杭州市2025-2026学年七年级下学期数学开学模拟考试（二）（原卷+解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 杭州市2025-2026学年七年级下学期数学开学模拟考试（二）（原卷+解析+考点卡片） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 552.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
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杭州市2025-2026学年七年级下学期数学开学模拟考试（二）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）某花的花粉直径约为0.000038m，用科学记数法表示为（ ）
A．3.8×10﹣5 B．3.8×10﹣6 C．3.8×10﹣7 D．38×10﹣5
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a6÷a3＝a2
3．（3分）无论x取什么值时，下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）对于①2x﹣xy＝x（2﹣y），②（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
5．（3分）如果多项式a2+b2+□可以运用平方差公式分解因式，那么□可以是（ ）
A．﹣2b2 B．8b2 C．﹣2ab D．﹣2ac
6．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣（+2） B．﹣|﹣3| C．2﹣1 D．（﹣2）0
7．（3分）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2项和x项，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝3，n＝1 B．m＝3，n＝﹣9 C．m＝3，n＝9 D．m＝﹣3，n＝﹣1
8．（3分）近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打八五折，再降价n元，那么该手机现在的售价为（ ）
A．0.85（m﹣n）元 B．（0.85m﹣n）元
C．（8.5m﹣n）元 D．8.5（m﹣n）元
9．（3分）已知A＝（a+b）2﹣3b2，B＝2（a+b）（a﹣b）﹣3ab，若（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则A﹣B的值为（ ）
A．51 B．﹣69 C．15 D．﹣21
10．（3分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式处置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD﹣AB＝4时，S2﹣S1的值是（ ）
A．2a B．4b C．4a﹣4b D．4a﹣2b
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：25y2﹣4x2＝ ．
12．（3分）把方程5x+y﹣3＝0改写成用含x的式子表示y的形式： ．
13．（3分）计算：（﹣a）2÷（﹣a）＝ ，0.252021×（﹣4）2022＝ ．
14．（3分）计算：
（1）（a+b﹣c）2＝ ；
（2）（x﹣2y）3＝ ．
15．（3分）如图，学校一花坛为长方形ABCD，它的长为a，宽为b，图中扇形的半径都为b，扇形中种植花卉，阴影部分种植四季青草．
（1）用含有a，b的式子表示种植四季青草部分（阴影部分）的面积S＝ （结果保留π）；
（2）若a＝5，b＝2，则种植四季青草部分（阴影部分）的面积约为 （π取3.14，结果精确到十分位）．
16．（3分）若整数a，b，c满足，则abc＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（12分）计算题：
（1）﹣2a a4+a2 a3；
（2）（2a3x4﹣4a2x3）÷（﹣2ax2）；
（3）2x（3﹣2x）﹣（5﹣4x）（x+3）；
（4）（2x﹣3）2﹣4（x+2）（x﹣2）．
18．（8分）分解因式：
（1）9﹣m2n2；
（2）3x3﹣12xy2；
（3）a2（a﹣b）+4（b﹣a）．
19．（8分）在等式y＝kx+b中，当x＝3时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝1．
（1）求k、b的值；
（2）求当x＝﹣2时y的值．
20．（8分）如图，某校有一块长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像．
（1）请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积．
（2）a＝2，b＝3时，求对应面积的值．
21．（8分）国际数学教育大会（ICME）是全球数学教育水平最高，规模最大的学术盛会．ICME﹣14于2021年在上海举办．如图是大会会标，蕴含很多中国传统数学文化元素．会标中的两排小圆点代表中国古代河图中的阴数2和阳数7，2和7的积是14，表示本届大会的届数．
对于一个各位数上均不为0的四位正整数，若其千位上的数字与百位上的数字之积等于14，则称该四位数为ICME﹣14数．例如，∵7×2＝14，∴7231是ICME﹣14数；∵3×8≠14，∴3845不是ICME﹣14数．
（1）若为ICME﹣14数，求这个数；
（2）对于一个ICME﹣14数，记，若F（m）能被3整除，求符合条件的m的最大值与最小值之差．
22．（8分）【问题背景】落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动．如图1，电子蚂蚁P、Q在长18分米的赛道AB上同时相向匀速运动，电子蚂蚁P从A出发，速度为4分米/分钟，电子蚂蚁Q从B出发，速度为2分米/分钟，当电子蚂蚁P到达B时，电子蚂蚁P，Q停止运动，经过几分钟P，Q之间相距6分米？
【问题解决】小辰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图2，将点A与数轴的原点O重合，点B落在正半轴上．设运动的时间为t（0≤1≤4.5）．
（1）t分钟后，在数轴上点P对应的数是 ；点Q对应的数是 ；（用含t的代数式表示）；当点P、Q表示的数相同时，t的值为 ；
（2）我们知道，如果数轴上A、B两点分别对应数a、b，则AB＝|a﹣b|．
①当t＝1.5时P、Q两点的距离为 ；
②试运用该方法求经过几分钟P，Q之间相距6分米？
（3）在赛道AB上有一个标记位置C，AC＝6．若电子蚂蚁P与标记位置C之间的距离为a，电子蚂蚁Q与B之间的距离为b．在运动过程中，存在某一时刻t，使得a+b＝4，请直接写出此时t的值．
23．（8分）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中π取3，长度单位为米）．
（1）制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含x、y的代数式表示）
（2）某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下：
甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折；
乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃．
当x＝0.1，y＝2时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？
24．（12分）某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器7件，B种计算器3件，需要640元；若购进A种计算器3件，B种计算器5件，需要590元．
（1）求购进A，B两种计算器每台需多少元？
（2）若该商店决定拿出1700元全部用来购进这两种计算器，钱正好用完，那么该商店共有几种进货方案？（允许只买A种或只买B种）．
（3）若销售每件A种计算器可获利润15元，每件B种计算器可获利润10元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
杭州市2025-2026学年七年级下学期数学开学模拟考试（二）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A． C B C A D C． B A B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）某花的花粉直径约为0.000038m，用科学记数法表示为（ ）
A．3.8×10﹣5 B．3.8×10﹣6 C．3.8×10﹣7 D．38×10﹣5
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000038＝3.8×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a6÷a3＝a2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据相关运算法则，逐一进行判断即可．
【解答】解：根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法逐项分析判断如下：
A、a2，a3不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、a2 a3＝a5，原计算错误，不符合题意；
C、（﹣a3）2＝a6，原计算正确，符合题意；
D、a6÷a3＝a3，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，幂的运算，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（3分）无论x取什么值时，下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】分式有意义即分母不为0，由此解答即可．
【解答】解：A、当x＝0时，分式无意义，故此选项不符合题意；
B、∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴无论x取什么值时，分式一定有意义，故此选项符合题意；
C、当x＝1时，分式无意义，故此选项不符合题意；
