广东华南师范大学附属中学
2010届高三数学模拟题（一）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共3页．满分为150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P.
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1、设集合A = ，B = ，则集合= (A) (1，3) (B) [1，3] (C) (－4，1)∪(3，4) (D) [－4，1]∪[3，4]
2、若集合A = {0，2，3}，B =，则B的真子集的个数是 (A) 4 (B) 8 (C) 15 (D) 16
3、如果命题“p且q”是假命题，那么 (A) 命题“非p”与“非q”的真假不同 (B) 命题“非p”与“非q”至少有一个是真命题
(C) 命题“p”与“非q”同真假 (D) 命题“非p且非q”是真命题
4、“函数y = f(x)在x = x0处连续”是“函数y = f(x)在x = x0处可导”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件
5、设随机变量( 的分布列为P(( = k ) = a·( )k (其中k = 1,2,3)，则a的值为 (A) 1 (B) (C) (D)
6、设随机变量( 满足E( = －1，D( = 3 ，则E[3(( 2－2)] = (A) 9 (B) 6 (C) 30 (D) 36
7、= (A) 1 (B) (C) 0 (D) 不存在
8、下列说法中正确的是
(A) isin( 是纯虚数 (B)a + bi = c + di (
(C)的平方根是 (D) (n ( N)
9、已知函数f(x) = ，有下面四个结论：
f(x)在x = 0处连续；
f(x)在x = －3处连续；
f(x)在x = 0处可导；
f(x)在x = －3处可导．
其中正确结论的个数是 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
10、函数y = asinx + sin3x在x = 处有极值，则a = (A) －6 (B) 6 (C) －2 (D) 2
11、如果函数f(x) = ax3－x2 + x－5在(－(, + ()上单调递增，则实数a的取值范围是 (A) (0，+ () (B) [0，+ () (C) (，+ () (D) [，+ ()
12、已知f(x) = 2x3－6x2 + m (m为常数)，在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为 (A) －37 (B) －29 (C) －11 (D) －5
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13、在独立重复的射击试验中，某人击中目标的概率是，则他在射击时击中目标所需要的射击次数( 的期望是****.
14、已知z1，z2是方程z2－2z + 2 = 0的两根，且z1对应点在第一象限，则 =****.
15、在等比数列 {an} 中，已知a1 = ，a3a4 = －108，则(+ + ┄ + ) = ****.
16、曲线y = x3 + 3x2 + 6x－10的切线中，倾斜角最小的直线方程为****.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、(本小题满分12分)
解关于x的不等式x2－(a + 3)x + 2(a + 1)≥0．
18、(本小题满分12分)
已知袋中有红色球3个，蓝色球2个，黄色球1个，从中任取一球，确定颜色后，不再放回袋中．
(1) 求在三次选取中恰好有两次取到蓝色球的概率；
(2) 若取到红球就结束选取，且最多只可以取三次，求取球次数的分布列及数学期望．
19、(本小题满分12分)
已知z2 = 3 + 4i，求z3－6z + 的值．
20、(本小题满分12分)
有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计；如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图(b)．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2＞V1．
图（a） 图（b）
21、(本小题满分12分)
已知数列 {an}，其中a2 = 6且 = n．
(1) 求a1，a3，a4；
(2) 求数列{an}的通项公式；
(3)求(+ + ┄ + )．
22、(本小题满分14分)
设函数 （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值－．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；（3）若时，求证：．
参考解答及评分标准
选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
ACBBD BADAD DA
填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
13、5 14、i 15、 16、3x－y－11 = 0
