课件24张PPT。5.2 不等式的 基本性质引导者： 小浦中学 李乾花 2008年9月25日，全世界的目光再一次聚焦中国：搭乘着三名航天员的神舟七号飞船成功飞天。这是继神五、神六之后，中国载人航天事业上的又一个里程碑：宇航员翟志刚完成了太空行走，并完成预定的空间科学实验操作，茫茫太空第一次展现了中国人的矫健身姿。与翟志刚一起完成任务的还有刘伯明和景海鹏。
情景屋景海鹏的身高大于刘伯明的身高翟志刚的身高大于景海鹏的身高那么翟志刚与刘伯明谁高呢？a > b b > ca > c翟志刚的身高大于刘伯明的身高不等式的基本性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c。用适当的不等号填空。
1.已知-6>-7，-7>a，则-6 a。
2.已知x
<比较大小3 5 3+2 5+2 3-2 5-2 7 4 7+(-2) 4+(-2) 7-(-2) 4-(-2)＜ ＜＜＞＞＞通过比较，你发现了什么规律？探索阁不等式的基本性质2:即
如果a＞b,那么a+c＞b+c,a-c＞b-c.
如果a＜b,那么a+c＜b+c,a-c＜b-c. 不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不等式仍成立.用适当的不等号填空。
1.∵0 1
∴ a a+1(不等式的基本性质2）
2.∵(a-1)2 0
∴(a-1)2-2 -2(不等式的基本性质2）
3.若x+1＞0,两边同加上-1,得_______
(依据: )
4.若-a＞-b，则2-a＿2-b。<<≥≥x ＞-1不等式的基本性质2练兵场>比较大小探索阁不等式的基本性质3: 不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得到的不等式仍成立;不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须把不等号的方向改变,所得到的不等式成立.即C<0>2.如果a>b，那么下列不等式中不成立的是( )
A.a-3>b-3 B. C.-a>-b D.a-b>0 金点子同乘（除以）负数要变向，正数不用变。（1）若2x＞-6，两边同除以2，得______。
（2）若x>y，则-3x -3y，5-3x 5-3y。1.选择适当的不等号填空：x ＞-3点子库C<<若a=b，b=c，则a=c若a＜b，b＜c，则a＜c如果a=b，那么
a+c=b+c，a-c=b-c如果a>b，那么
a+c>b+c，a-c>b-c回味楼比较等式与不等式基本性质的异同。1.若a2.若ac>bc，则a>b （ ）3.若a>b，则ac2>bc2 （ ）
4.若ac2>bc2，则a>b （ ）
5.若a>b，则a(c2+1)>b(c2+1) （ ）×××√√点子库判断下列不等式是否成立，并说明理由。已知x<0 ，试比较2x与3x的大小。
合作坊12345泗安中学本学期新购进一批品牌电脑，该电脑的单价x在4000元至5000元之间（包括4000元，5000元），则购买30台这样的电脑的总价y的范围是什么？实例坊解：由题意可知 4000≤x≤5000，
由不等式的基本性质3，
得，120000≤30x≤150000，
即120000≤y≤150000。丰收园 知识要点：不等式的三条基本性质。
数学思想方法：数形结合、类比的数学思想。
注意点：不等式的基本性质3中同乘（或除
以）负数一定要改变不等号的方向。作业布置 必做题：1.课本P102 作业题1，2 2.作业本5.2 选作题：课本P102 作业题5，61、若x=0，比较2x与3x的大小。
2、若x＞0，比较2x与3x的大小。沉思阁3、若x是实数，比较2x与3x的大小。用适当的不等号填空
1.若a2.若x+ 3.若m4.已知a>0，且a(1-b)>0，则 1-b＿0。5.若不等式 可变形成 ，
则点子库金点子变向则为负不变则为正<<<>< ∵ x＜0
∴ x+2x＜2x
∴3x<2x,即2x>3x(不等式的基本性质2）解法一 ∵2<3，x＜0
∴2x>3x（不等式的基本性质3）解法二在数轴上分别表示2x和3x的点（x＜0），如图， 2x位于3x的右边，所以2x>3x。解法三解法四 ∵3x-2x=x，x＜0
∴3x-2x<0
∴3x<2x（不等式的基本性质2）
即 2x>3x作差法
（不等式的基本性质3）解法五作商法 我国于2001年12月11日正式加入世界贸易组织（WTO）。加入前，产品A的进口税超过产品B的进口税的1倍以上；加入后，这两种产品的进口税都下调了15%。你认为加入后产品A的进口税仍超过产品B的进口税的1倍以上吗？请说明理由。解: 设加入前产品A，B的进口税分别为a ,b。由题意,得a>2b。加入后A，B两种产品的进口税分别为:（1-15%）a，（1-15%）b，∵ 1-15%＞0∴（1-15%）a＞2 （1-15%）b由不等式的基本性质3，即表示产品A的进口税仍超过产品B的进口税的1倍以上。实例坊课件36张PPT。第二讲 柯西不等式与排序不等式张志增本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养 一、二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式的变式:你能简明地写出这个定理的证明？ 可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！这个图中有什么不等关系?小结:变式引申:补充练习AB3作业: 课本习题3.1 第1、3、7、8题另加下面 2题二 一般形式的柯西不等式根据上面结果,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗?猜想柯西不等式的一般形式分析：补充例题补充练习三 排序不等式课件6张PPT。算术-几何平均不等式即：三个正数的算术平均不小于它们的
几何平均例6 如图示，把一块边长是a的正方形铁片
的各角切去大小相同的小正方形，再把它
的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子
，问切去的正方形边长是多少时，才能使
盒子的容积最大？巩固练习：课件9张PPT。不等式练习：2.基本不等式例3 证明：
（1）在所有周长相同的矩形中，正方形
的面积最大（2）在所有面积相同的矩形中，正方形
的周长最短例4 某居民小区要建一座八边形的休闲场所
，它的主体造型平面图（如图）是由两个相
同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平
方米的十字型地域。计划在正方形MNPQ上
建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四
个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩
地坪，造价为每平方米210元，再在四个空
角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每
平方米80元（1）设总造价为S元，AD长x米，试建立
S关于x的函数关系式（2）当x为何值时S最小，并求这个最小值课件11张PPT。教学目的：掌握分析法证明不等式的方法与步骤
教学重点、难点：理解分析法的证题格式并能熟练应用用分析法证明不等式即证 14＜18∵14＜18
思考：寻找不等式成立的充分条件(充分条件)说明充分条件恒成立一、分析法：
从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。从结论出发找使得结论成立的定理,公理例1：|a|＜1，|b|＜1，求证：| |＜1证明：只需证|a+b|＜|1+ab|只需证|a+b|2＜|1+ab|2展开得 a2+2ab+b2＜1+2ab+a2b2只需证 a2+b2＜1+a2b2只需证 a2+b2－1－a2b2 ＜0即证（a2-1)(1-b2）＜0∵|a|＜1，|b|＜1∴a2-1＜0，1-b2＞0∴ | |＜1寻找使得不等式成立的充分条件说明它肯定成立即证（a2-1)(1-b2）＜0二 、 用分析法论证“若A则B”这个命题的格式是：
欲证命题B为真，
只需证命题B1为真，
只需证命题B2为真，
……
只需证命题Bn为真，
只需证命题A为真，
令已知命题A为真，
故命题B为真。证明：∵ a＞b ＞0(充分条件)充分条件成立例3：若a、b、c是不全相等得正数求证：lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc 要证 lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc 只需证 lg ＞lgabc只需证 ＞abc∵a、b、c是正数∵a、b、c不全相等∴ lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc 证明:充分条件条件成立再见课件14张PPT。29.2反证法姚桥中学 朱 萍路边苦李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?你主为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法?小故事:如果当时你在场，你会怎么办？在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立,
从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,
从而得出假设命题不成立是错误的,
即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.反证法定义:练习1.设0 < a, b, c < 1，
求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于1/4则三式相乘:(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a > 又∵0 < a, b, c < 1 ∴同理：以上三式相乘:(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤与①矛盾∴结论成立证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c > ?a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
与题设矛盾
若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0练习2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0， 求证：a, b, c > 0 幻灯片切换反证法的步骤一、提出假设二、推理论证三、得出矛盾四、结论成立以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论这与“......”相矛盾所以假设不成立，所求证的命题成立假设待证命题不成立，或是命题的反面成立。[能力测试]写出下列各结论的反面：
（1）a//b；
（2）a≥0；
（3）b是正数；
（4）a⊥ba<0b是0或负数a不垂直于bP87T2.
已知：如图，直线l与l1,l2,l3都相交，且l1∥l3, l2∥l3 。
求证：∠1＝∠2。学以致用:分享我的收获我的快乐！用反证法证题时,应注意的事项 :
??（1）周密考察原命题结论的否定事项，
防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说
明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条
件，否则推不出矛盾，或者不能断
定推出的结果是错误的。
布置作业:(1)课本第87页作业题
(2)见作业本.发生在身边的例子:妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?他是如何推断该命题的正确性的?在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两个例子.小芳全家没外出旅游.课件18张PPT。目标:
1.能熟练应均值不等式证明不等式;
2.掌握利用重要不等式求最值的方法
算术平均数与几何平均数
一、复习：①a,b∈R,a2 +b2≥2ab1. 基本不等式,均值不等式:②a,b是正数, (当且仅当a=b时取”=“号)(当且仅当a=b时取“=”号)当a1,a2, … ,an是正数时 (当且仅当a=b=c时取“=”号)二、均值不等式的应用1.均值不等式可证明简单的不等式例一. 1)已知:a,b,c均为正数,求证:证明:所以,原不等式成立当且仅当a=b=c时,取等号.二、均值不等式的应用1.均值不等式可证明简单的不等式求证:证明： 又二、均值不等式的应用1.均值不等式可证明简单的不等式2.应用均值不等式求最值的问题如会考导引A组2,13:一正,二定,三相等③必须有自变量值能使函数取到 = 号.①各项必须为正;②含变数的各项和或积必须为定值;(1)利用均值不等式求函数最值的步骤:二、均值不等式的应用1.均值不等式可证明简单的不等式2.应用均值不等式求最值的问题(1)利用均值不等式求函数最值的步骤:练习1)若x>0,f(x)= 的最小值为_______;此时x=_______.解:因为x>0, 若x<0,f(x)= 的最大值为_______;此时x=_______.即当x=2时函数的最小值为12.122-12-2当且仅当 时取等号,一正二定三相等二、均值不等式的应用1.均值不等式可证明简单的不等式2.应用均值不等式求最值的问题(1)利用均值不等式求函数最值的步骤:练习1)若x>0,f(x)= 的最小值为_______;此时x=_______. 若x<0,f(x)= 的最大值为_______;此时x=_______.122-12-2错解!注意:各项必须为正数正解:当且仅当 时取“=”号例二. 函数y= (x ≥ 0)的最小值为______,此时x=______.解:≥2-1=1当且仅当 时取“=”号练习 :1.求函数 的最小值.即当 时,函数的最小值为解:012.应用均值不等式求最值的问题(1)利用均值不等式求函数最值的步骤:(2)先变形再利用均值不等式求函数最值:2.应用均值不等式求最值的问题(1)利用均值不等式求函数最值的步骤:(2)先变形再利用均值不等式求函数最值:练习2:求函数 的最大值,
并求出相应x的值.(3)取不到等号时用函数单调性求最值:例三.求函数 的最小值.当且仅当 时取等号错解:2.应用均值不等式求最值的问题(1)利用均值不等式求函数最值的步骤:(2)先变形再利用均值不等式求函数最值:(3)取不到等号时用函数单调性求最值:例三.求函数 的最小值.利用函数 (t>0)的单调性.单调递减单调递增依据:正解:精题解析：即 的最小值为过程中两次运用了
均值不等式中取“=”
号过渡，而这两次取
“=”号的条件是不同的，
故结果错。错因：解：正解：当且仅当即:时取“=”号即此时“1”代换法阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。例五.错题辨析正解：当且仅当即:时取“=”号即此时均值不等式应用（三）— 解决实际问题例六.
小结：二、均值不等式的应用1.均值不等式可证明简单的不等式2.应用均值不等式求最值的问题(1)利用均值不等式求函数最值的步骤:一正,二定,三相等(2)先变形再利用均值不等式求函数最值:(3)取不到等号时用函数单调性求最值:
作业：会考导引A课件11张PPT。 高中数学第二册(上)§6.3 不等式的证明(4)
——放缩法和反证法新课 1．放缩法证A < B的模式是：A < B1 < B2 < … < Bn < B．2．反证法证题思路是：反设结论→找出矛盾→肯定结论．例1、若a, b, c, d?R+，求证：证：记m = ∵a, b, c, d?R+ ∴1 < m < 2 即原式成立例3、巳知：a、b、c∈ ，求证：略解 1．用反证法证题时，必须用“假设”作为推理的条件，不能把假设写成“设”，否则就会犯逻辑错误，“弄假成真”．小结2．常用的放缩法有：
(1) 重要不等式或均值不等式；(2) b > a > 0 ? (3) k ? N* ? k(k ? 1) < k2 < k(k + 1)；例1 若a，b，c，d ? R+，求证： 例2 已知a，b，c > 0，且a2 + b2 = c2，
求证：an + bn < cn (n ? 3，n?R)．例3 求证：例4 设0 < a，b，c < 2，求证：
(2 ? a)c，(2 ? b)a，(2 ? c)b不可能同时大于1． 例5 已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a，b，c > 0．1. 设x > 0，y > 0，
求证：a < b．课堂练习2. 求证：3. 若x，y > 0，且x + y >2，则 和
中至少有一个小于2．
(《数学之友》T6.10 B组第3题) 1.《数学之友》T6.9．
2. 思考题：
(1) 已知a，b，c，d ? R，且a + b = c + d = 1，ac + bd > 1，求证：
a，b，c，d中至少有一个是负数．
(2) 当 n > 2 时，求证：
logn(n ? 1) ? logn(n + 1) < 1．作业 认真完成哦~~~再见!课件23张PPT。归纳法对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较好的效果.什么是数学归纳法 ?一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(2)假设当n=k 时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
(1)证明当n=n0时命题成立;一.用数学归纳法证明等式问题特别提示:
数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.课堂练习:CBBDCBB二.用数学归纳法证明不等式问题二.用数学归纳法证明几何问题特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上,再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利用假设.补充练习：课件23张PPT。数学归纳法对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较好的效果.什么是数学归纳法 ?一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当n=n0时命题成立;
(2)假设当n=k 时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.
在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题对几个正整数成立.
(2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确.
在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以证明.