D、当x＝±1时，分式无意义，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
4．（3分）对于①2x﹣xy＝x（2﹣y），②（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解和整式乘法的有关概念，对式子进行判断即可．
【解答】解：①2x﹣xy＝x（2﹣y），从左向右的变形，将和的形式转化为乘积的形式，为因式分解；
②（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，从左向右的变形，由乘积的形式转化为和的形式，为乘法运算；
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的意义，因式分解﹣提公因式法，熟练掌握有关概念是解题的关键．
5．（3分）如果多项式a2+b2+□可以运用平方差公式分解因式，那么□可以是（ ）
A．﹣2b2 B．8b2 C．﹣2ab D．﹣2ac
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：根据平方差公式的结构特征逐项分析判断如下：
A．a2+b2+（﹣2b2）＝a2﹣b2可以运用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；
B．a2+b2+8b2＝a2+9b2，不能因式分解，故该选项不符合题意；
C．a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2可以运用完全平方公式分解因式，故该选项不符合题意；
D．a2+b2﹣2ac，不能因式分解，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．
6．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣（+2） B．﹣|﹣3| C．2﹣1 D．（﹣2）0
【考点】负整数指数幂；相反数；绝对值；有理数大小比较；零指数幂．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意先求计算出选项的值，再进行比较即可．
【解答】解：A、﹣（+2）＝﹣2；
B、﹣|﹣3|＝﹣3；
C、2﹣1；
D、（﹣2）0＝1；
∵﹣3＜﹣21，
∴D项数最大．
故选：D．
【点评】本题考查负整数指数幂、相反数、绝对值、有理数大小比较、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（3分）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2项和x项，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝3，n＝1 B．m＝3，n＝﹣9 C．m＝3，n＝9 D．m＝﹣3，n＝﹣1
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】C．
【分析】先把多项式展开后合并，然后令x2项和x项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（x+m）（x2﹣3x+n）＝x3+（m﹣3）x2+（﹣3m+n）x+mn不含x2项和x项，
∴m﹣3＝0且﹣3m+n＝0，
解得m＝3，n＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
8．（3分）近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打八五折，再降价n元，那么该手机现在的售价为（ ）
A．0.85（m﹣n）元 B．（0.85m﹣n）元
C．（8.5m﹣n）元 D．8.5（m﹣n）元
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意可得打八五折后手机的价格为0.85m元，故再降价n元后，手机的售价为（0.85m﹣n）元；
【解答】解：某品牌智能手机原售价为m元，现打八五折，再降价n元，
由题意得：打八五折后手机的价格为0.85m元，
再降价n元后，手机的售价为（0.85m﹣n）元，
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，正确读懂题意是解题关键．
9．（3分）已知A＝（a+b）2﹣3b2，B＝2（a+b）（a﹣b）﹣3ab，若（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则A﹣B的值为（ ）
A．51 B．﹣69 C．15 D．﹣21
【考点】整式的加减；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，求出a、b值，然后计算出A﹣B，再将a、b的值代入计算即可．
【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
解得a＝3，b＝4，
∵A＝（a+b）2﹣3b2，B＝2（a+b）（a﹣b）﹣3ab，
∴A﹣B＝（a+b）2﹣3b2﹣[2（a+b）（a﹣b）﹣3ab]
＝a2+2ab+b2﹣3b2﹣（2a2﹣2b2﹣3ab）
＝a2+2ab+b2﹣3b2﹣2a2+2b2+3ab
＝﹣a2+5ab；
＝﹣32+5×3×4
＝﹣9+5×3×4
＝﹣9+60
＝51．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，绝对值和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（3分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式处置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD﹣AB＝4时，S2﹣S1的值是（ ）
A．2a B．4b C．4a﹣4b D．4a﹣2b
【考点】整式的混合运算；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出S1和S2，然后作差化简即可．
【解答】解：由图可得，，，
S2﹣S1＝[AD AB﹣a2﹣b（AB﹣a）]﹣[AD AB﹣a2﹣b（AD﹣a）]
＝AD AB﹣a2﹣b（AB﹣a）﹣AD AB+a2+b（AD﹣a）
＝﹣b AB+ab+b AD﹣ab
＝b（AD﹣AB），
∵AD﹣AB＝4，
∴b（AD﹣AB）＝4b，
即S2﹣S1＝4b，
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：25y2﹣4x2＝ （5y+2x）（5y﹣2x） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】计算题．
【答案】（5y+2x）（5y﹣2x）．
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：25y2﹣4x2＝（5y）2﹣（2x）2＝（5y+2x）（5y﹣2x），
故答案为：（5y+2x）（5y﹣2x）．
【点评】本题考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．（3分）把方程5x+y﹣3＝0改写成用含x的式子表示y的形式：y＝3﹣5x ．
【考点】解二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】y＝3﹣5x．
【分析】通过移项即可得出用含x的式子表示y的形式．
【解答】解：5x+y﹣3＝0，
y＝3﹣5x，
故答案为：y＝3﹣5x．
【点评】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法是解题的关键．
13．（3分）计算：（﹣a）2÷（﹣a）＝ ﹣a ，0.252021×（﹣4）2022＝ 4 ．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣a；4．
【分析】根据同底数幂的除法法则，积的乘方逆运算求解即可．
【解答】解：（﹣a）2÷（﹣a）
＝（﹣a）2﹣1
＝﹣a；
0.252021×（﹣4）2022
＝（﹣1）2021×（﹣4）
＝﹣1×（﹣4）
＝4，
故答案为：﹣a，4
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，积的乘方逆运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
14．（3分）计算：
（1）（a+b﹣c）2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2 ；
（2）（x﹣2y）3＝x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3 ．
【考点】整式的混合运算；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2；
（2）x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3．
【分析】（1）将原式变形为[（a+b）﹣c]2后利用完全平方公式计算即可；
（2）将原式变形为（x﹣2y）（x﹣2y）2后利用完全平方公式及多项式乘多项式法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝[（a+b）﹣c]2
＝（a+b）2﹣2c（a+b）+c2
＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2，
故答案为：a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2；
（2）原式＝（x﹣2y）（x2﹣4xy+4y2）
＝x3﹣4x2y+4xy2﹣2x2y+8xy2﹣8y3
＝x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3，
故答案为：x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3．
【点评】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，将原式进行正确地变形是解题的关键．
15．（3分）如图，学校一花坛为长方形ABCD，它的长为a，宽为b，图中扇形的半径都为b，扇形中种植花卉，阴影部分种植四季青草．
（1）用含有a，b的式子表示种植四季青草部分（阴影部分）的面积S＝ ． （结果保留π）；
