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20.1 勾股定理及其应用
第2课时 勾股定理的应用
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点）
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.（难点）
学习目标
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数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看下面的视频，你们能帮他们将鱼缸装进电梯吗？
新课导入
实际问题
数学问题
转化
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
新知探究
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
2.这个门框能通过的最大长度是多少？
3.怎样判定这块木板能否通过门框？
木板厚度可忽略.
已知 AB，BC，求 AC. 也就是已知两直角边，求斜边.
新知探究
图20.1-8
新知探究
新知探究
图20.1-9
△AOB 和△COD 均为直角三角形，
两次运用勾股定理，即可求出 AC 的长.
新知探究
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
建构
利用
解决
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路.
新知探究
波平如镜一湖面，3 尺高处出红莲.
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.
离开原处 6 尺远，花贴湖面像睡莲.
请君动脑想一想，湖水在此深几尺？
3
6
x
x + 3
解：根据勾股定理， 62 + x2 = (x + 3)2
解得x = 4.5
答：湖水在此深 4.5 尺.
新知探究
练一练
勾股定理
应用
寻找直角，直接求边长
利用勾股定理构造方程
课堂小结
1.如图，从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是
（ ）
A.24m B.12m C. m D. m
课堂训练
D
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
D
课堂训练
3. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A．5 B．25
C．10 ＋5 D．35
B
4.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.
10
课堂训练
5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm
和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
解：台阶的展开图如图所示，连接AB，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
课堂训练
AB即为最短线路.第2课时 勾股定理的应用
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点）
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.（难点）
一、情境导入
（多媒体演示）数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看下面的视频，你们能帮他们将鱼缸装进电梯吗？
课件展示《爱情公寓》片段.
二、新知探究
（多媒体演示）问题：观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
[例题讲解]
【例2】一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
思考：
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
2.这个门框能通过的最大长度是多少？
3.怎样判定这块木板能否通过门框？
解：连接 AC，在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5，AC=≈2.24.
因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.
【例3】如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8m吗？
解：当梯子底端沿OB向外移动0.8 m时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C.可以看出，AC=OA－OC.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OA2=AB2－OB2=2.52－0.72=5.76，
OA=2.4.
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OC2=CD2－OD2=2.52－(0.7+0.8)2=4，
OC=2.
所以，AC=OA－OC=2.4－2=0.4.
因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m，而是下滑0.4m.
[归纳总结]利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路.
[练一练]
波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.
离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.
请君动脑想一想，湖水在此深几尺？
解：根据勾股定理，62+x2=(x+3)2，解得x=4.5.
答：湖水在此深4.5尺.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.如图，从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（ D ）
A.24m B.12m C.m D.m
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ D ）
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
3.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ B ）
A．5 B．25 C．10＋5 D．35
4.已知点(2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为___10____.
5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
解：台阶的展开图如图，连接AB.
AB即为最短线路.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,∴AB=73cm.
五、布置作业
完成对应练习。
本节课以生活中常见的问题为例，引导学生想象、比较、分析,把实物抽象为直角三角形模型，再借助勾股定理来求解，充分培养学生把课本上的理论知识应用到实际生活中的能力.教学中发现学生的阅读理解和空间想象能力还有待提高，需要在后续的学习中加强.
