专题01 相交线与平行线（一）（含答案）2025-2026学年人教版数学七年级下册

专题01 相交线与平行线（一）
【题型1】对顶角、邻补角的概念
【题型2】应用对顶角、邻补角的性质进行计算
【题型3】垂线、垂线段
【题型4】从图形中分离出“三线八角”
【题型5】相交线中的规律探究
【知识点1】对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2
邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180°
【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
特别提醒：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.
特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
【知识点3】同位角、内错角与同旁内角
角的名称 位置特征 图形结构特征
同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转）
内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转）
同旁内角 既位于截线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转）
【题型1】对顶角、邻补角的概念
1．在下面的图中，∠1和∠2是对顶角的是(　　)
　
A B C D
2．下列说法中错误的是( )
A．互为邻补角的两个角一定是互补的角
B．互补的两个角不一定是邻补角
C．相邻的两个角一定是邻补角
D．两条直线相交形成的四个角中，一个角有两个邻补角
3．(1)如图，∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补)，具有这种位置关系的两个角，互为_______；
(2)如图，∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为_______．
4．如图所示，直线AB和CD相交于点O，OE是一条射线．
(1)写出∠AOC的邻补角：_____________________；
(2)写出∠COE的邻补角：_____________________；
(3)写出∠BOC的邻补角：_____________________；
(4)写出∠BOD的对顶角：_____________________．
【题型2】应用对顶角、邻补角的性质进行计算
5．张小泉剪刀是我国剪刀的一块金字招牌，所铸剪刀，选用闻名的“龙泉”钢为原料，镶钢均匀，磨工精细，刀口锋利，开闭自如，因而名噪一时．如图①是张小泉剪刀，把它抽象为图②所示，如果∠1＋∠2＝80°，那么∠3的度数是(　　)
A．140°　　B．120°　　　C．80°　　D．40°
6．下列说法正确的是(　　)
A．如果∠1＝∠2，则∠1和∠2是对顶角
B．如果∠1和∠2有公共的顶点，则∠1和∠2是对顶角
C．对顶角都是锐角
D．锐角的对顶角也是锐角
7．已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝_______°.
8．著名的比萨斜塔建成于12世纪，小美同学在网上查阅资料得知，斜塔与地面所成的较小的角为85°，那么，它与地面所成的较大的角的度数是_______．
9．如图，已知AB，CD，EF相交于点O，∠1＝∠2＝35°，则∠3的度数是_______．
10．如图，两条直线a，b相交．
(1)如果∠1＝50°，求∠2的度数；
(2)如果∠2＝3∠1，求∠3，∠4的度数；
(3)若∠2比∠1大60°，求∠4的度数．
【题型3】垂线、垂线段
11．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为(　　)
A．29° 　B．32°　　C．45°　　D．58°
12．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是(　　)
A B C D
13．下列说法正确的是(　　)
A．垂线段就是与已知直线相交的线段
B．垂线段就是垂直于已知直线的线段
C．垂线段就是一条竖起来的线段
D．过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段
14．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点B到AD的距离是下列哪条线段的长度(　　)
A．AB　 B．BD　　C．AD　　D．BC
15．两条直线相交所构成的四个角中：
①有一个角是直角；②有一对对顶角相等；
③有一对邻补角相等；④有三个角都相等．
以上能判定这两条直线垂直的条件有(　　)
A．1种　　B．2种 C．3种　　D．4种
16．已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OA，OB为始边，在∠AOB的外部作射线OC，OD，使∠AOC＝∠AOB，∠BOD＝2∠AOB，则OC与OD的位置关系是_______．
17．在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数_______．
18．如图，直线AB和CD交于点O，射线OE，OF在∠AOD的内部．
(1)若∠BOD＝50°，∠COE＝115°，求∠AOE的度数；
(2)若OE平分∠AOD，OF⊥CD，∠BOD＝α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)．
【题型4】从图形中分离出“三线八角”
19．风筝是中国古代劳动人民发明于东周春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与∠1构成同位角的是(　　)
A．∠2　　 B．∠3　 　C．∠4　 　D．∠5
20．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，下列说法正确的是(　　)
A．∠3与∠4是同旁内角 B．∠2与∠5是同位角
C．∠6与∠1是内错角 D．∠2与∠6是同旁内角
21．根据图形填空：
(1)若直线ED，BC被直线AB所截，则∠1和_______是同位角；
(2)若直线ED，BC被直线AF所截，则∠3和_______是内错角；
(3)∠1和∠5是直线AB，AF被直线_______所截构成的_______角．
22．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a＋b＋c的值是_______．
23．两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
(1)画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；
(2)若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．
24．如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若∠COM＝120°，∠EMB＝∠COF.
