(共23张PPT)
23.3 实际问题与一次函数
第3课时 方案设计问题
学习目标
1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题;（难点）
2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，利用一次函数设计最佳方案.（重点）
情境导入
探究 某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
（1）共需租多少辆客车？
（2）给出最节省费用的租车方案.
问题1：租车的方案有哪几种？
共三种：（1）单独租甲种车；（2）单独租乙种车；
（3）甲种车和乙种车都租．
新知探究
阅读“探究”中的问题，并进行如下分析：
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题2：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？
问题3：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？
汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆.
单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆.
新知探究
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题4：要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？
说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案(2)——单独租乙种车；所以租车的辆数只能为6辆．
问题5：在问题3中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？
方法1：分类讨论——分3种情况；
方法2：设租甲种车x辆，确定x的范围.
新知探究
新知探究
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
(6-x)辆
x 辆
问题6：在客车总数确定后，租车费用与租车的种类有关，如果租用甲种客车x辆，你能求出租车费用y吗？
(1)为使240名师生有车坐，则
(2)为使租车费用不超过2300元，则
新知探究
问题7：如何确定x的取值范围？
结合问题的实际意义，综合起来可得x的取值为4或5.
也可以由函数可知 y 随 x 增大而增大，所以 x = 4时 y 最小.
新知探究
方案一：当x=4时，即租用4辆甲种客车，2辆乙种客车，租车费用为y=120×4+1680=2160
方案二：当x=5时，即租用5辆甲种客车，1辆乙种客车，租车费用为y=120×5+1680=2280.
问题8：在上述问题的基础上，你能有几种不同的租车方案 为节省费用应选择其中的哪种方案？
∵2160＜2280，
∴选择方案一更省钱.
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
归纳总结
新知探究
例1 某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示:
型号 A B
成本（万元/台） 200 240
售价（万元/台） 250 300
新知探究
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
（2）该厂如何生产获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）
分析：可用信息：
①A、B两种型号的挖掘机共100台；
②所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元；
③所筹资金全部用于生产，两种型号的挖掘机可全部售出.
新知探究
解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-x）台，由题意知：
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
分析：设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-x）台，由题意得不等式组 .
∴有三种生产方案：A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台， B型60台.
解得 37.5≤x≤40
∵x取正整数, ∴x为38、39、40
新知探究
∴当x=38时，W最大=5620 （万元），
即生产A型38台，B型62台时，获得最大利润.
（2）该厂如何生产获得最大利润？
分析：利润与两种挖掘机的数量有关，因此可建立利润与挖掘机数量的函数关系式.
W=50x＋60（100－x）
= －10x＋6000
解：设获得利润为W（万元），由题意知：
新知探究
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？
③当m＞10时，取x=40，W最大，
即A型挖掘机生产40台，B型生产60台.
分析：在（2）的基础上，售价改变，则应重新建立利润与挖掘机数量的函数关系式，并注意讨论m的取值范围.
解：由题意知：W=（50＋m）x＋60（100－x）
= （m－10）x＋6000
∴①当0＜m＜10时，取x=38，W最大 ，
即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台；
②当m=10时，m-10=0，三种生产获得利润相等；
新知探究
下图 l1, l2 分别是龟兔赛跑中s-t函数图象.
（1）这一次是 米赛跑.
（2）表示兔子的图象是 .
100
l2
练一练
新知探究
s /米
（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 米；
l1
l2
1
2
3
4
5
O
100
20
120
40
60
80
t /分
6
8
7
（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米；
（5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟；
-1
12
9
10
11
-3
-2
40
4
-4
40
新知探究
利用一次函数设计最佳方案
根据题目要求列出不等式（方程），确定变量的取值，根据变量的取值范围设计最佳方案
从数学的角度分析数学问题，建立函数模型
含有多个变量时，要结合实际需求，确定变量的取值
课堂小结
1.某毛尖茶叶经销商销售每千克A级茶叶、B级茶叶的利润分别为100元、150元.若该经销商决定购进A,B两种茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶叶x千克，销售总利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式.
解：由题意可得，
y=100x+150(200-x)=50x+30000
即y与x的函数关系式为y=一50x+30000.
课堂训练
(2)若其中B级茶叶的进货量不超过A级茶叶的4倍，请帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大.
解：∵B级茶叶的进货量不超过A级茶叶的4倍，
∴200-x≤4x,解得x≥40.
∵-50<0，∴y随x增大而减小.
∴当x=40时，y取得最大值，此时200-x=160.
答：当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160
千克时，销售总利润最大.
课堂训练
2.为响应“全民植树增绿,共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下.
课堂训练
（1）若要从这两种食品中摄人4600kJ热量和70g蛋白质,应选用A,B两种食品各多少包
解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：
解得：
答：应选用A种食品4包，B种食品2包.
课堂训练
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄人量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包,要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
解：设选用A种食品m包，则选用B种食品（7一m）包，
根据题意得：10m+15（7－m）≥90,解得：m≤3.