完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.一.用数学归纳法证明等式问题特别提示:
数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.课堂练习:CBBCBDB二.用数学归纳法证明几何问题特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上,再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利用假设.补充练习：二.用数学归纳法证明不等式问题课件9张PPT。柯西不等式二维形式的三角不等式练习：二、n维形式的柯西不等式练习：P41 1 6课件15张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.定理1（二维形式的柯西不等式）:你能证明吗？推论 向量形式：定理2: （柯西不等式的向量形式）根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:观察定理３（二维形式的三角不等式）
设 ，那么 二 一般形式的 柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2二维形式的柯西不等式）:三维形式的柯西不等式）:n维形式的柯西不等式）:当且仅当 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数k使得 (i=1,2,…,n) 时等号成立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式。一般形式的三角不等式例4：设a、b、c为正数且各不相等。
求证： 又a、b、c各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。例5 若a>b>c 求证：∴ 例6：若
求证：分析：左端变形
∴只需证此式 即可 课件38张PPT。不等式的证明基本不等式不等式的证明方法一:比较法例1:证明:上面的证明方法称比差法
其步骤是:作差--变形--判断--结论 证明:例3证明:练习证明:练习证明:证明:证明:证明:证明:例4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,
甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度
n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路
程以速度n行走，如果m ? n，问:甲乙两人谁先到
达指定地点？解:设从出发地到指定地点的路程为S，
甲乙两人走完全程所需时间分别是 证明:思想方法:判定两个数是正数,
作商,与1比较大小 利用某些已经证明过的不等式和不等式
的性质，推导出所要证明的不等式，这个证
明方法叫综合法。例:证明:练习证明:练习证明:练习证明一:证明二:练习P17证明:证明: 分析法: 从求证的不等式出发，分析使这个
不等式成立的充分条件，把证明不等式转化
为判定这些充分条件是否具备的问题。例1:证明:只需证明 展开得 练习证明:只需证明 例2:证明一(分析法)例2:证明二(综合法)例3:证明:当周长相等时,圆的面积比正
方形的面积大.证
明练习P.17.证明一练习P.17.证明二原不等式可化为练习P.17.证明练习P.17.证明练习P.17.证明:证明:练习P.17.证明:练习P.17.证
明练习证明一(综合法)证明二(换元法)练
习证明一证明二练习证明∴原式成立练习证明放缩法练习证明:这与(1)式矛盾,所以原式成立. 练习证明:构造法课件8张PPT。绝对值不等式例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的
两个地点施工，这两个地点分别位于公路
路碑的第10km和第20km处。现在公路沿
线建两个施工队的共同临时生活区，每个
施工队在生活区和施工地点之间往返一次。
要使两个施工队每天往返的路程之和最小，
生活区应该建于何处。课件16张PPT。不等式的证明基本不等式不等式的证明方法一:作差法例1:证明:上面的证明方法称比差法
其步骤是:作差--变形--判断--结论 总结：作差法是证明不等式常见的基本的方法，它一般适用于多项式、分式、对数式等的不等式证明，在变形过程中往往采用配方、通分、因式分解等方法将之转化为可以判断符号时为止，如：实数、因式乘积形式、平方和形式、对数式等。证明:例3证明:练习证明:证明:证明:例3.证明证明：作商法总结：作商法往往适用于不
等式两边为乘积形式、幂或
指数等形式的证明，判别时
要注意作商的 条件，即不等
式两边同大于零，作后的结
果 是和“1”作比较证明:思想方法:判定两个数是正数,
作商,与1比较大小 利用某些已经证明过的不等式和不等式
的性质，推导出所要证明的不等式，这个证
明方法叫综合法。从已经知道的条件、定理、公理出发证明结论例:证明:练习证明:练习证明:练习证明一:证明二:课件10张PPT。证明不等式的基本方法一、比较法1.作差法2.作商法二.综合法与分析法 一般地，从已知条件出发，利用定义、
公理、定理、性质等，经过一系列的推理、
论证而得出命题成立，这种证明方法叫做
综合法巩固练习：3. P 26 7三、反证法与放缩法1.反证法2.放缩法练习： 已知a、b、c为三角形的三边，
求证：课件26张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！2019年3月10日星期日绝对值三角不等式（一）绝对值的定义： 对任意实数a，
复习问题 （二）绝对值的几何意义：
? ?
? ?
实数a的绝对值 |a|，表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离（图1）。? ? 如：|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B到坐标原点的距离。
|a|OAx? ? 由绝对值的几何意义可知，A、B之间的点与坐标原点的距离小于3，可表示为：
? ?
即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3 同理，与原点距离大于3的点对应的实数可表示为：
如图 设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何意义是什么？x探究 用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出来，你能发现它们之间有何关系？ 定理1 如果a,b是实数，则
|a+b| ≤|a| +|b| ，
当且仅当ab≥0时，等号成立。绝对值三角不等式 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量
，能得出什么结论？你能解释其几何意义吗？探究？(1) 当 不共线时有(2) 当 共线且同向时有绝对值三角不等式如何证明定理1?探究 你能根据定理1的研究思路,探究一下|a| ， |b| ，|a+b|, |a-b|之间的其它关系吗?|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|结论:注意：1? 左边可以“加强”同样成立，即 2? 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边推论1： 推论2： 证明：在定理中以 即： 定理探索当 时，显然成立，当 时，要证只要证 ，即证而 显然成立． 从而证得 . 定理探索还有别的证法吗？ 由 与 ，得 .定理探索可以 表示为 即例题证明：例题例3 求证 . 证明：在 时，显然成立.当 时，左边 练习①②由①，②，③得，③课堂练习：作业P20:
1,2,3,4,定理2 如果a,b,c是实数,那么
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立你能给出定理2的几何解释吗?如何证明定理2?推论: 05---10
1.已知的最大值是
2.
3.若正数
4.函数
5.
6.
7.下列函数中，最小值为4的函数是 （ ）
A．
C． D.
8、已知，求函数的最大值
9.求函数的最小值。
10、设、均为正常数，求函数的最小值。
11、已知，，且，求的最小值。
12．（1）
（2）
周三晚上小测
成绩 姓名 学号
1、若 ，则（ ）?A、ab<0?B、ab>0? C、 ?D、以上都不对
2、
3. 不等式的解集是 。
4．函数的最小值为_____________
5. 设 ，此时数对＝
6、已知是正数，且，求的最大值 ， 的最小值 。
7．如果关于的不等式的解集不是空集，求参数的取值范围是
8.不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为
9、设且， 的最大值
10、函数（）的最小值 。
11.已知，求的取值范围.
12.（本小题满分15分）求证:
(提示：)
13. （本小题满分15分）
（）
绝对值不等式
1．定义： 或
2. 基本性质: (1) (2) (3)
(4) (5)
(6) (7)
3. 绝对值不等式的几何意义
4．绝对值不等式的解集 （其中）
的解集：
的解集：
的解集：
的解集：
的解集：
练习：
①公式法 ②图像法
根据图像写出的解集
（1）已知， ，求
（2）求不等式的解集
（3）若不等式的解集为， 则实数=
5.定理1: 如果是实数, 则
注: ①当同号时 (即: ); 右边取”=”号
②当异号时 (即: ) 且; 左边取”=”
③当至少有一个为0时, 左右
扩充：
（1）证明： （2）
6．和型不等式的解法
解不等式：
方法一：
方法二：
方法三：
练习：①
②求函数的最小值
05---08作业
1. 不等式的整数解的个数为 ( )
大于2
2. 若两实数满足,那么总有 ( )
3．x为实数，不等式|x－3|－|x－1|>m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A.m>2 B.m<2 C.m>－2 D.m<－2
4．解绝对值不等式（按上课书写要求写解答题目）
(1). (2) |x+1|-1>0
1< | 2x-1 | 5.
（4）
（用分段讨论法：即今天讲的法二）
(5) | x+2 | + | x | 4.
(5) |x-3|-|x+1|<1.
05---08讲义
基本不等式补充
运用基本不等式要满足三个基本条件：一正；二定；三相等
（如果不满足条件那就转化条件，使得可以运用基本不等式来解决）
(1) 若x>0,求的最小值;
(2)若x<0,求的最大值.
求(x>5)的最小值.
（3）已知，求函数的最大值
（4）若，求的最值
二：假分式化为真分式
例题1: , 求的最值
2．若果，求的最值
3．考试的第9题：函数的最大值
09—05---10星期日晚上作业
1. 已知是非零实数，则下列各式中不能恒成立的是…………………………( )
[??? ]
A．(3，+∞)????????????????????????????? B．[3，+∞)
C．(-∞，3]?????????????????????????????? D．(-∞3)
3．.若不等式＞在上有解,则的取值范围是 （ ）
A． B. C． D．
A．{x|x≥3或x≤2} B．{x|2≤x≤3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≤-2或x≥3}
5、关于x的不等式|x+2|+|x-1|6.若不等式|x+1|+|x-1|7.对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立,则的取值范围是:
8. 已知，, 求证:
(1) ; (2)
9.设f (x) = x2＋px＋q, 求证：| f (1) |、| f (2) |、| f (3) | 中至少有一个不小于
说明：此题正面证明较为困难，“正难则反”，引导学生尝试“反证法”证明
证明：（反证法）假设原命题不成立，则|f(1)|＜,|f(2)|＜,|f(3)|＜,
∴ |f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)|＜2 ①
由f(1)=1+p+q, f(2)=4+2p+q, f(3)=9+3p+q 得
f(1)+f(3)－2f(2)=2
∴ |f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)－2f(2)|=2
这与①矛盾，故假设不成立，求证为真
10.若, 求的最小值
11.求函数的最大值
12. 解关于x的不等式。
分析:若忽视2m-1的值直接得到-(2m-1)<2x-1<2m-1则是错误的。应按2m-1>0和2m-1≤0分类讨论。
解:(1)当2m-1≤0时，即m≤，因≥0，故原不等式的解集是空集。
(2)当2m-1>0，即m>时，原不等式等价于-(2m-1)<2x-1<2m-1，解得1-m综上，当m≤时，原不等式解集为空集;当m>时，不等式解集为{x∣1-m例1．求证：．
证：（分析法）∵， 综合法：
只需证明：， ∵，
展开得： ， ∴，
即： ， ∴，
∴， ∴，
即：， ∴，
∵．成立 ∴．
∴．
1.（用综合法证明）
2. ------------------(用分析法证明/作差法)
3. 已知，求证：-----------------------------------(分析法证明)
4.若
5．若，且为非负实数，求证：．----------自选方法
6（自选题）已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0， 求证：a, b, c > 0
高二数学理科小测18(不等式07.5.18周五）
姓名： 班级： 学号： 分数：
一、选择题：（25分）
1、当x>y>0时，比较p=x3+13xy2 与q=5x2y+9y3的大小关系是（ ）
A）p>q B）p2、如果且，那么以下不等式正确的个数是（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A .2 B.3 C.4 D .5
3、若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是 （ ）
A．（1－a）＞（1－a） B．log1－a（1＋a）＞0
C．（1－a）3＞（1＋a）2 D．（1－a）＞1
4、若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 （ ）
A．18 B．6 C．2 D．2
5、若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则 （ ）
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
6、当时，函数的最小值为 （ ）
A．2 B． C．4 D．
7、要制作一个面积为1m形状为直角三角形的铁框架，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（够用，且材料最省）是
A.4.6m B .4.8m C. 5m D. 5.2m
二、填空题（20分）
8、已知则f(3)的取值范围是____________.
9、若a、b，，则的最小值是____________________.
10、已知且，求的最大值________.
11、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=__________吨。
三 、解答题 （20分）
12、已知、、是不全相等的正数，求证：
13、已知a、b是正实数，试比较与的大小。
14、求证：
15、已知，求证：
16、已知，，求证：
17、已知，求证（1）
（2）
05-05讲义
例1、如图, 把一块边长是的方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的
边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使
盒子的容积最大?
练习1: 求证:在表面积一定的长方体中, 以正方体的体积最大?
练2: 求证:
练3: 求函数在上的最大值.
练3: 已知球的半径为, 球内接圆柱的底面半径为, 高为, 则和为何值时, 内接圆柱的体积最大?
05-----05作业
一、选择题
1．(上海理科13)已知为非零实数，且，则下列命题成立的是( )
A、 B、 C、 D、
2.若实数a、b满足，则的最小值是（ ）
A．18 B．6 C．2 D．
3.设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4.设P=，Q=，R=，那么P、Q、R的大小关系是 （ ）
A．P>Q>R B．P> R > Q C．Q > P >R D．Q > R > P
5.设二次函数，若关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6.（上海理科6）已知，且，则的最大值为
8.已知，且，为锐角，则的最大值为 ．
9.已知的最小值为
10. 设计一幅矩形的宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，则宣传画所用纸张面积最小为 cm2．
三、解答题
11、已知, 当取什么值, 的值最小? 最小值是多少?
12、设, 求函数的最大值, 并求出相应的值.
13、求函数 的最值
14、求函数的最小值
15、求函数的最大值
16.、已知汽车从刹车到停车所滑行的距离（米）与时速（千米/小时）的平方以及汽车总重量（吨）的乘积成正比例，设某辆卡车不装货物以时速50千米行驶时，从刹车到停车走了20米，如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面25米有障碍物，为了能在障碍物2米外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1秒钟）
2009------05-----11
1．不等式|x－4|＋|x－3|2、关于x的不等式|x+2|+|x-1|3. 若关于X的不等式恒成立，则的范围是
4、求函数, 的最值
5.已知,求函数的最值.
6、已知： ; 求证：????
7.解关于的不等式.
8．已知，求的取值范围.
一. 前提: ;
形式: ; ; 等价转化为
;
;
9. 解不等式|x2－5x+5|＜1.
二. 形如||<，||>, 型不等式
（1）︱f(x)︱(2) ︱f(x)︱>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)
(3) ︱f(x)︱>︱g(x)︱f2(x)>g2(x);
(4) ︱f(x)︱<︱g(x)︱f2(x)＜g2(x)
10. 解不等式：｜x-x2-2｜>x2-3x-4；
11.解不等.
四. 含有两个(或以上)的绝对值的不等式------------ (常常采用零点分段法来讨论)
12.解不等式|x+3|-|2x-1|<+1
各种类型的绝对值不等式
绝对值不等式：（去掉绝对值符号是关键：常用分段讨论法）
1．解不等式. ----------------(用公式去掉绝对值符号 )
2. ------------------------------------------(不能用公式去掉绝对值符号的)
3.求等式的解集
高次不等式满足:奇穿偶不穿原理
的解集:
4. 不等式 解集为___________________________.
------------------------------解分式不等式的关键是把它化为整式不等式
6. .
三其他形式的不等式的解法
（1） （2）、
(3)．不等式的解集是
(4)不等式的解集是＿＿＿＿＿。
05----08（6班作业）
1.已知的最大值是
2.