三、解答题：
17、(本小题满分12分)
解：原不等式可化为(x－2)(x－a－1)≥0， 2分
当a + 1>2即a>1时，解得x≥a + 1或x≤2； 5分
当a + 1 = 2即a = 1时，解得x ( R； 7分
当a + 1<2即a<1时，解得x≥2或x≤a + 1； 10分
∴ 原不等式的解集：当a≥1时，是；当a<1时，是．
12分
18、(本小题满分12分)
解（1）从6个球中选取3个，共有A63种取法， 2分
三次选取中，恰好有两次取到蓝色球，共有C31C41 A22种取法， 4分
所以在三次选取中，恰好有两次取到蓝色球的概率为P = = ． 6分
（2）设取球次数为随机变量( ，则( =1、2、3， 8分
其分布列是：
(
1
2
3
P
10分
∴ E( =1×+ 2×+ 3×= 1.7． 12分
19、(本小题满分12分)
解：设z = a + bi (a,b ( R)，则z2 = (a2－b2) + 2abi ， 2分
∴ (a2－b2) + 2abi = 3 + 4i ( ， 3分
解得 或 ， 5分
即z = 2 + i或z = －2－i ． 6分
又z3－6z + = = － ， 8分
当z = 2 + i时，z3－6z + = － = －+ i ； 10分
当z = －2 － i时，z3－6z + = － = － i ． 12分
20、(本小题满分12分)
解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x， 1分
所以V=（4－2x）2·x = 4(x3－4x2 + 4x) (0∴ V/ = 4(3x2－8x + 4)， 4分
令V/ = 0，即4(3x2－8x + 4) = 0，解得x1 = ，x2 = 2 (舍去) ． 6分
又当x<时，V/>0；当∴ 当x = 时，V取得最大值V1 = ． 8分
（2）重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2 = 3×2×1 = 6，显然V2>V1．
故第二种方案符合要求．
图① 图② 图③
12分
21、(本小题满分12分)
解：(1) 由a2 = 6，= 1，= 2，= 3， 1分
解得a 1 = 1，a3 = 15，a4 = 28． 3分
(2) 由此猜想an = n (2n－1) ． 4分
下面用数学归纳法加以证明：
当n = 1时，a1 = 1×(2×1－1) = 1，结论正确；
当n = 2时，a1 = 2×(2×2－1) = 6，结论正确． 5分
假设n = k (k≥2)时结论正确，即ak = k(2k－1) ．
则当n = k + 1时，∵ = k，
∴ (k－1)ak + 1 = (k + 1)a k－(k + 1) = (k + 1)k(2k－1)－(k + 1)
= (k + 1)(2k2－k－1) = (k + 1)(2k + 1)(k－1)，
∵ k－1 ≠ 0，∴ ak + 1 = (k + 1)[2(k + 1)－1]，
即当n = k + 1时，结论正确． 7分
由①②可知，{an} 的通项公式是an = n (2n－1) ． 8分
(3) ∵ = = ( －) 10分
∴ (+ + ┄ + ) = (1－) = ． 12分
22、(本小题满分14分)
解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数， 1分
，即恒成立，
，
． 3分
∵ x = 1时，取极小值－，
∴ 3a + c = 0且a + c = －，
解得a = ，c = －1． 5分
（2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立． 6分
假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，
则由知两点处的切线斜率分别为，
且…………（*） 8分
∵x1、，，
此与（*）相矛盾，故假设不成立． 9分
（3）证明：f/(x) = x2－1，令f/(x) = 0，得x = ±1，
∵ x ( (－(,－1)或x ( (1, + ()时，f/(x)>0；x ( (－1,1)时，f/(x)<0， 10分
上是减函数，且， 11分
∴在[－1，1]上，有| f(x) |≤成立， 12分
于是当x 1，x2 ( [－1,1]时，． 14分
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2010届高三数学模拟题（三）
定义A－B = {x| x ( A，且x ( B}，若A = {2, 4, 6, 8, 10}，B = {1, 4, 8}，则A－B等于 (A) {4, 8} (B) {1, 2, 6, 10} (C) {1} (D) {2, 6, 10}
函数y = + 2（x ≥ 1）的反函数图象是 (A) (B) (C) (D)
已知复数z1 = 2 + i，z2 = 1 + 2i，则复数 在复平面内对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
已知△ABC中，sin B = ，tan C = ，则 (A) A > C > B (B) A > B > C (C) B > C > A (D) C > B > A