设每份午餐的总热量为wkJ，则w=700m+900（7-m），
即w=-200m+6300,
∵-200<0, ∴w随m的增大而减小,
∴当m=3时，w取得最小值，此时7-m=7-3=4.
答：应选用A种食品3包，B种食品4包.
课堂训练第3课时 方案设计问题
1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题;（难点）
2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，利用一次函数设计最佳方案.（重点）
一、情境导入
探究 某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
（1）共需租多少辆客车？
（2）给出最节省费用的租车方案.
二、新知探究
[提出问题]阅读“探究”中的问题，并进行如下分析：
问题1：租车的方案有哪几种？
共三种：（1）单独租甲种车；（2）单独租乙种车；（3）甲种车和乙种车都租．
问题2：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？
240÷45=，240÷30=8.
单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆.
问题3：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？
汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆.
问题4：要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？
说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案(2)——单独租乙种车；所以租车的辆数只能为6辆．
问题5：在问题3中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？
方法1：分类讨论——分3种情况；
方法2：设租甲种车x辆，确定x的范围.
问题6：在客车总数确定后，租车费用与租车的种类有关，如果租用甲种客车x辆，你能求出租车费用y吗？
y=400x+280（6-x）=120x+1680.
问题7：如何确定x的取值范围？
①为使240名师生有车坐，则
②为使租车费用不超过2300元，则
结合问题的实际意义，综合起来可得x的取值为4或5.
问题8：在上述问题的基础上，你能有几种不同的租车方案 为节省费用应选择其中的哪种方案？
方案一：当x=4时，即租用4辆甲种客车，2辆乙种客车，租车费用为y=120×4+1680=2160；
方案二：当x=5时，即租用5辆甲种客车，1辆乙种客车，租车费用为y=120×5+1680=2280.
∵2160＜2280，
∴选择方案一更省钱.
[归纳总结]解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
例1 某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示:
[例题讲解]例1 某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示:
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
（2）该厂如何生产获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）
分析：可用信息：
①A、B两种型号的挖掘机共100台；
②所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元；
③所筹资金全部用于生产，两种型号的挖掘机可全部售出.
解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-x）台，由题意知：
解得 37.5≤x≤40.
∵x取正整数, ∴x为38、39、40.
∴有三种生产方案：A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台.
（2）设获得利润为W（万元），由题意知：
W=50x＋60（100－x）=－10x＋6000.
∴当x=38时，W最大=5620（万元），即生产A型38台，B型62台时，获得最大利润.
（3）由题意知：W=（50＋m）x＋60（100－x）=（m－10）x＋6000.
∴①当0＜m＜10时，取x=38，W最大 ，
即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台；
②当m=10时，m-10=0，三种生产获得利润相等；
③当m＞10时，取x=40，W最大，
即A型挖掘机生产40台，B型生产60台.
练一练：
下图中的l1,l2分别是龟兔赛跑中s-t函数图象.
（1）这一次是 100 米赛跑；
（2）表示兔子的图象是 l2 ；
（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 40 米；
（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 40 米；
（5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 4 分钟；
三、课堂小结
四、课堂训练
1.某毛尖茶叶经销商销售每千克A级茶叶、B级茶叶的利润分别为100元、150元.若该经销商决定购进A,B两种茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶叶x千克，销售总利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)若其中B级茶叶的进货量不超过A级茶叶的4倍，请帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大.
解：（1）由题意可得，y=100x+150(200-x)=50x+30000，即y与x的函数关系式为y=一50x+30000.
（2）∵B级茶叶的进货量不超过A级茶叶的4倍，∴200-x≤4x,解得x≥40.
∵-50<0，∴y随x增大而减小.
∴当x=40时，y取得最大值，此时200-x=160.
答：当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，销售总利润最大.
2.为响应“全民植树增绿,共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下.
（1）若要从这两种食品中摄人4600kJ热量和70g蛋白质,应选用A,B两种食品各多少包
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄人量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包,要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
解：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：
解得：
答：应选用A种食品4包，B种食品2包.
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品（7一m）包，
根据题意得：10m+15（7－m）≥90,解得：m≤3.
设每份午餐的总热量为wkJ，则w=700m+900（7-m），即w=-200m+6300,
∵-200<0,∴w随m的增大而减小,
∴当m=3时，w取得最小值，此时7-m=7-3=4.
答：应选用A种食品3包，B种食品4包.
五、布置作业
完成对应练习。
本节课是在上节课的基础上进一步探过与方案有关的实际问题,是上节课的延续和升华,区别在于需要根据一次函数的性质自己找出最佳方案,作出决策,同样是以一次函数作为载体,从实际背景中抽象出函数模型从而解决问题,往往体现于租车问题、最大利润问题、调配问题等.解题时注意把握自变量的取值范围,且绝大多数实际情况下需要取正整数值.
