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19.2 二次根式的乘法与除法
第1课时 二次根式的乘法
学习目标
1.理解和掌握二次根式的乘法法则. （重点）
2.理解和掌握积的算术平方根的性质，体会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系.
3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简．（难点）
情境导入
学校教学楼后有一矩形空地（长宽如图所示），现在学校根据需要，想把它改建为草坪.若全部铺满，预算一下：需购买多少平方米的草皮呢？
新课导入
(1) ___×___=____;
=_________;
探究 计算下列各式:
(2) ___×___=____;
(3) ___×___=____;
=_________;
=_________.
2
3
6
4
5
20
7
6
42
观察两者有什么关系？
新知探究
一、二次根式的乘法法则
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
猜测：
你能证明这个猜测吗？
新知探究
求证：
证明：根据积的乘方法则，有
∴
就是ab的算术平方根.
又∵ 表示ab的算术平方根，
∴ .
证一证
新知探究
一般地，二次根式的乘法法则是
二次根式的乘法法则:
二次根式相乘，________不变，________相乘.
根指数
被开方数
归纳总结
注意：a,b都必须是非负数.
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．
新知探究
例1 计算:
解:
新知探究
（1） ；
（2） ；
（3） .
想一想：
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则.
解：
只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即：
新知探究
想一想：
可类比单项式乘单项式的法则计算.
解：
当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即：
新知探究
例2 计算：
（1） ；（2） ； （3） ．
解：（1）
（2）
（3）
新知探究
1.计算 的结果是 ( )
A. B.4 C. D.2
C
3.计算： ____.
30
的计算结果估计在( )
A．1至1.5之间 B．1.5至2之间
C．2至2.5之间 D．2.5至3之间
B
练一练：
新知探究
4.一个长方形的长和宽分别是 和 . 求这个长方形的面积.
解：长方形的面积 S
新知探究
___×___=___;
=_________;
探究 计算下列各式:
___×___=___;
___×___=___.
=_________;
=_________.
2
3
6
4
5
20
7
6
42
观察两者有什么关系？
(1)
(2)
(3)
新知探究
二、积的算术平方根的应用
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
新知探究
一般地，
由等式的对称性，反过来，就得到
这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”.
语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
新知探究
例2 化简：
（1） ；（2） ．
（2）
(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.
新知探究
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式
a2 = 把这个因式(或因数)开出来，将二次根
式化简 .
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
式(或因数)的算术平方根的积；
化简二次根式的步骤：
归纳总结
新知探究
计算：
解：
易错提醒： 中，a,b必须是非负数.
练一练：
新知探究
二次根式的乘法
法则
拓展法则
课堂小结
1.以下运算错误的是( )
A. B.
C． D.
B
A
课堂训练
3.若 ，则 （ ）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
A
A
【变式】将 根号外的因式移到根号内为( )
A. B．－ C．－ D.
课堂训练
B
5. 计算：
（1） ；
（2） ；
解:（1）原式 =
=
=
（2）原式 =
=
课堂训练
（3） ；
（4） .
×
×
（3）原式 =
× =
（4）原式 =
= 3
课堂训练19.2 二次根式的乘法与除法
第1课时 二次根式的乘法
1.理解和掌握二次根式的乘法法则.（重点）
2.理解和掌握积的算术平方根的性质，体会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系.
3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简．（难点）
一、新课导入
[课件展示]学校教学楼后有一矩形空地（长宽如图所示），现在学校根据需要，想把它改建为草坪.若全部铺满，预算一下：需购买多少平方米的草皮呢？
二、新知探究
（一）二次根式的乘法法则
[课件展示]探究 计算下列各式:
[分析]观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
猜测：
证一证：
求证：
证明：根据积的乘方法则，有
∴就是ab的算术平方根.
又∵表示ab的算术平方根，
[归纳总结]二次根式的乘法法则:
[例题讲解]【例1】计算：
想一想：
[分析]可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则.
[总结]只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即：
想一想：
[分析]可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则.
[总结]当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即：
[例题讲解]【例1】计算：
练一练：
1.计算的结果是 ( C )
2.的计算结果估计在( B )
A．1至1.5之间 B．1.5至2之间
C．2至2.5之间 D．2.5至3之间
3.计算：= 30 .
4.一个长方形的长和宽分别是和2，求这个长方形的面积.
（二）积的算术平方根的应用
[课件展示]探究 计算下列各式:
[分析]观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
[归纳总结]一般地，.由等式的对称性，反过来，就得到
语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
[例题讲解]【例2】化简：
[归纳总结]化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数)；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式a2=|a|把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.
练一练：
计算：
三、课堂小结
四、课堂训练
1.以下运算错误的是( B )
2．化简二次根式的值为( A )
A．4 B．－4
C．±4 D．2
3.若，则（ A ）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
4．当a＞0，b＞0时，化简的结果为( A )
A．b B．b
C．－b D．－b
【变式】将根号外的因式移到根号内为( B )
5.计算：
五、布置作业
完成《一线课堂》对应练习。
1．创设情境，给出实例．学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．
2．在二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学生在交流中体会成功.