(1)求∠FOG的度数；
(2)写出与∠FOG互为同位角的角；
(3)求∠AMO的度数．
【题型5】相交线中的规律探究
25．如图：
(1)如图①，两条直线相交，有______个交点；
如图②，三条直线相交，最多有______个交点；
如图③，四条直线相交，最多有______个交点；
(2)归纳猜想：n条直线相交，最多有________个交点.
26．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想.
(1)如图①，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了________对同旁内角.
(2)如图②，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有________对同旁内角.
(3)平面内四条直线两两相交，最多可以形成________对同旁内角.
(4)平面内n条直线两两相交，最多可以形成_____________对同旁内角.
27．在同一平面内有n(n≥2)条直线，设它们的交点个数为m.
例如：当n＝2时，m＝0或1(如图所示).
(1)当n＝3时，m可以取哪些不同的值？请画图说明.
(2)当n＝4时，m的最大值为多少？请画图说明.
(3)m的最大值为________．(用含n的式子表示)
(4)当m＝6时，n的最大值为多少？请画图说明.
28．(1)如图①，两条水平的直线被一条直线所截，同位角有_______对，内错角有_______对，同旁内角有_______对；
(2)如图②，三条水平的直线被一条直线所截，同位角有_______对，内错角有_______对，同旁内角有_______对；
(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平的直线被一条直线所截，同位角有多少对？内错角有多少对？同旁内角有多少对？(用含n的式子表示)
29．为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示.
列表如下：
直线条数 最多交点个数 把平面最多分成的部分数
1 0 2
2 1 4
3 3 7
… … …
(1)当直线条数为5时，最多有____个交点，可写成和的形式为____________；把平面最多分成____部分，可写成和的形式为_________________.
(2)当直线条数为10时，最多有____个交点，把平面最多分成____部分.
(3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？
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参考答案
【题型1】对顶角、邻补角的概念
1．在下面的图中，∠1和∠2是对顶角的是(　　)
　
A B C D
【答案】C
2．下列说法中错误的是( )
A．互为邻补角的两个角一定是互补的角
B．互补的两个角不一定是邻补角
C．相邻的两个角一定是邻补角
D．两条直线相交形成的四个角中，一个角有两个邻补角
【答案】C
3．(1)如图，∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补)，具有这种位置关系的两个角，互为_______；
(2)如图，∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为_______．
【答案】邻补角 对顶角
4．如图所示，直线AB和CD相交于点O，OE是一条射线．
(1)写出∠AOC的邻补角：_____________________；
(2)写出∠COE的邻补角：_____________________；
(3)写出∠BOC的邻补角：_____________________；
(4)写出∠BOD的对顶角：_____________________．
【答案】∠AOD，∠BOC ∠DOE ∠BOD，∠COA ∠AOC
【题型2】应用对顶角、邻补角的性质进行计算
5．张小泉剪刀是我国剪刀的一块金字招牌，所铸剪刀，选用闻名的“龙泉”钢为原料，镶钢均匀，磨工精细，刀口锋利，开闭自如，因而名噪一时．如图①是张小泉剪刀，把它抽象为图②所示，如果∠1＋∠2＝80°，那么∠3的度数是(　　)
A．140°　　B．120°　　　C．80°　　D．40°
【答案】A
6．下列说法正确的是(　　)
A．如果∠1＝∠2，则∠1和∠2是对顶角
B．如果∠1和∠2有公共的顶点，则∠1和∠2是对顶角
C．对顶角都是锐角
D．锐角的对顶角也是锐角
【答案】D
7．已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝_______°.
