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23.2 一次函数的图象和性质
第1课时 正比例函数的图象和性质
学习目标
1.理解正比例函数的图象的特点，会利用两点法画正比例函数的图象．（重点）
2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题．（难点）
列表
描点
连线
问题1：下列函数哪些是正比例函数？
（1）y=－3x ； （2）y= x + 3；
（3）y= 4x； （4）y= x2.
问题2：描点法画函数图象的三个步骤是
_______、_______、_______.
(1)(3)
复习导入
例1 画出下列正比例函数的图象：
（1）y=2x， ；（2）y=-1.5x，y=-4x.
x
y
1
0
0
-1
2
-2
…
…
…
…
2
4
-2
-4
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
新知探究
一、正比例函数的图象
y=2x
②描点；
③连线.
同样可以画出
函数 的图象.
发现：这两个图象都是经过原点的 ．而且都经过
第 象限；
一、三
直线
新知探究
解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
y=-4x
y=-1.5x
发现：这两个函数图象都是经过原点和第 象限的直线.
二、四
新知探究
归纳总结
新知探究
一般地，正比例函数 y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
当 k＞0时，直线 y=kx 经过第一、第三象限；
当 k＜0时，直线经过第二、四象限.
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-3x；（2）
做一做
怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可.
两点
作图法
新知探究
O
x 0 1
y=-3x
0
-3
0
y=-3x
函数y=-3x， 的图象如下：
解：列表如下：
新知探究
（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值
范围是________.
例2 已知正比例函数y=(k+1)x.
k＞-1
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k+1>0，解得k>-1.
新知探究
（2）若函数图象经过点（2，4），则k=_____.
解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k+1)·2，解得k=1.
1
新知探究
问题 在函数y=x , y=3x, y=- x和 y=-4x 中，随着x的增大,y的值分别如何变化
分析：对于函数y=x,当x=-1时，y= ;当x=1时，y= ;当x=2时，y= ;不难发现y的值随x的增大而 .
-1
1
2
增大
新知探究
二、正比例函数的性质
我们还可以借助函数图象分析此问题.
观察图象可以发现： 直线y=x,y=3x向右逐渐 ,
即y的值随x的增大而增大;
直线y=- x,y=-4x向右逐渐 ，即y的值随x的增大而减小.
上升
下降
新知探究
在正比例函数y=kx中：
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
归纳总结
新知探究
例3 已知正比例函数y=2x的图象上有两点（3，y1），
（5，y2），则y1 y2.（填“＞”或“＜”）
<
方法一（数的运算）：当x=3时，y1=6,当x=6时，y2=12,则y1新知探究
方法二（结合图象和性质）：因为k=2＞0，所以y的值随着x值的增大而增大，又3<6，则y1【变式题】
1.已知正比例函数y=2x的图象上有两点（x1，y1），
（x2，y2），若x1＜x2,则y1 y2.（填“＞”或“＜”）
<
新知探究
2.已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点（-3，y1），
（1，y2），则y1 y2.
>
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数y= - x和y =-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.
议一议
新知探究
正比例函数的图象和性质
图象：经过原点的直线.
当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限.
性质：
当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
课堂小结
1.正比例函数 y=-2x 的大致图象是（ ）
C
课堂训练
2.对于正比例函数y =（k-2）x，y 随x 的增大而增大，则k的取值范围 （ ）
A．k＜2 B．k≤2
C．k＞2 D．k≥2
C
3.函数y=-7x的图象经过第_________象限，经过点_______与点 ，y随x的增大而_______.
二、四
（0，0）
（1,-7）
减小
4.已知正比例函数y=(2m+4)x.
（1）当m 时，函数图象经过第一、三象限；
（2）当m 时，y 随x 的增大而减小；
（3）当m 时，函数图象经过点（2，10）.
＞-2
<-2
=0.5
课堂训练
解： k1＜k2 ＜0＜k3 ＜k4
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y =k4 x
-4
-2
2
y =k3 x
y =k2 x
y =k1 x
＜
课堂训练
5. 如图分别是函数y=k1 x，y=k2 x，y=k3 x，y=k4 x的图象.
（1）k1 k2，k3 k4(填“>”或“<”或“=”)；
（2）用不等号将k1， k2， k3， k4及0
依次连接起来．
＜23.2 一次函数的图象和性质
第1课时 正比例函数的图象和性质
1.理解正比例函数的图象的特点，会利用两点法画正比例函数的图象．（重点）
2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题．（难点）
一、复习导入
问题1：下列函数哪些是正比例函数？
（1）y=－3x；（2）y= x + 3；
（3）y= 4x；（4）y= x2.