（2）若a＝5，b＝2，则种植四季青草部分（阴影部分）的面积约为 3.7 （π取3.14，结果精确到十分位）．
【考点】代数式求值；近似数和有效数字；列代数式．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）；
（2）3.7．
【分析】（1）由阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个四分之一圆的面积即可．
（2）把a＝5，b＝2，代入（1）中的代数式进行计算求值后四舍五入即可．
【解答】解：（1）∵阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个四分之一圆的面积，
∴，
∴种植四季青草部分（阴影部分）的面积S为．
故答案为：；
（2）当a＝5，b＝2时，
∴，
∴S＝3.72≈3.7，
∴种植四季青草部分（阴影部分）的面积S的值为3.7．
故答案为：3.7．
【点评】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，按四舍五入的方法求解一个数的近似值，掌握“列代数式及求解代数式的值”是解本题的关键，注意结果要求精确到十分位．
16．（3分）若整数a，b，c满足，则abc＝ 108 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；三元一次方程组的应用；有理数的乘法；同底数幂的乘法．
【专题】整式．
【答案】108．
【分析】根据同底数的幂相等时指数相等，列出方程组求解．
【解答】解：原等式可以转化为：（2×3﹣3×52）a（2×32×5﹣2）b（2﹣3×32）c＝23，
∴2a+b﹣3c×3﹣3a+2b+2c×52a﹣2b＝23×30×50，
∴，
∴解得，
∴abc＝108，
故答案为：108．
【点评】本题考查了幂的运算性质，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（12分）计算题：
（1）﹣2a a4+a2 a3；
（2）（2a3x4﹣4a2x3）÷（﹣2ax2）；
（3）2x（3﹣2x）﹣（5﹣4x）（x+3）；
（4）（2x﹣3）2﹣4（x+2）（x﹣2）．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）﹣a5；（2）﹣a2x2+2ax；（3）13x﹣15；（4）﹣12x+25．
【分析】（1）先算单项式的乘法，再合并同类项即可；
（2）根据多项式除以单项式计算即可；
（3）先算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再合并同类项即可；
（4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）﹣2a a4+a2 a3
＝﹣2a5+a5
＝﹣a5；
（2）（2a3x4﹣4a2x3）÷（﹣2ax2）
＝2a3x4÷（﹣2ax2）﹣4a2x3÷（﹣2ax2）
＝﹣a2x2+2ax；
（3）2x（3﹣2x）﹣（5﹣4x）（x+3）
＝6x﹣4x2﹣5x﹣15+4x2+12x
＝13x﹣15；
（4）（2x﹣3）2﹣4（x+2）（x﹣2）
＝4x2﹣12x+9﹣4（x2﹣4）
＝4x2﹣12x+9﹣4x2+16
＝﹣12x+25．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）分解因式：
（1）9﹣m2n2；
（2）3x3﹣12xy2；
（3）a2（a﹣b）+4（b﹣a）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（3+mn）（3﹣mn）；
（2）3x（x+2y）（x﹣2y）；
（3）（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．
【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
（3）提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（3+mn）（3﹣mn）；
（2）原式＝3x（x2﹣4y2）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）；
（3）原式＝a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）
＝（a﹣b）（a2﹣4）
＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
19．（8分）在等式y＝kx+b中，当x＝3时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝1．
（1）求k、b的值；
（2）求当x＝﹣2时y的值．
【考点】解二元一次方程组；二元一次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）将两对x与y的值代入等式y＝kx+b中得到关于k与b的二元一次方程组，解出k，b的值即可；
（2）由（1）可知该等式为，再将x＝﹣2代入，求出y的值即可．
【解答】解：（1）将，代入y＝kx+b中，
得：，
解得：；
（2）由（1）可知该等式为，
将x＝﹣2代入，得：．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握方程组的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
20．（8分）如图，某校有一块长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像．
（1）请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积．
（2）a＝2，b＝3时，求对应面积的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；几何直观；运算能力．
【答案】（1）（5ab+11b2）平方米；
（2）129平方米．
【分析】（1）根据题意列式为（a+4b）（a+3b）﹣（a+b）2，将其计算即可；
（2）将已知数值代入（1）中所得结果计算即可．
【解答】解：（1）（a+4b）（a+3b）﹣（a+b）2
＝a2+3ab+4ab+12b2﹣（a2+2ab+b2）
＝a2+7ab+12b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝（5ab+11b2）（平方米），
即该地块绿化部分的面积为（5ab+11b2）平方米；
（2）当a＝2，b＝3时，
5ab+11b2
＝5×2×3+11×32
＝30+99
＝129，
即此时对应面积的值为129平方米．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
21．（8分）国际数学教育大会（ICME）是全球数学教育水平最高，规模最大的学术盛会．ICME﹣14于2021年在上海举办．如图是大会会标，蕴含很多中国传统数学文化元素．会标中的两排小圆点代表中国古代河图中的阴数2和阳数7，2和7的积是14，表示本届大会的届数．
对于一个各位数上均不为0的四位正整数，若其千位上的数字与百位上的数字之积等于14，则称该四位数为ICME﹣14数．例如，∵7×2＝14，∴7231是ICME﹣14数；∵3×8≠14，∴3845不是ICME﹣14数．
（1）若为ICME﹣14数，求这个数；
（2）对于一个ICME﹣14数，记，若F（m）能被3整除，求符合条件的m的最大值与最小值之差．
【考点】数的十进制；一元二次方程的应用．
【专题】数字问题；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）2777；
（2）4584．
【分析】（1）根据ICME﹣14数的定义，即可求解；
（2）根据ICME﹣14数的定义，可得a＝2，b＝7或a＝7，b＝2，再根据 F（m）能被3整除即可求解．
【解答】解：（1）∵2πtt为 ICME﹣14数，
∴2t＝14，
∴t＝7，
∴这个数为2777；
（2）∵m为ICME﹣14数，
∴a＝2，b＝7或a＝7，b＝2，
∴F（m）27+70+c97+11c+d＝96+9c+3+2c+d+1或F（m）72+20+c92+11c+d＝90+9c+2c+d+2，
∵F（m）能被3整除，且1≤c≤9，1≤d≤9，
∴c+d能被3整除，
∴2c+d+1＝6或2c+d+1＝9或2c+d+1＝12或2c+d+1＝15或2c+d+1＝18或2c+d+1＝21或2c+d+1＝24或2c+d+1＝27或2c+d+2＝6或2c+d+2＝9或2c+d+2＝12或2c+d+2＝15或2c+d+2＝18或2c+d+2＝21或2c+d+2＝24或2c+d+2＝27，
∴m的最大值为7297，最小值为2713，
∴7297﹣2713＝4584．
【点评】本题考查了新定义问题，涉及到了有理数的乘法，整除问题，解题的关键是理解题意，根据题意列出式子，并能根据题意进行计算．
22．（8分）【问题背景】落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动．如图1，电子蚂蚁P、Q在长18分米的赛道AB上同时相向匀速运动，电子蚂蚁P从A出发，速度为4分米/分钟，电子蚂蚁Q从B出发，速度为2分米/分钟，当电子蚂蚁P到达B时，电子蚂蚁P，Q停止运动，经过几分钟P，Q之间相距6分米？
【问题解决】小辰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图2，将点A与数轴的原点O重合，点B落在正半轴上．设运动的时间为t（0≤1≤4.5）．
（1）t分钟后，在数轴上点P对应的数是 4t ；点Q对应的数是 18﹣2t ；（用含t的代数式表示）；当点P、Q表示的数相同时，t的值为 3 ；
（2）我们知道，如果数轴上A、B两点分别对应数a、b，则AB＝|a﹣b|．
①当t＝1.5时P、Q两点的距离为 9 ；
②试运用该方法求经过几分钟P，Q之间相距6分米？
（3）在赛道AB上有一个标记位置C，AC＝6．若电子蚂蚁P与标记位置C之间的距离为a，电子蚂蚁Q与B之间的距离为b．在运动过程中，存在某一时刻t，使得a+b＝4，请直接写出此时t的值．
【考点】一元一次方程的应用；数轴；绝对值；列代数式；代数式求值．
【专题】动点型；一次方程（组）及应用；推理能力．
【答案】（1）4t，18﹣2t，3；
（2）①9；②经过2分钟或4分钟时P、Q之间相距6分米；
（3）存在，当运动时间为1分钟或分钟时，a+b＝4．
【分析】（1）根据数轴上数之间的关系列出代数式即可；