3.若正数
4.函数
5.（05福建）下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知，求函数的最小值。
7、已知，求函数的最大值
8、求函数的最小值。
9、设、均为正常数，求函数的最小值。
10、已知，，且，求的最小值。
09----05----10周日晚上 （6班作业）
1. 已知是非零实数，则下列各式中不能恒成立的是…………………………( )
[??? ]
A．(3，+∞)????????????????????????????? B．[3，+∞)
C．(-∞，3]?????????????????????????????? D．(-∞3)
3．.若不等式＞在上有解,则的取值范围是 （ ）
A． B. C． D．
4、关于x的不等式|x+2|+|x-1|5.若不等式|x+1|+|x-1|6.对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立,则的取值范围是:
7. 已知，, 求证:
(1) ; (2)
8.设f (x) = x2＋px＋q, 求证：| f (1) |、| f (2) |、| f (3) | 中至少有一个不小于
9.若, 求的最小值
10.
不等式同步测试5 ――含有绝对值的不等式
一 选择题
1. 不等式的整数解的个数为 ( )
大于2
2. 若两实数满足,那么总有 ( )
3. 已知,那么 ( )
4. 不等式的解是 ( )
5. 已知且则 ( )
6. 不等式的解集为 ( )
或 或或
7. 若,那么 ( )
或
8. 函数的定义域是 ( )
9. 使不等式有解的条件是 ( )
10. 不等式组的解集是 ( )
二填空题
11. 不等式取等号的条件是 ___ ,取等号的条件 ____ .
12 不等式的解集是
13. 不等式的解是________
14. 函数的定义域是
三 解答题
15. 解下列不等式:
(1) (2) (3)
16 （1）已知，求证：。
（2）已知，求证：。
17 已知是实数，函数当时，
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）证明：当时，
（Ⅲ）设当时，的最大值为2，求.
18 .当时,比较与的大小.
参考答案
一 选择题
BACCC DDBAA
二填空题
11. ； .
12
13. 或
14.
三 解答题
15. 解下列不等式:
(1) 解集
(2) 解集或
(3) 解集
16 （1）已知，求证：。
（2）已知，求证：。
证明：（1）
＝
（2）∵，∴， 由（1）得，
17 已知是实数，函数当时，
（Ⅰ）证明： （Ⅱ）证明：当时，
（Ⅲ）设当时，的最大值为2，求.
（Ⅰ）证明：由条件当时，， 取x=0得，即
（Ⅱ）证法一：①当时，在[-1，1]上是增函数，
由此得
②当时，在[-1，1]上是减函数，
由此得
③当时，
综上由①②③得
证法二：由可得
当时，有
根据含绝对值的不等式的性质，得
即
（Ⅲ）因为时，在[-1，1]上是增函数，
当x=1时取最大值2， 即
∴
因为当时，，即
根据二次函数的性质，直线x=0为的图象的对称轴，由此得
由（1）得 所以
18 .当时,比较与的大小.
解：∵
∵0 < x < 1, ∴0 < 1 ( x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴
∵
∴．
浅析如何用放缩法证明不等式
高二⑴班 徐 晔
笔者在学习不等式时，觉得放缩法是证明不等式的重要方法之一，在证明的过程如何合理放缩，是证明的关键所在，笔者尝试利用对称性来放缩，效果不错。现例析如下，供大家讨论。
例1：设、、是三角形的边长，求证≥3
证明：由不等式的对称性，不妨设≥≥，则≤≤
且≤0， ≥0
∴
≥
∴≥3
[评析]：本题中为什么要将与都放缩为呢？这是因为≤0，
≥0，而无法判断符号，因此无法放缩。所以在运用放缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。
例2：设、、是三角形的边长，求证≥
证明：由不等式的对称性，不防设≥≥，则≥
左式－右式
≥
≥≥0
[评析]：本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了，有了一定的难度。由例1、例2也可知运用放缩法前先要观察目标式子的符号。
例3：设、、且求证≤1
证明：设.且 x、y、. 由题意得：。
∴
∴≥0
∴≥
∴≥
∴≤
同理：由对称性可得≤，≤ ∴命题得证.
[评析]：本题运用了排序不等式进行放缩，后用对称性。
例4：设、、≥0，且，求证≥
证明：不妨设≤≤ ，则≤1。∴。
又∵≥bc，即≥bc，也即≥。
∴左边
≥
≥
∴≥
[评析]：本题运用对称性确定符号，在使用基本不等式可以避开讨论。
例5：设、、，，求证：
≥
证明：不妨设≥≥＞0，于是
左边－右边
≥
如果≥0，那么≥0；如果＜0，那么≥0，故有
≥0，从而原不等式得证.
例6：设0≤≤≤≤1，求证：≤1
证明：设0≤≤≤≤1，于是有≤，再证明以
下简单不等式
≤1，因为左边
，再注意≤
≤1得证.
在用放缩法证明不等式A≤B，我们找一个(或多个)中间量C作比较，即若能断定A
≤C与C≤B同时成立，那么A≤B显然正确。所谓的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所谓的“缩”即由B缩到C，再把C缩到A。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。
例谈“放缩法”证明不等式的基本策略
江苏省苏州市木渎第二高级中学 母建军 215101
近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
例1、已知求证：
证明：
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.
证明：由f(n)= =1-
得f（1）+f（2）+…+f（n）>
.
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
例3、已知an=n ，求证：＜3．
证明：=＜1＋
＜１＋=
=1＋ (－)
=1＋1＋－－＜2＋＜3．
本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.
4、放大或缩小“因式”；
例4、已知数列满足求证：
证明
本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.
5、逐项放大或缩小
例5、设求证：
证明：∵
∴
∴ ， ∴
本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。
6、固定一部分项，放缩另外的项；
例6、求证：
证明：
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩
例7、已知，证明：不等式对任何正整数都成立.
证明：要证，只要证 .
因为 ，，
故只要证 ，
即只要证 .
因为，
所以命题得证.
本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.
8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩
例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.
(1)证明：niA＜miA；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m
证明：(1)对于1＜i≤m，且A =m·…·(m－i+1)，
，
由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有，
所以
(2)由二项式定理有：
(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，
(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm，
由(1)知miA＞niA (1＜i≤m＜n ，而C=
∴miCin＞niCim(1＜m＜n
∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，…，
mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0，
∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm，
即(1+m)n＞(1+n)m成立.
以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.
含有绝对值的不等式
素质教育目标
1、知识教学点
（1）关于绝对值的几个重要性质
（2）应用定理|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|来证明不等式，特别要注意等号何时成立
2、能力训练点
掌握关于绝对值的几个重要性质
熟练地应用定理|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|来证明不等式
培养学生的数学化归能力
学法指导
本小节的定理是含绝对值不等式的一个重要性质，在以后解决含绝对值不等式的问题时经常用到，应十分重视等号成立的条件。解决含绝对值不等式问题的关键是应用上述性质或脱去绝对值符号使问题转化。请沿着以下的脉络学习，学习过程中要注意有关思想方法的领会与把握。
绝对值的定义、性质
含绝对值的不等式性质
含绝对值的不等式证明
重点与难点
重点：含绝对值不等式的证明
难点：含绝对值不等式性质的证明
课时安排：本节安排2课时
教学步骤
第一课时 含有绝对值的不等式（一）
学习目标：
掌握含有绝对值的不等式的性质
能够证明含有绝对值的不等式
培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力
教学过程
1、复习回顾
师：我们在初中学过绝对值的有关概念，请同学们想一想绝对值的定义是什么？它有哪些性质？
2、设置情境
我们知道积的绝对值等于绝对值的积；商的绝对值等于绝对值的商。那么和的绝对值是否等于绝对值的和呢？差的绝对值是否等于绝对值的差呢？
想一想：我们以前是否见过含|a+b|与|a| + |b|、|a| － |b|关系的式子？
在向量的加减法中，有|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|（根据三角形法则或平行四边形法则来证明的）
3、提出问题
在绝对值不等式中|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|是否也成立呢？
4、解决问题
同学们考虑一下，你如何来证明？
分析法：要证|a+b|≤|a| + |b|，只要证(a+b)2≤(|a| + |b|)2，即证ab≤|ab|,
而ab≤|ab|成立，所以|a+b|≤|a| + |b|。
要证|a| － |b|≤|a+b|，若|a| － |b|＜0时，不等式成立；若|a| － |b|≥0只要证(|a| － |b|)2≤(a+b)2，即证－|ab|≤ab,而－|ab|≤ab成立，所以|a| － |b|≤|a+b|。
从而证得：|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|
师：还有没有其它证法？（适当提示）
根据绝对值的性质：－|a| ≤ a ≤ |a|知，要证|a+b|≤|a| + |b|，
只要证－（|a| + |b|）≤ a+b ≤ |a| + |b| 。
∵－|a| ≤ a ≤ |a|，－|b| ≤ b ≤ |b| ∴－（|a| + |b|）≤ a+b ≤ |a| + |b|，
即|a+b|≤|a| + |b|（为什么？）（逆用|x|师：你能利用|a+b|≤|a| + |b|来证明|a| － |b|≤|a+b|？
把a表示为a = a + b －b，则|a|＝|a+b－b|＝|a+b|＋｜－b|，即|a| － |b|≤|a+b|。
师：这就是含有绝对值不等式的重要定理，即
|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|
由于定理中对a、b两个实数和的绝对值，那么对三个实数和的绝对值呢？n(n为正整数)个实数和的绝对值呢？
｜a1 + a2 + a3| ≤｜a1 | +| a2 | + | a3|
证明：∵｜a1 + a2 + a3| ≤｜a1+a2 | + | a3| ≤｜a1 | +| a2 | + | a3|
∴｜a1 + a2 + a3| ≤｜a1 | +| a2 | + | a3|
推论1：｜a1 + a2 + a3| ≤｜a1 | +| a2 | + | a3|
推广：｜a1 + a2 +…＋ an| ≤｜a1 | +| a2 | +…+ | an|
师：由于定理中对a、b没有特殊要求，如果用－b代换b会有什么结果？（请一名学生板演）
因为|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|
用－b代换b有|a| － |－b|≤|a+（－b）|≤|a| + |－b|
即|a| － |b|≤|a－b|≤|a| + |b|
推论2：|a| － |b|≤|a－b|≤|a| + |b|
下面来研究一下定理|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|中等号成立的条件？
|a+b|＝|a| + |b|等价于(a+b)2＝(|a| + |b|)2等价于ab＝|ab|等价于ab≥0
||a| － |b||＝|a+b|等价于(|a| － |b|)2＝(a+b)2等价于－|ab|＝ab等价于ab≤0
5、反思应用
例1已知|x| < ε/3 , |y| < ε/6, |z| < ε/9，求证：|x + 2y－3 z| < ε
证明：|x + 2y－3 z| ≤|x| + |2y| + |－3 z|＝|x| + 2|y| + 3 |z|
∵|x| < ε/3 , |y| < ε/6, |z| < ε/9，
∴|x + 2y－3 z| <ε/3 + 2ε/6 + 3ε/9＝ε
即|x + 2y－3 z| < ε
例2 设a、b、c、d都是不等于0的实数，求证：|a/b| + |b/c| + |c/d| + |d/a|≥4
已知|a| < 1, |b| < 1,求证：|(a+b)/(1+ab)|< 1
巩固练习： P22 练习 1、3
6、总结提练
数学思想：等价转化
数学方法：分析法、化归法、公式法
知识点：含有绝对值不等式的重要定理
定理：|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|
推论1：｜a1 + a2 + a3| ≤｜a1 | +| a2 | + | a3|
推广：｜a1 + a2 +…＋ an| ≤｜a1 | +| a2 | +…+ | an|
推论2：|a| － |b|≤|a－b|≤|a| + |b|
7、作业： P22 习题6.5 1、2
思考题：
第二课时 含有绝对值的不等式（二）
学习目标：
进一步掌握含有绝对值的不等式的定理及推论
能够证明（解）含有绝对值的不等式
培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力
教学过程
1、复习回顾
回忆含有绝对值不等式的重要定理及推论
定理：|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|
推论1：｜a1 + a2 + a3| ≤｜a1 | +| a2 | + | a3|
推广：｜a1 + a2 +…＋ an| ≤｜a1 | +| a2 | +…+ | an|
推论2：|a| － |b|≤|a－b|≤|a| + |b|
2、设置情境
师：在证明｜x + 1/x| ≥2(x≠0)时，有部分同学证明如下：
证明过程正确吗？
生：不对！
师：这里应用了绝对值不等式的重要定理|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|右边成立的条件。在处理含有绝对值不等式问题时，要注意灵活应用不等式的有关性质。
3、反思应用
例1
例2
证一（分析法）
当ac + bd ≤0，不等式恒成立
当ac + bd ＞0，欲证原不等式成立，
只要证(ac + bd)2≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
即证a2c2 + 2abcd + b2d2≤a2c2 + a2d2 +b2c2 +b2d2
即证2abcd≤a2d2 +b2c2
即证0≤(bc－ad)2
∵a、b、c、d∈R
∴以上式恒成立
综合（1）、（2）可知，原不等式成立。
证二（综合法）
∵a、b、c、d∈R，所以0≤(bc－ad)2
即2abcd≤a2d2 +b2c2
∴a2c2 + 2abcd + b2d2≤a2c2 + a2d2 +b2c2 +b2d2
即(ac + bd)2≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
证三：（比较法）
∵(a2 + b2)(c2 + d2) －(ac + bd)2＝ (bc－ad)2≥0
证四（放缩法）
由于ac + bd≤|ac + bd|，
欲证原不等式成立，只要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
即证a2c2 + 2abcd + b2d2≤a2c2 + a2d2 +b2c2 +b2d2
即证2abcd≤a2d2 +b2c2
即证0≤(bc－ad)2
∵a、b、c、d∈R
∴上式恒成立。故原不等式成立。
证五（三角代换法）
当(a2+b2)(c2+d2)＝0时，原不等式成立；
当(a2+b2)(c2+d2)≠0时，欲证原不等式成立，
证六（构造函数法）
构造函数f(x) = (a2+b2)x2 + 2(ac+bd)x + (c2+d2) = (ax + c)2 + (bx +d)2
由于不论x取怎样的实数，函数f(x)的值均为非负数，因此，当(a2+b2)(c2+d2)≠0时，方程f(x) = 0的判别式Δ≤0。
即[2(ac + bd)]2－4(a2+b2)(c2+d2)≤0
即(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
4、总结提练
数学思想：等价转化
数学方法：分析法、化归法、公式法、综合法、比较法、构造法
知识点：含有绝对值不等式的重要定理
5、作业：P22 习题6.5 4 P30 复习参考题六 12
思考题：
1、已知a、b、c ∈R,函数f (x) = ax2 + bx + c, g(x) = ax + b, 当－1≤x≤1时，有|f(x)≤1。 （1）证明：|c|≤1；（2）证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；（3）设a＞0，－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)的解析式。
①证明：∵－1≤x≤1时，有|f(x)|≤1,∴当x = 0时，有f (0) = c, 即|c| = |f(0)|≤1,故|c|≤1。
②证明：欲证当－1≤x≤1时，有|g(x)|≤2,即证－1≤x≤1时，－2≤g(x)≤2。对a分类讨论
当a＞0时，
∵g(x)在[－1,1]上是增函数，∴－a+b≤g(x)≤a+b,
∵a+b = f(1)－c ≤|f(1)| + |c|≤2,
－a +b = －[f(－1)－c]≥－[|f(－1)|+|c|]≥－2，
∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2。
当a＜0时，
∵g(x)在[－1,1]上是减函数，∴a+b≤g(x)≤－a+b,
∵a+b = f(1)－c ≥－[|f(1)|+|c|]≥－2 ，
－a +b = －[f(－1)－c] ≤|f(－1)|+ |c|≤2,，
∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2。
综上所述，有|g(x)|≤2。
③∵a＞0，∴g(x)在[－1,1]上是增函数，
∴x＝1时，g(x)取最大值2，即a+b＝2。
∴f(1)－f(0)＝a+b＝2，
∴－1≤f(0)＝f(1)－2≤1－2＝－1，即c= f(0)＝－1，
∵－1≤x≤1时，f(x)≥－1= f(0)，
∴x = 0为函数f(x)图象的对称轴，
∴b = 0, 故a＝2，所以f(x)＝2x2－1。
②另解：∵f(x)= ax2+bx+c
∴f(1)= a+b+c,f(―1)= a―b+c, f(0)= c
∴a= [f(1)+f(-1) -2f(0)]/2,b= [f(1)-f(-1)]/2
∵|x|≤1时|f(x)|≤1 ∴|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1
∴|g(x)|=|ax+b|
=|[f(1)+f(-1)-2f(0)]x/2+[f(1)-f(-1)]/2|
=|(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2-xf(0)|
≤|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2|+|-xf(0)|
≤|(x+1)/2||f(1)| +|(x-1)/2||f(-1)|+|-x||f(0)|
≤(x+1)/2+(1-x)/2+1= 2
2、已知a、b、c ∈R,函数f (x) = ax2 + bx + c, g(x) = cx2+bx + a, 当|x| ≤1时，有|f(x)≤2。 （1）求证：|g(1)| ≤ 2；（2）求证：当|x| ≤ 1时，|g(x)|≤ 4.
