寒假提升试题（3） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册

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寒假提升试题（3） 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式DUV 光刻机，标志着中国在28 nm制程核心设备领域实现里程碑式进展．已知．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）
A．y﹣5y﹣6＝（y﹣6）（y+1） B．a+4a﹣3＝a（a+4）﹣3
C．x（x﹣1）＝x﹣x D．m+n＝（m+n）（m﹣n）
5．若平面直角坐标系中，线段关于轴对称，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是( )
A． B．
C． D．
7．已知的三个内角，，满足关系式，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为 B．一定有一个内角为
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
8．如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒， 组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．三个边长分别为的正方形按如下图位置摆放，则图中3阴影部分的面积可表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．下表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（ ）
轮次 行动者 添加条件
甲
乙
甲
①若第轮甲添加，则乙获胜；
②若甲想获胜，则第轮可以添加条件“”；
③此游戏最多轮必分胜负．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
11．计算： ．
12．若分式的值为0．则x的值是 ．
13．如图，在中，，线段的垂直平分线分别交于D、E两点，若，则 度．
14．，，则的值= ．
15．关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
16．如图，在等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连接，当的值最小时，的度数为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简，再从，0，3中选择一个合适的值代入求值：．
19．如图，点，，， 在一条直线上（点，之间不能直接测量），点，在直线的异侧，测得．，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
20．如图，已知，点为上一点．
(1)尺规作图：作直线，使得点与点关于直线对称，直线交直线于，交直线于；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，，交于点，若，证明：．
21．厦门的凤梨穗龙眼干，果肉厚实、香甜软糯，是闽南特色伴手礼．某农产品合作社今年需加工晾晒龙眼干36吨，社员先自行加工晾晒了6 吨后，区乡村振兴办组织的志愿者服务队加入一起加工．已知志愿者服务队的加工速度是社员加工速度的2倍，从社员开始加工到全部加工完毕，一共用了8天．
(1)求社员每天加工晾晒多少吨？
(2)已知合作社每天需要支出给社员劳务费2500元，志愿者服务队是义务劳动，不需要支出劳务费，只需每天支出饮食费600元，那么志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？
22．【知识生成】
我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到 请解答下列问题：
（1）写出图2 中所表示的数学等式 ： ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求 的值；
【知识迁移】
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3 表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个数学等式： ．
23．如图，在中，，过点的直线，是上的一个动点，的平分线交的延长线于点．
(1)若，，求的度数；
(2)在动点运动的过程中，求证：为定值．
24．已知正数，，，，满足，．
(1)当，时，请用含的式子表示；
(2)已知，，满足；
①求证：；
②若，求的取值范围．
25．如图1，在中，，，，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点，求证：点为中点；
(3)如图3，点为平面上一点，点为上一点，连接，，．且，点为中点．连接，，求的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A C D B B A B
1．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可．如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形．
故选：B．
2．C
【分析】根据合并同类项法则、幂指数、积的乘方、完全平方差公式，分别计算四个选项即可得到．
【详解】A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C正确；
D. ，故D错误；
故选C．
【点睛】本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、幂指数、乘方、完全平方差公式，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
3．B
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解．
【详解】解：．
故选：B．
4．A
【分析】根据因式分解的定义: 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解,逐一判断即可.
【详解】A. y﹣5y﹣6＝（y﹣6）（y+1）符合因式分解的定义,故A符合题意;
B. a+4a﹣3＝a（a+4）﹣3,化成的不是整式乘积的形式,故B不符合题意;
C. x（x﹣1）＝x﹣x,是整式的乘法,不是因式分解, 故C不符合题意;
D. m+n＝（m+n）（m﹣n）,等式右边= m－n,不是恒等变形,故D不符合题意.
故选A.
【点睛】此题考查的是因式分解的判断,掌握因式分解的定义: 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解,是解决此题的关键.
5．C
【分析】本题考查关于x轴对称的点坐标关系：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可．
【详解】∵线段关于x轴对称，
∴点A与点B关于x轴对称，
∵点A的坐标为，
∴点B的坐标为
故选：C．
6．D
【详解】由角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知：GE⊥OM，GF⊥ON.
