23.3 一次函数与方程（组）、不等式
1．认识一次函数与方程（组）、一元一次不等式之间的联系．（难点）
2．会用函数观点解释方程（组）和不等式的问题.（重点）
一、情境导入
[课件展示]今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.
二、新知探究
（一）一次函数与一元一次方程
思考 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
用函数的观点看：
解一元一次方程ax +b =k 就是求当函数（y=ax +b）值为k 时对应的自变量的值．
[归纳总结]
问题1 以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一个问题.
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程3x－2＝0 当x为何值时，y＝3x－2的值为0？
2 解方程8x＋3＝0 当x为何值时，y＝8x+3的值为0？
3 解方程-7x+2=0 当x为何值时，y＝－7x＋2的值为0？
问题2 根据下列图象，直接写出相应方程的解.
(1)5x=0; (2)x+2=0;
x＝0 x＝－2
(3)-3x+6=0; (4)x-1=0.
x＝2 x＝1
[例题讲解]例1 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17.解得x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5.
由2x+5=17，得 2x－12=0.
由下图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5.
由右图可以看出当y =17时，x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
（二）一次函数与一元一次不等式
思考 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
[交流讨论]学生分组交流讨论，在平面直角坐标系中画出函数y=3x+2及直线y=2,y=0，y=-1的图象（如图），观察它们的关系，得出三个不等式的解集分别为x＞0，x＜，x＜-1.
[结论]①不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
②不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
[例题讲解]例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3
解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).
（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
[归纳总结]
（三）一次函数与二元一次方程（组）
问：二元一次方程与一次函数的联系是什么？
答：(1)任意一个二元一次方程都可化成y＝kx＋b的形式，即令每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
(2)直线y＝kx＋b上每一点的坐标均为这个二元一次方程的解.
[例题讲解]例3 如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是( C )
分析：对于二元一次方程x－2y＝2，当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝2，故直线x－2y＝2与两坐标轴的交点是(0，－1)，(2，0)，对照四个选项中的直线，可知选C.
[归纳总结]直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程y＝kx＋b中，当y＝0时x的值；直线y＝kx＋b与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程y＝kx＋b中，当x＝0时y的值．解这类题，常运用数形结合思想．
[例题讲解]例4 利用图象法解二元一次方程组：
解：列表得：
过点(0，－2)和(1，1)画出直线l1，
再过点(0，2)和(1，1)画出直线l2，如图，
由图象知：两条直线交点的坐标为(1，1)，
∴方程组的解为：
[归纳总结]用图象法解二元一次方程组的基本方法：
(1)将方程组中的两个方程转化成一次函数y＝kx＋b的形式；
(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；
(3)利用图象的直观性确定交点坐标.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，则方程ax+b=1的解为（ A ）
A．x=4 B．x=2 C．x=0 D．x=-1
2.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，2），关于x的不等式kx+b＞2的解集为（ B ）
A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0
3.在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程2x－y－2＝0和x－y＋3＝0所对应的一次函数的图象．利用图象求：
(1)方程2x－2＝x＋3的解；
(2)方程组的解．
解：画出y＝2x－2和y＝x＋3的图象，如图所示．
(1)根据图象可知方程2x－2＝x＋3的解为x＝5.
(2)根据图象可知方程组的解为
五、布置作业
完成对应练习。
本节课主要学习一次函数与方程（组）、不等式的关系．通过学习探究，加强知识之间的联系，学会融会贯通，有助于系统地掌握所学知识，取得更好的教学效果．(共25张PPT)
23.3 一次函数与方程（组）、不等式
学习目标
1．认识一次函数与方程（组）、一元一次不等式之间的联系．（难点）
2．会用函数观点解释方程（组）和不等式的问题.（重点）
今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.
