寒假强化试题（4） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册

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寒假强化试题（4） 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）七年级上册
一、单选题
1．2的相反数是（ ）
A．2 B．－2 C． D．
2．第十五届全国运动会将于11月9日至21日在广东、香港和澳门举行，参加竞技体育项目的运动员大约有14000名，该数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．多项式的项数及次数分别是（ ）
A．2，3 B．4，3 C．3，4 D．3，2
4．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，则从前面看得到的平面图形为（ ）
A． B． C． D．
5．如果单项式与是同类项，那么的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间线段最短
C．线段有两个端点 D．两点确定一条直线
8．如图，将长方形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
9．某商品进价为 150 元，按商品标价的九折出售时，利润率是，商品标价是多少元？设商品标价为 x 元，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示的是2026年1月的月历，任意选取“十”字型框中的5个数（如阴影部分所示），若移动“十”字型框后得到的五个数之和为115，那么该“十”字型框正中间的数为（ ）
A．19 B．20 C．23 D．24
二、填空题
11．如果，那么 ．
12．的相反数是 ．
13．如果是关于的方程的解，那么的值是 ．
14．计算： ．
15．如图1，在长方形中，点在边上，连接，，且，，分别沿直线，折叠并压平，如图2，则的度数为 ．
16．在一场数字游戏活动中，主办方设定了一种特殊的数字规则：一个四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和为，百位上的数字与十位上的数字之和也为，则称为“幸运九数”．例如：四位正整数，因为，，所以是“幸运九数”．
活动第一环节：寻找最小的“幸运九数”．答案是： ．
活动升级环节：为了增加挑战性，主办方宣布，在“幸运九数”中，若该数还能被整除，将获得特别奖励．那么在以内的所有“幸运九数”中，能获得特别奖励的的最大值与最小值之差为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．解一元一次方程：
(1)；
(2)
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，已知点、在线段上．
(1)图中共有 条线段．
(2)若．
①比较线段的长短： 填“>”“=”或“＜”)；
②若，，求的长度．
21．如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
22．某班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人．
(1)求该班女生的人数；
(2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
23．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法，只保留作图痕迹）
(1)画直线；
(2)画射线；
(3)连接；
(4)在直线上找一点，使得、线段之和最短，理由是_____．
24．综合实践
幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．吴老师在数学活动课中带领同学探究“填幻方”．
【基本感知】
图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”(如图2)．
从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等．
【深入探究】
（1）把图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”每个数 ，得到一组新的数“，，，，0，1，2，3，4”．
（2）请依据幻方图2的排列方式，将“，，，，0，1，2，3，4”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律．
【拓展应用】
（3）如图4所示，标注了其中三个数(，，)的位置，请你用含有，的代数式表示出幻方中的数．
25．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角 中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”．
(1)如图1，，请判断是否为的“割补线”并说明理由；
(2)若平分，且为的“割补线”，求的大小；
(3)如图2，，在的内部作射线，使为的平分线，为的“割补线” ，当为的“割补线”时，请直接写出的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D D A D A A C
1．B
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2．C
【分析】本题考查科学记数法，将写成的形式即可，其中，n是正整数，解题的关键是注意n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选C．
3．A
【分析】本题考查了多项式的项数与次数的定义，关键是明确：多项式的项数是指组成多项式的单项式的个数；多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数．
【详解】解：多项式由和两个单项式组成，故项数为2；
其中最高次项为，它的次数为，故多项式的次数为3；
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据从前面看得到的平面图形求解即可．
【详解】解：从前面看得到的平面图形如图所示：
故选D．
5．D
【分析】本题考查了同类项的定义，关键是根据同类项中相同字母的指数相等，求出和的值．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴相同字母的指数相等，即，，
∴；
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了求余角，根据题意可知，结合已知条件即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知，
∵，
∴，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了直线的性质，根据“两点确定一条直线”即可得出结论．掌握“两点确定一条直线”是解题的关键．
【详解】解：经过平整木板上的两点．能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是：两点确定一条直线．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查平面图形的旋转，根据面动成体以及圆柱的特点分析，可得答案．
【详解】解：将长方形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是圆柱，
故选A．
9．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，首先理解题意找出题中存在的等量关系：售价进价利润，分别用式子表示等式的各部分，即可列出方程．
【详解】解：根据题意，得：．
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该“十”字型中正中间的号数为，则另外四个号数分别为，根据移动“十”字型后所得五个数之和为115，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该“十”字型中正中间的号数为，则另外四个号数分别为，
