杭州市2025-2026学年七年级下学期数学开学模拟考试（一）（原卷+解析+考点卡片）

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杭州市2025-2026学年七年级下学期数学开学模拟考试（一）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣520的倒数是（　　）
A．﹣520 B．520 C． D．
2．（3分）最近，人工智能领域的一项重大进展是DeepSeek V3模型的推出．假设为了训练DeepSeek V3，研究团队需要处理一个包含1230000000个数据样本的数据集．用于训练DeepSeek V3的数据样本数用科学记数法表示为（　　）
A．1.23×108 B．1.23×109 C．1.23×1010 D．1.23×1011
3．（3分）下列各式中，书写格式正确的是（　　）
A． B． C． D．ab×5
4．（3分）下列计算错误的是（　　）
A．2ab﹣ba＝ab
B．（﹣2）2019+（﹣2）2020＝22019
C．﹣（a﹣b）＝b﹣a
D．48°39′+67°41′＝115°20′
5．（3分）下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是±4，用式子表示是±4；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中错误的是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（3分）一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，则这个角的度数为（　　）
A．140° B．130° C．50° D．40°
7．（3分）已知是方程组的解，则a+b的值为（　　）
A． B． C．1 D．
8．（3分）整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加两人和他们一起做8小时完成这项工作．假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+c2的结果是（　　）
A．﹣b+c2 B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c
10．（3分）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M2023N2023＝（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果单项式2x3yn与﹣6xmy的和仍是单项式，则m+n＝　 　 ．
12．（3分）若单项式3a2b2m﹣1与﹣2a2bm+1的和仍是单项式，则的值为 　 　 ．
13．（3分）已知是关于x，y的方程组的解，则关于x的方程ax+b＝1的解是 　 　 ．
14．（3分）若∠α＝22°，则它的余角是 　 　 °．
15．（3分）如图，在长为20m，宽为16m的长方形空地上，沿平行于各边分割出三个形状、大小一样的小长方形花圃，则其中一个小长方形花圃的长为 　 　 m．
16．（3分）从甲地到乙地，同样远的路程汽车要行6小时，火车要行4小时，汽车与火车的行驶的速度比是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分，每小题9分）
17．（9分）计算：
（1）20°18′+34°56′﹣12°34′；
（2）64°15′÷5+12°25′×3．
18．（9分）解方程组：
（1）；
（2）．
19．（9分）求x的值：
（1）；
（2）3（x+5）3＝﹣81．
20．（9分）已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1．
（1）求4A﹣（3A﹣2B）的值（结果用化简后含a、b的式子表示）；
（2）在（1）的条件下，若b＝1是方程4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a的解，求a的值；
（3）若A+2B的值与a的取值无关，求b的值．
21．（9分）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资，一次可分别运多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案；
（3）若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆B型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费．
22．（9分）把下列各数填在相应的数集内：1，，+3.2，0，，﹣6.5，+108，﹣4，﹣6．
（1）正整数集合{ 　 　 …}；
（2）负分数集合{ 　 　 …}；
（3）非负数集合{ 　 　 …}．
23．（9分）解方程组：
（1）；
（2）；
（3）．
24．（9分）如图O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
（1）∠BOE的余角有 　 　 （填图中已有的角）；
（2）求∠BOD的度数；
（3）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
杭州市2025-2026学年七年级下学期数学开学模拟考试（一）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D C C A A A C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣520的倒数是（　　）
A．﹣520 B．520 C． D．
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣520的倒数是．
故选：D．
【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
2．（3分）最近，人工智能领域的一项重大进展是DeepSeek V3模型的推出．假设为了训练DeepSeek V3，研究团队需要处理一个包含1230000000个数据样本的数据集．用于训练DeepSeek V3的数据样本数用科学记数法表示为（　　）
A．1.23×108 B．1.23×109 C．1.23×1010 D．1.23×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数；据此即可求解．
【解答】解：用科学记数法表示为1.23×109；
故选：B．
【点评】本题主要考查科学记数法．熟练掌握该知识点是关键．
3．（3分）下列各式中，书写格式正确的是（　　）
A． B． C． D．ab×5
【考点】代数式．
【专题】实数；符号意识．
【答案】B
【分析】按照正确书写代数式的规则，对各个选项的代数式进行判断即可．
【解答】解：A．∵写代数式时，数字与数字之间的乘号不能省略或用 表示，∴此选项书写格式错误，故不符合题意；
B．∵的书写格式正确，故此选项符合题意；
C．∵写代数式时，带分数要写成假分数，∴此选项的书写格式错误，故不符合题意；
D．∵写代数式时，数字与字母相乘要数字在前，字母在后，∴此选项的书写格式错误，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握正确书写代数式的注意事项．
4．（3分）下列计算错误的是（　　）
A．2ab﹣ba＝ab
B．（﹣2）2019+（﹣2）2020＝22019
C．﹣（a﹣b）＝b﹣a
D．48°39′+67°41′＝115°20′
【考点】整式的加减；度分秒的换算；有理数的混合运算．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据合并同类项的法则、有理数的混合运算、去括号法则和度分秒的换算分别计算，逐项判断即可．
【解答】解：A．2ab﹣ba＝ab，故此选项不符合题意；
B．（﹣2）2019+（﹣2）2020＝22019，故此选项不符合题意；
C．﹣（a﹣b）＝b﹣a，故此选项不符合题意；
