寒假强化试题（4） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册

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寒假强化试题（4） 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．下面4个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． 阿基米德螺旋线 B． 笛卡尔心形线C． 赵爽弦图 D． 太极图
2．要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．大量实验表明，平面镜成像有“像与物体关于平面镜对称”的特点．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴镜面厚度忽略不计建立平面直角坐标系，若某刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则x的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
7．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．B． C． D．
8．科学活动小组同学去距离学校千米的科技馆参观．一部分同学骑自行车先出发，过了分钟后，其余同学乘坐大巴车出发，结果他们同时到达．已知大巴车的行驶速度是自行车速度的倍，求自行车的速度．若设自行车的速度为千米时，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ）
A．A B．B C．C D．D
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，a)，B(b，12－b)，C(2a－3，0)，0＜a＜b＜12，若OB平分∠AOC，且AB＝BC，则a＋b的值为（ ）
A．9或12 B．9或11 C．10或11 D．10或12
二、填空题
11．要使式子 有意义，则x的取值范围是 ．
12．“墙角数枝梅，凌寒独自开.遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．诗人以梅花的坚强和高洁品格喻示那些处于艰难环境中依然能坚持操守、主张正义的人．梅花的花粉直径约为，将数据用科学记数法表示为 ．
13．因式分解： ．
14．整体代换是数学中重要的解题思想，其本质是将题中某些未知量的关系式当作整体，而不具体求解未知量．若，则 ．
15．如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是

16．如图，和中，，，，点A在上，若，则和重叠部分的面积为 ．
17．如图，在等边中，M是边的中点，N是边上的任意一点（不与点A，B重合），将沿折叠使点B的对应点恰好落在等边的边上，已知，则的长为 ．
三、解答题
18．（1）先化简，再求值：，其中，；
（2）因式分解：．
19．下面是小林同学分式化简的过程，请认真阅读并完成下列问题．
第一步
第二步
第三步
第四步
(1)填空：①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②以上化简步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______．
(2)请计算该分式化简后的正确结果，然后在，，3三个数中选择一个合适的数作为的值，代入求值．
20．如图，在中，是的角平分线．
(1)作线段的垂直平分线交于点，连接；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点作交于点，求证：．
21．已知，，为的三边长．
(1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值；
(2)若，满足，且是整数，求的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为．
(1)作出关于y轴对称的图形，并写出顶点的坐标．
(2)求的面积．
(3)在x轴上找一点P，使得最小．
23．如图，在中，，点在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若为中点，连接并延长交的延长线于点，连接，求证：．
24．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少20元，用600元购进甲种商品和用1000元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量乙商品数量 ______
解法二 设…… 等量关系：乙种商品进价甲种商品进价
(1)解法二所列方程中的表示______（填序号）；
①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件，
(2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价；
25．【问题情境】在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图①，在等腰中，，，是的中点，是直线上的一个动点，过点作，交直线于点．
【猜想证明】（1）如图①，当点在线段上时，请判断线段、的数量关系，并说明理由；
【类比探究】（2）如图②，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
【拓展延伸】（3）当点在线段上（不与点，重合）时，试探究四边形与的面积关系．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C A B B A C B
1．B
【分析】利用轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．进行解答即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟记定义进行解题
2．D
【分析】此题主要考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟知分母不为零．根据分式的分母不为0即可求解．
【详解】解：依题意得：，
，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方．
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、，故该选项符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵，
∴
故选：C
5．A
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式变成即可整式的乘积的形式，进行判断即可.
【详解】解：A、是因式分解，正确；
B、不是因式分解，错误；
C、不是因式分解，错误；
D、不是因式分解，错误；
故选A.
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的定义.
6．B
【分析】本题考查坐标与轴对称，解题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．据此即可求解．
【详解】解：关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，
由图和题意，得：，
故选：B
7．B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，角平分线和垂线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
先根据作图方法可知平分，，由角平分线的性质可得即可判断C；证明，得到，即可判断D；根据直角三角形两锐角互余即可判断A；根据现有条件无法证明，即可判断B．
【详解】解：由作图方法可知，平分，，
又∵，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，
∴，故D不符合题意；
∵，
∴，故A不符合题意；
根据现有条件无法证明，故B符合题意；
故选B．
8．A
【分析】本题考查了分式方程的应用，设自行车的速度为千米时，则大巴车速度为千米时，利用时间关系列分式方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设自行车的速度为千米时，则大巴车速度为千米时，
根据题意得：，
∴，
故选：．
9．C
【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键．
要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点．
【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点；
通过观察图形，可知该交点为点．
故选：C．
10．B
【分析】由OB平分∠AOC可知，B点的横坐标和纵坐标数值相同，再根据AB＝BC分情况讨论即可.
