寒假强化试题（3） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册

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寒假强化试题（3） 2025-2026学年
上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．下面是第33届夏季奥林匹克运动会的一些项目图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．有如下长度的4根木条，能与长度为和的两根木条组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．同学们都知道，蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料．那你知道蜂房蜂巢的厚度吗？事实上，蜂房的蜂巢厚度仅仅约为．此数据用科学记数法表示为（）
A． B． C． D．
5．如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如果把分式中的都变为原来的6倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的 B．不变
C．变为原来的6倍 D．变为原来的12倍
7．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ）
A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线
8．某校组织八年级师生乘大巴车前往红色教育基地开展研学活动，原计划路程为，因道路维修临时改道，从学校到基地的实际行驶路程为，大巴车的平均速度降低为原计划的，最终行程用时比原计划多了．设大巴车原计划的平均速度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，中，的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值8时，的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
10．如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：；；，其中，正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
11．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的半径约为米．数据“”用科学记数法表示为 ．
12．若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值 ．
13．已知，则的值为 ．
14．现规定一种新运算“”：，例如，则 ．
15．如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为 ．
16．若等式成立，则的值为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．因式分解：
(1)；
(2)
19．解分式方程：．
20．先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值．
21．如图，在的正方形网格，每个小正方形的边长均为一个单位长度，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)点是上的格点，且为等腰三角形，在图①中画出一个符合条件的；
(2)在图②画出的重心．
22．如图所示，，，，．
(1)求的角度；
(2)若，，求的面积．
23．“如果你有时间，一定要来一趟南昌，吹吹艾溪湖的晚风，吃吃地道香辣的南昌拌粉，逛逛‘落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色’的滕王阁，看看军旗升起的八一起义纪念馆”．元旦期间，南昌这座城市吸引了很多游客，滕王阁附近商店的文创产品也深受喜爱．某商店用120元购进的款文创产品比用150元购进的款文创产品的数量多2个，且每件款文创产品的进价是每件款文创产品进价的倍．
(1)求、两款文创产品每件的进价；
(2)若该商店对、两款文创产品的售价分别为12元/个和20元/个，计划购进这两款文创产品共200件进行销售，要使总利润不低于700元，求款文创产品最多购进多少件？
24．我们把多项式及叫做完全平方式，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它能解决一些与非负数或非正数有关的问题如求代数式最大值，最小值等，甚至我们还能巧妙地利用它来比较一些多项式的大小．
例如：求代数式的最小值．
小明是这样做的：原式．
，当时，的最小值为3．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)若多项式，，试着比较多项式和的大小，并说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且，满足．
(1)直接写出，两点的坐标；
(2)如图1，为线段上一点（点不与点，重合），且满足，连接，为轴上一点（点在点的右边），若，求证：；
(3)如图2，过点作于点，以为边在轴左侧作等边，连接交于点，请探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B D B A D B C
1．C
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2．C
【分析】本题考查三角形的性质，解题的关键是熟知三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、，不能构成三角形，故不正确；
B、，不能构成三角形，故不正确；
C、，能构成三角形，故正确；
D、，不能构成三角形，故不正确；
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项等知识点．运用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，故该选项符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，根据科学计算法的要求，正确确定出a和n的值是解答本题的关键．
对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：
故选B．
5．D
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，由，得，由三角形的外角性质可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选：．
6．B
【分析】本题主要考查了分式的性质，关键是熟悉分式的运算法则．
先将都变为原来的6倍，然后根据分式的性质化简，即可求解．
【详解】解：设原分式 ，变化后分式 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 分式的值不变，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案．
【详解】解：由图①得，，
∴是的角平分线；
由图②得，，
∵，即，
∴，
∴是的高线；
由图③得，，
∴是的中线；
∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线．
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用；设原计划平均速度为，则实际速度为，列分式方程即可．
【详解】解：设原计划平均速度为，则实际速度为，
根据题意得：，
故选：D．
9．B