证：（1）∵当|x| ≤1时，|f(x)|≤2,∴|f(1)|≤2
又|f(1)|＝|g(1)| ∴|g(1)|≤2
（2）∵f(x)= ax2+bx+c
∴f(1)= a+b+c,f(―1)= a―b+c, f(0)= c
∴a= [f(1)+f(-1) -2f(0)]/2,b= [f(1)-f(-1)]/2
∵|x|≤1时|f(x)|≤2 ∴|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2,|f(0)|≤2
∴|g(x)|=|cx2+bx+a|
=|x2f(0)+[f(1)-f(-1)]x/2+[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2|
=|(x2－1)f(0)+(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2|
≤|(x2－1)f(0)|+|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2|
≤|(x+1)/2||f(1)| +|(x-1)/2||f(-1)|+|(1－x2)||f(0)|
≤x+1+1-x2+2 = 4
教学后记：
不等式练习
一、选择题
1．(上海理科13)已知为非零实数，且，则下列命题成立的是( )
A、 B、 C、 D、
2.若实数a、b满足，则的最小值是（ ）
A．18 B．6 C．2 D．
3.设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4.设P=，Q=，R=，那么P、Q、R的大小关系是 （ ）
A．P>Q>R B．P> R > Q C．Q > P >R D．Q > R > P
5.设二次函数，若关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（北京理科7）如果正数满足，那么（ ）
Ａ．，且等号成立时的取值唯一
Ｂ．，且等号成立时的取值唯一
Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一
Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一
7.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确理财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为
A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元
8.（06重庆）（5班）若（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
9.（上海理科6）已知，且，则的最大值为
10.已知，且，为锐角，则的最大值为 ．
11.已知的最小值为
12.设计一幅矩形的宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，则宣传画所用纸张面积最小为 cm2．
三、解答题
12.设均为正数，且，
（1）求证：； （2）求证：．
13.(5班)、已知汽车从刹车到停车所滑行的距离（米）与时速（千米/小时）的平方以及汽车总重量（吨）的乘积成正比例，设某辆卡车不装货物以时速50千米行驶时，从刹车到停车走了20米，如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面25米有障碍物，为了能在障碍物2米外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1秒钟）
证明不等式的基本方法
证明下列不等式
求证：
（2）
2.
3.
4.
课 题：14绝对值不等式的解法（二）
教学目的：
（1）巩固与型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；
（2）培养数形结合的能力，分类讨论的思想，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力；
（3）激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想
教学重点：分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式
教学难点：如何正确分类与分段，简单的参数问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：（略）
?教学过程：
一、复习引入：
与型不等式与型不等式的解法与解集
不等式的解集是;
不等式的解集是
不等式的解集为 ;
不等式的解集为
二、讲解范例：
例1 解不等式 1 | 2x-1 | < 5
分析：怎么转化？怎么去掉绝对值？
方法：原不等式等价于
① 或 ②
解①得：1x<3 ; 解②得：-2< x 0
∴原不等式的解集为 {x | -2< x 0或1x<3}
方法2：原不等式等价于 12x-1<5或 –5<2x-1 -1
即22x<6 或 –4<2x0
解得 1x<3 或 –2< x 0
∴原不等式的解集为{x | -2< x 0或1x<3}
小结：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是 a| x |b axb或 -bx-a (a0)
练习：解下列不等式:
例2 解不等式：|4x-3|>2x+1
分析：关键是去掉绝对值
方法1：原不等式等价于，
即， ∴x>2或x<，
∴原不等式的解集为{x| x>2或x<}
方法2：整体换元转化法
分析：把右边看成常数c，就同一样
∵|4x-3|>2x+14x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1) x>2 或x<，
∴原不等式的解集为{x| x>2或x<}
例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1
分析：关键是去掉绝对值
方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）
①当时，
∴ ∴ 4<1
②当时
∴，∴
③当时
-4<1 ∴
综上 原不等式的解集为
也可以这样写：
解：原不等式等价于①或②或 ③，
解①的解集为φ，②的解集为{x|∴原不等式的解集为{x|x>}
方法2：数形结合
从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点
∴原不等式的解集为{x|x>}
练习：解不等式：| x+2 | + | x | >4
分析1：零点分段讨论法
解法1：①当x-2时，不等式化为 -（x+2）- x > 4 即x<-3 符合题义
②当 –2x即2>4不合题义，舍去
③当x0时，不等式化为x+2+x>4即x>1符合题义
综上：原不等式的解集为{x | x<-3或x>1}
分析2：从形的方面考虑，不等式| x+2 | + | x | >4表示数轴上到-2和0两点的距离之和大于4的点
解法2：因取数轴上点1右边的点及点-3左边的点到点-2、0的距离之和均大于4
∴原不等式的解集为 {x | x<-3或 x>1}
例4解关于的不等式①,②
解：∵，分类讨论如下
① Ⅰ
Ⅱ
① Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
例5解关于的不等式
解:原不等式化为：,在求解时由于a+1的正负不确定，需分情况讨论
①当a+10即a-1时，由于任何实数的绝对值非负，∴解集为
②当a+1>0即a> -1时，- (a+1)<2x+3< a+1 => < x <
综上得： ①
②
练习：课本第16页练习1、2
备用例题
例1解下列不等式:(1) (2)
解(1) (2)
例2．已知不等式的解集为，求的值
例3解关于的不等式
三、课内练习
课本第16页练习1、2
四、小结：
1对含有绝对值的不等式的解法,通过上面的例子我们可以看到,其关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推
2对于含有绝对值的不等式,如果其中含有字母参数,则根据基本的绝对值不等式的解法进行分类讨论,讨论时,不重复,也不要遗漏
五、作业:
课本第16页习题4，课本第42页复习参考题7
六、板书设计（略）
七、课后记：
高二（理科）数学小测（9）
班别： 姓名： 学号：
1、已知集合M={a1,a2,…a6},P={b1,b2,b3}，从集合M到集合P的不同的映射个数有_______个。
2、一份试卷有10道考题，分为A、B两组，每组5题，要求考生选做6题，但每组最多选4题，则每位考生有______________种选答方案。
3、的展开式中，的二项式系数为__________；的系数为________；含的项为_________。
4、若的展开式中有一项是，则m＝ ；n＝ 。
5、若，则_____________。
6、有4个不同的球，4个不同的盒子，将球全部放入盒子中，
（1）共有多少种放法？ （2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
（3）恰有一个盒子内放两个球，有多少种方法？
（4）恰有两个盒子不放球，有多少种放法？
7、的展开式中倒数第三项的系数是多少？
8、的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162，求x的一次项为？
9、求的展开式中的系数。
10、求展开式中的常数项。
反证法、放缩法、柯西不等式
1．，设，
则下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，且，则有( )
A．最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最小值
3. 函数
4. 不等式的解集是 。
5.已知
6、已知，则的最小值为
7、设均为正数，且，则 的最小值是
8．函数的最大值是
9. 已知少有一个是负数。
10. 已知n∈N*，求
（提示： ）
11. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。（ 提示： ）
反证法与放缩法
1.若
2. 已知少有一个是负数。
3.
4. 已知n∈N*，求
（提示： ）
5. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。（ 提示： ）
选修4-5《不等式选讲》教学要求解读（仅供参考）
尤溪一中 姜志茂
一、课程目标解读
《普通高中数学课程标准》对不等式的处理分为两个部分：一是必修模块数学5第三章不等式，内容包括不等关系，一元二次不等式，二元一次不等式组与简单线性规划问题，基本不等式。通过这一章的教学，使学生感受到在现实世界中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握解决不等式（组）问题的基本方法，并能解决一些实际问题；使学生初步体会数学在解决优化问题中的作用，认识数学的应用价值，从而培养学生解决简单实际问题的能力，发展学生的数学应用意识。
二是选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。
通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。
二、教材内容分析
作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：
第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。
对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。
第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。本讲内容也是本专题的一个基础内容。
第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如课本P41页，习题3.2 已知，且，求证。
排序不等式只作了解，建议在老师指导下由学生阅读自学，了解教材中展示的“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，初步认识排序不等式的有关知识。
第四讲是“数学归纳法证明不等式”．数学归纳法在选修2-2中也学过，建议放在第二讲，结合放缩法的教学，进一步理解“归纳递推”的证明。同时了解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用。
三、教学目标要求
1．不等式的基本性质
掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。
2．含有绝对值的不等式
理解绝对值的几何意义。
理解绝对值三角不等式：，
会解绝对值不等式：，，
会解绝对值不等式：，
3．不等式的证明
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法
4．几个著名的不等式
(1)认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维三维柯西不等式进行简单的证明与求最值。
(2)理解掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式并应用。
(3)了解n个正数的均值不等式，n维柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式
5．利用不等式求最大（小）值
会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。
6．数学归纳法与不等式
了解数学归纳法的原理及其使用范围；会用数学归纳法证明简单的不等式。
会用数学归纳法证明贝努利不等式：，（x＞-1，n为正整数）。
四、教学重点难点
1、本专题的教学重点：不等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；
特别是以下三点在教学中应当有所侧重：
(1)绝对值不等式．
a)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式的几何意义及取等号的条件：，，，
b)掌握求解以下绝对值不等式的解法（三种解法）
，，，
(2)不等式的证明：
比较法、综合法、分析法．
求差求商比较的基本方法步骤，包括因式分解，配方，定号，指数运算，对数运算，函数单调性等。综合法强调将问题进行合理变形转换，使之能运用定义、公理、定理、性质推证命题。分析法要强调书写步骤的合理性，注意逻辑上的充分条件，步步可逆不是指等价。
(3)用均值不等式、柯西不等式求最值
会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。
2、本专题的教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值等。
五、教学总体建议
1、回顾并重视学生已学知识
学习本专题，学生已掌握的知识有：
第一、初中课标要求的不等式与不等式组
(1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
(2)解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。
(3)根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题
第二、高中必修5不等式内容：
(1)不等关系。通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
(2)一元二次不等式。
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题。
(4)基本不等式及其应用（求最值）。
第三、高中选修2-2推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容。
回顾并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识，可适当指导学生阅读自学，设置梯度恰当的习题，采用题组教学的形式，达到复习巩固系统化的效果，类似于高考第二轮的专题复习，构建知识体系。
2、控制难度不拓展
在解绝对值不等式的教学中，要控制难度：含未知数的绝对值不超过两个；绝对值内的关于未知数的函数主要限于一次函数。解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；
不等式证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法，应用柯西不等式和排序不等式的证明，只要求了解。
代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧。这些技巧是极为重要的，但对大多数学生来说，往往很难掌握这些技巧，教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，对一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中。
3、重视不等式的应用
不等式应用的教学，主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题，其中最值问题主要是用二个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解。对于超过3个正数的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；贝努里不等式的应用不作要求。
4、重视展现著名不等式的背景
几个重要不等式大都有明确的几何背景。教师应当引导学生了解重要不等式的数学意义和几何背景，使学生在学习中把握这些几何背景，力求直观理解这些不等式的实质。特别是对于n元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容，可指导学生阅读了解相关背景知识。
六、分节教学设计（部分）
本专题教学约需18课时，大致分配如下（仅供参考）：
第1课时 不等式的性质
[目标要求]
理解并掌握不等式的六个基本性质
[探索研究]
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质（6个）：
[典型例题]见课本P3例1 例2
[参考习题]
1、若a、b、x、y∈R，则是成立的（ C ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2、已知，且，，求f(3)的取值范围。
3、已知a>0，，，试比较a、b、c的大小。
第2课时 基本不等式
[目标要求]
理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一定要满足“一正二定三相等”的条件。
[探索研究]
1、定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”）
2、定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）
3、已知x, y都是正数。则
（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值；
（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值
[典型例题]见课本P6例3，例4
[参考习题]
1、当取什么值时，函数有最小值？最小值是多少？
2、求函数（）的最小值。
3、设且，求的最大值
4、已知且，求的最小值
5、（较高要求）已知，且，求证：
第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式