D．48°39′+67°41′＝116°20′，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算、整式的加减、去括号法则、度分秒的换算，熟练掌握法则和性质是解题的关键．
5．（3分）下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是±4，用式子表示是±4；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中错误的是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】实数与数轴；相反数；绝对值；平方根；立方根；无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据实数与数轴，无理数，绝对值，平方根，立方根，相反数等知识逐项判断即可．
【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故①不正确；
②无理数是无限不循环小数，故②错误；
③负数也有立方根，故③错误；
④16的平方根是±4，用式子表示是，故④错误；
⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，故⑤正确；
综上分析可知，错误的有：①②③④共4个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数、无理数、绝对值、平方根及立方根，熟练掌握它们的定义等知识，是解答此题的关键．
6．（3分）一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，则这个角的度数为（　　）
A．140° B．130° C．50° D．40°
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，互为补角的两个角的和等于180°，列出方程，然后解方程即可．
【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，补角为180°﹣α，
由题意可列方程为：180°﹣α＝3（90°﹣α）+10°，
解得α＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了互为余角与补角的性质，表示出这个角的余角与补角然后列出方程是解题的关键．
7．（3分）已知是方程组的解，则a+b的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】把代入方程组中得到关于a、b的方程组，求出a、b的值，即可计算a+b的值．
【解答】解：把代入方程组中，得
，
解得，
所以a+b＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解的定义是解题的关键．
8．（3分）整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加两人和他们一起做8小时完成这项工作．假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】A
【分析】由一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的 ，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人4小时的工作+增加2人后8天的工作＝全部工作．设全部工作是1，这部分共有x人，就可以列出方程．
【解答】解：设应先安排x人工作，
根据题意得：一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，工作量为，再增加2人和他们一起做8小时的工作量为，故可列式，
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，此题是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的 ，这一个关系是解题的关键．
9．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+c2的结果是（　　）
A．﹣b+c2 B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据数轴，确定a、b、c的正负，确定b﹣a的正负，然后再化简．
【解答】解：由数轴知：c＜0，b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，
∴原式＝﹣a﹣（b﹣a）+c2
＝﹣a﹣b+a+c2
＝﹣b+c2．
故选：A．
【点评】本题考查了数轴的相关知识，绝对值、二次根式的化简，掌握两数相加，取决于绝对值较大的加数的符号，大数减小数为正，小数减大数为负是关键．
10．（3分）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M2023N2023＝（　　）
A． B．
C． D．
【考点】两点间的距离；有理数的混合运算；规律型：图形的变化类．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据MN＝10，M1、N1分别为AM、AN的中点，求出M1N1的长度，再由M1N1的长度求出M2N2的长度，找到MnNn的规律即可求出M1N1+M2N2+…+M2023N2023的值．
【解答】解：∵MN＝10，M1、N1分别为AM、AN的中点，
∴，
∵M2、N2分别为AM1、AN1的中点，
∴，
∵M3、N3分别为AM2、AN2的中点，
∴，
…，
由此可得：，
∴10，
故选：C．
【点评】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果单项式2x3yn与﹣6xmy的和仍是单项式，则m+n＝　4　 ．
【考点】合并同类项．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据同类项的定义直接得出m、n的值．
【解答】解：由同类项的定义可知m＝3，n＝1，
∴m+n＝3+1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
12．（3分）若单项式3a2b2m﹣1与﹣2a2bm+1的和仍是单项式，则的值为 　　 ．
【考点】算术平方根；合并同类项．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据题意求出m的值，再代入进行计算即可．
【解答】解：∵单项式3a2b2m﹣1与﹣2a2bm+1的和仍是单项式，
∴单项式3a2b2m﹣1与﹣2a2bm+1是同类项，
∴2m﹣1＝m+1，
∴m＝2，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查算术平方根与合并同类项，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
13．（3分）已知是关于x，y的方程组的解，则关于x的方程ax+b＝1的解是 x＝3　 ．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝3．
【分析】根据方程组的解的定义把是关于x，y的方程组中即可求出a、b的值，然后代入关于x的方程ax+b＝1中求解即可．
【解答】解：∵是关于x，y的方程组的解，
∴，
解得，
∴关于x的方程ax+b＝1为﹣2x+7＝1，
解得x＝3，
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解一元一次方程，正确计算是解题的关键．
14．（3分）若∠α＝22°，则它的余角是 　68　 °．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】68．
【分析】根据互为余角的意义用90°减去∠α的度数，求出的结果就是它的余角的度数．
【解答】解：∵∠α＝22°，
∴它的余角＝90°﹣22°＝68°．
故答案为：68．