【详解】∵OB平分∠AOC
∴B点的横坐标和纵坐标数值相同
即b=12－b
解得，b=6
因为AB＝BC
可分情况讨论，
若OA=OC，如图所示
则△OAB≌△OCB
a=2a－3
解得，a=3
此时，0＜a＜b＜12，
故a+b=3+6=9
②若OA＞OC，如图所示
过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点D，点E
因为B点的横纵坐标数值相同，
所以BD=BE
∵AB＝BC，
∴Rt△ADB≌Rt△CEB
∴AD=CE
∴a-6=6-(2a-3)
解得，a=5
此时，不满足OA＞OC，
故此种情况不存在
③若OC＞OA，如图所示，
过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点D，点E
因为B点的横纵坐标数值相同，
所以BD=BE
∵AB＝BC，
∴Rt△ADB≌Rt△CEB
∴AD=CE
6-a=2a-3-6
解得，a=5
此时，0＜a＜b＜12，
故a+b=5+6=11
综上，a+b=9或11
【点睛】本题考查角平分线的性质和代数式的应用.
11．
【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数即可得出结论．
【详解】解：要使式子有意义，则
，
解得：．
故答案为：．
12．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：
故答案为：
13．
【分析】本题考查因式分解，原式可写成，据此可运用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了整式加减的应用，解题的关键是正确运用整体的思想求解．
先进行整式的加减计算，再将视为整体代入求值即可．
【详解】解：
.，
将，代入得，
故答案为：．
15．/度
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数．
【详解】解：点是的垂直平分线与的交点，
，
，
，，
将沿着翻折得到，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．
16．3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、平分线的性质等知识，设与相交于点O，连接，作于点M，于点N，先证明，根据条件算出的面积，再求出与的比值即可解决问题．
【详解】解：设与相交于点O，连接，作于点M，于点N，如图所示：
则
∴，
在和中，
，
，
，
，
平分
又，
，
，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即和重叠部分的面积为3．
故答案为：3．
17．或3
【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，于是得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据线段中点的定义和直角三角形的性质得到，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，则，四边形是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论．
【详解】解：如图1，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，
则，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点M为边的中点，
∴，
∵在直角三角形中，，
∴；
如图2，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴三角形是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∵，点M为边的中点，
∴，
故答案为：或3．
18．（1），16（2）
【分析】本题考查整式的化简求值和因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键；
（1）先利用平方差公式和完全平方公式进行展开，然后再合并同类项化简，最后代值计算即可；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：（1）原式
，
当，时，原式；
（2）原式
．
19．(1)①一；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变（分式的基本性质）；②三；括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号
(2)；
【分析】本题考查的是分式的基本性质，分式的混合运算．
（1）①根据分式的基本性质即可作出判断；②根据去括号的法则即可作出判断；
（2）根据分式的混合运算法则解答即可
【详解】（1）解：①一；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变（分式的基本性质）；
②三；括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
（2）解：
．
分母不为0，
，，
选择，当时，原式．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题时注意线段垂直平分线的应用．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线即可．
（2）根据垂直平分线的性质得，运用平行线的性质可得，运用证明即可得出结论．
【详解】（1）解：作图如图所示；
（2）证明：如图，过点，作交于点，
平分，
，
点在的垂直平分线上，
，
，
，
，
在和中，
，
.
21．(1)
(2)
【分析】（1）分当为底边时，当为腰时，两种情况解答，结合三角形三边关系验证三角形是否存在；
（2）先利用绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，取范围内的整数．
【详解】（1）解：，，是的三边长，是等腰三角形，且周长为13，，
分两种情况讨论：
①当为底边时，，
，，
符合三角形的三边关系，；
②当为腰时，，，
，
不符合三角形的三边关系；
综上所述，．
（2）解：，
，
，．
，，是的三边长，
．
即，
是整数，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握绝对值和完全平方的非负性，三角形三边关系，等腰三角形定义，分类讨论，是解题的关键．
22．(1)见解析；
(2)7
(3)见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）把三角形面积看成矩形面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标；
（2）解：的面积；
（3）解：如图，点P即为所求．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定与性质；
（1）先由，，得到，即可得到，则；
（2）先证明垂直平分，得到，即可得到，，得到，结合，即．
【详解】（1）证明：，，
，
，
又，
，
，
；
（2）证明：由（1）可知，，
为中点，
垂直平分，
点在延长线上，
，
，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
即．
24．(1)③
(2)；甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元
【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法．理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案；
（2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙种商品进价甲种商品进价及可知表示：购进甲种商品和乙种商品各件．
故选：③；
（2）解：设甲种商品每件进价元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意．
．
甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元．
25．（）；理由见解析；（）依然成立，理由见解析；（）
【分析】（）先连接，利用等腰直角三角形及为中点的性质，推导出且；再由 推出，进而通过判定，最终得出的结论；
（）先连接，利用等腰直角三角形及为中点的性质，推导出，并推出 ；再由证得，进而通过判定，最终得出依然成立的结论；
（）先通过证明，得出的面积是的一半；再结合前一问中的结论，将四边形的面积转化为的面积，从而推导出四边形的面积等于面积的一半．
【详解】解：（）；
理由如下：如解图①，连接，
，，是的中点，
，，
和是等腰直角三角形，
即，
，
，
，即，
在和中，，
；
（）依然成立.
理由如下：如解图②，连接，
，，是的中点，
，，
和是等腰直角三角形，即，
，，
，
，
，
，即，
在和中，，
，
；
（）如解图①，
在和中，
，
，
由（1）知，，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质(如斜边中点的性质、角度关系)、全等三角形的判定()与性质(对应边相等、面积相等)，以及利用全等实现图形面积的转化与计算，是等腰直角三角形与全等三角形结合的典型几何综合题．
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