【分析】本题主要考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质等知识点．如图：连接，由于是等腰三角形，点为的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，求出的长，最后运用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵是等腰三角形，点为的中点，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴C关于直线的对称点为点A，，
∴的长为的最小值，
∵周长的最小值，
，
∴．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，全等三角形的判定和性质，由三角形的高可得，进而由三角形角平分线的定义可得，即可判定①；证明，得到，，进而可证明，即可判定②；由，，可得，可判定③，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故③错误；
综上，正确的有1个．
故选：C．
11．
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
根据科学记数法的定义作答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12．扩大倍
【分析】本题考查了分式的基本性质．
根据分式的基本性质，将x和y都扩大3倍后，分别计算新分式的分子和分母，再与原分式比较，得出分式值的变化情况
【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，得到新的分式为：
所以分式的值扩大3倍．
故答案为：扩大倍．
13．
【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的除法，代数式求值．
根据幂的乘方将化为，进而根据同底数幂的除法计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了新定义运算．
根据新定义，先计算括号内的，再计算即可．
【详解】解：，
则．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键．
设正方形，正方形的边长分别为，根据面积之差为51，可得，结合，可得，即可求解．
【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为，
∵两正方形面积之差为51，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：3
16．或或
【分析】本题考查了零指数幂的性质和有理数的乘方．
需分类讨论等式成立的三种情况：指数为0且底数不为0、底数为1、底数为且指数为偶数．
【详解】解：当指数时，解得，此时底数，符合；
当底数时，解得，此时指数，，符合；
当底数时，解得，此时指数，为偶数，，符合；
故x的值为或或．
故答案为：或或．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简绝对值，算术平方根，乘方，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答．
（2）先算乘方，再计算多项式乘多项式，多项式除以单项式，再合并同类项，即可作答．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
18．(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键；
（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．
【分析】本题考查了解分式方程．
方程两边同时乘以化为整式方程，求解后检验即可．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
20．，当时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，选取合适的x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当，，时，分式无意义，
取，
当时，原式．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格上的无刻度直尺作图，重心，涉及勾股定理和等腰三角形的判定与性质，掌握理解题意，找到相应数学知识是解题的关键．
（1）在上取点，使，即可求解；
（2）先作边的垂直平分线，再作边的中线交于点O，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：如图，点O即为所求．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，等边对等角．
（1）证明，得，即可得出结果；
（2）过点作，垂足为，根据 ，可 得是等边三角形，根据，得， 即可求的面积．
【详解】（1）解：
，
．
在和中，
，
，
．
．
；
（2），，
是等边三角形，
又，
，
过点作，垂足为，如图所示:
在中，
，
，
．
23．(1)、两款文创产品的进价分别是元/个和元/个；
(2)款文创产品最多购进件
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元，根据“某商店用120元购进的款文创产品比用150元购进的款文创产品的数量多2个”列分式方程求解即可；
（2）设购进件款文创产品，则购进件款文创产品，根据“总利润不低于700元”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元
由题意得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
故（元），
答：、两款文创产品的进价分别是元/个和元/个；
（2）解：设购进件款文创产品，则购进件款文创产品，
由题意得：，
解得，
答：款文创产品最多购进件．
24．(1)
(2)；
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
（1）根据阅读材料，先将代数式配方后，再利用非负数的性质解答即可；
（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答即可；
（3）计算，再根据非负数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：，
，
当时，的最小值为；
（2）解：，
,
，
当时，最大值为；
（3）解：，理由如下，
，，
，
，
，
．
25．(1)，；
(2)见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（）由，则，，求得，即可；
（）在上取一点，使，过点作，交的延长线于点，过点作，交 的延长线于点，则是等腰直角三角形，然后证明，所以，再证明，根据性质可得；
（）在上取，连接 并延长交轴于点，在等边中，，，所以，在等腰直角中，，则，然后证明，所以，，所以，则，然后通过直角三角形性质可得，又，从而得．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）证明：在上取一点，使，过点作，交的延长线于点，过点作，交 的延长线于点，则是等腰直角三角形，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴，
同理，
∴，，三点共线，
由（）得，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
在上取，连接 并延长交轴于点，
在等边中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在等腰直角中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了绝对值非负性，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，同角的余角相等，直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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