【点评】本题主要考查余角的定义，熟练掌握求一个锐角的余角的方法是解决问题的关键．
15．（3分）如图，在长为20m，宽为16m的长方形空地上，沿平行于各边分割出三个形状、大小一样的小长方形花圃，则其中一个小长方形花圃的长为 　8　 m．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】8．
【分析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽＝10m，小矩形的2个宽+一个长＝8m，设出长和宽，列出方程组即可得答案．
【解答】解：设小长方形的长为x米，宽为y米，
依题意有：，
解此方程组得：，
故，小长方形的长为8米，宽为4米．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
16．（3分）从甲地到乙地，同样远的路程汽车要行6小时，火车要行4小时，汽车与火车的行驶的速度比是 　　 ．
【考点】比的应用；列代数式．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】设从甲地到乙地是路程为s，则汽车的行驶速度为，火车的行驶速度为，作比后即可得出结论．
【解答】解：设从甲地到乙地是路程为s，则汽车的行驶速度为，火车的行驶速度为，
∴汽车与火车的行驶的速度比是：．
故答案为：．
【点评】本题考查了比的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含s的代数式表示出二者的速度是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分，每小题9分）
17．（9分）计算：
（1）20°18′+34°56′﹣12°34′；
（2）64°15′÷5+12°25′×3．
【考点】度分秒的换算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）42°40′；
（2）50°6′．
【分析】分别根据度分秒间的换算单位是60进行计算即可．
【解答】解：（1）20°18′+34°56′﹣12°34′
＝55°14′﹣12°34′
＝42°40′；
（2）64°15′÷5+12°25′×3
＝12°51′+37°15′
＝50°6′．
【点评】本题考查了度分秒的换算，度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
18．（9分）解方程组：
（1）；
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1），
将①代入②得：4（y﹣5）+3y＝29，即4y﹣20+3y＝29，
解得：y＝7，
将y＝7代入①得：x＝7﹣5＝2，
∴；
（2），
①﹣②×3得：﹣8y＝﹣16，
解得：y＝2，
将y＝2代入①得：3x+2＝5，
解得：x＝1，
∴．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解法，解答本题的关键要明确：方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
19．（9分）求x的值：
（1）；
（2）3（x+5）3＝﹣81．
【考点】立方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）x＝4或x＝﹣4；
（2）x＝﹣8．
【分析】（1）将原方程整理后利用平方根的定义解方程即可；
（2）将原方程整理后利用立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）原方程整理得：x2＝16，
则x＝4或x＝﹣4；
（2）原方程整理得：（x+5）3＝﹣27，
则x+5＝﹣3，
解得：x＝﹣8．
【点评】本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
20．（9分）已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1．
（1）求4A﹣（3A﹣2B）的值（结果用化简后含a、b的式子表示）；
（2）在（1）的条件下，若b＝1是方程4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a的解，求a的值；
（3）若A+2B的值与a的取值无关，求b的值．
【考点】整式的加减—化简求值；二元一次方程的解；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）5ab﹣2a﹣3；（2）；（3）．
【分析】（1）先化简4A﹣（3A﹣2B）＝A+2B，再把A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，代入计算即可；
（2）把（1）的计算结果代入4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a得5ab﹣2a﹣3＝b﹣2a，再把b＝1代入计算即可；
（3）由（1）得A+2B＝5ab﹣2a﹣3＝（5b﹣2）a﹣3，再根据A+2B的值与a的取值无关，得5b﹣2＝0，求解即可．
【解答】解：（1）4A﹣（3A﹣2B）
＝4A﹣3A+2B
＝A+2B，
∵A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，
∴原式＝（2a2+3ab﹣2a﹣1）+2（﹣a2+ab﹣1）
＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2a2+2ab﹣2
＝5ab﹣2a﹣3；
（2）∵4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a
∴5ab﹣2a﹣3＝b﹣2a
∴5ab﹣b﹣3＝0
把b＝1代入5ab﹣b﹣3＝0，得
5a﹣1﹣3＝0
∴；
（3）由（1）得A+2B＝5ab﹣2a﹣3＝（5b﹣2）a﹣3，
∵A+2B的值与a的取值无关，
∴5b﹣2＝0
∴．
【点评】本题考查了整式的加减混合运算，方程的解，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
21．（9分）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资，一次可分别运多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案；
（3）若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆B型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆B型车装满资物一次可运3吨；
（2）该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；
方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；
方案3：租用7辆A型车，1辆B型车；
（3）最省钱的租车方案为：租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为990元．
【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆B型车装满资物一次可运3吨；
（2）根据题意得：4a+3b＝31，
∴a．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；
方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；
方案3：租用7辆A型车，1辆B型车；
（3）选择方案1所需租金为120×1+150×9＝1470（元）；
选择方案2所需租金为120×4+150×5＝1230（元）；
选择方案3所需租金为120×7+150×1＝990（元）．
∵1470＞1230＞990，
∴最省钱的租车方案为：租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为990元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
