20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
1.掌握勾股定理逆定理的概念及勾股数.（重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）
一、复习导入
（多媒体演示）前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗？题设和结论交换，还成立吗？
二、新知探究
（多媒体演示）古埃及人画直角三角形的方法.把一根长绳打上等距离的13个结，然后以 3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢
上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形.一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢
[观察]画一画，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.
答：两次画出的三角形都是直角三角形.
[提问]通过上面的观察你能得到什么猜想呢？
猜想：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2 =c2，那么这个三角形是直角三角形.
下面让我们来证明上面的猜想.
（多媒体展示）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2 +b2 =c2.求证：△ABC是直角三角形.
证明：作一个 Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°．
根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.
在△ABC和△A′B′C′中，所以△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
因此∠C=∠C′=90°，即△ABC是直角三角形.
[归纳总结]
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.它是判定直角三角形的一个依据.
[例题讲解]
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=8，b=15，c=17；
（2）a=14，b=13，c=15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
解：（1）因为82+152= 64+225= 289，172=289，所以82+152=172.根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形.
（2）因为142 +132 =196+169=365，152=225，所以142+132≠152.根据勾股定理，由线段ɑ，b，c组成的三角形不是直角三角形.
[概念延伸]
像 8，15，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
[归纳总结]
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
①找：找三角形的最长边；
②算：计算最长边的平方与另两边的平方和；
③判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是.
[练一练]
四边形ABCD的各边长如图所示，对角线 BD＝10，求四边形ABCD的面积．
解：∵AD=8，AB=6，BD=10，CD=26，BC = 24，
∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=CD2.
∴△ABD和△BDC都是直角三角形，且∠A=
90°，∠DBC=90°.
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC
答：四边形ABCD的面积是144．
三、课堂小结
四、课堂训练
1.下列各组数是勾股数的是（ B ）
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
2.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ C ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a-b)＝c2，则( A )
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形4.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为1，则△ABC是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都不对
5.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是___2.4___.
6.若△ABC的三边a，b，c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是___等腰三角形或直角三角形____.
五、布置作业
完成对应练习。
本节课通过对勾股定理内容的逆向思考，让学生动手操作，猜想并验证勾股定理的逆定理，体会了数学结论的严谨性，并延伸出了勾股数的概念，过程中要引导学生积极参与.本节课的难点在于勾股定理的逆定理的证明，要适当给予学生提示和引导，提升学生学好数学的信心.(共20张PPT)
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念及勾股数.（重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆
定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）
如果直角三角形的两条 直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
题设
结论
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2 .
那么这么三角形是直角三角形.
题设和结论交换，还成立吗？
题设
结论
复习导入
前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗？
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
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新知探究
4
3
5
32 + 42 = 52
这个三角形是直角三角形.
满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形都是直角三角形吗？
新知探究
这个三角形三边有什么关系？
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
猜想
42 + 7.52 = 8.52
新知探究
画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
已知：△ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 .
求证：△ABC 是直角三角形.
证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A′C′ = b，∠C' = 90°．
根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 .
因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c.
所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形.
在△ABC 和△A'B'C'中，
BC = a = B'C' ，
AC = b = A'C' ，
AB = c = A'B' ，
A
C
B
b
a
c
A′
C′
B′
b
a
新知探究
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
b
a
c
新知探究
归纳总结
它是判定直角三角形的一个依据.
勾股定理的逆定理与勾股定理的关系：
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件
结论
关系 在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为 a，b，c，∠C = 90°
在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，且 a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
△ABC 为直角三角形，且 ∠C = 90°
A
C
B
b
a
c
a2 + b2 = c2
勾股定理
勾股定理的逆定理
新知探究
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
新知探究
解:（1）因为 82 + 152 = 64 + 225 = 289，
172 = 289，
所以 82 + 152 = 172 .
根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形.
像 8，15，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
新知探究
（2）解：因为 142 + 132 = 196 + 169 = 365，
152 = 225，
所以 142 + 132 ≠ 152.
根据勾股定理，由线段 ɑ，b，c 组成的三角形不是直角三角形.
新知探究
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
① 找：找三角形的最长边；
② 算：计算最长边的平方与另两边的平方和；
③ 判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是.
新知探究
四边形 ABCD 的各边长如图所示，对角线 BD ＝10，求四边形 ABCD 的面积．
解：∵AD = 8，AB = 6，BD = 10，CD = 26，BC = 24，
∴ AB2 +AD2 = BD2， BD2 +BC2 = CD2 .
∴△ABD 和△BDC 都是直角三角形，
且∠A = 90°，∠DBC = 90°.
∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BDC
= ×6×8 + ×10×24 = 144.
答: 四边形 ABCD 的面积是 144．
新知探究
练一练
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
课堂小结
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
B
2.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
课堂训练
3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，
c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
A
课堂训练
4.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为1，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
B
课堂训练
5.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 _____________.
2.4
6.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
等腰三角形或直角三角形
课堂训练
7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD= ，
求四边形ABCD 的面积.
∴△ ABC是直角三角形，且∠B是直角.
∴ △ ADC是直角三角形，且∠D是直角.
∴ S 四边形 ABCD=
课堂训练
