寒假强化试题（3） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册

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寒假强化试题（3） 2025-2026学年
上学期初中数学人教版（2024）七年级上册
一、单选题
1．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是（ ）
A．少 B．年 C．强 D．则
2．下列等式变形错误的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如温度上升记作，则下降记作（ ）
A． B． C． D．
4．根据国家广电总局发布的数据，网络视听平台直播抗战胜利80周年阅兵仪式收视超过1920000000人次．将1920000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列单项式与是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
6．圆形方孔铜钱是我国古代的一种货币．图中铜钱外部圆的半径为，内部正方形的边长为，这枚铜钱的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A． B． C． D．
10．观察图和所给表格回答：当等腰梯形个数为时，图形的周长为（ ）
梯形的个数 1 2 3 4 5 …
图形的周长 5 8 …
A． B． C． D．
二、填空题
11．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为
12．相关部门开山挖隧道，把盘山公路改为平直的隧道后，大家开车经过的路程明显减短，出现这种现象的原因是 ．
13．当时，代数式 ．
14．如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ．
15．如图是某年2月份的月历，现用一个正方形方框在月历中任意框出4个数．当时， ．
16．【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
【问题解决】如图2，若，点C是线段的巧点，则 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，是线段的中点，是线段的中点，若，求线段的长．
19．解方程：
(1)；
(2)
20．某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表：
每天装订的本数
需要的天数
请回答以下问题：
(1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）；
(2)这批练习本一共有多少本？
(3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系．
21．先化简，再求值：，其中，．
22．在元旦期间，某商店销售特色礼品糖果，共有箱，以每箱千克为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数来表示：
与标准质量的差值（千克） -0.10 -0.05 0 0.05 0.10 0.15
箱数 2 3 5 7 2 1
(1)这箱特色礼品糖果中，最重的一箱比最轻的一箱重__________千克；
(2)与标准质量相比，这箱礼品糖果总计超过或不足多少千克？
(3)商店计划先以每千克元售出部分糖果，然后以八折优惠售完剩余的糖果，若商店想要获得元的销售额，请问原价售出的糖果是多少千克？
23．在数轴上，点和点对应的数分别是，5．甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），规则如下：
①若甲胜，则点向右移动2个单位长度，点向右移动1个单位长度；
②若乙胜，则点向左移动1个单位长度，点向左移动2个单位长度；
③若平局，则点向右移动1个单位长度，点向左移动1个单位长度．
(1)画出数轴，并在数轴上标出点和点的初始位置；
(2)如果两人进行了2局游戏，这两局的部分情况如下表所示：
局次 第一局 第二局
甲的手势 石头
乙的手势 剪刀 布
若第二局结束时点离原点更近，则甲第二局的手势可能是__________；
(3)如果两人进行了5局游戏，其中平局次，甲胜1次，且第五局结束时，，两点相距1个单位长度，请探究的值．
24．某校举办数学节，七年级班的学生设计了如下的数学活动：
在一个的数阵中（如图1），绘制“”、“”两个字样的阴影图案，沿上下左右平行移动这两个图案（可重叠）．设“”型图案覆盖的数字之和为，最中间的数字为（如图2）；“”型图案覆盖的数字之和为，中间的一个数字为（如图3）．
(1)请用含的代数式表示▲，__________；
(2)为了让图案整齐美观并暗藏班级代码，班长移动这两个图案，使得“”和“”在同一水平高度，且两个图案之间的间隔仅为一列，此时和刚好满足，求的值；
(3)分别移动图案“”、“”，能否使得与的和为584？若能，求出对应的和的值；若不能，请说明理由．
25．如图，在同一平面内，点，，三点共线．
(1)如图1，若，则__________．
(2)如图2，若，，求的度数．
(3)如图3，已知，，平分．射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线以每秒的速度绕点逆时针旋转．同时从图3的位置出发，当与重合时，立即以原速度顺时针返回，继续旋转到与重合时，运动停止．
①运动停止时，直接写出__________．
②在运动过程中，设时间为秒，求当为何值时，．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B D D C D B A
1．B
【分析】本题主要考查了正方体展开图中相对面的识别，熟练掌握正方体展开图中“相间、端是对面”的规律是解题的关键．利用正方体展开图中“相间、端是对面”的规律，先确定展开图的结构，再定位“国”字所在面，进而找出其相对面．
【详解】解：在这个正方体展开图中：
“少”与“强”（中间隔“年”）为相对面；