（2）先求出P，Q所表示的数，即可求解；
（3）现根据两点间的距离表示出a，b再根据a+b＝4列出方程，解方程即可，
【解答】解：（1）∵点A与数轴得原点O重合，B落在正半轴上，AB＝18，
∴A点在数轴对应的数为0，B在数轴对应的数为18，
∴点P在数轴上对应的数为0+4t＝4t，点Q在数轴上对应的数为18﹣2t，
当点P、Q表示的数相同时，即4t＝18﹣2t，则t＝3，
故答案为：4t，18﹣2t，3；
（2）①t＝1.5时，点P在数轴上对应的数为6，点Q在数轴上对应的数为15，
则PQ的距离为9，
故答案为：9；
②PQ＝|4t﹣（18﹣2t|）＝6，即|6t﹣18|＝6，
∴6t﹣18＝6或6t﹣18＝﹣6，
解得t＝4或t＝2，
∴经过2分钟或4分钟时P、Q之间相距6分米；
（3）PC＝a＝|4t﹣6|，
QB＝b＝|（18﹣2t）﹣18|＝|﹣2t|＝2t，
a+b＝4，即|4t﹣6|+2t＝4，|4t﹣6|＝4﹣2t，
∴4t﹣6＝4﹣2t或4t﹣6＝﹣（4﹣2t），
解得t或t＝1，
∴存在，当运动时间为1分钟或分钟时，a+b＝4．
【点评】本题考查一元一次方程的应用以及数轴和绝对值的意义，关键是找到等量关系列出方程．
23．（8分）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中π取3，长度单位为米）．
（1）制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含x、y的代数式表示）
（2）某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下：
甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折；
乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃．
当x＝0.1，y＝2时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据3个形状由1个正方形和4个半圆形构成的图形面积得出艺术玻璃的面积，根据长方形的面积减去艺术玻璃的面积得出实木材料的面积；
（2）将x＝0.1，y＝2代入（1）中代数式，求得艺术玻璃和实木材料的面积，进而分别计算甲、乙的费用，比较大小，即可求解．
【解答】解：（1）需要平方米的艺术玻璃，（10xy﹣30x2）平方米的实木材料；
（2）当x＝0.1，y＝2时，30x2＝10×0.12＝0.3平方米的艺术玻璃，
10xy﹣30x2＝10×0.1×2﹣0.3＝1.7平方米的实木材料，
甲厂商：（0.3×500+1.7×800）×0.9＝1359（元），
乙厂商购买实木材料费用：（元），
∵1268＜1359，
∴该酒店在乙厂商购买屏风合算，最终总费用是1268元．
【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，有理数的混合运算的应用，掌握以上知识点是解题的关键．
24．（12分）某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器7件，B种计算器3件，需要640元；若购进A种计算器3件，B种计算器5件，需要590元．
（1）求购进A，B两种计算器每台需多少元？
（2）若该商店决定拿出1700元全部用来购进这两种计算器，钱正好用完，那么该商店共有几种进货方案？（允许只买A种或只买B种）．
（3）若销售每件A种计算器可获利润15元，每件B种计算器可获利润10元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用；有理数的混合运算；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）购进每台A种计算器需要55元，每台B种计算器需要85元；
（2）该商店共有2种进货方案，
方案1：购进20台B种计算器；
方案2：购进17台A种计算器，9台B种计算器；
（3）购进17台A种计算器，9台B种计算器获利最大，最大利润是345元．
【分析】（1）设购进每台A种计算器需要x元，每台B种计算器需要y元，根据“购进A种计算器7件，B种计算器3件，需要640元；购进A种计算器3件，B种计算器5件，需要590元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进a台A种计算器，b台B种计算器，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各进货方案；
（3）利用总利润＝每台A种计算器的销售利润×购进A种计算器的数量+每台B种计算器的销售利润×购进B种计算器的数量，可求出选择各方案可获得的总利润，比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进每台A种计算器需要x元，每台B种计算器需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进每台A种计算器需要55元，每台B种计算器需要85元；
（2）设购进a台A种计算器，b台B种计算器，
根据题意得：55a+85b＝1700，
∴b＝20a，
又∵a，b均为非负整数，
∴或，
∴该商店共有2种进货方案，
方案1：购进20台B种计算器；
方案2：购进17台A种计算器，9台B种计算器；
（3）选择方案1获得的总利润为10×20＝200（元）；
选择方案2获得的总利润为15×17+10×9＝345（元）．
∵200＜345，
∴购进17台A种计算器，9台B种计算器获利最大，最大利润是345元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案可获得的总利润．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
6．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
7．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
8．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
9．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
10．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
11．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
12．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
13．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
14．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
15．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
16．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
17．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
18．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
19．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
20．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
21．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
22．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
23．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
24．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
25．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
26．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
27．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
28．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
29．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
30．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
31．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
32．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
33．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
34．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
35．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
36．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
37．数的十进制
十进制的计数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一．底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的个位数：
100＝1（个位数﹣第一位），101＝10（十位上的数﹣第二位），102＝100（百位上的数﹣第三位），…10n（第n+1位上的数）
例如：54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100
十进制的n位数（n为正整数），a1a2a3…an，记作：10n﹣1a1+10n﹣2a2+10n﹣3a3+…+102an﹣2+10an﹣1+an 其中最高位a1≠0，即0＜a1≤9，其它是0≤a1，a2，a3…a9≤9，各位上的数字相同的正整数记法：