[目标要求]
理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意“创造条件”利用基本不等式求最值。
[探索研究]
1、引理：若，则（当且仅当时取“=”）
2、定理3：若，则。（当且仅当时取“=”）
3、推论：n个正数的算术—几何平均不等式：≥
4、已知x,y,z都是正数。则
（1）如果积xyz是定值p，那么当x=y=z时，和x+y+z有最小值；
（2）如果和x+y+z是定值s，那么当x=y=z时，积xyz有最大值
[典型例题]见课本P9例5，例6
[参考习题]
1、
2、求函数的最值。
3、若，求证的最小值为3。
4、θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值。
第4课时 绝对值三角不等式
[目标要求]
理解和掌握绝对值不等式的两个定理：
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立）
|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）
能应用定理解决一些证明和求最值问题。
[探索研究]
1、|a|、|a-b|的几何意义；理解，及等号成立条件。
2、定理1 若，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。
3、定理2 若，则，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
4、拓展：若，则及等号成立条件。
[典型例题] 见课本P14例1，例2
[参考习题]
3、
第5课时 绝对值不等式的解法
[目标要求]
会熟练求解四种类型的不等式，特别是分区间讨论
[探索研究]
1、复习：不等式|x|a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
2、探究：不等式|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型的解法：
①换元法 ②分段讨论法
3、掌握不等式
①定义法 ②分区间讨论 ③函数
4、了解简单的含参数绝对值不等式的解法
[典型例题] 见课本P16例3，例4，例5
[参考习题]
1、解不等式：(1)1<|2x+1|≤3 (2) ||x-1|-4|<2 (3)|3x-1|>x+3
(4) (5) (6)
2、不等式 >对一切实数都成立，求实数的取值范围。
第6课时 比较法
[目标要求]
会用比较法证明简单的不等式
[探索研究]
1、比较法
求差比较法的一般步骤，求商比较法的一般步骤
[典型例题] 见课本P21，例1，2，3，
[参考习题]
1、
2、
3、
4、
5、
第7课时 综合法与分析法
[目标要求]
会用综合法、分析法证明简单的不等式，理解其推理方法、证明格式
[探索研究]
(1)综合法：强调将问题进行合理变形转换，使之能运用定义、公理、定理、性质推证命题。
(2)分析法：分析法要强调书写步骤的合理性，注意逻辑上的充分条件，步步可逆不是指等价。
[典型例题] 见课本P21-25，例1，2，3，4
[参考习题]
1、已知求证
2、已知求证
3、证明：。
4、已知都是互不相等的正数，求证
第8、9课时 反证法与放缩法
[目标要求]
通过简单的例子，了解用反证法、放缩法证明不等式的思想方法
[探索研究]
(1)反证法
(2)放缩法，证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确，或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法
放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A(1)舍掉（或加进）一些项：
如
(2)在分式中放大或缩小分子或分母：
如，
(3)应用基本不等式进行放缩，如
[典型例题] 见课本P26-28，例1，2，3，4
[参考习题]
1、
2、．设，则与的大小关系是_____。
3、已知是正数，且，求的最大值与的最小值。
第10、11课时 二维形式的柯西不等式
[目标要求]
理解二维形式、向量形式柯西不等式及其几何背景，会用二维柯西不等式进行简单的证明与求最值
[探索研究]
1、定理1（二维）若都是实数，则，当且仅当时，等号成立。
2、（二维变式），
3、定理2（向量形式）设是两个向量，则有，当且仅当，或存在实数，使时，等号成立。
4、定理3（三角不等式）设，则有
5、三角变式
[典型例题] 见课本P35，例1，2，3
[参考习题]
1、
2、
3、
4、
5、
第12、13课时 一般形式的柯西不等式
[目标要求]
了解n维柯西不等式及其证明，会用三维柯西不等式进行简单的不等式证明与求最值
[探索研究]
1、由得：
三维形式的柯西不等式
n维形式不等式
2、n维形式的证明：构造函数法
[典型例题] 见课本P39，例1，2，3
[参考习题]
1、设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求的最小值。
2、若，且，则的最大值是
3、设x，y，z(R，求的最大值。
4、ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。
5、（较难）求的取值范围。
第14、15课时 排序不等式
[目标要求]了解排序不等式的“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，初步认识排序不等式的有关知识及简单应用。
第16、17课时 数学归纳法及证明不等式
[目标要求]
1、复习回顾数学归纳法，会用数学归纳法证明某些简单的不等式，注意第二步与放缩法、分析法的结合
2、探究：n个正数的均值不等式的证明
第18课时 学习总结报告 （略）
例1：已知为实数，证明
练习1．设a﹐b为不相等的正数﹐试证(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2﹒
由柯西不等式知 [()2＋()2][()2＋()2] ≥ (．＋．)2﹐ 即(a＋b)(a3＋b3) ≥ (a2＋b2)2﹒ 但若等号成立﹐则必有一实数(存在﹐使得＝﹐＝﹒ 于是a＝b＝(﹐与a﹐b不相等的假设矛盾﹐ 故(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2﹒
练习2、设，则之最小值为______。
解：利用柯西不等式得知
故最小值为9
练习3：设a﹑b皆为正实数﹐则(a＋2b)(＋)之最小值
答案：利用柯西不等式得
原式
故最小值为9
例2：设?，若，求的最大值为_______。
答案：5
解析：利用柯西不等式得知
故的最大值为5
练习4。已知,，已知，求的范围为________，发生最大值时数对=________，发生最小值时数对=_______。
Ans
练习5：已知,，已知，求的范围为________。
Ans:
例3、设?，且，求之最小值。
练习5：已知x+2y=1，求x2+y2的最小值。
练习6：设、为正数，且，求的最小值为_______，
此时数对= Ans:
[14]设、为正数，且，求的最小值为_______，此时数对=________。
Ans: ;
例4：求函数的最大值。
例5：设，，求证：
归 纳 法
1.证明：
2.用数学归纳法和放缩法分别证明：
3.用数学归纳法证明: 凸n边行的对角线的条数:
4.在数列
猜想
放缩法常用技巧
(1) b > a > 0 (
(2) k ( N* (
（3）
（5）
（6）
（7）
（8）重要不等式. 均值不等式
例1、若a, b, c, d(R+，求证：
例2、巳知：a、b、c ∈ ，求证：
例4， 求证：
例5. 求证：
用放缩法证明不等式
徐加生 戴加荣
所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。
一. “添舍”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证。
证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋（a＋b）2，即（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。
例2. 已知a、b、c不全为零，求证：
证明：因为，同理，。
所以
二. 分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：。
证明：由于a、b、c为正数，所以，，，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则为真分数，则，同理，，
故.
综合得。
三. 裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4. 已知n∈N*，求。
证明：因为，则
，证毕。
例5. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。
证明：因为，所以，
又，
所以，综合知结论成立。
四. 公式放缩
利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
例6. 已知函数，证明：对于且都有。
证明：由题意知
，又因为且，所以只须证，又因为
所以。
例7. 已知，求证：当时。
证明：
证毕。
五. 换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。
例8. 已知，求证。
证明：因为，所以可设，，所以则，即。
例9. 已知a，b，c为△ABC的三条边，且有，当且时，求证：。
证明：由于，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为，，则当时，，，
所以。
六. 单调函数放缩
根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。
例10. 已知a，b∈R，求证。
证明：构造函数，首先判断其单调性，设，因为，所以，所以在上是增函数，取，，显然满足，
所以，
即。证毕。
高二（理科）数学小测（9）
班别： 姓名： 学号：
1．（全国Ⅰ卷理科第13题）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答）
2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有 种。
3．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有
4（06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
5、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 （用数字作答）。
6、已知集合M={a1,a2,…a6},P={b1,b2,b3}，从集合M到集合P的不同的映射个数有_______个。
7、一份试卷有10道考题，分为A、B两组，每组5题，要求考生选做6题，但每组最多选4题，则每位考生有______________种选答方案。
8.100件产品中有97件合格品，3件次品，从中任意抽取5件进行检查。
（1）抽出的5件都是合格品的抽法有多少种？
（2）抽出5件中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的5件至少有2件是次品的抽法有多少种？
9.书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部排在同一层，如果不使同类的书分开，一共有多少种排法？
10、有4个不同的球，4个不同的盒子，将球全部放入盒子中，
（1）共有多少种放法？ （2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
（3）恰有一个盒子内放两个球，有多少种方法？
（4）恰有两个盒子不放球，有多少种放法？
周一
例1:已知,证明:.
1.证明:用数学归纳法证明.
(1)当时,左边=,右边,等式成立;
(2)假设当时等式成立,即有:
.
那么当时,
左边=
=右边;
所以当时等式也成立.
综合(1)(2)知对一切,等式都成立.1.设f(n)=(n∈N),那么f(n+1)-f(n)等于
A. B. C.+ D.-
2.用数学归纳法证明:,从k到k+1需在不等式两边加上（）
A. B. C. D.
下面证明：
2.设,则f(2k)变形到f(2k+1)需增添项数为
A.2k+1项 B.2k项 C.2项 D.1项
例2、求证：
即成立，当n=k+1时，
即n=k+1时，命题成立
练习2∶证明不等式(n∈N*)
证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；
(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2，
∴当n=k+1时，不等式成立.
综合(1)、(2)得：当n∈N*时，都有1+＜2.
另从k到k+1时的证明还有下列证法：
3、用数学归纳法证明：
4．证明：对大于2的一切正整数，下列不等式都成立
1、求证：能被9整除
2、用数学归纳法证明：能被9整除
3、求证：能被整除，
龙山中学高二理科数学周日测试1 2008-3-2
选择题（每题5分，共40分）
1.已知满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2. 设则以下不等式中不恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
3 不等式的解集为（ ）
A B C D
4．设, ，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．若x, y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是( )
A、3 B、1+2 C、6 D、7
6．设，且，， ， ，，
则它们的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．若平面上个圆最多把平面分成个区域，则个圆最多把平面分成区域的个数为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．.若不等式＞在上有解,则的取值范围是 （ ）
A． B. C． D．
二、填空题（每题6分，共30分）
9.若，则的最小值是_____________
10．已知a,b，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________________
11. 若实数满足，则的最小值为
12．函数的最大值为 ，此时
13．若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出
三、解答题
14.(本小题满分14分)
解下列不等式
（1） （2） （3）
15．(本小题满分14分)
（1）设
（2）若a、b、c都是正数，且a+b+c=1，求证： (1–a)(1–b)(1–c)≥8abc
16. (本小题满分14分)
设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（0<λ<1），画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
17. (本小题满分12分) 设，求证：
18. (本小题满分14分)设函数f(x)=
(1) 求f(x)的单调区间； （2）讨论f(x)的极值.
19. (本小题满分12分)
(1)
(2) 求证：
龙山中学高二理科数学周日测试1 2008-3-2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
选择题（每题5分，共40分）
二、填空题（每题6分，共30分）
9. 10. 11.
12. 13.
三、解答题
14. (本小题满分14分)
15. (本小题满分14分)
16. (本小题满分14分)
17. (本小题满分12分)
18. (本小题满分14分)
19.(本小题满分14分)
(1)设, 为二向量，
(2)设, 为二向量，
(3)设， (柯西不等式)
[1]、设, 为二向量，证明：
答：设与的夹角为
故
[2]、设为二向量，证明：
答：∵且
∴
[3]、设，证明： (柯西不等式)
答案：设
由知
例2：求函数的最大值。(课本4-5P35，例2)
练习A：已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值。(课本4-5P41，5)
练习B：已知x+2y=1，求x2+y2的最小值。(课本4-5P37，6)
例1：设a，b∈R+，a+b=1，求证：。(课本4-5P35，例3)
练习A：2x2+3y2≤6，求证x+2y≤
练习A：已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：(课本4-5P41，1)
练习A：设a，b为正数，求的最小值。(课本4-5P37，7)
入：例题1 a2+b2=1，m2+n2=2,证明：－√2≤am+bn≤√2
[5]、设?，若，求的最大值为_______。
答案：5
解析：利用柯西不等式得知
故的最大值为5
[6],，已知，求的范围为________，发生最大值时数对=________，发生最小值时数对=_______。
Ans
[7],，已知，求的范围为________。
Ans:
[8] 设?且，求的最大值及最小值。
答案：利用柯西不等式得
故最大值为10，最小值为(10
[9]、设，则之最小值为______。
解：利用柯西不等式得知
故最小值为9
[10]、设?，且，求之最小值。
答案：设
且
∵
∴
故之最小值为13
[11]、设，则的最小值为何？
答案：利用柯西不等式得
原式
故最小值为9
[12]?，若，求的最小值。
答案：令
又
∴
故之最小值为
[13]设、为正数，且，求的最小值为_______，此时数对=________。
Ans:
[14]设、为正数，且，求的最小值为_______，此时数对=________。
Ans: ;
[15].、，且，求的最小值为_______，此时数对=_______。
答20.13;(3,2)
[16].已知，求的最大值为_______，最小值为_______。
答.(1) (2)
柯西不等式应用
设a﹐b为不相等的正数﹐试证(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2﹒
由柯西不等式知 [()2＋()2][()2＋()2] ≥ (．＋．)2﹐ 即(a＋b)(a3＋b3) ≥ (a2＋b2)2﹒ 但若等号成立﹐则必有一实数(存在﹐使得＝﹐＝﹒ 于是a＝b＝(﹐与a﹐b不相等的假设矛盾﹐ 故(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2﹒
设a﹑b皆为正实数﹐则(a＋2b)(＋)之最小值
(a＋2b)(＋)＝1＋4＋2(＋)＝5＋2(＋) ( 5＋4＝5＋4＝9﹒ 3. 求(a2＋b2＋c2)(()＋()＋())最小值﹖
由柯西不等式知 (a2＋b2＋c2)(＋＋) ( (a．＋b．＋c．)2＝(1＋1＋1)2＝9﹐ ∴所求最小值为9﹒
4. 设=1，求2x+y+z-16之最大值 ，最小值 。
()(42+32+42)
≧(4(+3(+4()2=(2x+y+z+2)2 (1(41≧(2x+y+z+2)2(-≦2x+y+z+2≦ ∴-18-≦2x+y+z-16≦-18+
5. 设x，y，z(R，若x2+y2+z2=5，求x-y+2z的最大值 。
且此时(x，y，z)= 。
由柯西不等式(x2+y2+z2)(12+(-1)2+22)≧(x-y+2z)2(5(6≧(x-y+2z)2 (-≦x-y+2z≦ ∴x-y+2z的最大值为.............. <答> 此时，=t，设x=t，y=-t，z=2t 且x-y+2z=(6t=(t= ∴x=，y=-，z=...