答：(1)(3)
问题2：描点法画函数图象的三个步骤是
__列表__、___描点__、__连线__.
二、新知探究
（一）正比例函数的图象
[例题讲解]例1 画出下列正比例函数的图象：
（1）y=2x，y=；（2）y=-1.5x，y=-4x.
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
②描点；
③连线.
同样可以画出函数y=的图象.
发现：这两个图象都是经过原点的 直线 ．而且都经过第 一、三 象限；
解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
发现：这两个函数图象都是经过 原点 和第 二、四 象限的直线.
[归纳总结]一般地，正比例函数 y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.当 k＞0时，直线 y=kx 经过第一、第三象限；当 k＜0时，直线经过第二、四象限.
做一做：
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）y=-3x；（2）y=.
[交流讨论]学生分组交流讨论：怎样画正比例函数的图象最简单.
两点作图法:由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可.
解：列表如下：
x 0 1
y=-3x 0 -3
y= 0
函数y=-3x，y=的图象如下：
[例题讲解]例2 已知正比例函数y=(k+1)x.
（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值
范围是__k＞-1 _.
（2）若函数图象经过点（2，4），则k=_ 1__.
解析：（1）因为函数图象经过第一、三象限，所以k+1>0，解得k>-1.
（2）将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k+1)·2，解得k=1.
（二）正比例函数的性质
问题 在函数y=x,y=3x,y=-和y=-4x中，随着x的增大,y的值分别如何变化
分析：对于函数y=x,当x=-1时，y= -1 ;当x=1时，y= 1 ;当x=2时，y= 2 ;不难发现y的值随x的增大而 增大 .
我们还可以借助函数图象分析此问题.
观察图象可以发现： 直线y=x,y=3x向右逐渐 上升 ,即y的值随x的增大而增大;直线y=-,y=-4x向右逐渐 下降 ，即y的值随x的增大而减小.
[归纳总结]在正比例函数y=kx中：
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
[例题讲解]例3 已知正比例函数y=2x的图象上有两点（3，y1），（5，y2），则y1 ＜ y2.（填“＞”或“＜”）
方法一（数的运算）：当x=3时，y1=6,当x=6时，y2=12,则y1方法二（结合图象和性质）：因为k=2＞0，所以y的值随着x值的增大而增大，又3<6，则y1【变式题】
1.已知正比例函数y=2x的图象上有两点（x1，y1），
（x2，y2），若x1＜x2,则y1 ＜ y2.（填“＞”或“＜”）
2.已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点（-3，y1），（1，y2），则y1 ＞ y2.
议一议：
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数y=-和y =-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
解：|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.正比例函数 y=-2x 的大致图象是（ C ）
2.对于正比例函数y =（k-2）x，y 随x 的增大而增大，则k的取值范围为（ C ）
A．k＜2 B．k≤2
C．k＞2 D．k≥2
3.函数y=-7x的图象经过第__二、四_象限，经过点_（0，0）__与点 （1,-7） ，y随x的增大而__减小__.
4.已知正比例函数y=(2m+4)x.
（1）当m ＞-2 时，函数图象经过第一、三象限；
（2）当m <-2 时，y 随x 的增大而减小；
（3）当m =0.5 时，函数图象经过点（2，10）.
5. 如图分别是函数y=k1x，y=k2x，y=k3x，y=k4x的图象.
（1）k1 ＜ k2，k3 ＜ k4(填“>”或“<”或“=”)；
（2）用不等号将k1，k2，k3，k4及0依次连接起来．
解：k1＜k2 ＜0＜k3 ＜k4.
2.在函数①y=2-x;②y=8+0.03t;③y=1+x+;④y=中，是一次函数的有__①②__.
3. 要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 n=2 , m≠2 .
4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
解 ：(1)设y＝k(x－3)，
把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)，
解得k＝3，∴y＝3(x－3)，
∴ y＝3x－9，y是x的一次函数．
(2) 当x＝2.5时，y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
5.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其
速度每秒增加2 m/s．
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式;
（2）求第2.5 s 时小球的速度；
（3）时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
解：（1）小球速度v关于时间t的函数解析式为v=2t.
(2)当t=2.5时，v=2×2.5=5(m/s).
(3)时间每增加1 s，速度增加2 m/s，速度增加量不随着时间的变化而变化.
五、布置作业
完成对应练习。
本节课通过实例使学生了解了正比例函数的图象的特征,掌握了图象特征与比例系数的联系,经过思考、尝试,使学生知道了正比例函数图象的简单画法,为后面的学习奠定了基础.由学生亲自动手实践画正比例函数的图象,有利于学生加深对正比例函数的图象和性质的理解.