根据题意得：，
解得，
该“十”字型中正中间的号数为23，
故选：C．
11．
【分析】本题主要考查了绝对值的定义与性质，熟练掌握“绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数”是解题的关键．先计算等式右边绝对值的值，再根据绝对值的定义求解的取值．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两数之和为0”是解题的关键．先明确相反数的定义，再根据定义求出的相反数．
【详解】解：的相反数是．
故答案为：
13．3
【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入方程求解a即可．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴将代入得
解得．
故答案为 3．
14．
【分析】本题考查有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据有理数的乘除运算法则，运算顺序从左到右，先将除法转化为乘法，再计算乘法．
【详解】解：
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查角度的计算，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．由折叠可得平分，平分，再利用角的和差得到，进而即可求解．
【详解】解：由折叠可得平分，平分，
∴，，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了数的整除特征、代数式的推导与取值范围分析，熟练掌握“幸运九数”的定义、和的整除判定规则是解题的关键．
第一环节：要找到最小的“幸运九数”，需让千位数字尽可能小（千位不能为），再让百位数字尽可能小，最后根据定义确定十位和个位数字．
第二环节：先明确“幸运九数”的数字和为，满足被整除的条件，因此只需满足被整除的条件；再结合“幸运九数”的定义推导出千位与百位数字相等，最后在以内的范围内找出符合条件的最大数和最小数，计算差值．
【详解】解：设四位正整数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为
第一环节：
∵千位数字，要使最小，
∴，
∵，
∴，
∵要使最小，百位数字取最小可能值，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
第二环节：
∵是“幸运九数”，
∴，，
∴，
∵，且能被整除，
∴能被整除，只需满足被整除的条件，
∴被整除的条件为是的倍数，
∵，
∴，
∵，，
∴，可得，
∵是的倍数，
∴在此范围内的值只能是，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，解得，
∵为至的整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∵最大值为，最小值为，
∴差值为，
故答案为：①；②
17．(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
（1）先去括号，再进行有理数的加减运算即可；
（2）先计算乘方，再进行有理数的乘法，最后进行加减计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
18．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）依次进行移项和合并同类项进行求解即可；
（2）依次进行去分母，去括号，移项和合并同类项进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．，14
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案．
【详解】解
．
当时，原式．
20．(1)6；
(2)①；②
【分析】本题考查了线段的计数、线段的和差关系，需要理解线段的定义与线段长度的等量代换，关键是掌握线段计数的组合方法和利用比例设未知数求解长度的技巧．
（1）按端点顺序依次列举所有线段即可，避免重复或遗漏；
（2）已知，根据等式的性质，在等式两边同时加上公共线段，可得，即，通过等量转化直接比较长度；
②先根据比例关系设未知数；再结合线段总长，列出方程求出的值；最后代入计算出长度．
【详解】（1）解：图中的线段有，共条；
故答案为：；
（2）①解：，
，即；
故答案为：．
②解：设，
，，
又，，
，
，
．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
（1）利用角平分线的定义和角的和差关系可得，即可得到的度数；
（2）利用角平分线的定义和角的和差关系求得的度数，进而求得的度数．
【详解】（1）解：平分，
，
平分，
，
，
，，
，
即的度数为；
（2）解：平分，，
，
，
平分，
，
的度数为．
22．(1)该班女生的人数为
(2)有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．
（1）设该班女生的人数为，则男生的人数为人，根据题意列方程即可求解；
（2）设有名男生去支援女生，根据题意列方程即可求解．
【详解】（1）解：设该班女生的人数为，则男生的人数为人，
由题意得：，
解得：，
答：该班女生的人数为；
（2）设有名男生去支援女生，
由（1）可知，男生人数为（人），
由题意得：，
解得：，
答：有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析，理由为：两点之间，线段最短
【分析】（1）根据直线的定义作图即可；
（2）根据射线的定义作图即可；
（3）根据线段的定义作图即可；
（4）根据两点之间线段最短解题解；
本题考查了基本作图，两点之间线段最短，掌握射线、直线、线段的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：如图所示，即为所求；
理由是：两点之间，线段最短．
24．（1）减去(或加上)；
（2）见解析；
（3）
【分析】本题考查有理数的加减运算和等式的性质，关键是发现幻方的性质：每行、每列、每条对角线的和相等，且中心数为所有数的平均数(即每行和为中心数的3倍)．
（1）观察原数“1，2，3，…，9”与新数“，，…，4”的关系：，因此每个数减去(或加上)可得到新数；
（2）将原幻方每个数减5，即可得到新幻方；
（3）设幻方中第三行第一个数为，通过对角线和第三行的和的关系，推导出与、的代数式．
【详解】（1）解：∵原数“1”变换后为“”，，同理其他数均满足“原数新数”，
∴每个数减去(或加上)；
故答案为：减去(或加上)；
（2）解：原幻方(图2)中各数为8，3，4；1，5，9；6，7，2，将每个数减5，得到新数3，，；，0，4；1，2，，填入幻方后满足每行、每列、对角线和为0，填法如图；
（3）解：设幻方中第三行第一个数为，
则根据题意，
整理得．
25．(1)是，理由见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了新定义，涉及角度的和差计算，角平分线的定义，解一元一次方程，熟练掌握知识点，正确理解新定义是解题的关键．
（1）由于，那么，基即可证明；
（2）由平分，得到，因为为的“割补线”，则，即可求解；
（3）设，则，由于为的“割补线”，那么或，则或，①当时，由于为的“割补线”，那么或，当时，得到，当时，得到，②当时，则，那么当时，得到，当时，得到，分别解方程即可．
【详解】（1）解：是的“割补线”，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴是的“割补线”；
（2）解：∵平分，
∴，
∴
∵为的“割补线”
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵为的平分线，
∴设，
∴，
∵为的“割补线”，
∴或，
∴或，
①当时，
∵为的“割补线”，
∴或，
当时，
，
解得：，
此时（不符合题意，舍）；
当时，
，
解得：，
∴；
②当时，
则，
∵为的“割补线”，
∴或，
当时，
，
解得：（不符合题意，舍）；
当时，
解得：，
∴，
综上：的度数为或．
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