例如：∵999＝1000﹣1＝103﹣1，9999＝104﹣1，
∴10n﹣1，，，
解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论．
杭州市2025-2026学年七年级下学期数学开学模拟考试（二）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）某花的花粉直径约为0.000038m，用科学记数法表示为（ ）
A．3.8×10﹣5 B．3.8×10﹣6 C．3.8×10﹣7 D．38×10﹣5
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a6÷a3＝a2
3．（3分）无论x取什么值时，下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）对于①2x﹣xy＝x（2﹣y），②（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
5．（3分）如果多项式a2+b2+□可以运用平方差公式分解因式，那么□可以是（ ）
A．﹣2b2 B．8b2 C．﹣2ab D．﹣2ac
6．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣（+2） B．﹣|﹣3| C．2﹣1 D．（﹣2）0
7．（3分）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2项和x项，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝3，n＝1 B．m＝3，n＝﹣9 C．m＝3，n＝9 D．m＝﹣3，n＝﹣1
8．（3分）近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打八五折，再降价n元，那么该手机现在的售价为（ ）
A．0.85（m﹣n）元 B．（0.85m﹣n）元
C．（8.5m﹣n）元 D．8.5（m﹣n）元
9．（3分）已知A＝（a+b）2﹣3b2，B＝2（a+b）（a﹣b）﹣3ab，若（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则A﹣B的值为（ ）
A．51 B．﹣69 C．15 D．﹣21
10．（3分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式处置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD﹣AB＝4时，S2﹣S1的值是（ ）
A．2a B．4b C．4a﹣4b D．4a﹣2b
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：25y2﹣4x2＝ ．
12．（3分）把方程5x+y﹣3＝0改写成用含x的式子表示y的形式： ．
13．（3分）计算：（﹣a）2÷（﹣a）＝ ，0.252021×（﹣4）2022＝ ．
14．（3分）计算：
（1）（a+b﹣c）2＝ ；
（2）（x﹣2y）3＝ ．
15．（3分）如图，学校一花坛为长方形ABCD，它的长为a，宽为b，图中扇形的半径都为b，扇形中种植花卉，阴影部分种植四季青草．
（1）用含有a，b的式子表示种植四季青草部分（阴影部分）的面积S＝ （结果保留π）；
（2）若a＝5，b＝2，则种植四季青草部分（阴影部分）的面积约为 （π取3.14，结果精确到十分位）．
16．（3分）若整数a，b，c满足，则abc＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（12分）计算题：
（1）﹣2a a4+a2 a3；
（2）（2a3x4﹣4a2x3）÷（﹣2ax2）；
（3）2x（3﹣2x）﹣（5﹣4x）（x+3）；
（4）（2x﹣3）2﹣4（x+2）（x﹣2）．
18．（8分）分解因式：
（1）9﹣m2n2；
（2）3x3﹣12xy2；
（3）a2（a﹣b）+4（b﹣a）．
19．（8分）在等式y＝kx+b中，当x＝3时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝1．
（1）求k、b的值；
（2）求当x＝﹣2时y的值．
20．（8分）如图，某校有一块长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像．
（1）请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积．
（2）a＝2，b＝3时，求对应面积的值．
21．（8分）国际数学教育大会（ICME）是全球数学教育水平最高，规模最大的学术盛会．ICME﹣14于2021年在上海举办．如图是大会会标，蕴含很多中国传统数学文化元素．会标中的两排小圆点代表中国古代河图中的阴数2和阳数7，2和7的积是14，表示本届大会的届数．
对于一个各位数上均不为0的四位正整数，若其千位上的数字与百位上的数字之积等于14，则称该四位数为ICME﹣14数．例如，∵7×2＝14，∴7231是ICME﹣14数；∵3×8≠14，∴3845不是ICME﹣14数．
（1）若为ICME﹣14数，求这个数；
（2）对于一个ICME﹣14数，记，若F（m）能被3整除，求符合条件的m的最大值与最小值之差．
22．（8分）【问题背景】落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动．如图1，电子蚂蚁P、Q在长18分米的赛道AB上同时相向匀速运动，电子蚂蚁P从A出发，速度为4分米/分钟，电子蚂蚁Q从B出发，速度为2分米/分钟，当电子蚂蚁P到达B时，电子蚂蚁P，Q停止运动，经过几分钟P，Q之间相距6分米？
【问题解决】小辰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图2，将点A与数轴的原点O重合，点B落在正半轴上．设运动的时间为t（0≤1≤4.5）．
（1）t分钟后，在数轴上点P对应的数是 ；点Q对应的数是 ；（用含t的代数式表示）；当点P、Q表示的数相同时，t的值为 ；
（2）我们知道，如果数轴上A、B两点分别对应数a、b，则AB＝|a﹣b|．
①当t＝1.5时P、Q两点的距离为 ；
②试运用该方法求经过几分钟P，Q之间相距6分米？
（3）在赛道AB上有一个标记位置C，AC＝6．若电子蚂蚁P与标记位置C之间的距离为a，电子蚂蚁Q与B之间的距离为b．在运动过程中，存在某一时刻t，使得a+b＝4，请直接写出此时t的值．
23．（8分）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中π取3，长度单位为米）．
（1）制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含x、y的代数式表示）
（2）某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下：
甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折；
乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃．
当x＝0.1，y＝2时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？
24．（12分）某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器7件，B种计算器3件，需要640元；若购进A种计算器3件，B种计算器5件，需要590元．
（1）求购进A，B两种计算器每台需多少元？
（2）若该商店决定拿出1700元全部用来购进这两种计算器，钱正好用完，那么该商店共有几种进货方案？（允许只买A种或只买B种）．
（3）若销售每件A种计算器可获利润15元，每件B种计算器可获利润10元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
杭州市2025-2026学年七年级下学期数学开学模拟考试（二）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A． C B C A D C． B A B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）某花的花粉直径约为0.000038m，用科学记数法表示为（ ）
A．3.8×10﹣5 B．3.8×10﹣6 C．3.8×10﹣7 D．38×10﹣5
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000038＝3.8×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a6÷a3＝a2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据相关运算法则，逐一进行判断即可．
【解答】解：根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法逐项分析判断如下：
A、a2，a3不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、a2 a3＝a5，原计算错误，不符合题意；
C、（﹣a3）2＝a6，原计算正确，符合题意；
D、a6÷a3＝a3，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，幂的运算，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（3分）无论x取什么值时，下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】分式有意义即分母不为0，由此解答即可．
【解答】解：A、当x＝0时，分式无意义，故此选项不符合题意；
B、∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴无论x取什么值时，分式一定有意义，故此选项符合题意；
C、当x＝1时，分式无意义，故此选项不符合题意；
D、当x＝±1时，分式无意义，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
4．（3分）对于①2x﹣xy＝x（2﹣y），②（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解和整式乘法的有关概念，对式子进行判断即可．