已知 | p | = 2，| q | = 3，p, q 夹角为 ，则以 p、q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 (A) 5 (B) (C) 14 (D)
如图，棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，侧棱PA垂直于底面，则下列命题中正确的是 (A) ∠PDA是侧面PDC与底面所成二面角的平面角 (B) PC的长是点P到直线CD的距离 (C) EF的长是点E到平面AFP的距离 (D) ∠PCB是侧棱PC与底面所成的线面角
高中三年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的名额分配方案的种数是 (A) 16 (B) 24 (C) 28 (D) 36
若 an是 (1 + x) n + 1 (n ( N*) 展开式中含 x 2 项的系数，则 ( + + … + ) = (A) 2 (B) 1 (C) (D) 0
某地每年消耗20万立方米木材，每立方米木材的价格是 240 元，为了减少木材消耗，政府决定按 t % 征收木材税，这样每年的木材消耗量就减少2.5 t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于 90万元，则 t 的范围是 (A) [1,3] (B) [2,4] (C) [3,5] (D) [4,6]
(10) 已知目标函数z＝2x＋y，且变量x、y满足下列条件： ，则
（A） z最大值＝12，z无最小值 （B） z最小值＝3，z无最大值
（C） z最大值＝12，z最小值＝3 （D） z最小值＝，z无最大值
(11) 椭圆 (a > b > 0) 且满足a ≤ ，若离心率为 e，则 e 2 + 的最小值为*****。
(12) 在等比数列中，a9 + a10 = a (a ≠ 0), a19 + a20 = b，则a99 + a100等于 *****。
(13) 将圆 x 2 + y 2 = 2按向量 v = (2, 1) 平移后，与直线x + y + ( = 0相切，则实数 ( 的值为 *****。
(14) 两个腰长均为 1 的等腰直角△ABC1和△ABC2所在的平面构成60( 的二面角，则点C1和C2之间的距离等于 *****。(请写出所有可能的值)
(15) 在代数式 (3x 2－2x－1) (1－)5 的展开式中，常数项是 *****。
(16) 设函数y = ，则关于该函数图象： ① 一定存在两点，这两点的连线平行于x轴； ② 任意两点的连线都不平行于 y 轴； ③ 关于直线 y = x 对称； ④ 关于原点中心对称.
其中正确的命题是*****。
(17)（满分12分）已知△ABC中，2 tan A = 1，3 tan B = 1，且最长边的长度为 1，求角 C 的大小和最短边的长度.
(18)（满分12分）正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，且 AC 与 BD 交于点 O，E 为棱 DD1 中点，以 A 为原点，建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示.
(Ⅰ)求证：B1O⊥平面EAC；
(Ⅱ)若点 F 在 EA 上且 B1F⊥AE，试求点 F 的坐标；
(Ⅲ)求二面角B1－EA－C 的正弦值.
(19) （满分12分）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票 4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，和乙从第二小组的10张票中任抽1张．
（Ⅰ）两人都抽到足球票的概率是多少？
（Ⅱ）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？
(20)（满分12分）某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f (n) 与时间 n（1≤n≤30、n ( N*）的函数关系如下图所示，其中函数 f (n) 图象中的点位于斜率为 5 和 －3 的两条直线上，两直线交点的横坐标为 m，且第 m 天日销售量最大.
(Ⅰ)求 f (n) 的表达式，及前 m 天的销售总数；
(Ⅱ)按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过 400 件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于 30 件时，该款服装将不再流行.试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过 10 天？请说明理由.
(21) （满分12分）设 f (x) 是定义在 [－1,1] 上的偶函数，f (x) 与 g(x) 的图象关于 x = 1 对称，且当 x ( [2,3] 时，g(x) = a (x－2)－2 (x－2) 3（a 为常数）.
(Ⅰ)求 f (x) 的解析式；
(Ⅱ)若 f (x) 在 [0,1] 上是增函数，求实数 a 的取值范围；
(Ⅲ)若a ( (－6,6)，问能否使 f (x) 的最大值为 4？请说明理由.
