+b1（k1≠0），y=k2x+b2 （k≠0）互相垂直，则k1k2=-1.
2．（2025九上·青山期末）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　）
A．函数图象的对称中心是
B．当时，随的增大而增大
C．当时，函数有最小值，且最小值为4
D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】A、原函数关于原点对称，则新函数可变形为：，即原函数向右平移1个单位长度，向上平移两个单位长度，
∴对称中心变为（1，2），故A错误；B、新函数可变形为：，
由图可知，当时，函数不存在连续的增减性，
∴当时，函数的图象不存在连续的增减性，故B错误；
C、∵x＞1，
∴x-1＞0，
由图象可知，令t=x-1（t＞0）时，则新函数可化为y=t++2，
∵t＞0，
∴t+≥2，
∴=2+2=4，故C正确；
D、∵由函数与函数，
联立可得：，
整理得：，
解得：，，
∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D错误．
故答案为：C.
【分析】将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，可判断A，将函数可变形为：，根据函数的图象在x＜0时的增减性可判断B，令t=x-1，将函数可化为y=t++2，取得t+的最小值，即可判断C，将两个函数联立方程求解即可判断D.
3．（2025八上·福田期中）周末，小张、小李两人相约沿鲲鹏径同一路线从处骑行至处，小张、小李分别以不同的速度匀速骑行，小李比小张早出发分钟．小李骑行分钟后，小张以原速的继续骑行，小李骑行一段时间，小张先到达地，小李一直保持原速前往地．在此过程中，小张、小李两人相距的路程（单位：米）与小李骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．有以下几个结论①小李的速度为米/分钟；②小张出发分钟追上小李；③两地相距米；④小李比小张晚分钟到达地．其中正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①、由函数图象可知，小李分钟骑行了米，
∴小李的速度为米/分钟，故①正确；
②、设小张一开始的速度为米/分钟，
则，
解得，
提速后小张的速度为米/分钟，
则小张提速后追上小李的时间为分钟，
∴小张出发分钟追上小李，故②错误；
③、由函数图象可知，小张从地到地共骑行了分钟，
∴两地的距离为：米，故③错误；
④、当小张到达地时，小李距离的路程为：，
∴小李比小张晚分钟到达地，故④正确；
综上，正确的结论为①④，
故答案为：．
【分析】
根据函数图象可知小李分钟骑行了米可判断①；设小张一开始的速度为米/分钟，列出方程求出的值，可得提速后小张的速度，再求出小张提速后追上小李的时间，得到小张出发追上小李的时间可判断②；观察图像横轴可得小张从地到地共骑行的时间，求出两地的距离为可判断③；再求出小张到达地时，小李距离的路程可判断④，逐一判断即可解答．
4．如图，已知直线y= ax+2与直线y= mx+b的交点的横坐标是-2.根据图象有下列四个结论：①a>0；②b<0；③方程 ax+2= mx+b的解是 x=-2；④不等式 ax-b> mx-2的解集是x>-2.其中正确的结论个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据图象得，直线y=ax+2经过第一、二、三象限，直线y=mx+b 交 y 轴于负半轴，所以a>0，b<0，故①②正确.因为直线y=ax+2与直线y=mx+b 的交点的横坐标是-2，所以当x=-2时， ax+2= mx+b，所以方程ax+2= mx+b 的解是x=-2，故③正确. ax-b> mx-2 整理，得 ax+2> mx+b.因为当x>-2时，直线y= ax+2 位于直线y= mx+b 的上方，所以不等式 ax+2> mx+b 的解集为 x>-2，即不等式 ax-b> mx-2的解集是x>-2，故④正确.综上，正确的结论为①②③④，共有4个.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的图象和性质可得a>0；b<0；直线y=ax+2与直线y=mx+b的交点的横坐标是-2，即方程ax+2=mx+b的解为：x=-2；当x>-2时，直线y=ax+2在直线y=mx+b的上方，即可得不等式ax-b>mx-2的解集判断解答即可.
5．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y=-| kx+1|+b(k，b为常数，k≠0)的图象上，下列说法正确的是(　　)
A．若 则
B．若 则
C．若 则
D．若 则
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：由题知，函数y=| kx+1|的图象是将函数y=kx+1图象在x轴下方的部分关于x轴对称到x轴的上方，函数y=-|kx+1|的图象与函数y=|kx+1|的图象关于x轴对称，函数y=-| kx+1|+b的图象可由函数y=-| kx+1|的图象向上(或向下)平移|b|个单位长度得到，所以函数y=-lkx+1|+b的大致图象如图所示.由函数的图象可知，函数图象上的点，纵坐标越大，这个点离直线 越近.当 时， 即 所以A 选项符合题意，C选项不符合题意.当 时，点A 在直线 的左侧，点B 在直线 的右侧，但这两个点离直线y=b的远近无法判断，所以B、D选项不符合题意.