故选：D
7．B
【分析】本题考查了三角形内角和的应用，利用三角形内角和定理，结合给定条件求解∠A的度数，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴
∴．
∴三角形一定有一个内角为，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质，由得出，再结合三角形外角的定义及性质得出，由计算得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．A
【分析】此题主要考查了图形的面积，列代数式，准确识图，正确的根据图形的面积公式列出代数式是解决问题的关键．依题意得：，，根据即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
依题意得：，
，，
，
，
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵第一轮甲添加，第二轮乙添加，
∴若第轮甲添加，满足，，甲失败，乙获胜，故①正确；
若甲添加，满足，，甲失败，故②错误；
游戏已进行两轮，第三轮甲添加条件后若不全等（如添加），则第四轮乙添加任何条件（如、或)均会导致全等，乙失败，故最多轮必分胜负，③正确；
综上，说法正确的是①③，
故选：．
11．/
【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算以及幂的乘方运算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为．
12．5
【分析】根据分子等于0，且分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得
x2-25=0，且x+5≠0，
解得
x=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
13．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角、内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由得到，，然后，则，最后在中运用内角和定理建立方程求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵线段的垂直平分线分别交于D、E两点，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴在中，由得，
解得，
∴，
故答案为：36．
14．50
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，根据相关运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴；
故答案为：50．
15．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于的分式方程有整数解，得出或或，再检验得出符合题意的的值，即可得解．
【详解】解：解不等式组得，
∵不等式组有解且最多有3个整数解，
∴，
解得：，
解关于的分式方程得，
∵关于的分式方程有整数解，
∴或或，
∵为整数，且，，
∴或或，
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
那么符合条件的所有整数的和为，
故答案为：．
16．/度
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线得到三点共线时，的值最小，是解题的关键．
过点作，使得，连接．证明，则根据得到三点共线时，的值最小．求出此时的度数即可．
【详解】解：如图，过点作，使得，连接．
是等边三角形，，
，
．
，
，
三点共线时，的值最小．
，
．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得出结果；
（2）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算减法即可化简，根据分式有意义的条件得出，再代入，计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
；
∵要使分式有意义，则，且，
∴，
∴当时，原式．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质可得，，再利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再由，得出，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据作图得到垂直平分线的性质，从而证明全等．
（1）连接，作线段的垂直平分线，交于E，交于F，连接即可；
（2）由（1）中作图可知，，再证明，得到，即可证明．
【详解】（1）如图:
（2）由(1)知，垂直平分，
∴，,
在和中，
，
∴，
∴，
．
21．(1)社员每天加工晾晒吨
(2)志愿者服务队加入后可帮助合作社节省元
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
（1）设社员每天加工晾晒吨，则志愿者每天晾晒吨，根据题意列出分式方程，解方程 得出结果；
（2）先求出原计划所花费的费用，再计算实际花费的费用，作差即可得出结果．
【详解】（1）解：设社员每天加工晾晒吨，则志愿者每天晾晒吨，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴社员每天加工晾晒吨；
（2）解：原计划：（天），
原计划费用：（元），
社员加工天数：（天），
社员和志愿者加工天数：（天），
实际费用：（元），
节省的钱数为：（元），
故志愿者服务队加入后可帮助合作社节省元．
22．（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了完全平方公式，多项式的乘法，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）图2是一个边长为的大正方形，其面积可以表示为，同时，大正方形又可以分割为一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长为、宽为的长方形，两个长为、宽为的长方形，两个长为、宽为的长方形，它们的面积之和为，由此即可得出结果；
（2）根据（1）中得出的公式计算即可得出结果；
（3）分别表示出左边图形的体积为，右边图形的体积为，即可得出结果．
【详解】解：（1）图2是一个边长为的大正方形，其面积可以表示为，
同时，大正方形又可以分割为一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长为、宽为的长方形，两个长为、宽为的长方形，两个长为、宽为的长方形，它们的面积之和为，
∴；
（2）∵，，且，
∴；
（3）由图3可得，左边图形的体积为大正方形的体积减去挖去的长方形的体积，为，
右边图形的体积为，
故．
23．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了等边对等角、角平分线的定义、三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边对等角得出，求出，再由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出结果；
（2）设，，则，求出，由平行线的性质可得，由三角形内角和定理可得，则，由角平分线的定义可得，再求出，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴；
（2）证明：设，，则，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故在动点运动的过程中，的值为定值．
24．(1)
(2)①见解析，②
【分析】本题考查了代数式的变形，完全平方公式，不等式的求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）当，时，，，从而得出，即可得出结果；
（2）①由题意可得，，代入可得：，结合是正数，得出，整理可得，即，即可得出结果；②由题意可得，结合从而得出，，将代入可得，求出，即可得出结果．
【详解】（1）解：当，时，，，
∴，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，，
∴将，代入可得：，
∵是正数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，，
将代入可得，
化简可得：，
∴，
∵，
∴．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出结果；
（2）过点作，交于点，则，证明为等腰直角三角形，得出，再证明，得出，即可得证；
（3）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，得出，，最后证明出为等腰直角三角形，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）证明：过点作，交于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即M为中点；
（3）解：延长至，使，连接，如图：
∵N为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由得，，
∵，
∴，
∴，即，
延长、交于点，
∵，，
∴，即，
∵，
∴点、、、共圆，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
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