(22)（满分12分）直线 l 与抛物线 y 2 = 4x 交于两点 A、B，O 为原点，且·= －4．
求证：直线 l 恒过一定点；
若 4≤ | AB | ≤ 4，求直线 l 的斜率 k 的取值范围；
(Ⅲ) 设抛物线的焦点为 F，∠AFB = θ，试问 θ 角能否等于 120( ？若能，求出相应的直线 l 的方程；若不能，请说明理由．
附加题
1、下列函数在处连续的是
（A） （B）
（C） （D）
2、已知向量a＝（，，），b＝（，1，2），其中x＞0．若a∥b，则x的值为
（A）8 （B）4 （C）2 （D） 0
3、已知随机变量 ( 服从二项分布 ( ~ B(6,)，则 P(( = 2) = (A) (B) (C) (D)
若 a、b ( R，则使不等式 a | a + b | < | a | (a + b) 成立的充要条件是 (A) a > 0 且b < －a (B) a > 0 且b > －a (C) a < 0 且b > －a (D) a < 0 且b < －a
5、下列各式中，对任何实数都成立的一个是
（A） （B） （C） （D）
6、若直线 y = x + k 与曲线 x = 恰有一个公共点，则 k 的取值范围是 (A) k = ± (B) k ( (－(,－]∪[,+() (C) k ( (－,) (D) k = －或 k ( (－1,1]
7、设 (+x) 10 = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + a10 x 10，则 (a0 + a2 + … + a10) 2－(a1 + a3 + … + a9) 2 的值为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
8、某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多
面体的顶点数可以是
（A）60 （B）45 （C）30 （D）15
参考答案
(1)~ (10) DCDAB BDACB
(11) (12) (13) －1 或 －5
(14) ，1，，，，2 (15) 39 (16) ②③
(17) 解：△ABC 中，tan A = ，tan B = ，
∵ tan A > tan B > 0 ，
∴ 0 < B < A < . 2分
∴ tan C = tan (( －A－B) = －tan (A + B)
= －= －1 ， 5分
而 0 < C < ( ，
∴ C = . 6分
∴ 最大角为 C，最小角为 B，它所对的边b为最短边， 7分
∵ tanB = = = ，
∴ sinB = ， 9分
由正弦定理得 = ， 11分
∴ b = = ，
故角 C 为 ，最短边长度为 . 12分
(18) 证明：(I) 由题设知下列各点的坐标
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C (2, 2, 0),
D (0, 2, 0), E (0, 2, 1), B1(2, 0, 2)．
∵ O是正方形ABCD的中心，∴ O (1, 1, 0)．
∴ = (－1, 1, －2)，= (2, 2, 0)，= (0, 2, 1)．
2分
∴ ·= (－1, 1, －2)·(2, 2, 0)
= －1·2 + 1·2－2·0 = 0．
·= (－1, 1, －2)·(0, 2, 1)
= －1·0 + 1·2－2·1 = 0．
∴ ⊥， ⊥，
即B1O ⊥ AC，B1O⊥AE，
∴ B1O⊥平面ACE． 4分
由F点在AE上，可设点F的坐标为F (0, 2( , ( )， 5分
则= (－2, 2( , (－2)． 6分
∵ ⊥，
∴ ·= (－2, 2( , (－2)·(0, 2, 1) = 5( －2 = 0， 7分
∴ ( = ,
∴ F (0, , )． 8分
(III) ∵ B1O⊥平面EAC，B1F⊥AE，连结OF，由三垂线定理的逆定理得OF⊥AE．
∴ ∠OFB1即为二面角B1－EA－C的平面角． 9分
∴ || = = ． 10分
又 = (－2, ,－ )，
∴ | | = = ． 11分
在Rt△B1OF中，sin ∠B1FO = = ．
故二面角B1－EA－C的正弦值为 ． 12分
(19) 解：记“甲从第一小组的10张票中任抽１张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽１张，抽到足球票”为事件B，则“甲从第一小组的10张票中任抽１张，抽到排球票”为事件，“乙从第二小组的10张票中任抽１张，抽到排球票”为事件，
2分
于是 ，；，．
由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件． 6分
（Ⅰ）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到
P（A·B）＝P（A）·P（B）＝＝．
答：两人都抽到足球票的概率是． 9分
（Ⅱ）甲、乙两人均未抽到足球票（事件·发生）的概率为：
P（·）＝P（）·P（）＝＝．
∴ 两人中至少有1人抽到足球票的概率为：
P＝1－P（·）＝1－＝． 11分