“年”与“国”（中间隔“则”）为相对面；
“强”与“则”为相对面．
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据等式的基本性质，逐一判断每个选项中等式变形是否正确，找出错误的变形．
【详解】解：选项A，∵ ，
∴ 两边同时减去 ，得 ，
故A项正确，不符合题意．
选项B，∵ ，
∴ 两边同时乘以 ，得 ，
故B项正确，不符合题意．
选项C，∵ ，
∴ 两边同时乘以 ，得 ，
故C项错误，符合题意．
选项D，∵ ，
∴ 两边同时加上 ，得 ，
故D项正确，不符合题意．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查正负数的意义，具有相反意义的量，掌握相关知识是解决问题的关键．上升记为正数，则下降记为负数．
【详解】解：上升记作，则下降记作．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解： ，
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握同类项“两相同（所含字母相同、相同字母的指数相同）”的判定标准是解题的关键．
先明确同类项的定义，再逐一对比各选项中的单项式与 的字母及对应指数，从而确定正确选项．
【详解】解：选项A： 与 相同字母的指数不同，不是同类项；
选项B： 与 相同字母的指数不同，不是同类项；
选项C： 与 相同字母的指数不同，不是同类项；
选项D： 与 所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项；
故选：D．
6．D
【分析】本题考查列代数式，掌握相关知识是解决问题的关键．铜钱的面积等于圆面积减去正方形面积．
【详解】解：铜钱的面积=圆面积正方形面积．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据题意找到等量关系并列出方程是解题的关键．先根据题目条件，用含未知数的代数式分别表示出金牌数和银牌数，再根据总奖牌数列出方程．
【详解】解：设铜牌数为枚，则金牌数为枚，银牌数为枚，由题意可得
，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查数轴与有理数，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，在数轴上对应的点判断三个数，然后根据有理数计算法则逐项判断即可．
【详解】解：根据，，在数轴上对应的点可知，，，
A、∵，∴，原式错误；
B、∵，，∴，原式错误；
C、∵，∴，原式错误
D、∵，∴，原式正确．
故选：D．
9．B
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．按满六进一计算可以表示为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，据此解答即可．
【详解】解：．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查规律探索，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．
依题意可得梯形个数与图形周长的关系为：周长，将代入计算即可．
【详解】解：依题意可得梯形个数与图形周长的关系为：周长，
当等腰梯形个数为时，
周长．
故选：A．
11．
【分析】该题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时小数点移动的位数．
【详解】解：将21500000用科学记数法表示为，
故答案为：．
12．两点之间线段最短
【分析】本题考查了线段的基本性质：两点之间线段最短，掌握这点是解题的关键；根据两点之间线段最短判断即可．
【详解】解：出现这种现象的原因是两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短．
13．23
【分析】将原代数式化简，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：23．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，利用整体法代入是解题的关键．
14．
【分析】本题考查的是几何体展开图的特征，根据展开图的形状求出对应面是解决本题的关键．
先找出每个面的对应值，再根据相对两面的数字之和相等，列式计算即可得出答案．
【详解】解：因为，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以，3和相对，x和y相对，和2相对．
因为，相对两面的数字之和相等，
所以，， ，
所以，，，
所以，．
15．19
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．观察数表，可知：，根据，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：观察数表，可知：，
根据题意得：，
解得：，
．
故答案为：19．
16．或或12
【分析】本题考查新定义与线段的计算，熟练运用分类讨论思想是解题关键．
根据题干的新定义，共可分为，，，四种可能，逐一计算即可．
【详解】解：当时，此时点C是线段的中点，
∴，
同理，当时，点C也是线段的中点，即，
当时，
∵，
∴，
解得，，
当时，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：6或9或12．
17．1
【分析】根据有理数的混合运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
=1．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，有理数的混合运算先乘方，再乘除，最后加减．
18．9
【分析】本题考查线段的和差，线段的中点，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是线段的中点，，可求，是线段的中点，可求，则可求．