故答案为： A.
【分析】根据题意，画出示意图，利用数形结合的数学思想即可解决问题.
6．（2025九下·瑞安开学考）已知某手机目前电量为，经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：％）与充电时间（单位：小时）的函数图象分别为图中的线段AB、AC.已知该手机正常使用时耗电量为小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电——耗电——充电”的总时间是8小时，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图象知：快充每小时充电量为（%），慢充每小时充电量为（%），由题意列方程得：
解方程得：
故答案为：B.
【分析】因为快充2小时充了（100-20）%，所以每小时充电量为40%；同理慢充每小时充电量为%，由题意知，由起始的20%电量开始充电到用慢充充满电量共用8小时，则用慢充给手机充满电量用时为（8－2－a）小时，显然慢充的充电量等于正常使用a小时的耗电量，列方程为，解方程得.
7．（2025·荔湾模拟）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为8，则k的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，
过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，
与关于原点对称，
是的中点，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，的面积为8，
，
设点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：。
【分析】连接，，过点作轴，过点作轴，过点作；根据题意，可知O是AB的中点，再根据平行线的判定定理，可得，进而可得；设点，根据题干信息，可得，，可得，进而可求出点D的坐标，易证，从而可得，所以，代入数据即可求解。
8．（2025·江北模拟）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
反比例函数的图象上有，两点，
当时，，都在第一象限，当时，即时，有，即，故A错误；
当时，，关于原点的对称点为，则，都在第一象限，若，则，即，故B错误；
当时，，此时，都在第一象限，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，故C正确；
当时，，在第三象限，取关于原点的对称点，此点在第一象限，也在第一象限，
∴，
∴，
∴，即，故D错误．
故答案为：C．
【分析】对于，函数位于一、三象限，根据的取值范围，结合反比例函数的增减性逐逐项判断解答．
9．（2025八下·潮南月考）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（　　）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数图象与x轴交于点B
将代入得，，点A的坐标为，
同理可得，点B的坐标为，
，
则，
令边长的高为，
则，
则，
点在线段上，且，
OC即为AB边上的高h，即
，
过点D作的垂线，垂足为H，
，平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，
，
解得：，
即点的坐标为，
．
故选：A．
【分析】本题主要对一次函数图象上点的坐标特征进行考查，根据一次函数与x，y轴分别交于A、B两点．可求出点A和点B的坐标分别为点A的坐标为，点B的坐标为，再求出的长，利用面积法求出边上的高h=2.4，由意义中可以得出，过点D作的垂线，垂足为H，证明，可得出，设，则，在中有，解方程计算出。
10．如图，矩形的边，，动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是；④若，则；其中正确的命题个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：命题①正确.理由如下：
∵k=6，
∴E(2，3)，，
∴CE=4-2=2，，
∴S△OEF=S矩形AOBC-S△AOE-S△BOF-S△CEF
，故①正确；
命题②正确.理由如下：
∵，
∴，，
∴，，
如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM=3，；
在线段BM上取一点N，使得，连接NF.
在Rt△EMN中，由勾股定理得：，
∴，
在Rt△BFN中，由勾股定理得：
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，故②正确；
命题③错误.理由如下：
由题意，点F与点C(4，3)不重合，所以k≠4×3=12
∴0命题④错误.理由如下：
设k=12m，则E(4m，3)，F(4，3m)，
设直线EF的解析式为y=ax+b，则有，
解得
∴
令x=0，得y=3m+3，
∴D(0，3m+3)；
令y=0，得x=4m+4，
∴G(4m+4，0).
如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3.
在Rt△ADE中，AD=OD-OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
在Rt△MEG中，MG=OG-OM=(4m+4)-4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5.
∴，解得.
∴k=12m=2，故命题④正确.
综上所述，正确的命题是：①②④，共3个，
故答案为：C.
【分析】①若k=6，则计算，故命题①正确，②如图所示，若，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；③因为点F不经过点C(4.3)，所以k≠12，即可得出k的范围；④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式，求出k=1，故命题④正确.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11． 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象一定经过第　 　象限.