答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是． 12分
(20) 解：(I) 根据题意，设 f (n) = （n ( N*）， 1分
而 f (1) = 2，∴ 5 + a = 2 ( a = －3． 2分
又 5m + a = －3m + b，∴ b = 8m + a = 8m－3， 3分
∴ f (n) = （n ( N*）． 4分
由 f (m) = 57得m = 12． 5分
∴ f (n) = ，（n ( N*） 6分
前 12 天的销售总量为 5 (1 + 2 + 3 + … + 12)－3×12 = 354 件． 7分
(II) 第 13 天的销售量为 f (13) = －3×13 + 93 = 54 件， 8分
而 354 + 54 > 400 件，
∴ 从第 14 天开始销售总量超过 400 件，即开始流行． 9分
设第 x 天的日销售量开始低于 30 件 (12 < x ≤ 30)，
即 f (x) = －3x + 93 < 30 ， 10分
解得 x > 21． 11分
∴ 从第 22 天开始日销售量低于 30 件．
∵ 21－13 = 8，
∴ 该服装流行的时间不超过10天． 12分
(21) 解：(I) ∵ f (x) 与 g(x) 的图象关于直线 x = 1 对称，
∴ f (x) = g(2－x) ． 1分
∴ 当 x ( [－1,0] 时，2－x ( [2,3]，
∴ f (x) = g(2－x) = －a x + 2x 3 ． 2分
又 ∵ f (x) 为偶函数，
∴ x ( [0,1] 时，－x ( [－1,0]，
∴ f (x) = f (－x) = a x－2x 3 ． 3分
∴ f (x) = ． 4分
(II) ∵ f (x) 为 [0,1] 上的增函数，
∴ f’(x) = a－6x 2≥0 ( a≥6x 2 在区间 [0,1] 上恒成立. 6分
∵ x ( [0,1] 时，6x 2≤6 ， 7分
∴ a≥6，即 a ( [6,+() . 8分
(III) 由 f (x) 为偶函数，故只需考虑 x ( [0,1]，
由 f’(x) = 0 得 x = ， 9分
由 f () = 4 ( a = 6 ， 10分
此时 x = 1， 11分
当 a ( (－6,6) 时，f (x) 的最大值不可能为 4 . 12分
(22) (I) 1( 若直线 l 与 x 轴不垂直，
设其方程为 y = kx + b，l 与抛物线 y 2 = 4x 的交点坐标分别为 A(x1, y1)、B(x2, y2)，
由·= －4 得 x1x2 + y1y2 = －4，即 + y1y2 = －4，
则 y1y2 = －8． 1分
又由 得 ky 2－4y + 4b = 0 (k ≠ 0)．
则 y1y2 = = －8，即 b = －2k， 2分
则直线 l 的方程为 y = k (x－2)，则直线 l 过定点 (2, 0)． 3分
2( 若直线 l⊥x 轴，易得 x1 = x2 = 2，则 l 也过定点 (2, 0)．
综上，直线 l 恒过定点 (2, 0)． 4分
(II) 由 (I) 得 | AB | 2 = (1 + )(y2－y1) 2 = ( + 32) 6分
从而 6 ≤ ( + 2) ≤ 30． 7分
解得k ( [－1, －]∪[ , 1 ]． 8分
(III) 假定θ = (，则有 cos θ = －，
如图，即 = － (*) 9分
由 (I) 得 y1y2 = －8，x1x2 = = 4．
由定义得 | AF | = x1 + 1，| BF | = x2 + 1．
从而有 | AF | 2 + | BF | 2－| AB | 2 = (x1 + 1) 2 + (x2 + 1) 2－(x1－x2) 2－(y1－y2) 2
= －2 (x1 + x2)－6， 12分
| AF |·| BF | = (x1 + 1) (x2 + 1) = x1x2 + x1 + x2 + 1 = x1 + x2 + 5
将代入 (*) 得 = －，即 x1 + x2 + 1 = 0．
这与 x1 > 0 且 x2 > 0 相矛盾！ 13分
经检验，当 AB⊥x 轴时，θ = 2 arctan 2> (．
综上，θ ≠ (． 14分
附加题
ABDCADBC
8、设这个凸多面体有n个面是三角形，则是五边形的面有32－n个，此时总棱数
条．
由欧拉定理可知，V＋32－E＝2，
∴V＝50－n．
又设每个顶点处的棱数为m条(其中3≤m≤5且m∈N*)，由于每个顶点处的棱数都相等，则总棱数条，由欧拉定理可知，，
∴50－n＝(其中3≤m≤5且m∈N*)．然后讨论这个不定方程的自然数解：
当m＝3时，可得n＝－10，不合题意，舍去；
当m＝4时，可得n＝20，∴V＝30；
当m＝5时，可得n＝30，∴V＝20．
广东华南师范大学附属中学
2010届高三数学模拟题（二）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共3页．满分为150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）= P（A）+P（B） S= 4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）= P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P V = ( R3