【解答】解：①2x﹣xy＝x（2﹣y），从左向右的变形，将和的形式转化为乘积的形式，为因式分解；
②（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，从左向右的变形，由乘积的形式转化为和的形式，为乘法运算；
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的意义，因式分解﹣提公因式法，熟练掌握有关概念是解题的关键．
5．（3分）如果多项式a2+b2+□可以运用平方差公式分解因式，那么□可以是（ ）
A．﹣2b2 B．8b2 C．﹣2ab D．﹣2ac
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：根据平方差公式的结构特征逐项分析判断如下：
A．a2+b2+（﹣2b2）＝a2﹣b2可以运用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；
B．a2+b2+8b2＝a2+9b2，不能因式分解，故该选项不符合题意；
C．a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2可以运用完全平方公式分解因式，故该选项不符合题意；
D．a2+b2﹣2ac，不能因式分解，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．
6．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣（+2） B．﹣|﹣3| C．2﹣1 D．（﹣2）0
【考点】负整数指数幂；相反数；绝对值；有理数大小比较；零指数幂．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意先求计算出选项的值，再进行比较即可．
【解答】解：A、﹣（+2）＝﹣2；
B、﹣|﹣3|＝﹣3；
C、2﹣1；
D、（﹣2）0＝1；
∵﹣3＜﹣21，
∴D项数最大．
故选：D．
【点评】本题考查负整数指数幂、相反数、绝对值、有理数大小比较、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（3分）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2项和x项，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝3，n＝1 B．m＝3，n＝﹣9 C．m＝3，n＝9 D．m＝﹣3，n＝﹣1
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】C．
【分析】先把多项式展开后合并，然后令x2项和x项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（x+m）（x2﹣3x+n）＝x3+（m﹣3）x2+（﹣3m+n）x+mn不含x2项和x项，
∴m﹣3＝0且﹣3m+n＝0，
解得m＝3，n＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
8．（3分）近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打八五折，再降价n元，那么该手机现在的售价为（ ）
A．0.85（m﹣n）元 B．（0.85m﹣n）元
C．（8.5m﹣n）元 D．8.5（m﹣n）元
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意可得打八五折后手机的价格为0.85m元，故再降价n元后，手机的售价为（0.85m﹣n）元；
【解答】解：某品牌智能手机原售价为m元，现打八五折，再降价n元，
由题意得：打八五折后手机的价格为0.85m元，
再降价n元后，手机的售价为（0.85m﹣n）元，
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，正确读懂题意是解题关键．
9．（3分）已知A＝（a+b）2﹣3b2，B＝2（a+b）（a﹣b）﹣3ab，若（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则A﹣B的值为（ ）
A．51 B．﹣69 C．15 D．﹣21
【考点】整式的加减；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，求出a、b值，然后计算出A﹣B，再将a、b的值代入计算即可．
【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
解得a＝3，b＝4，
∵A＝（a+b）2﹣3b2，B＝2（a+b）（a﹣b）﹣3ab，
∴A﹣B＝（a+b）2﹣3b2﹣[2（a+b）（a﹣b）﹣3ab]
＝a2+2ab+b2﹣3b2﹣（2a2﹣2b2﹣3ab）
＝a2+2ab+b2﹣3b2﹣2a2+2b2+3ab
＝﹣a2+5ab；
＝﹣32+5×3×4
＝﹣9+5×3×4
＝﹣9+60
＝51．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，绝对值和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（3分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式处置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD﹣AB＝4时，S2﹣S1的值是（ ）
A．2a B．4b C．4a﹣4b D．4a﹣2b
【考点】整式的混合运算；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出S1和S2，然后作差化简即可．
【解答】解：由图可得，，，
S2﹣S1＝[AD AB﹣a2﹣b（AB﹣a）]﹣[AD AB﹣a2﹣b（AD﹣a）]
＝AD AB﹣a2﹣b（AB﹣a）﹣AD AB+a2+b（AD﹣a）
＝﹣b AB+ab+b AD﹣ab
＝b（AD﹣AB），
∵AD﹣AB＝4，
∴b（AD﹣AB）＝4b，
即S2﹣S1＝4b，
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：25y2﹣4x2＝ （5y+2x）（5y﹣2x） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】计算题．
【答案】（5y+2x）（5y﹣2x）．
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：25y2﹣4x2＝（5y）2﹣（2x）2＝（5y+2x）（5y﹣2x），
故答案为：（5y+2x）（5y﹣2x）．
【点评】本题考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．（3分）把方程5x+y﹣3＝0改写成用含x的式子表示y的形式：y＝3﹣5x ．
【考点】解二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】y＝3﹣5x．
【分析】通过移项即可得出用含x的式子表示y的形式．
【解答】解：5x+y﹣3＝0，
y＝3﹣5x，
故答案为：y＝3﹣5x．
【点评】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法是解题的关键．
13．（3分）计算：（﹣a）2÷（﹣a）＝ ﹣a ，0.252021×（﹣4）2022＝ 4 ．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣a；4．
【分析】根据同底数幂的除法法则，积的乘方逆运算求解即可．
【解答】解：（﹣a）2÷（﹣a）
＝（﹣a）2﹣1
＝﹣a；
0.252021×（﹣4）2022
＝（﹣1）2021×（﹣4）
＝﹣1×（﹣4）
＝4，
故答案为：﹣a，4
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，积的乘方逆运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
14．（3分）计算：
（1）（a+b﹣c）2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2 ；
（2）（x﹣2y）3＝x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3 ．
【考点】整式的混合运算；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2；
（2）x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3．
【分析】（1）将原式变形为[（a+b）﹣c]2后利用完全平方公式计算即可；
（2）将原式变形为（x﹣2y）（x﹣2y）2后利用完全平方公式及多项式乘多项式法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝[（a+b）﹣c]2
＝（a+b）2﹣2c（a+b）+c2
＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2，
故答案为：a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2；
（2）原式＝（x﹣2y）（x2﹣4xy+4y2）
＝x3﹣4x2y+4xy2﹣2x2y+8xy2﹣8y3
＝x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3，
故答案为：x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3．
【点评】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，将原式进行正确地变形是解题的关键．
15．（3分）如图，学校一花坛为长方形ABCD，它的长为a，宽为b，图中扇形的半径都为b，扇形中种植花卉，阴影部分种植四季青草．
（1）用含有a，b的式子表示种植四季青草部分（阴影部分）的面积S＝ ． （结果保留π）；
（2）若a＝5，b＝2，则种植四季青草部分（阴影部分）的面积约为 3.7 （π取3.14，结果精确到十分位）．
【考点】代数式求值；近似数和有效数字；列代数式．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）；
（2）3.7．