【答案】一
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵y=(m+1)x-2m+3 =mx+x-2m+3=(x-2)m+x+3，
∴当x=2时，y=2+3=5，
即 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象 一定经过（2，5），
又（2，5）在第一象限，
∴ 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象一定经过第一象限，
故答案为：一.
【分析】对函数y=(m+1)x-2m+3 变形知其图像经过（2，5），再根据（2，5）在坐标系的位置判断函数图象经过的象限.
12．（2025九上·郫都期末）设直线与双曲线分别交于点、点．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意，令，
解得：，
点，的横坐标分别为：，
则，
所以
由得，
解得，舍去．
故答案为：．
【分析】先根据直线及双曲线的解析式建立方程，进而用表示出点，的横坐标，进一步表示出，最后建立关于的方程，解方程求出符合题意的k的值.
13．如图，已知点A（-2，3)，B（2，1)，当直线y= kx-k与线段AB有交点时，k的取值范围是 .
【答案】k≤-1或k≥1.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：因为y= kx-k=k(x-1)，所以直线y= kx-k恒过点(1，0).当直线刚好过点A时，将A(-2，3)代入y= kx-k中得3=-2k-k，解得k=-1.当直线刚好过点B时， 将B(2，1)代入y= kx-k中得1=2k-k，解得k=1，所以当直线y= kx-k与线段AB 有交点时，k的取值范围为k≤-1或k≥1，
故答案为：k≤-1或k≥1.
【分析】由已知得直线y=kx-k恒过点P(1，0)，分别求出直线PA和直线PB的比例系数k，即可求解.
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(-1，1)，点B 在x轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线 上，过点 C 作CE∥x 轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE 的面积为　 　.
【答案】7
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点 B 作BM⊥CE 于点M，过点 D 作DH⊥CE 于点H，过点A作AG⊥DH 于点G，
设
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD = CD = BC， ∠ADC =∠DCB =90°，
∴△AGD≌△DHC≌△CMB
∴AG=DH=-x-1，DG=BM，
得x=-2.
，
，
∵AG=DH=-1-x=1，
∴点E的纵坐标为-4，
当y=-4时，x=，
∴，
∴EH=2-，
∴CE=CH-HE=4-=，
故答案为：7
【分析】
作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明△AGDS△DHCS△CMB，根据点D的坐标表示：AG=DH=-x-1，由DG=BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论.
15．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45min，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇.已知货车的速度为60km/h，两车之间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度为100km/h；
②甲、乙两地之间的距离为120km；
③图中点B 的坐标为(，75)；
④快递车从乙地返回时的速度为90km/h.
以上4个结论中正确的是　 　(填序号).
【答案】①③④
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，则
故①正确；
②因为120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，故②错误 ；
③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，
所以图中点B的横坐标为 纵坐标为 故③正确；
④设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时，则
故④正确。
故答案为： ①③④.
【分析】根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案.联立方程组即可求得交点横坐标，即为相遇的时间.
16．（2025九下·南山期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，过A作AH丄c轴于H，过B作BG⊥c轴于G，
∴AH//BG，
∵AB=BC，
∴CG = HG，
∴AH=2BG，
∵A、B两点在反比例函数得图像上
设：
∵OD//AB，
∴S△AOC= S△ADC = 12，
∴S△AOB=S△AOC=6，
∴ S△AOH= S△OBG=
∴ S△AOH-S△EOH+ S△AEB = S△OBG-S△EOH +S△AEB，
即S四边形AHGB= S△AOB=6，
∴
解得：k=8
故答案为：8.
【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，由OD//AB，得到S△AOB= 12S△AOC =12S△ADC =6=S四边形AHGB，根据梯形的面积公式列方程即可得到结论。
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。
17．（2025八上·绍兴月考）已知点P(a-1， 6+2a) ， 解答下列各题：
（1）若点 P在x轴上，求点 P 的坐标 ；
（2） 若点Q (5， 8) ， 且PQ∥y轴， 求点P 的坐标.
【答案】（1）解：∵点在轴上，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：∵点，点，且轴，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为．
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据“轴上的点纵坐标为0”列式计算即可求解；
（2）根据“轴时，横坐标相等” 列式计算即可求解．
18．（2026八上·宁波期末）已知y是x的一次函数，且当x=1时，y的值是2，当x=2时，y的值是3，
（1）求y关于x的函数表达式；
（2） 当y>3时， 求x的取值范围.