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1、下列集合中恰有2个元素的集合是
(A) { x 2－x = 0} (B) {y | y 2－y = 0} (C) {x | y = x 2－x} (D) {y | y = x 2－x}
2、下列各小题中，M是N的充要条件的是 (A) M：a2(B) M：a2 + b2 = 0，N：ab = 0
(C) M：函数y = f(x)满足f(2－x) = f(x + 2) ，N：函数y = f(x)的图象关于直线 x = 2对称
(D) M： 数列{an}为等比数列，N：数列{lgan}为等差数列
3、若x<0，则2 + 3x + 的最大值是
(A) 2 + 4 (B) 2±4 (C) 2－4 (D) 以上都不对
4、函数 y = x | x | 的图象大致是 (A) (B) (C) (D)
5、不等式 (x－1)| x + 2 |≥0的解集为
(A) {x | x > 1} (B) {x | x≥1} (C) {x | x ≥－2 且 x ≠ 1} (D) {x | x≥1 或x = －2}
6、设，要使f (x)在(－(, + ()内连续，则的值为
(A) 0 (B) 1 (C) (D) 不存在
7、已知，则点M(a,b)所在的象限是
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
8、已知函数f(x) = 的图象关于y = x对称，则a = (A) －4 (B) －2 (C) 2 (D) 4
9、函数 f (x) = x－ + 在 (1,+∞) 上是增函数，则实数 p 的取值范围是 (A) [－1,+() (B) [1,+() (C) (－(,－1] (D) (－(,1]
10、已知x，y为正实数，且x，，，y成等差数列，x，，，y成等比数列，那么的取值范围是 (A) （0，＋∞） (B) [4，＋∞) (C) （0，4 (D) [2，4]
11、设等比数列的前n项和为Sn，若，则 (A) 1:2 (B) 2:3 (C) 3:4 (D) 1:3
12、下面四个判断中，正确的是 (A) f (k) = 1 + k + k 2 + … + k n（n ( N*），当 n = 1 时，f (k) 恒为 1 (B) f (k) = 1 + k + k 2 + … + k n－1（n ( N*），当 n = 1 时，f (k) 恒为 1 + k (C) f (n) = 1 + + + … + （n ( N*），当 n = 1 时，f (n) 为 1 + +
(D) f (n) = + + … + （n ( N*），则 f (k + 1) = f (k) + + +
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13、= **** ．
14、已知P(( = k) = (k ( N*?)，则E( = **** ．
15、若数列满足，则**** ．
16、已知函数f(x) = log2(ax2－x+)在[1，]上恒正，则实数a的取值范围是**** ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、(本小题满分12分)
已知 x、y ( R ，且 x ≠ 2，求证：x 2 + 5y 2 + 1 > 4xy + 2y ．
18、(本小题满分12分)
已知函数f(x) = log a (其中a >1) ．
(Ⅰ) 求f(x)的定义域；
(Ⅱ) 判断f(x)的奇偶性，并给予证明；
(Ⅲ) 求使f(x)>0的x取值范围．
19、(本小题满分12分)
在一次环保知识竞赛中，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，每支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答．
（Ⅰ）不放回的抽取试题，求只在第三次抽到判断题的概率；
（Ⅱ）有放回的抽取试题，求在三次抽取中抽到判断题的个数( 的概率分布及( 的期望．
20、(本小题满分12分)
已知函数 f (x) = 3x 2 + bx + 1 是偶函数，g (x) = 5x + c 是奇函数，正数数列 {an} 满足 a1 = 1，f (an + an+1)－g (a n+1a n + an2) = 1 ．
求 {an} 的通项公式；
若 {an} 的前 n 项和为 Sn ，求 Sn ．
21、(本小题满分12分)
某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+ )万元（n为正整数）．
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
22、(本小题满分14分)
已知函数 f (x) = x 4－4x 3 + a x 2－1 在区间 [0,1) 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减．