设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求的最小值 。且此时(x，y，z)=
由柯西不等式 [()2+()2+()2][()2+()2+()2]≧(2+1+3)2 (10(()≧36(≧........................................... <答> 此时，=t(x=2t，y=t，z=3t 且x+y+z=10(t=∴x=，y=，z=..........
x , y , z(R，且x－2y＋2z＝5﹐求(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值
[(x+5)2+(y-1)2+(z+3)2]((12+(-2)2+22)([1((x+5)+(-2)((y-1)+2((z+3)]2 ([(x+5)2+(y-1)2+(z+3)2](9((x-2y+2z+13)2=(5+13)2 ((x+5)2+(y-1)2+(z+3)2(36 ∴最小值36
8. 设a、b为实数，求a2+b2+(2a-3b+4)2的最小值为
(a2+b2+(2a-3b+4)2)((-2)2+32+12))≧(-2a+3b+(2a-3b+4))2=16 ((a2+b2+(2a-3b+4)2)(14≧16((a2+b2+(2a-b+9)2)≧ ∴最小值.................
设x，y，z(R，求的最大值 。
由(x2+(y)2+z2)(22+(2+(-1)2)((2x+y-z)2 ((x2+2y2+z2)(((2x+y-z)2
(( (-((
ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点P，P到三边的距离分别为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值为 。
s= (ABC面积= 且(ABC=(PAB+(PBC+(PAC ((4x+5y+6z= 由柯西不等式 (4x+5y+6z)2((x2+y2+z2)(42+52+62) (((x2+y2+z2)(77 (x2+y2+z2(
柯西不等式的应用
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式。
巧拆常数：
例：设、、为正数且各不相等。
求证：
分析：∵、、均为正
∴为证结论正确只需证：
而
又
又、、各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。
重新安排某些项的次序：
例：、为非负数，+=1，
求证：
分析：不等号左边为两个二项式积，，每个两项式可以使柯西
不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。
（∵+=1）
结构的改变从而达到使用柯西不等式：
例若>>
求证：
分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了
∴
∴结论改为
∴
添项：
例：
求证：
分析：左端变形
∴只需证此式即可
注：柯西不等式：、，则
推论： 其中、
其中、、
正难则反，巧用反证法证明不等式
杨伟强
反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。
要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。
例1. 设a，b，c，d均为正数，求证：下列三个不等式①a＋b＜c＋d，②，③中至少有一个不正确。
证明：假设不等式①、②、③都成立，因为a，b，c，d都是正数，所以由不等式①、②得，。
由不等式③得，
因为，所以
综合不等式②，得，即
由不等式④，得，即，显然矛盾。
∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。
例2. 已知求证：。
证明：由知≠0，假设，则
又因为，所以，即
从而，与已知矛盾。
∴假设不成立，从而
同理，可证。
例3. 若，求证：。
证明：假设，则，即。
因为所以
故
又，，即
∴，即，不成立。
故假设不成立，即。
例4. 设a，b，c均为小于1的正数，求证：，不能同时大于。
证明：假设同时大于，即，，。
则由，可得
同理，，
三个同向不等式两边分别相加，得，所以假设不成立。
∴原结论成立。
例5. 若，，，求证：，不能同时大于1。
证明：由题意知
假设有
那么
同理，
①＋②＋③，得矛盾，假设不成立。
故，，不能同时大于1。
高二（理科）数学小测（5）
班别： 姓名： 学号：
1、设实数,,,满足条件，，则的最大值为 ，此时，x＝ ，y＝ 。
2、设，若恒成立,则的取值范围为___ ____。
3、设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a+b>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________。
4、已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n的大小关系是 。
5、a>0 不等式的解集是则a:b:c= 。
6、要建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价应为元。
7、若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 。
8、解不等式：
9、用数学归纳法证明：。
高二数学理科限时练习（3）
1、设m,n,m+n=p,求证：
2、设,求证：。
3、解不等式（1）； （2）； （3）。
4、对任意实数x，若不等式恒成立，求k的取值范围。
5、若求证。
6、设求证：。
课 题：含有绝对值的不等式（2）
教学目的：
1．进一步掌握含有绝对值不等式的定理及其推论；
2培养学生的化归(或转化)的数学思想
3提高分析问题和解决问题以及综合运用数学知识的能力
4培养创新意识,提高学生的数学素质
教学重点：不等式性质、定理的综合运用
教学难点：常见证明技巧
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
上一节课，我们学习了含绝对值的不等式的一个重要性质，并认识到证明不等式的方法的多样性与灵活性，这一节，我们将综合运用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证明不等式
定理：
注意：1( 左边可以“加强”同样成立，即
2( 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
3( a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”
推论1：≤
推论2：
二、讲解范例：
例1 已知a、b、c、d都是实数，且a2＋b2＝ｒ2，c2＋d2＝R2，(ｒ＞0，R＞0)
求证：｜ac＋bd｜≤
证明：(综合法)∵a、b、c、d都是实数，
∴｜ac＋bd｜≤｜ac｜＋｜bd｜≤
∵a2＋b2＝ｒ2，c2＋d2＝R2，
∴｜ac＋bd｜≤
例2 设f (x) = x2＋px＋q, 求证：| f (1) |、| f (2) |、| f (3) | 中至少有一个不小于
说明：此题正面证明较为困难，“正难则反”，引导学生尝试“反证法”证明
证明：（反证法）假设原命题不成立，则|f(1)|＜,|f(2)|＜,|f(3)|＜,
∴ |f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)|＜2 ①
由f(1)=1+p+q, f(2)=4+2p+q, f(3)=9+3p+q 得
f(1)+f(3)－2f(2)=2
∴ |f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)－2f(2)|=2
这与①矛盾，故假设不成立，求证为真
例3 求证：
证法一：(分析法)要证明
只需证 (|a|+|b|)(1+|a+b|)≥|a+b| (1+|a|+|b|)
只需证 |a|+|b|+(|a|+|b|)·|a+b|≥|a+b|+(|a|+|b|)|a+b|
只需证|a|+|b|≥|a+b|
显然上式成立
所以原不等式成立
证法二：(利用函数的单调性)
构造函数f(x)= (x≥0)
∵f(x)= =1－
∴函数f(x)在［0，＋∞是增函数
∵f(|a|+|b|)=， f(|a+b|)=
而 |a|+|b|≥|a+b|，∴f(|a|+|b|)≥f(|a+b|)
即≥
例4 已知,求证：
说明：根据已知条件x2＋y2=1的形式特点，可以进行三角代换，即设，转化为三角形式的不等式
解：设， 则
（其中tanθ=a）
∵|sin(－θ)|≤1
∴
∴
即
三、课堂练习：
1．若|x－a｜＜ｍ，｜y－a｜＜n，则下列不等式一定成立的是( D )
A｜x－y｜＜2ｍ B｜x－y｜＜2n C｜x－y｜＜n－ｍ D｜x－y｜＜n＋ｍ
2．已知函数f(x)=－2x+1，对任意的正数ε，使得｜f(x1)－f(x2)｜＜ε成立的一个充分非必要条件是( C )
A｜x1－x2｜＜ε B｜x1－x2｜＜ C｜x1－x2｜＜ D｜x1－x2｜＞
四、小结 ：通过本节学习，要求大家进一步认识证明不等式的方法的多样性，并能灵活掌握绝对值的性质、不等式的性质，算术平均数与几何平均数的定理对不等式进行证明
五、课后作业：
1 若a≠b，a≠0，b≠0，则 >
2 解不等式｜x2－4x＋2｜≥
0＜x≤或≤x≤或x≥4
3求证:(1)|x+1|+|x-1|≥2;
(2)|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|≥6;
(3)2|x+2|+|x+1|≥1(当且仅当x=-2时,“=”号成立)
证明:(1)|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2
(2)|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2
当且仅当(x+1)(x-1)≤0,即-1≤x≤1时“=”成立;
又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,
当且仅当(x+2)(x-2)≤0,即-2≤x≤2时“=”号成立
∴|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|≥6,
当且仅当即-1≤x≤1时“=”号成立
(3)|x+2|+|x+1|≥|(x+2)-(x+1)|=1,
当且仅当(x+2)(x+1)≤0,即-2≤x≤-1时“=”号成立;
又|x+2|≥0,当且仅当x=-2时，“=”号成立,
∴2|x+2|+|x+1|≥1,
当x=-2时，“=”号成立
4已知f(x)=,当|a|≠|b|时,求证:
(1)|a+b|<|f(a)+f(b)|;(2)|a-b|>|f(a)-f(b)|
证明:(1)| a+b|≤|a|+|b|<=|f(a)+f(b)|
(2)由(1)得:|a+b|<,
∴|a-b|=
5求证:≥|a|-|b|(a≠b)
证明:当|a|≤|b|时,|a|-|b|≤0,≥0,有 ≥|a|-|b|;
当|a|>|b|时,又a≠0,从而|a|>0,有||<1-||>-1-≥-|b|
∵(|b|≥0) ∴≥=|a|-≥|a|-|b|
综上所述有:≥|a|-|b|(a≠b)
6若|x|<1,|y|<1,|z|<1,求证：||<1
证明：所证不等式
|x+y+z+xyz|<|1+xy+yz+zx|
(x+y+z+xyz)2<(1+xy+yz+zx)2
(xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1)(xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1)<0
［(x+1)(y+1)(z+1)］·［(x-1)(y-1)(z-1)］<0
(x2-1)(y2-1)(z2-1)<0
由于|x|<1,|y|<1,|z|<1，从而x2<1,y2<1,z2<1,
于是(x2-1)(y2-1)(z2-1)<0成立,所以原不等式成立
7已知a,b∈R,求证:
证明:原不等式|a+b|(1+|a|)(1+|b|)
≤|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|)
|a+b|(1+|b|)+|a+b|·|a|(1+|b|)
≤|a|(1+|b|)+|a|·(1+|b|)·|a+b|+|b|(1+|a|)+|b|·|a+b|(1+|a|)
|a+b|+|a+b|·|b|≤|a|+2|ab|+|b|+|b|·|a+b|+|ab|·|a+b|
|a+b|≤|a|+|b|+2|ab|+|ab|·|a+b|
由于|a+b|≤|a|+|b|成立,显然最后一个不等式成立,从而原不等式成立
以上证明是最基本的方法,但过程繁琐冗长,利用放大技巧证明要简捷得多,证明如下:
∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0,
六、板书设计（略）
七、课后记：
【§5.6含绝对值符号不等式与三角形不等式证明】
班级 姓名 学号
例1．已知|an－l|>1，求证：|an|>1－|l|.
例2．△ABC中，求证：.
例3．已知a,b∈R，求证：.
例4．△ABC中，求证：sinA+sinB+sinC≤.
【备用题】
已知a,b,c∈R，函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，求证：①|c|≤1 ②当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.
【基础训练】
1．设x<3则下列不等式一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．ab>0，则①|a+b|>|a| ②|a+b+<|b| ③|a+b|<|a－b| ④|a+b|>|a－b|四个式中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
3．x为实数，且|x－5|+|x－3| A．m>1 B．m≥1 C．m>2 D．m≥2
4．不等式成立的充要条件是 （ ）
A．ab≠0 B．a2+b2≠0 C．ab>0 D．ab<0
5．已知|a|≠|b|,m=，那么m、n之间的大小关系为 （ ）
A．m>n B．m【拓展练习】
1．已知|an－e|<1，求证：|an|<|e|+1
2．已知|a|<1,|b|<1，求证：
3．已知f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，求证：|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2.
（提示：|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)－2f(2)+f(3)|）
4．A、B、C为锐角三角形三内角，求证：tan3A+tan3B+tan3C≥9.
5．△ABC中，求证：a2+b2+c2≥4△（△为△ABC的面积）
（提示：利用，再用求差法）
6．a、b、c为△ABC三边，x∈R，求证：a2x2+(a2+b2－c2)x+b2>0.
（提示：△=…=（a+b+c）(a+b－c)(a－b+c(a－b－c)<0)
7．△ABC中，利用代数换元a=y+z,b=z+x,c=x+y(x,y,z∈R+)求证：sin.
8．已知a>0,b>0,2c>a+b，求证：.
解绝对值不等式题根探讨
湖南衡阳县五中 陈胜
湖南祁东育贤中学 周友良
题根四 解不等式．
［题根4］解不等式．
［思路］利用｜f(x)｜0) -a［解题］原不等式等价于，
即
由（1）得：；由（2）得：或，
所以，原不等式的解集为或．
［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。
2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数的
的图象，解方程，再对照图形写出此不等式的解集。
第1变 右边的常数变代数式
［变题1］解下列不等式：(1)|+1|>2－；(2)|－2－6|<3
［思路］利用｜f(x)｜g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于+1>2－或+1<－(2－)
解得>或无解，所以原不等式的解集是{|>}
(2)原不等式等价于－3<－2－6<3
即
2<<6
所以原不等式的解集是{|2<<6}
［收获］形如||<，||>型不等式
这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：
①||<－<<
②||>>或<－
［请你试试4—1］
1．解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2）≤1
解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.
原不等式等价于：
x-x2-2>x2-3x-4 ①
或x-x2-2<-(x2-3x-4) ②
解①得：1-解②得：x>-3
故原不等式解集为｛x｜x>-3｝
分析二 ∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜
而x2-x+2＝(x-)2+>0
所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.
故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4
解得：x>-3
∴ 原不等式解集为｛x>-3｝
（2）分析 不等式可转化为-1≤≤1求解，但过程较繁，由于不等式≤1两边均为正，所以可平方后求解.
原不等式等价于≤1
9x2≤(x2-4)2 (x≠±2)
x4-17x2+16≥0
x2≤1或x2≥16
-1≤x≤1或x≥4或x≤-4
注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.
第2变 含两个绝对值的不等式
［变题2］解不等式（1）|－1|<|+|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.
［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f2(x)〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。
（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
［解题］（1）由于|－1|≥0，|+|≥0，所以两边平方后有：
|－1|<|+|
即有－2+1<+2+，整理得(2+2)>1－
当2+2>0即>－1时，不等式的解为>(1－)；
当2+2=0即=－1时，不等式无解；
当2+2<0即<－1时，不等式的解为<
（2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.
解：当x≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3.
当-355>5无解.
当x≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.
综合得：原不等式解集为｛x｜x>2或x<-3｝.
［收获］1）形如||<||型不等式
此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：
||<||<0
2）所谓零点分段法，是指：若数，，……，分别使含有|－|，|－|，……，|－|的代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值的零点，零点，，……，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化
［请你试试4—2］
1 解关于的不等式(>0且≠1)
解析：易知－1<<1，换成常用对数得：
∴
于是
∴
∴
∵－1<<1
∴0<1－<1
∴(1－)<0
∴<0
∴
解得0<<1
2．不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为 。
解：
|x+3|-|2x-1|=
∴当时 ∴x>2
当-3 当时∴
综上或x>2
故填。
3．求不等式的解集.
