2026年湖南省长沙市高三第一册模拟考试数学试题（含简单答案）

2026年湖南省长沙市高三第一册模拟考试
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列前三项的和为，则的公差为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．3
3．已知向量不共线，且，则实数（ ）
A．3 B． C． D．
4．已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，到轴的距离为2，则到原点的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知数列的前项和记为，若，则（ ）
A．15 B．31 C．63 D．127
7．直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
10．设函数，则（ ）
A．当时，是的极小值点
B．当时，函数有三个零点
C．若函数有三个零点，则
D．已知是函数的极大值点，若，则
11．已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ）
A．越大，则双曲线的离心率越大
B．过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条
C．点到两渐近线的距离之积为定值
D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．在中，已知，且，则 ．
13．三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为 .
14．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，是上的一个动点，，且的一条渐近线方程为，设的面积为S，则 .
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知是正项数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和．
16．在三棱柱中，点为侧面正方形的中心，平面，且，为的中点，直线与平面所成角的正切值为.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式，并求的前项和．
18．已知椭圆的短轴长为2，焦距为2，过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和，与交于两点，与交于两点，线段的中点分别为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求点的轨迹方程；
(3)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由．
19．已知函数．
(1)当时，当，求的最小值；
(2)当时，证明：存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与的图象有3个交点；
(3)当时，将在区间上的零点从小到大依次排列，记第个零点为，证明：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026年湖南省长沙市高三第一册模拟考试
数学试题（解析版）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A D C A B ABC AD
题号 11
答案 ACD
12．4
13．
14．/
15．(1)
(2)
16．(1)；
(2).
17．(1)证明见解析
(2)，
18．(1)；
(2)；
(3)直线恒过定点．
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
答案第1页，共2页
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