【分析】（1）由阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个四分之一圆的面积即可．
（2）把a＝5，b＝2，代入（1）中的代数式进行计算求值后四舍五入即可．
【解答】解：（1）∵阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个四分之一圆的面积，
∴，
∴种植四季青草部分（阴影部分）的面积S为．
故答案为：；
（2）当a＝5，b＝2时，
∴，
∴S＝3.72≈3.7，
∴种植四季青草部分（阴影部分）的面积S的值为3.7．
故答案为：3.7．
【点评】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，按四舍五入的方法求解一个数的近似值，掌握“列代数式及求解代数式的值”是解本题的关键，注意结果要求精确到十分位．
16．（3分）若整数a，b，c满足，则abc＝ 108 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；三元一次方程组的应用；有理数的乘法；同底数幂的乘法．
【专题】整式．
【答案】108．
【分析】根据同底数的幂相等时指数相等，列出方程组求解．
【解答】解：原等式可以转化为：（2×3﹣3×52）a（2×32×5﹣2）b（2﹣3×32）c＝23，
∴2a+b﹣3c×3﹣3a+2b+2c×52a﹣2b＝23×30×50，
∴，
∴解得，
∴abc＝108，
故答案为：108．
【点评】本题考查了幂的运算性质，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（12分）计算题：
（1）﹣2a a4+a2 a3；
（2）（2a3x4﹣4a2x3）÷（﹣2ax2）；
（3）2x（3﹣2x）﹣（5﹣4x）（x+3）；
（4）（2x﹣3）2﹣4（x+2）（x﹣2）．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）﹣a5；（2）﹣a2x2+2ax；（3）13x﹣15；（4）﹣12x+25．
【分析】（1）先算单项式的乘法，再合并同类项即可；
（2）根据多项式除以单项式计算即可；
（3）先算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再合并同类项即可；
（4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）﹣2a a4+a2 a3
＝﹣2a5+a5
＝﹣a5；
（2）（2a3x4﹣4a2x3）÷（﹣2ax2）
＝2a3x4÷（﹣2ax2）﹣4a2x3÷（﹣2ax2）
＝﹣a2x2+2ax；
（3）2x（3﹣2x）﹣（5﹣4x）（x+3）
＝6x﹣4x2﹣5x﹣15+4x2+12x
＝13x﹣15；
（4）（2x﹣3）2﹣4（x+2）（x﹣2）
＝4x2﹣12x+9﹣4（x2﹣4）
＝4x2﹣12x+9﹣4x2+16
＝﹣12x+25．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）分解因式：
（1）9﹣m2n2；
（2）3x3﹣12xy2；
（3）a2（a﹣b）+4（b﹣a）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（3+mn）（3﹣mn）；
（2）3x（x+2y）（x﹣2y）；
（3）（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．
【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
（3）提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（3+mn）（3﹣mn）；
（2）原式＝3x（x2﹣4y2）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）；
（3）原式＝a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）
＝（a﹣b）（a2﹣4）
＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
19．（8分）在等式y＝kx+b中，当x＝3时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝1．
（1）求k、b的值；
（2）求当x＝﹣2时y的值．
【考点】解二元一次方程组；二元一次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）将两对x与y的值代入等式y＝kx+b中得到关于k与b的二元一次方程组，解出k，b的值即可；
（2）由（1）可知该等式为，再将x＝﹣2代入，求出y的值即可．
【解答】解：（1）将，代入y＝kx+b中，
得：，
解得：；
（2）由（1）可知该等式为，
将x＝﹣2代入，得：．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握方程组的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
20．（8分）如图，某校有一块长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像．
（1）请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积．
（2）a＝2，b＝3时，求对应面积的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；几何直观；运算能力．
【答案】（1）（5ab+11b2）平方米；
（2）129平方米．
【分析】（1）根据题意列式为（a+4b）（a+3b）﹣（a+b）2，将其计算即可；
（2）将已知数值代入（1）中所得结果计算即可．
【解答】解：（1）（a+4b）（a+3b）﹣（a+b）2
＝a2+3ab+4ab+12b2﹣（a2+2ab+b2）
＝a2+7ab+12b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝（5ab+11b2）（平方米），
即该地块绿化部分的面积为（5ab+11b2）平方米；
（2）当a＝2，b＝3时，
5ab+11b2
＝5×2×3+11×32
＝30+99
＝129，
即此时对应面积的值为129平方米．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
21．（8分）国际数学教育大会（ICME）是全球数学教育水平最高，规模最大的学术盛会．ICME﹣14于2021年在上海举办．如图是大会会标，蕴含很多中国传统数学文化元素．会标中的两排小圆点代表中国古代河图中的阴数2和阳数7，2和7的积是14，表示本届大会的届数．
对于一个各位数上均不为0的四位正整数，若其千位上的数字与百位上的数字之积等于14，则称该四位数为ICME﹣14数．例如，∵7×2＝14，∴7231是ICME﹣14数；∵3×8≠14，∴3845不是ICME﹣14数．
（1）若为ICME﹣14数，求这个数；
（2）对于一个ICME﹣14数，记，若F（m）能被3整除，求符合条件的m的最大值与最小值之差．
【考点】数的十进制；一元二次方程的应用．
【专题】数字问题；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）2777；
（2）4584．
【分析】（1）根据ICME﹣14数的定义，即可求解；
（2）根据ICME﹣14数的定义，可得a＝2，b＝7或a＝7，b＝2，再根据 F（m）能被3整除即可求解．
【解答】解：（1）∵2πtt为 ICME﹣14数，
∴2t＝14，
∴t＝7，
∴这个数为2777；
（2）∵m为ICME﹣14数，
∴a＝2，b＝7或a＝7，b＝2，
∴F（m）27+70+c97+11c+d＝96+9c+3+2c+d+1或F（m）72+20+c92+11c+d＝90+9c+2c+d+2，
∵F（m）能被3整除，且1≤c≤9，1≤d≤9，
∴c+d能被3整除，
∴2c+d+1＝6或2c+d+1＝9或2c+d+1＝12或2c+d+1＝15或2c+d+1＝18或2c+d+1＝21或2c+d+1＝24或2c+d+1＝27或2c+d+2＝6或2c+d+2＝9或2c+d+2＝12或2c+d+2＝15或2c+d+2＝18或2c+d+2＝21或2c+d+2＝24或2c+d+2＝27，
∴m的最大值为7297，最小值为2713，
∴7297﹣2713＝4584．
【点评】本题考查了新定义问题，涉及到了有理数的乘法，整除问题，解题的关键是理解题意，根据题意列出式子，并能根据题意进行计算．
22．（8分）【问题背景】落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动．如图1，电子蚂蚁P、Q在长18分米的赛道AB上同时相向匀速运动，电子蚂蚁P从A出发，速度为4分米/分钟，电子蚂蚁Q从B出发，速度为2分米/分钟，当电子蚂蚁P到达B时，电子蚂蚁P，Q停止运动，经过几分钟P，Q之间相距6分米？
【问题解决】小辰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图2，将点A与数轴的原点O重合，点B落在正半轴上．设运动的时间为t（0≤1≤4.5）．
（1）t分钟后，在数轴上点P对应的数是 4t ；点Q对应的数是 18﹣2t ；（用含t的代数式表示）；当点P、Q表示的数相同时，t的值为 3 ；
（2）我们知道，如果数轴上A、B两点分别对应数a、b，则AB＝|a﹣b|．
①当t＝1.5时P、Q两点的距离为 9 ；
②试运用该方法求经过几分钟P，Q之间相距6分米？
（3）在赛道AB上有一个标记位置C，AC＝6．若电子蚂蚁P与标记位置C之间的距离为a，电子蚂蚁Q与B之间的距离为b．在运动过程中，存在某一时刻t，使得a+b＝4，请直接写出此时t的值．
【考点】一元一次方程的应用；数轴；绝对值；列代数式；代数式求值．
【专题】动点型；一次方程（组）及应用；推理能力．
【答案】（1）4t，18﹣2t，3；
（2）①9；②经过2分钟或4分钟时P、Q之间相距6分米；
（3）存在，当运动时间为1分钟或分钟时，a+b＝4．
【分析】（1）根据数轴上数之间的关系列出代数式即可；
（2）先求出P，Q所表示的数，即可求解；
（3）现根据两点间的距离表示出a，b再根据a+b＝4列出方程，解方程即可，
【解答】解：（1）∵点A与数轴得原点O重合，B落在正半轴上，AB＝18，
∴A点在数轴对应的数为0，B在数轴对应的数为18，
∴点P在数轴上对应的数为0+4t＝4t，点Q在数轴上对应的数为18﹣2t，