解：因为对数必须有意义，即解不等式组
，解得
又原不等式可化为
(1)当时，不等式化为即
∴ ∴ 综合前提得：。
(2)当1∴ 。
当时，
∴ ∴，结合前提得：。
综合得原不等式的解集为
第3变 解含参绝对值不等式
［变题3］解关于x的不等式
［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对的正负进行讨论。
［解题］原不等式等价于
当即时，
∴
当即时， ∴x((6
当即时， x(R
［收获］1）一题有多解，方法的选择更重要。
2）形如|<，||>()型不等式
此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：
当>0时，||<－<<；||>>或<－；
当=0时，|<无解，||>≠0
当<0时，||<无解，||>有意义。
［请你试试4—3］
1．解关于的不等式：
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当
。
2．关于的不等式|－1|≤5的解集为{|－3≤≤2}，求的值。
按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于值的不确定，要以的不同取值分类处理。
解：原不等式可化为－4≤≤6
当>0时，进一步化为，依题意有，此时无解。
当=0时，显然不满足题意。
当<0时，，依题意有
综上，=－2。
第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
［变题4］若不等式|－4|+|3－|<的解集为空集，求的取值范围。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|≤||+||，便把问题简化。
［解题］解法一 (1)当≤0时，不等式的解集是空集。
(2)当>0时，先求不等式|－4|+|3－|<有解时的取值范围。
令－4=0得=4，令3－=0得=3
当≥4时，原不等式化为－4+－3<，即2－7<
解不等式组，∴>1
当3<<4时，原不等式化为4－+－3<得>1
当≤3时，原不等式化为4－+3－<即7－2<
解不等式，∴>1
综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<≤1时，原不等式解集为空集。
由(1)(2)知所求取值范围是≤1
解法二由|－4|+|3－|的最小值为1得当>1时，|－4|+|3－|<有解
从而当≤1时，原不等式解集为空集。
解法三： ∵>|－4|+|3－|≥|－4+3－|=1
∴当>1时，|－4|+|3－|<有解
从而当≤1时，原不等式解集为空集。
［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。
2）有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
［请你试试4—4］
1．对任意实数，若不等式|+1|－|－2|>恒成立，求的取值范围。
思维点拨：要使|+1|－|－2|>对任意实数恒成立，只要|+1|－|－2|的最小值大于。因|+1|的几何意义为数轴上点到－1的距离，|－2|的几何意义为数轴上点到2的距离，|+1|－|－2|的几何意义为数轴上点到－1与2的距离的差，其最小值可求。
此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。
解法一 根据绝对值的几何意义，设数，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|>成立
∵|AB|=3，即|+1|－|－2|≥－3
故当<－3时，原不等式恒成立
解法二 令=|+1|－|－2|，则
要使|+1|－|－2|>恒成立，从图象中可以看出，只要<－3即可。
故<－3满足题意。
2．对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围。
分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。
解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)0, 即
时取等号。故a<3
说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……）
3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|分析（一）|x-4|+|x-3||x-4—(x-3)|=1
当|x-4|+|x-3|1
（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：
y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|
|PA|+|PB|1 恒有y1
数按题意只须a>1 A B P
0 3 4 x
（三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象
由f(x)1
y
3
2
1
0 3 4 x
（四）考虑|z-4|+|z-3|当a>1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a的椭圆内部，当z为实数时，a>1原不等式有解a>1即为所求
（五） 可利用零点分段法讨论.
将数轴可分为(-∞，3)，［3，4］，(4，+∞)三个区间.
当x<3时，得(4-x)+(3-x).
有解条件为<3 即a>1
当3≤x≤4时得(4-x)+(x-3)1
当x>4时，得(x-4)+(x-3)有解条件为>4 即a>1
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.
变题：
1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围
2、若不等式|x-4|-|x-3|3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范围
评注：
1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。
4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法
设0求正实数b的取值范围。
简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化:
设集合A＝，
B=
由题设知AB，则：
于是得不等式组：
又 ，最小值为；
最小值为；
∴ ,
即 ：b的取值范围是
第5变 绝对值三角不等式问题
［变题5］已知函数，当时，求证：
；
，则当时，求证：。
［思路］本题中所给条件并不足以确定参数，的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用 、、来表示,。因为由已知条件得，，。
［解题］证明：(1)由，从而有
(2)由
从而
将以上三式代入，并整理得
［收获］1） 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.
2）本题变形技巧性强，同时运用公式，及已知条件进行适当的放大。要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。
［请你试试4—5］
1．已知函数f(x)=，a,bR，且，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。
分析：要证，考察左边，是否能产生|a-b|。
证明：|f(a)-f(b)|=
（其中，同理∴）
回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。
2、本题的背景知识与解析几何有关。函数是双曲线，的上支，而（即），则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。（学过有关知识后），很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间。
2．（1）已知不等式|x-3|+|x+1|（2）已知不等式|x-3|+|x+1|分析：“有解”即“解集非空”，可见（1）（2）两小题的答案（集合）互为补集（全集为R）
当然可以用|x-3|+|x+1|=这种“去绝对值”的方法来解，但我们考虑到“三角形不等式”：||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|
知|x-3|+|x+1|≥|x-3-x-1|=4
这样|x-3|+|x+1|若（*）解集为，则a≤4，若（*）有解，则a>4。
解（略）
回顾：本题是“绝对值不等式性质定理”（即“三角形不等式”）的一个应用。
发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|>a的解集非空，求a的取值范围。
（2）已知不等式|x-3|+|x+1|≤a的解集非空，求a的取值范围。
3．已知f(x)的定义域为[0,1]，且f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x1,x2∈[0,1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x2)|<
分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f(x)的结构带来困难，事实上，可用的条件只有f(0)=f(1) ①，与|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|②两个。
首先，若|x1-x2|≤，那么必有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|≤即|f(x1)-f(x2)|<成立。
但若|x1-x2|>呢？考虑到0≤|x1-x2|≤1，则1-|x1-x2|<，看来要证明的是|f(x1)-f(x2)|≤1-|x1-x2|<成立！
证明：不妨设x1≤x2，则0≤x1≤x2≤1
（1）当|x1-x2|≤时，则有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|≤即|f(x1)-f(x2)|<成立。
（2）当|x1-x2|>时，即x2-x1>时，∵0≤x2-x1≤1
必有1-|x1-x2|<即1- x2+x1<
也可写成|1- x2|+|x1|< (*)
另一方面|f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|≤|f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|<|1- x2|+|x1-0|
则由（*）式知|f(x1)-f(x2)|<成立
综上所述，当x1,x2∈[0,1]时都有|f(x1)-f(x2)|<成立。
已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.
分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.
要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.
证明：由题意知：，
∴ ，
∴ .
由时，有，可得 .
∴ ,
.
（1）若，则在上单调，故当时，∴ 此时问题获证.
（2）若，则当时，
又，
∴ 此时问题获证. 综上可知：当时，有.
评析：因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.
第6变 绝对值不等式与其它知识的横向联系
［变题6］（2003年全国高考试题）已知.设
函数在R上单调递减.
不等式的解集为R.
如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.
［思路］ 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.
［解题］:函数在R上单调递减，
不等式的解集为R函数在R上恒大于1，
∵
∴函数在R上的最小值为，
∴不等式的解集为R，即，
若正确，且不正确，则；
若正确，且不正确，则；
所以的取值范围为.
［收获］“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.
［请你试试4—6］
1．（2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
[分析] 本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的，也能先猜后证，所找到的实数只需满足，且1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.
[解答] 已知条件即，或，∴，或，
已知条件即，∴，或；
令，则即，或，此时必有成立，反之不然.
故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.
2． 已知； 是 的必要不充分条件，求实数的取值范围.
[分析] 本题实为上一命题的姊妹题，将命题的表述重心移至充要条件，使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教材将这一内容的学习放在第一章，从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学学习行为，否则连读题审题都感困难.
[解答] 由得，
由，得，
∴ ?即，或，而?即，或；
由?是 ?的必要不充分条件，知 ??，
设A=，B=，
则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，
解得，此即 为“?是 的必要不充分条件”时实数的取值范围.
电子邮箱周友良 zyl2518006@126.com,手机号码13187209109；QQ;406426941
湖南祁东育贤中学 周友良
绝对值不等式练习
一、选择题
1. 不等式的整数解的个数为 ( )
大于2
2. 若两实数满足,那么总有 ( )
3. 已知,那么 ( )
4. 不等式的解是 ( )
15．已知，则是的（ ）条件
A、充分不必要 B、必要不充分 C、既不充分也不必要 D、充要
2．（福建理科7）已知为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．（－1，1） B．（0，1） C．（－1，0）（0，1） D．（－，－1）（1，＋）
12．x为实数，不等式|x－3|－|x－1|>m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A.m>2 B.m<2 C.m>－2 D.m<－2
二、填空题
20．已知两个正变量恒成立的实数m的取值范围是 。
4．（北京理科12）已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
16（湖南理科14）．设集合，，，
（1）的取值范围是 ；
（2）若，且的最大值为9，则的值是 ．
12.已知二次函数
（Ⅰ）当，求证对任意两个不等的实数，，都有；
5．已知，则2a+3b的取值范围是
A B C D
13．已知实数x、y满足x2+y2=1，则(1－xy)(1+xy)( )
A.有最小值，也有最大值1 B.有最小值，也有最大值1
C.有最小值，但无最大值 D.有最大值1，但无最小值
例1 解不等式
例8 解不等式||x+3|─|x─3||>3
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．不等式|x－4|＋|x－3|Aa>7 Ba>1 Ca<1 Da≥1
1、若 ，则?（?? ）
???A、ab<0?? B、ab>0?? C、 ?? D、以上都不对
6、已知：
求证：???? 2）
解绝对值不等式
1、解不等式
(1). (2) |x+1|-1>0
(3) 1 | 2x-1 | < 5. (4) | x+2 | + | x | >4.
(5) |x-3|-|x+1|<1. (6) |4x-3|>2x+1.
2.解关于的不等式①,②
3.解关于的不等式.
4．已知，求的取值范围.
课 题：含有绝对值的不等式（1）
教学目的：
1．理解含有绝对值的不等式的性质；
2．培养学生观察、推理的思维能力， 使学生树立创新意识；
3运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质；
4．认识不等式证法的多样性、灵活性
教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用
教学难点：对性质的理解、常见证明技巧
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题
我们知道，当a＞0时，
|x|＜a－a＜x＜a,
|x|＞ax＞a或x＜－a
根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质
二、讲解新课：
定理：
证明：∵
①
又∵a=a+b-b |-b|=|b|
由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b| ②
综合①②:
注意：1( 左边可以“加强”同样成立，即
2( 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
3( a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”
推论1：≤
推论2：
证明：在定理中以-b代b得：
即
三、讲解范例：
例1 已知|x|＜，|y|＜,|z|＜, 求证 |x+2y－3z|＜ε
证明：|x+2y－3z|≤|x|＋|2y|＋|－3z|=|x|＋2|y|＋3|z|
∵|x|＜，|y|＜,|z|＜,
∴|x|＋2|y|＋3|z|＜
∴|x＋2y－3z|＜ε
说明：此例题主要应用了推论1，其中出现的字母ε，其目的是为学生以后学习微积分作点准备
例2 设a, b, c, d都是不等于0的实数，求证≥4
证明：∵
∴ ①
②
又 ③
由①，②，③式，得
说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法
例3 已知|a|＜1,|b|＜1,求证＜1
证明：＜1＜1
由|a|＜1,|b|＜1,可知（1－a2）(1－b2)＞0成立，所以 ＜1
说明：此题运用了|x|＜ax2＜a2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性
例4 设|a|<1, |b|<1 求证|a+b|+|a-b|<2
证明：当a+b与a-b同号时，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2
当a+b与a-b异号时，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2
∴|a+b|+|a-b|<2
例5 已知 当a(b时 求证：
证法一：
证法二：（构造法）如图，
，由三角形两边之差小于第三边得
四、课堂练习：
已知：|x－1|≤1,
求证：（1）|2x＋3|≤7; (2)|x2－1|≤3
证明：（1）∵|2x＋3|=|2(x－1)＋5|≤2|x－1|＋5≤2＋5=7
(2)|x2－1|=|(x＋1)(x－1)|=|(x－1)[(x－1)＋2]|
≤|x－1||(x－1)＋2|≤|x－1|＋2≤1＋2=3
五、小结 ：通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性
六、课后作业：
1证明下列不等式:
(1)a,b∈R,求证|a+b|≤|a|+|b|;
(2)已知|h|<,|k|<(ε>0),求证:|hk|<ε;
(3)已知|h|0,ε>0),求证:||<ε
分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有:
|ab|=|a|·|b|;|an|=|a|n,||=等
证明:(1)证法1:∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|
∴-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| 即|a+b|≤|a|+|b|
证法2:(平方作差)(|a|+|b|)2-|a+b|2=a2+2|a||b|+b2-(a2+2ab+b2)
=2［|a|·|b|-ab)=2(|ab|-ab)≥0显然成立故(|a|+|b|)2≥|a+b|2
又∵|a|+|b|≥0,|a+b|≥0，所以|a|+|b|≥|a+b|, 即|a+b|≤|a|+|b|
(2)∵0≤|h|<,0≤|k|< (ε>0)，∴0≤|hk|＝|h|·|k|<·=ε
(3)由00<且0≤|h|2求证:|x+|≥2(x≠0)
分析:x与同号,因此有|x+|=|x|+||
证法一:∵x与同号,∴|x+|=|x|+
∴|x+|=|x|+≥2=2,即|x+|≥2
证法二:当x>0时,x+≥2=2
当x<0时,-x>0,有
-x+
∴x∈R且x≠0时有x+≤-2,或x+≥2
即|x+|≥2
方法点拨:不少同学这样解:
因为|x+|≤|x|+,又|x|+≥2=2,所以|x+|≥2
学生认为这样解答是根据不等式的传递性实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的
3已知:|A-a|<,|B-b|<,求证:
(1)|(A+B)-(a+b)|<ε；(2)|(A-B)-(a-b)|<ε
分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会
证明:因为|A-a|<,|B-b|<