【答案】（1）解：设，
∵当时，的值是，当时，的值是，
∴，
解得，
∴关于的函数表达式为；
（2）解：当时，，
解得，
∵，
∴的值随着的增大而增大，
∴当时，的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）求出时的值，再根据一次函数的性质解答即可求解.
19．（2026九上·永吉期末）如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠16m，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为，
∵点（24，50）在函数图象上，
∴，
∴，
∴所求函数关系式为；
（2）解：当y=15时，，
∴x=80，
80÷16=5（台），
答：需要5台这样的挖掘机．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
(2)求出当y=15时，x的值，再用x的值除以16即可得到答案.
20．（2026九上·路桥期末）小王驾驶汽车从甲地走高速公路前往乙地办事，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地，之后他按原路返回甲地．
（1）求行驶时间（小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式；
（2）根据规定：在高速公路上行驶时，最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时．求小王返程行驶时间的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，
答：行驶时间（小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式为；

（2）解：对于函数，，随的减小而增大，
当，，
当时，，
．
答：小王返程行驶时间的取值范围为．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据路程不变得到速度与时间的函数关系式；
（2）根据速度的范围计算返程时间．
21．（2025八下·临海月考） 一次函数 (k为常数)，且 .
（1） 若点(-1，4)在一次函数的图象上，求一次函数的解析式.
（2） 当 时，一次函数 (k 为常数，且 )有最大值 k，求 k 的值.
（3） 若一次函数 (k 为常数，且 )与 x 轴的交点为(m，0)，且 ，设 ，求 P 的取值范围.
【答案】（1）解：把代入 得 ，解得
∴ 一次函数解析式为：
（2）解：① 当时，y随 x 的增大而增大，
∴ 当时，y有最大值，即，解得：
② 当时，y随 x 的增大而减小，
∴ 当时，y有最大值，即，解得：（舍去）
综上所述
（3）解：如图，∵，
∴ 当 时，， 时，
∴
∴，
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）直接代入x=-1到 求出k值，即得到一次函数的解析式；
（2）分别对或时讨论，当时，函数在x=-1处取得最大值；当时，函数在x=-3处取得最大值. 最后计算（舍弃不符合的k值）得出结果；
（3）通过k取值范围的不同计算出m的取值范围，从而得到P的取值范围.
22．（2025八上·莲都期末）
拟定游玩计划
信息1：某风景区的游览地图如图1所示。 信息2：景区内有一辆免费的电动观光车，匀速地在古刹和飞瀑之间不间断地来回载客（上下车时间忽略不计），首趟观光车于早上9：00从古刹出发。
信息3：小聪在景点古刹游玩结束后，恰好坐上首趟观光车前往塔林。在塔林游玩若干时间后，再坐上第二趟观光车去草甸游玩，小聪和观光车离古刹的路程s（m）与时间t（min）的函数关系如图2所示。 信息4：小聪在飞瀑游玩后，要在中午12：00前赶回古刹吃中饭。
（1）任务1：确定车速：根据游览地图和函数图象，计算出电动观光车的车速。
（2）任务2：探究时间：求出小聪到达草甸的具体时间。
（3）任务3：拟定计划：请为小聪拟定在草甸、飞瀑这两个景点游玩的最长时间及搭乘的车次。
【答案】（1）解：由题意可得2×10000÷40=500(m/min)
∴电动观光车的车速为500m/min。
（2）解：由（1）可得，第一趟前往飞瀑的观光车，s关于t的函数表达式为s=500t(0≤t≤20），
设第二趟前往飞瀑的观光车s关于t的函数表达式为s=kt+b(40≤1≤60)
把(40，0)，（60，10000）代入，得
解得：
∴s=500t-20000，
把s=8000代入，得500t-20000=8000
解得t=56
∴小聪到达草甸的具体时间是上午9：56
（3）解：由图可得，观光车来回一趟所需时间是40min，
12-9=3(h），3×60÷40=4.5(趟），
∴第五趟车到达飞瀑已是12时.
∴小聪在草甸最多游玩40min，坐第三趟车前往飞瀑，在飞瀑最多游玩40min，坐第四趟车回古刹
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据图象信息，结合有理数的乘除即可求出答案.
（2）由（1）可得，第一趟前往飞瀑的观光车，s关于t的函数表达式为s=500t(0≤t≤20），设第二趟前往飞瀑的观光车s关于t的函数表达式为s=kt+b(40≤1≤60)，根据待定系数法将点(40，0)，（60，10000）代入解析式可得s=500t-20000，再将s=8000代入解析式即可求出答案.