当点P、Q表示的数相同时，即4t＝18﹣2t，则t＝3，
故答案为：4t，18﹣2t，3；
（2）①t＝1.5时，点P在数轴上对应的数为6，点Q在数轴上对应的数为15，
则PQ的距离为9，
故答案为：9；
②PQ＝|4t﹣（18﹣2t|）＝6，即|6t﹣18|＝6，
∴6t﹣18＝6或6t﹣18＝﹣6，
解得t＝4或t＝2，
∴经过2分钟或4分钟时P、Q之间相距6分米；
（3）PC＝a＝|4t﹣6|，
QB＝b＝|（18﹣2t）﹣18|＝|﹣2t|＝2t，
a+b＝4，即|4t﹣6|+2t＝4，|4t﹣6|＝4﹣2t，
∴4t﹣6＝4﹣2t或4t﹣6＝﹣（4﹣2t），
解得t或t＝1，
∴存在，当运动时间为1分钟或分钟时，a+b＝4．
【点评】本题考查一元一次方程的应用以及数轴和绝对值的意义，关键是找到等量关系列出方程．
23．（8分）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中π取3，长度单位为米）．
（1）制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含x、y的代数式表示）
（2）某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下：
甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折；
乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃．
当x＝0.1，y＝2时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据3个形状由1个正方形和4个半圆形构成的图形面积得出艺术玻璃的面积，根据长方形的面积减去艺术玻璃的面积得出实木材料的面积；
（2）将x＝0.1，y＝2代入（1）中代数式，求得艺术玻璃和实木材料的面积，进而分别计算甲、乙的费用，比较大小，即可求解．
【解答】解：（1）需要平方米的艺术玻璃，（10xy﹣30x2）平方米的实木材料；
（2）当x＝0.1，y＝2时，30x2＝10×0.12＝0.3平方米的艺术玻璃，
10xy﹣30x2＝10×0.1×2﹣0.3＝1.7平方米的实木材料，
甲厂商：（0.3×500+1.7×800）×0.9＝1359（元），
乙厂商购买实木材料费用：（元），
∵1268＜1359，
∴该酒店在乙厂商购买屏风合算，最终总费用是1268元．
【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，有理数的混合运算的应用，掌握以上知识点是解题的关键．
24．（12分）某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器7件，B种计算器3件，需要640元；若购进A种计算器3件，B种计算器5件，需要590元．
（1）求购进A，B两种计算器每台需多少元？
（2）若该商店决定拿出1700元全部用来购进这两种计算器，钱正好用完，那么该商店共有几种进货方案？（允许只买A种或只买B种）．
（3）若销售每件A种计算器可获利润15元，每件B种计算器可获利润10元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用；有理数的混合运算；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）购进每台A种计算器需要55元，每台B种计算器需要85元；
（2）该商店共有2种进货方案，
方案1：购进20台B种计算器；
方案2：购进17台A种计算器，9台B种计算器；
（3）购进17台A种计算器，9台B种计算器获利最大，最大利润是345元．
【分析】（1）设购进每台A种计算器需要x元，每台B种计算器需要y元，根据“购进A种计算器7件，B种计算器3件，需要640元；购进A种计算器3件，B种计算器5件，需要590元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进a台A种计算器，b台B种计算器，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各进货方案；
（3）利用总利润＝每台A种计算器的销售利润×购进A种计算器的数量+每台B种计算器的销售利润×购进B种计算器的数量，可求出选择各方案可获得的总利润，比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进每台A种计算器需要x元，每台B种计算器需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进每台A种计算器需要55元，每台B种计算器需要85元；
（2）设购进a台A种计算器，b台B种计算器，
根据题意得：55a+85b＝1700，
∴b＝20a，
又∵a，b均为非负整数，
∴或，
∴该商店共有2种进货方案，
方案1：购进20台B种计算器；
方案2：购进17台A种计算器，9台B种计算器；
（3）选择方案1获得的总利润为10×20＝200（元）；
选择方案2获得的总利润为15×17+10×9＝345（元）．
∵200＜345，
∴购进17台A种计算器，9台B种计算器获利最大，最大利润是345元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案可获得的总利润．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
6．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
7．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
8．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
9．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
10．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
11．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
12．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
13．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
14．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
15．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
16．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
17．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
18．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
19．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
20．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
21．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
22．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
23．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
24．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
25．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
26．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
27．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
28．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
29．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
30．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
31．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
32．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
33．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
34．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
35．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
36．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
37．数的十进制
十进制的计数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一．底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的个位数：
100＝1（个位数﹣第一位），101＝10（十位上的数﹣第二位），102＝100（百位上的数﹣第三位），…10n（第n+1位上的数）
例如：54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100
十进制的n位数（n为正整数），a1a2a3…an，记作：10n﹣1a1+10n﹣2a2+10n﹣3a3+…+102an﹣2+10an﹣1+an 其中最高位a1≠0，即0＜a1≤9，其它是0≤a1，a2，a3…a9≤9，各位上的数字相同的正整数记法：
例如：∵999＝1000﹣1＝103﹣1，9999＝104﹣1，
∴10n﹣1，，，
解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论．
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