所以(1)|(A+B)-(a+b)|=|(A-a)+(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε
即|(A+B)-(a+b)|<ε
(2)|(A-B)-(a-b)|=|(A-a)-(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε
即|(A-B)-(a-b)|<ε
方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握
七、板书设计（略）
八、课后记：
[本周内容]含绝对值符号的不等式的解法与证明 [重点难点] 1．实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a>0时，则 |x|a x<-a或x>a。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)|g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)； |f(x)|<|g(x)| f2(x)2x...........① 解:① x2-3<-2x或x2-3>2x x2+2x-3<0或x2-2x-3>0 -33 x<1或x>3。 即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。 例3．解不等式||≤1...........① 解: ① (2) |2x+3|2≤|x-1|2 (2x+3)2-(x-1)2≤0 (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0 (x+4)(3x+2)≤0,-4≤x≤-。 (3) x≠1。 ∴原不等式的解集为[-4，-]。 例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........① 分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1）， [-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。 解:将不等式①化为三个不等式组 （I） -20, ∴③式成立， ∴ 原不等式成立。 例7．求证:≤≤+。 证法1: ∵ ≤|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|) |a+b|≤|a|+|b|。 ∵ 上式显然成立，∴ ≤成立。 又=+≤+。 ∴ 原命题成立。 证法2：这里只证明≤ 分析:观察两式结构均为的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明函数y=在[0，+∞）上单调递增即可。 证明:设0≤x1≤x2, 则-=， ∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴ ≥0。 ∴ -≥0, 即≥, 设x1=|a+b|, x2=|a|+|b| ∵ |a+b|≤|a|+|b|, ∴ ≤。 参考练习: 1．解不等式 |x2+3x-8|≤10。 2．解不等式 |x+7|-|x-2|<3。 3．解不等式 |-3|>1。 4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。 5．求y=的值域。 6．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|<, |f(2)|<, |f(3)|<,不可能同时成立。 7．已知|x|<, |y|<, |z|<, (ξ>0)。求证:|x+2y-3z|<ξ。 参考答案: 1. [-6, -2]∪[-1, 3]； 2. (-∞, -1)； 3. [, 2)∪(6, +∞)； 4. 提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，]∪[，3）。 5．提示:可用反解法解出sinx=，则解不等式||≤1得y∈[-4, -]。 6．提示:用反证法 略证:假设|1+a+b|<, |4+2a+b|<, 及|9+3a+b|<同时成立。 由题设a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z, ∴ 1+a+b=0.........① 同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③ 由①，②解得a=-3, b=2。 但不满足③式，故假设不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同时小于。 7．证明略。
解绝对值不等式的几种常用方法以及变形
一. 前提: ;
形式: ; ; 等价转化为
;
;
例1. (1) |2x－3|＜5
解：－5＜2x－3＜5，得－1＜x＜4 -------------------------转化为一元一次不等式
(2) |x2－3x－1|＞3
解：x2－3x－1＜－3 或 x2－3x－1＞3 -----------------------转化为一元二次不等式
即：x2－3x＋2＜0 或 x2－3x－4＞0
∴不等式的解为1＜x＜2或x＜－1或x＞4
(3) ＞1
解：＜－1 或 ＞1 -------------------------绝对值不等式转化为分式不等式
解之得：－2＜x＜ 或 x＜－2或x＞5
∴不等式的解为x＜－2或－2＜x＜或x＞5
反思：(1)转化的目的在于去掉绝对值。(2)规范解答，可以避免少犯错误。
二. 形如||<，||>, 型不等式
（1）︱f(x)︱(2) ︱f(x)︱>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)
(3) ︱f(x)︱>︱g(x)︱f2(x)>g2(x);
(4) ︱f(x)︱<︱g(x)︱f2(x)＜g2(x)
例2. (1) |+1|>2－；
解：(1)原不等式等价于
+1>2－或+1<－(2－) --------------------利用绝对值概念转化为整式不等式
解得>或无解，所以原不等式的解集是{|>}
(2)|－2－6|<3
解: 原不等式等价于－3<－2－6<3
即
即: 2<<6
所以原不等式的解集是{|2<<6}
(3) 解不等式。
解:原不等式
(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0 。
说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。
三. 前提:
形如: ----------------转化为不等式组来解决
例3. 解不等式 1 | 2x-1 | < 5
解：原不等式等价于
∴原不等式的解集为 {x | -2< x 0或1x<3}
四. 含有两个绝对值的不等式---------------(常常采用零点分段法来讨论)
例4 : 解不等式：|x-3|-|x+1|<1
解: 原不等式等价于
① 无解
②
③
综上 原不等式的解集为
练习．不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为
五. 含有参数的不等式
例5 (1)解关于的不等式①,②
解：∵，分类讨论如下
① Ⅰ
Ⅱ
② Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
(2)解关于的不等式
解:原不等式化为：,在求解时由于a+1的正负不确定，需分情况讨论
①当a+10即a-1时，由于任何实数的绝对值非负，∴解集为
②当a+1>0即a> -1时，- (a+1)<2x+3< a+1 => < x <
综上得： ①
②
六:含有绝对值不等式有解. 解集为空, 与与恒成立问题
例题6: 若不等式|－4|+|3－|<的解集为空集，求的取值范围。
［解题］解法一
(1)当≤0时，不等式的解集是空集。
(2)当>0时，先求不等式|－4|+|3－|<有解时的取值范围。
令－4=0得=4，令3－=0得=3
① 当≥4时，原不等式化为－4+－3<，即2－7<
解不等式组，∴>1
② 当3<<4时，原不等式化为4－+－3<得>1
③ 当≤3时，原不等式化为4－+3－<即7－2<
解不等式，∴>1
综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<≤1时，原不等式解集为空集。
由(1)(2)知所求取值范围是≤1
方法二
∵>|－4|+|3－|≥|－4+3－|=1
∴当>1时，|－4|+|3－|<有解
从而当≤1时，原不等式解集为空集。
总结
(1) : 有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
(2) 有解；解集为空集；这两者互补。恒成立
1．对任意实数，若不等式|+1|－|－2|>恒成立，求的取值范围。
2．对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围。
3、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围
4、若不等式|x-4|-|x-3|5、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范围
1．（1-x）2n-1展开式中，二项式系数最大的项是 （ D ）
A．第n-1项 B．第n项 C．第n-1项与第n+1项 D．第n项与第n+1项
2．从6名学生中，选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中，甲、乙两人不能从事工作A，则不同的选派方案共有 （ C ）
A．96种 B．180种 C．240种 D．280种
3．随机变量服从二项分布～，且则等于（ B ）
A. B. C. 1 D. 0
4.设随机变量X～N（2，4），则D（X）的值等于( A ) A.1 B.2 C. D.4
5．如果-1 C）6．已知，那么是的（ A ）
A、充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 （ B ）
A．18 B．6 C．2 D．2
8、若点A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则的最小值为 8 .
9、函数的最大值是
10．(2007佛山一模理) 的展开式中的常数项是 -20 （用数字作答）.
11、(2007韶关二模文)如图，四边形是等腰梯形，．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形中度数为 _____
12．(2007韶关二模理)如图，⊙和⊙O相交于和， 切⊙O于，交⊙于
和，交的延长线于，＝,＝15，则 ＝__________．
13.（2007湛江一模文）如图，四边形ABCD内接于⊙，BC是直径，MN切⊙于A，，则 .
14、某工厂要建造一个长方形无盖储水池，其容积为4800，深为3。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价时多少？
15、为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。（Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；
（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率
解：(1)由得,
从而
的分布列为
0
1
2
3
4
5
6
(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得
或
高二数学理科小测18(不等式07.5.18周五）
姓名： 班级： 学号： 分数：
一、选择题：（25分）
1、当x>y>0时，比较p=x3+13xy2 与q=5x2y+9y3的大小关系是（ ）
A）p>q B）p2、如果且，那么以下不等式正确的个数是（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A .2 B.3 C.4 D .5
3、若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是 （ ）
A．（1－a）＞（1－a） B．log1－a（1＋a）＞0
C．（1－a）3＞（1＋a）2 D．（1－a）＞1
4、若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 （ ）
A．18 B．6 C．2 D．2
5、若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则 （ ）
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
6、当时，函数的最小值为 （ ）
A．2 B． C．4 D．
7、要制作一个面积为1m形状为直角三角形的铁框架，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（够用，且材料最省）是
A.4.6m B .4.8m C. 5m D. 5.2m
二、填空题（20分）
8、已知则f(3)的取值范围是____________.
9、若a、b，，则的最小值是____________________.
10、已知且，求的最大值________.
11、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=__________吨。
三 、解答题 （20分）
12、已知、、是不全相等的正数，求证：
13、已知a、b是正实数，试比较与的大小。
高二数学理科小测1
姓名： 班级： 学号： 分数：
一、选择题：（每题7分，共49分）
1、当x>y>0时，比较p=x3+13xy2 与q=5x2y+9y3的大小关系是（ ）
A、p>q B、p2、如果且，那么以下不等式正确的个数是（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A .2 B.3 C.4 D .5
3．下列各式中，最小值等于的是（ ）
A． B． C． D．
4、若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 （ ）
A．18 B．6 C．2 D．2
5、要制作一个面积为1m形状为直角三角形的铁框架，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（够用，且材料最省）是
A.4.6m B .4.8m C. 5m D. 5.2m
6、当时，函数的最小值为 （ ）
A．2 B． C．4 D．
7（5班）、若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则 （ ）
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
二、填空题（每题7分，共28分）
8．若，则, , , 按由小到大的顺序排列为
9、若a、b，，则的最小值是____________________.
10、已知且，求的最大值________.
11、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=__________吨。
三 、解答题 （23分）
12、已知a、b是正实数，试比较与的大小
高二数学理科小测 2
姓名： 班级： 学号： 分数：
一、选择题
1、若 ，则?（?? ）
???A、ab<0?? B、ab>0?? C、 ?? D、以上都不对
2. 不等式的整数解的个数为 ( )
、 、 、 、大于2
3. 若两实数满足,那么总有 ( )
、 、 、 、
4. 已知,那么 ( )
5．已知，则是的（ ）条件
A、充分不必要 B、必要不充分 C、既不充分也不必要 D、充要
6．已知实数x、y满足x2+y2=1，则(1－xy)(1+xy)( )
A.有最小值，也有最大值1 B.有最小值，也有最大值1
C.有最小值，但无最大值 D.有最大值1，但无最小值
7．（福建理科7）已知为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．（－1，1） B．（0，1） C．（－1，0）（0，1） D．（－，－1）（1，＋）
8．x为实数，不等式|x－3|－|x－1|>m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A. m>2 B. m<2 C. m>－2 D. m<－2
二、填空题
9.若的最小值是
10．（8班）已知两个正变量
10．（5班）已知两个正变量恒成立的实数m的取值范围是
11．（5班）（北京理科12）已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
12.解不等式
（1） （2）
（3）（8班）
13．（5班）设函数．
（1）解不等式；
（2）求函数的最小值．
高二理科数学小测 4
姓名： 班级： 学号： 分数：
选择题（每题7分，共35分）
1.已知满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），则mx+ny的最大值为（ ）
A、 B、 C、 D、
3．，设，
则下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式：① x2+3>2x (x∈R)；② a5+b5≥a3b2+a2b3；③ a2+b2≥2 (a－b－1)，其中正确的是
A、①②③ B、①② C、①③ D、②③
5．设，且，， ， ，，
则它们的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题7分，共35分）
6．函数的最小值为_____________
7．若实数满足，则的最小值为
8. 设 ，此时数对＝
9．函数的最大值是
10．如果关于的不等式的解集不是空集，求参数的取值范围是
三、解答题
11.（本小题满分15分）求证:
(提示：)
12. （本小题满分15分）
（）
高二理科数学小测 4
姓名： 班级： 学号： 分数：
选择题（每题7分，共35分）
1.已知满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），则mx+ny的最大值为（ ）
A、 B、 C、 D、
3．，设，
则下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式：① x2+3>2x (x∈R)；② a5+b5≥a3b2+a2b3；③ a2+b2≥2 (a－b－1)，其中正确的是
A、①②③ B、①② C、①③ D、②③
5．设，且，， ， ，，
则它们的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题7分，共35分）
6．函数的最小值为_____________
7．若实数满足，则的最小值为
8. 设 ，此时数对＝
9．函数的最大值是
10．如果关于的不等式的解集不是空集，求参数的取值范围是
三、解答题
11.（本小题满分15分）求证:
(提示：)
12. （本小题满分15分）
6.4不等式的解法举例
(第一课时)
教学目标：
掌握一元二次不等式解法；
掌握|ax+b|＞c（＜c＝(c＞0)的解法；
3、熟练求解形如|ax2+bx+c|＜m（＞m）(m＞0)的不等式.
教学重点：绝对值不等式基本解法
教学难点：绝对值不等式向非绝对值不等式的转化
教学方法：学导式
教具准备：三角板、多媒体
教学过程：
Ⅰ.复习回顾：
前面几节，我们一起研究学习了不等式的证明，这一节我们开始学习不等式的解法.在第一章我们已经学习过一元一次不等式、一元二次不等式和简单的绝对值不等式的解法，这一节，我们进一步学习一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式的解法.
Ⅱ.讲授新课：
例1 解不等式|x2－5x+5|＜1.
分析：不等式|x|＜a(a＞0)的解集是{x|－a＜x＜a},因此，这个不等式可化为
－1＜x2－5x+5＜1
即解这个不等式组，其解集就是原不等式的解集.
解：原不等式可化为
－1＜x2－5x+5＜1
即
解不等式①得解集
{x|1＜x＜4}
解不等式②得解集
{x|x＜2或x＞3}
∴原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即
{x|1＜x＜4}∩{x|x＜2或x＞3}={x|1＜x＜2或3＜x＜4}
说明：此题是将绝对值不等式转化为一元二次不等式组求解，强调学生应注意转化的不等式应与原不等式等价，在取交集时可借助于数轴进行.
解不等式（x－1）(x－2)(x－3)＜0
分析：此不等式的左端是关于x的高
次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，而应借助于数轴并根据积的符号法则来求解.令(x－1)(x－2)(x－3)=0
可得x=1或x=2或x=3,我们称之为零点，1，2，3这三个零点将数轴分成了四部分（如图所示）
当x＞3时，（x－1）、（x－2）、(x－3)各项为正，当2＜x＜3时，（x－1）、(x－2)、(x－3)只有一项符号改变，即乘积为负，以此类推，四部分区间上恰有正负相间规律，上述求解不等式的方法我们称之为数轴标根法.
解：令(x－1)（x－2）(x－3)=0
可得零点x=1或2或3，将数轴分成四部分，借助于数轴可得：
所求不等式解集为{x|x＜1或2＜x＜3}
说明：数轴标根法求解高次不等式虽然简捷，但应注意满足如下条件：
（1）不等式右端为0，左端为x的一次式；
（2）关于x的一次式各不相同；
（3）一次式中x的系数为1.
满足上述条件使有零点分数轴各部分的最右端为正，然后依次正负相间，可观察数轴直接得到解集.
Ⅲ.课堂练习： P18练习1，2，P19练习2.
课堂小结：
通过本节学习，要求大家熟练掌握含绝对值不等式的基本解法，并初步了解数轴标根法的解题思路，并能简单应用.
作业： 习题6.4 1,2.
补充题： 解不等式