【答案】35
8．著名的比萨斜塔建成于12世纪，小美同学在网上查阅资料得知，斜塔与地面所成的较小的角为85°，那么，它与地面所成的较大的角的度数是_______．
【答案】95°
9．如图，已知AB，CD，EF相交于点O，∠1＝∠2＝35°，则∠3的度数是_______．
【答案】110°
10．如图，两条直线a，b相交．
(1)如果∠1＝50°，求∠2的度数；
(2)如果∠2＝3∠1，求∠3，∠4的度数；
(3)若∠2比∠1大60°，求∠4的度数．
解：(1)因为∠1与∠2互为邻补角，∠1＝50°，
所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.
(2)因为∠1与∠2互为邻补角，
所以∠2＋∠1＝180°.
因为∠2＝3∠1，
所以3∠1＋∠1＝180°，解得∠1＝45°.
所以∠3＝∠1＝45°，∠2＝3×45°＝135°.
所以∠4＝∠2＝135°.
(3)由题意，得∠2＝∠1＋60°.
又因为∠1＋∠2＝180°，
所以∠1＋∠1＋60°＝180°.解得∠1＝60°.
因为∠1＋∠4＝180°，所以∠4＝120°.
【题型3】垂线、垂线段
11．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为(　　)
A．29° 　B．32°　　C．45°　　D．58°
【答案】B
12．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是(　　)
A B C D
【答案】D
13．下列说法正确的是(　　)
A．垂线段就是与已知直线相交的线段
B．垂线段就是垂直于已知直线的线段
C．垂线段就是一条竖起来的线段
D．过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段
【答案】D
14．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点B到AD的距离是下列哪条线段的长度(　　)
A．AB　 B．BD　　C．AD　　D．BC
【答案】B
15．两条直线相交所构成的四个角中：
①有一个角是直角；②有一对对顶角相等；
③有一对邻补角相等；④有三个角都相等．
以上能判定这两条直线垂直的条件有(　　)
A．1种　　B．2种 C．3种　　D．4种
【答案】C
16．已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OA，OB为始边，在∠AOB的外部作射线OC，OD，使∠AOC＝∠AOB，∠BOD＝2∠AOB，则OC与OD的位置关系是_______．
【答案】互相垂直或重合
17．在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数_______．
【答案】60°或120°
18．如图，直线AB和CD交于点O，射线OE，OF在∠AOD的内部．
(1)若∠BOD＝50°，∠COE＝115°，求∠AOE的度数；
(2)若OE平分∠AOD，OF⊥CD，∠BOD＝α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)．
解：(1)因为∠BOD＝50°，
所以∠AOC＝∠BOD＝50°.
因为∠COE＝115°，
所以∠AOE＝∠COE－∠AOC＝65°.
(2)因为∠BOD＝α，∠AOD＋∠BOD＝180°，
所以∠AOC＝∠BOD＝α，∠AOD＝180°－α.
因为OE平分∠AOD，OF⊥CD，
所以∠AOE＝∠AOD＝90°－α，∠AOF＝∠COF－∠AOC＝90°－α.所以∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝90°－α－(90°－α)＝α.
【题型4】从图形中分离出“三线八角”
19．风筝是中国古代劳动人民发明于东周春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与∠1构成同位角的是(　　)
A．∠2　　 B．∠3　 　C．∠4　 　D．∠5
【答案】A
20．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，下列说法正确的是(　　)
A．∠3与∠4是同旁内角 B．∠2与∠5是同位角
C．∠6与∠1是内错角 D．∠2与∠6是同旁内角
【答案】D
21．根据图形填空：
(1)若直线ED，BC被直线AB所截，则∠1和_______是同位角；
(2)若直线ED，BC被直线AF所截，则∠3和_______是内错角；
(3)∠1和∠5是直线AB，AF被直线_______所截构成的_______角．
【答案】∠2 ∠4 DE 同旁内
22．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a＋b＋c的值是_______．
【答案】14
23．两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
(1)画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；
(2)若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．
解：(1)如图所示．(画法不唯一)
(2)因为∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，
所以设∠3＝x，则∠2＝2x，
∠1＝4x.