二元一次方程
一次函数
x+y=5
到我这里来
到我这里来
这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里呢？
情境导入
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
思考 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3； （2）2x+1=0； （3）2x+1=-1．
用函数的观点看：
解一元一次方程ax +b =k 就是求当函数（y=ax +b）值为k 时对应的自变量的值．
2x +1=3 的解
y =2x+1
2x +1=0 的解
2x +1=-1 的解
新知探究
一、一次函数与一元一次方程
求一元一次方程
ax+b=0的解．
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y= ax+b
中，y=0时x的值．
从“数”的
角度看
求一元一次方程
ax+b=0的解．
求直线y= ax+b
与 x 轴交点的横
坐标．
从“形”的
角度看
归纳总结
新知探究
新知探究
问题1 以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一个问题.
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程3x－2＝0 当x为何值时，y＝3x－2的值为0？
2 解方程8x＋3＝0
3 当x为何值时，y＝－7x＋2的值为0？
当x为何值时，y＝8x+3的值为0？
解方程-7x+2=0
问题2 根据下列图象，直接写出相应方程的解.
新知探究
(1)5x=0; (2)x+2=0;
(3)-3x+6=0; (4)x-1=0.
x＝0
x＝－2
x＝2
x＝1
例1 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17
解得 x=6
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
新知探究
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数，y=2x+5
由2x+5=17 得 2x－12=0
由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
O
x
y
6
－12
y=2x－12
新知探究
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数，y=2x+5
由右图可以看出当y =17时，x=6.
y=2x+5
x
y
O
6
17
5
－2.5
新知探究
思考 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
新知探究
二、一次函数与一元一次不等式
不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =2
y =0
y =-1
新知探究
例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3
解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
新知探究
解：（1）由图象可知，不等式
-3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3
新知探究
求ax+b＞0(或<0)
(a≠0)的解集
y=ax+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“数”的
角度看
求ax+b＞0(或<0)
(a≠0)的解集
确定直线y=ax+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
取值范围
从“形”的
角度看
一次函数与一元一次不等式的关系
归纳总结
新知探究
知识点
二元一次方程与一次函数的联系
(1)任意一个二元一次方程都可化成y＝kx＋b的形式，即令每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
(2)直线y＝kx＋b上每一点的坐标均为这个二元一次方程的解.
新知探究
三、一次函数与二元一次方程（组 ）
例3
如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是( )
分析：
对于二元一次方程x－2y＝2，当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝2，故直线x－2y＝2与两坐标轴的交点是(0，－1)，(2，0)，对照四个选项中的直线，可知选C.
C
新知探究
直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程y＝kx＋b中，当y＝0时x的值；直线y＝kx＋b与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程y＝kx＋b中，当x＝0时y的值．解这类题，常运用数形结合思想．
归纳总结
新知探究
例4
利用图象法解二元一次方程组：
解：
列表得：
过点(0，－2)和(1，1)画出直线l1，
再过点(0，2)和(1，1)画出直线l2，如图，
由图象知：两条直线交点的坐标为(1，1)，
∴方程组的解为：
x 0 1
y＝3x－2 －2 1
y＝2－x 2 1
用图象法解二元一次方程组的基本方法：
(1)将方程组中的两个方程转化成一次函数y＝kx＋b的形式；
(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；
(3)利用图象的直观性确定交点坐标.
归纳总结
新知探究
一次函数与方程（组）、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
二元一次方程组无解 一次函数的图象平行(无交点)；二元一次方程组有一组解 一次函数的图象相交(有一个交点)；二元一次方程组有无数个解 一次函数的图象重合(有无数个交点).
课堂小结
1.已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，则方程ax+b=1的解为（ ）
A．x=4 B．x=2 C．x=0 D．x=-1
A
课堂训练
2.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，2），关于x的不等式kx+b＞2的解集为（ ）
A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0
课堂训练
B
3.在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程2x－y－2＝0和x－y＋3＝0所对应的一次函数的图象．利用图象求：
(1)方程2x－2＝x＋3的解；
(2)方程组 的解．
课堂训练
解：
画出y＝2x－2和y＝x＋3的图象，如图所示．
(1)根据图象可知方程2x－2＝x＋3的解为x＝5.
(2)根据图象可知方程组 的解为
课堂训练