（3）由图可得，观光车来回一趟所需时间是40min，根据有理数的混合运算可得第五趟车到达飞瀑已是12时，即可求出答案.
23．（2025八下·玉环期末） 如图，直线与轴，轴分别交于点，，在线段上取一点，连结，若的面积为3，求直线的解析式．
【答案】解：当y=0时，-3x+6=0，
解得x=2，
∴A(2，0)，
当x=0时，y=-3x+6=6，
∴B(0，6)，
∵△ABC的面积为3，
∴，
解得BC=3，
∴C(0，3)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(2，0)，C(0，3)分别代入得，
解得
∴直线AC的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】先根据直线与坐标轴交点的求法确定点A、B的坐标，再利用三角形面积公式求出点C的坐标，最后用待定系数法求出直线AC的解析式.
24．（2025九上·渌口期末）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
（1）求、的值和一次函数的表达式；
（2）连接，求点到线段的距离．
【答案】（1）解：将，代入，得，
解得：，
∴，
∵一次函数过点，，
∴，
解得：
∴一次函数表达式为：；
（2）解：如图，连接，过点作于，过点作于，
，，
轴，，
点，，，
点，，，
∴在中，，
又，
∴，
解得：，
∴点到线段的距离为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式中求出，的值，利用待定系数法求出一次函数表达式；
（2）连接，过点作于，过点作于，根据点的坐标得到轴，、、的长度，然后利用勾股定理得到的长度，最后利用三角形面积公式求出的长度，即可求解.
（1）点、在反比例函数图象上
，
又一次函数过点，
解得：
一次函数表达式为：；
（2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
，
轴，
点，，
点，，
在中，
又
即
∴，即点C到线段的距离为．
25．（2025九上·水城期末）如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数．当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象；
（3）若小孔到蜡烛的距离为时，求火焰的像高．
【答案】（1）解：设与的函数表达式为：，当时，．代入中得：，
解得：，
∴关于的函数表达式为：；
（2）解：如图：
（3）解：解：把代入中得：，
∴火焰的像高为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】
（1）设与的函数表达式为：代入点的坐标（2，3）利用待定系数法进行计算得k=6，即可解答；
（2）根据函数图象画法，列表，描点，连线即可；
（3）把代入解析式中进行计算，即可解答；
（1）解：设与的函数表达式为：，
当时，．代入中得：，
解得：，
∴关于的函数表达式为：；
（2）如图：
（3）解：把代入中得：，
∴火焰的像高为．
26．（2025八上·南山期中）【了解概念】对于给定的一次函数y=kx+b（其中k，b为常数，且k≠0），称函数为一次函数y=kx+b的关联函数.
【理解运用】
（1）例如：一次函数y=-3x-1的关联函数为
若点P（2，m）在一次函数y=-3x-1的关联函数的图象上，则m的值为　 　.
（2）已知一次函数y=-3x-1，我们可以根据学习函数的经验，对它的关联函数的图象与性质进行探究.下面是嘉嘉的探究过程：
①填表：
x ... -1 0 1 2 ...
y ... 　 　 　 　 ...
②根据①中的结果，请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y=-3x-1的关联函数的图象；
③若-1≤x≤2，则y的取值范围为 ▲ .
【答案】（1）5
（2）①解：由题意可得：
当x=-1时，y=-3×(-1)-1=2
当x=0时，y=3×0-1=-1
当x=1时，y=3×1-1=2
当x=2时，y=3×2-1=5
∴填表如下：
x ... -2 -1 0 1 2 ...
y ... 5 2 -1 2 5 ...
②
③由图象可得：
若-1≤x≤2，则y的取值范围为-1≤y≤5
【知识点】分段函数；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）∵点P（2，m）在一次函数y=-3x-1的关联函数的图象上，且2>0
∴m=3×2-1=5
故答案为：5
（2）③由函数图象及表格数据可知：当x=0时，y=-1(最小值）；当x=2时，y=5(最大值)；
当x=-1时，y=2(在-1到5之间)。
因此-1≤x≤2时，y的取值范围为-1≤y≤5。
故答案为：-1≤y≤5
【分析】（1）根据题意将点P坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）①根据题意求出x值对应的y值，填表即可.
②根据描点法作图即可.
③根据函数图象信息即可求出答案.
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