【详解】解：∵是线段的中点，，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握移项、去分母、合并同类项等解方程的基本步骤是解题的关键．
（1）通过移项将含未知数的项移到等式左边，常数项移到等式右边，再合并同类项求解．
（2）先去分母消除分数，再去括号，接着移项合并同类项，最后将未知数系数化为1求解．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
20．(1)减少
(2)2000本
(3)，反比例关系
【分析】本题主要考查了反比例关系的判断、反比例函数的表达式以及总量的计算，熟练掌握反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例）是解题的关键．
（1）观察表格中每天装订本数和对应天数的变化趋势，判断增减性．
（2）根据“总本数=每天装订本数天数”，用表格中任意一组数据计算即可．
（3）先根据总本数不变写出与的关系式，再依据反比例关系的定义判断比例类型．
【详解】（1）解：由表格可得需要的天数随着每天装订的本数的增大而减少，
故答案为：减少；
（2）解：∵，
，
，
，
∴这批练习本一共有2000本．
（3）解：由题意可得，
，
∴与成反比例关系．
21．，
【分析】本题主要考查了整式的加减运算与代数式求值，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键．先通过去括号去掉多项式中的括号，再合并同类项进行化简，最后将已知的、的值代入化简后的式子计算结果．
【详解】解：
，
当，时，原式
．
22．(1)
(2)超过千克
(3)千克
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、一元一次方程的应用以及正负数的实际意义，熟练掌握正负数的运算和根据等量关系列方程是解题的关键．
（1）找出表格中最重和最轻的差值，直接相减即可．
（2）将每类差值乘以对应箱数，再求和，得到总计超过或不足的千克数．
（3）先算出糖果的总质量，再设原价售出的质量为未知数，根据销售额列方程求解．
【详解】（1）解：（千克），
故答案为：；
（2）解：
（千克），
答：这20箱礼品糖果总计超过千克．
（3）解：总质量为（千克）
设原价售出千克，则打折售出千克，
，
，
，
，
，
答：原价售出的糖果是千克．
23．(1)见解析
(2)剪刀或布
(3)4
【分析】本题主要考查了列代数式，数轴，一元一次方程的应用，本题是动点型题目，找出移动后甲乙距离变化的规律是解题的关键．
（1）在数轴上标出点和点的初始位置，即可；
（2）根据题意可得第一局甲胜，此时点表示的数为，点表示的数为，然后分三种情况，结合第二局结束时点离原点更近，即可求解；
（3）根据题意得到点表示的数为，点表示的数为，再由，两点相距1个单位长度，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：根据题意得：第一局甲胜，此时点表示的数为，点表示的数为，
第二局若甲胜，此时点表示的数为，点表示的数为；
第二局若乙胜，此时点表示的数为，点表示的数为；
第二局若平局，此时点表示的数为，点表示的数为；
∵第二局结束时点离原点更近，
∴第二局甲胜或平局，
∴甲第二局的手势可能是剪刀或布；
故答案为：剪刀或布；
（3）解：∵两人进行了5局游戏，其中平局次，甲胜1次，
∴乙胜次，
∴点表示的数为，点表示的数为，
∵，两点相距1个单位长度，
∴或，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴x的值为4．
24．(1)
(2)
(3)能，当时，；当时，
【分析】本题考查规律探索，整式的加减运算，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据数阵规律，每行相邻两数差值为1，每列相邻两数差值为8，结合中间数的关系，即可表示▲；
（2）根据图案特点可求，，因为两个图案同一水平高度且间隔一列的位置条件，所以，根据解方程并取合理整数解；
（3）根据 列出方程得，结合图形中数字为整数的实际情况，判断能否满足条件．
【详解】（1）解：根据数阵规律，每行相邻两数差值为1，每列相邻两数差值为8，
∵中间数，
∴．
故答案为：；
（2）解：由图知：
，
∵两个图案同一水平高度且间隔一列的位置条件，
∴，
∴，
∵，
∴
；
（3）解：
，
∵都为正整数，
∴当时，，此时图案“”和图案“”都放不进数阵，舍去；
当时，，此时图案“”放不进数阵，舍去；
当时，，
当时，，
当时，，此时图案“”放不进数阵，舍去；
当时，，此时图案“”和图案“”放不进数阵，舍去；
综上所述，当时，；当时，；
25．(1)
(2)
(3)①②
【分析】（1）根据平角及即可得到答案；
（2）设，，，且，据此列方程求解即可；
（3）分相遇前和相遇后两种情况进行讨论，相遇后的度数取小于平角的度数，所以需要再分两种情况进行讨论，分别用还有的代数式表示出列方程求解并保留符合题意的解．
【详解】（1）解：，，三点共线，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：设，，
∵，且，
∴
解得，
∴，
；
（3）解：如图所示，设原始位置所在直线为，所在的原始位置为射线，
，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∵射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，
∴当继续旋转到与重合时，用时（秒），
∵射线以每秒50°的速度绕点顺时针旋转，
∴，
∴．
故答案为：；
②射线以每秒50°的速度绕点顺时针旋转，射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线以每秒的速度绕点逆时针旋转，
当重合时，
解得，
当时，
，
∵，
∴
；
当时，
，
∵，
情况①：
（舍去）；
情况②
（舍去）
综上所述．
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