因为∠1＋∠3＝180°，
所以x＋4x＝180°，解得x＝36°.
故∠3＝36°，∠2＝72°，∠1＝144°.
24．如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若∠COM＝120°，∠EMB＝∠COF.
(1)求∠FOG的度数；
(2)写出与∠FOG互为同位角的角；
(3)求∠AMO的度数．
解：(1)因为∠COM＝120°，
所以∠DOF＝120°.
因为OG平分∠DOF，
所以∠FOG＝60°.
(2)与∠FOG互为同位角的角是∠BMF.
(3)因为∠COM＝120°，所以∠COF＝60°.
因为∠EMB＝∠COF，所以∠EMB＝30°.
所以∠AMO＝30°.
【题型5】相交线中的规律探究
25．如图：
(1)如图①，两条直线相交，有______个交点；
如图②，三条直线相交，最多有______个交点；
如图③，四条直线相交，最多有______个交点；
(2)归纳猜想：n条直线相交，最多有________个交点.
【答案】1 3 6
26．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想.
(1)如图①，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了________对同旁内角.
【答案】2
(2)如图②，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有________对同旁内角.
【答案】6
(3)平面内四条直线两两相交，最多可以形成________对同旁内角.
【答案】24
(4)平面内n条直线两两相交，最多可以形成_____________对同旁内角.
【答案】n(n－1)(n－2)
27．在同一平面内有n(n≥2)条直线，设它们的交点个数为m.
例如：当n＝2时，m＝0或1(如图所示).
(1)当n＝3时，m可以取哪些不同的值？请画图说明.
解：当n＝3时，m＝0，1，2或3.如图①所示．
(2)当n＝4时，m的最大值为多少？请画图说明.
解：当n＝4时，m的最大值为6.如图②所示．
(3)m的最大值为________．(用含n的式子表示)
【答案】n(n－1)
【解析】三条直线相交，交点最多是1＋2＝3(个)，
四条直线相交，交点最多是1＋2＋3＝6(个)，
五条直线相交，交点最多是1＋2＋3＋4＝10(个)，
六条直线相交，交点最多是1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，…，
依次类推，n条直线相交，交点最多是1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＝n(n－1)(个)．
(4)当m＝6时，n的最大值为多少？请画图说明.
解：当m＝6时，n的最大值为7.如图③所示．
28．(1)如图①，两条水平的直线被一条直线所截，同位角有_______对，内错角有_______对，同旁内角有_______对；
(2)如图②，三条水平的直线被一条直线所截，同位角有_______对，内错角有_______对，同旁内角有_______对；
(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平的直线被一条直线所截，同位角有多少对？内错角有多少对？同旁内角有多少对？(用含n的式子表示)
解：(1)4 2 2
(2)12 6 6
(3)列表如下：
水平直线的条数 同位角对数 内错角对数 同旁内角对数
2 4＝2×2×1 2＝2×1 2＝2×1
3 12＝2×3×2 6＝3×2 6＝3×2
… … … …
n 2n(n－1) n(n－1) n(n－1)
因此，n条水平的直线被一条直线所截，同位角有2n(n－1)对，内错角有n(n－1)对，同旁内角有n(n－1)对．
29．为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示.
列表如下：
直线条数 最多交点个数 把平面最多分成的部分数
1 0 2
2 1 4
3 3 7
… … …
(1)当直线条数为5时，最多有____个交点，可写成和的形式为____________；把平面最多分成____部分，可写成和的形式为_________________.
【答案】10 1＋2＋3＋4 16 1＋2＋3＋4+5
(2)当直线条数为10时，最多有____个交点，把平面最多分成____部分.
【答案】45 56
(3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？
解：当直线条数为n时，最多有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(个)交点，把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝部分．
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