(Ⅰ)求 a 的值；
(Ⅱ)若点 A(x0,f (x0)) 在函数 f (x) 的图象上，求证点 A 关于直线 x = 1 的对称点 B 也在
函数 f (x) 的图象上；
(Ⅲ)是否存在实数 b，使得函数 g(x) = bx 2－1 的图象与函数 f (x) 的图象恰有 3 个交点，若存在，
请求出实数 b 的值；若不存在，试说明理由．
参考解答及评分标准
选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
ACBBD BADAD DA
填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
13、5 14、i 15、 16、3x－y－11 = 0
三、解答题：
17、(本小题满分12分)
解：原不等式可化为(x－2)(x－a－1)≥0， 2分
当a + 1>2即a>1时，解得x≥a + 1或x≤2； 5分
当a + 1 = 2即a = 1时，解得x ( R； 7分
当a + 1<2即a<1时，解得x≥2或x≤a + 1； 10分
∴ 原不等式的解集：当a≥1时，是；当a<1时，是．
12分
18、(本小题满分12分)
解（1）从6个球中选取3个，共有A63种取法， 2分
三次选取中，恰好有两次取到蓝色球，共有C31C41 A22种取法， 4分
所以在三次选取中，恰好有两次取到蓝色球的概率为P = = ． 6分
（2）设取球次数为随机变量( ，则( =1、2、3， 8分
其分布列是：
(
1
2
3
P
10分
∴ E( =1×+ 2×+ 3×= 1.7． 12分
19、(本小题满分12分)
解：设z = a + bi (a,b ( R)，则z2 = (a2－b2) + 2abi ， 2分
∴ (a2－b2) + 2abi = 3 + 4i ( ， 3分
解得 或 ， 5分
即z = 2 + i或z = －2－i ． 6分
又z3－6z + = = － ， 8分
当z = 2 + i时，z3－6z + = － = －+ i ； 10分
当z = －2 － i时，z3－6z + = － = － i ． 12分
20、(本小题满分12分)
解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x， 1分
所以V=（4－2x）2·x = 4(x3－4x2 + 4x) (0∴ V/ = 4(3x2－8x + 4)， 4分
令V/ = 0，即4(3x2－8x + 4) = 0，解得x1 = ，x2 = 2 (舍去) ． 6分
又当x<时，V/>0；当∴ 当x = 时，V取得最大值V1 = ． 8分
（2）重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2 = 3×2×1 = 6，显然V2>V1．
故第二种方案符合要求．
图① 图② 图③
12分
21、(本小题满分12分)
解：(1) 由a2 = 6，= 1，= 2，= 3， 1分
解得a 1 = 1，a3 = 15，a4 = 28． 3分
(2) 由此猜想an = n (2n－1) ． 4分
下面用数学归纳法加以证明：
当n = 1时，a1 = 1×(2×1－1) = 1，结论正确；
当n = 2时，a1 = 2×(2×2－1) = 6，结论正确． 5分
假设n = k (k≥2)时结论正确，即ak = k(2k－1) ．
则当n = k + 1时，∵ = k，
∴ (k－1)ak + 1 = (k + 1)a k－(k + 1) = (k + 1)k(2k－1)－(k + 1)
= (k + 1)(2k2－k－1) = (k + 1)(2k + 1)(k－1)，
∵ k－1 ≠ 0，∴ ak + 1 = (k + 1)[2(k + 1)－1]，
即当n = k + 1时，结论正确． 7分
由①②可知，{an} 的通项公式是an = n (2n－1) ． 8分
(3) ∵ = = ( －) 10分
∴ (+ + ┄ + ) = (1－) = ． 12分
22、(本小题满分14分)
解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数， 1分
，即恒成立，
，
． 3分
∵ x = 1时，取极小值－，
∴ 3a + c = 0且a + c = －，
解得a = ，c = －1． 5分
（2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立． 6分
假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，
则由知两点处的切线斜率分别为，
且…………（*） 8分
∵x1、，，
此与（*）相矛盾，故假设不成立． 9分
（3）证明：f/(x) = x2－1，令f/(x) = 0，得x = ±1，
∵ x ( (－(,－1)或x ( (1, + ()时，f/(x)>0；x ( (－1,1)时，f/(x)<0， 10分
上是减函数，且， 11分
∴在[－1，1]上，有| f(x) |≤成立， 12分
于是当x 1，x2 ( [－1,1]时，． 14分