22．（9分）把下列各数填在相应的数集内：1，，+3.2，0，，﹣6.5，+108，﹣4，﹣6．
（1）正整数集合{ 　1，+108　 …}；
（2）负分数集合{ 　，﹣6.5　 …}；
（3）非负数集合{ 　1，+3.2，0，，+108　 …}．
【考点】有理数．
【专题】实数；数感．
【答案】（1）1，+108；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据大于0的整数是正整数，可得正整数集合；
（2）根据小于0的分数是负分数，可得负分数集合；
（3）根据不小于0的数，可得非负数集合．
【解答】解：（1）正整数集合{1，+108， }，
故答案为：1，+108；
（2）负分数集合，
故答案为：；
（3）非负数集合，
故答案为：．
【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
23．（9分）解方程组：
（1）；
（2）；
（3）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可．；
（2）利用加减消元法解方程组即可；
（3）利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
将①代入②得：8y+2﹣5y＝8，
解得：y＝2，
将y＝2代入①得：x＝9，
故原方程组的解为；
（2），
①﹣②得：4y＝4，
解得：y＝1，
将y＝1代入①得：2x+1＝7，
解得：x＝3，
故原方程组的解为；
（3），
①×2+②得：5x＝10，
解得：x＝2，
将x＝2代入①得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
故原方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
24．（9分）如图O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
（1）∠BOE的余角有 　∠AOD，∠COD （填图中已有的角）；
（2）求∠BOD的度数；
（3）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∠AOD，∠COD；
（2）∠BOD＝155°；
（3）OE平分∠BOC，理由见解析部分．
【分析】（1）由已知条件，可求得图中各角的度数，从而得到∠BOE的余角；
（2）由（1）中计算的各角的度数，从而得到∠BOD的度数；
（3）由（1）计算的各角的度数，从而得到OE平分∠BOC．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝25°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝65°，
∴∠BOE＝180°﹣∠DOE﹣∠AOD＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
∴∠BOE+∠AOD＝90°，∠BOE+∠COD＝90°，
∴∠BOE的余角有∠AOD，∠COD，
故答案为：∠AOD，∠COD；
（2）由（1）知∠BOE＝65°，
∴∠BOD＝∠BOE+∠DOE＝65°+90°＝155°；
（3）OE平分∠BOC，理由如下：
由（1）知∠BOE＝65°，∠COE＝65°，
∴OE平分∠BOC．
【点评】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，角的计算，正确认识图形，熟练进行角度的计算是解题的关键．
考点卡片
1．有理数
我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数．
我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如，，，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数．
进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式．
可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．
0.1，﹣0.5，0.，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数．
2．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
5．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
6．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
7．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
8．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
9．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
10．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
11．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
12．代数式
代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．
②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
13．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
14．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
15．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
16．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
17．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
18．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
19．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
20．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
21．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
22．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
23．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
24．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
25．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
26．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
27．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
28．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
29．比的应用
1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或者几个数量是多少？2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或者几个数量是多少？