19.1 二次根式及其性质
第1课时 二次根式的概念
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
一、复习导入
课件展示问题，并请同学们回答下列问题的答案.
问题1 什么叫做平方根
答：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根
答：如果一个正数x的平方等于a,即x2 = a，那么x称为a的算术平方根.用表示.0的算数平方根为0.
问题3 什么数有算术平方根
答：我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
二、新知探究
（一）二次根式的定义
思考：(多媒体演示)用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为
130 m2,则它的宽为_____m.
(2)一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为__________.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为______.
[交流讨论]上面的问题结果分别是：，，.学生根据这些结果的特征回答下列问题：
（1）这些式子表示的意义是？
分别表示65，a2+1，的算术平方根．
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2；含有“”
②被开方数为非负数.
[归纳总结]一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式.
[例题讲解]
【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
练一练：
下列各式中一定是二次根式的是（ B ）
（二）二次根式有意义的条件
[提出问题]二次根式有意义和无意义的条件是什么？
[板书]
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，即：有意义 a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，即：无意义 a＜0.
[例题讲解]
【例2】当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义
解：由x-2≥0，得x≥2.
当x≥2时，在实数范围内有意义.
[交流讨论]课件展示下列问题，学生思考后回答：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
[结论]要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.
[归纳总结]
练一练：
1.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
三、课堂小结
四、课堂训练
1.下列式子一定是二次根式的是（ C ）
2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____x ≥1___;
(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__x ≥0且x≠2_.
3.已知x，y为实数，且y= +4，求的算术平方根.
五、布置作业
完成对应练习。
1．本节课的教学过程中，通过创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者地位．
2．注重知识之间的衔接，在温故知新的过程中引出新知，讲练结合，巩固学生对新知的理解．(共17张PPT)
19.1 二次根式及其性质
第1课时 二次根式的概念
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根
如果一个正数x的平方等于a,即x2 = a，那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.0的算数平方根为0.
问题3 什么数有算术平方根
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
复习导入
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为
130 m2,则它的宽为________m.
(2)一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为__________.
新知探究
一、二次根式的定义
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)
满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为
______.
新知探究
上面的问题结果分别是： ， ， .
（1）这些式子表示的意义是？
分别表示65，a2+1， 的算术平方根．
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2；
含有“ ”.
②被开方数为非负数.
新知探究
二次根式的定义
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式.
a叫作被开方数.
二次根式
的两个必备特征
1.含有二次根号“ ”（根指数为 2）；
2.被开方数必须是非负数.
归纳总结
新知探究
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
新知探究
练一练：
下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A. B.
C. D.
B
新知探究
式子 只有在满足条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 为二次根式的前提条件.
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，即： 有意义 a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，即： 无意义 a＜0.
二、二次根式有意义的条件
新知探究
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
新知探究
练一练：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） （2） （3）
x可以为任意实数
x≥0
x可以为任意实数
（4） （5） （6）
x＞0
x＞0
x≤1且x≠0
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.
新知探究
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的
条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.
归纳总结
新知探究
1.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；（2） ；（3） .
2.当a=5时， 的值是______.
a≥1
a≤5
a≥
练一练：
新知探究
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且 ≥0
课堂小结
1.下列式子一定是二次根式的是( )
A. B.
C. D.
C
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是___________.
x ≥1
x ≥0且x≠2
课堂训练
3.已知x，y为实数，且y= +4，求 的算术平方根.
解：因为x，y为实数，y= +4，
所以
x 9≥0，
9 x≥0.
所以 = =6，所以 的算术平方根为 .
所以x=9，y=4.
课堂训练
