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第二十四章 数据的分析
24.3 数据的四分位数
学习目标
1.掌握百分位数、四分位数的意义，学会用四分位数刻画数据．（重点）
2.理解箱线图的意义和特征.（重点）
3.能够从箱线图中获取相关信息．（难点）
“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了30名学生的得分数据如下：
90，65，70，70，70，100，70，90，85，85，95，100，70，90，75，80，85，85，90，60，95，100，65，70，80，90，80，80，95、100
新课导入
这30名学生得分的最小值是多少？中位数是多少？最大值是多少？
新知探究
百分位数
一组数据按从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，这组数据至少有50%的数据小于或等于中位数，至少有50%的数据大于或等于中位数.因此，中位数也称为第50百分位数或50%分位数.
中位数从中间点把数据分成2等份.将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数.相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息.
新知探究
四分位数
在百分位数中，25%分位数、50%分位数、25%分位数是三个常用的百分位数.实际上，把一组数据从小到大排列，50%分位数 把这组数据分成前、后两部分，25%分位数是前半部分数据的中位数，25%分位数是后半部分数据的中位数.
这样，这三个值就把这组数据分成四等份，所以称它们为第一四分位数、第二四分位数（中位数）和第三四分位数，分别记为Q1,Q2,Q3.统称为四分位数.
新知探究
典例精析
例1 1，3，4，5，2，6，7，8，9的第一四分位数为______.
2.5
分析：这组数据重新排列为1，2，3，4，5，6，7，8，9；这组数据的中位数为5；前一组数据为1，2，3，4，其中位数为2.5；后一组数据为6，7，8，9，其中位数为8.5
新知探究
练一练
1.九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：165、182、136、112、145、171、155、93．这组数据中第一四分位数是( )
A．102.5 B．168 C．124 D．150
分析：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为：93、112、136、145、155、165、171、182，则这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即=124.
C
新知探究
箱线图是一种用于显示一组数据分散情况的统计图.它因形状如箱子而得名，常用于反映原始数据的分布特征，并可以进行多组数据分布特征的比较.
箱线图由一组数据的五个特征值绘制而成，包括最大值、最小值、第一四分位数、第二四分位数和第三四分位数.
学习了四分位数之后，就可以根据一组数据的四分位数绘制出箱线图
箱线图
新知探究
例2 某校甲、乙两个班进行团体操比赛，两个班各自选了10名选手，统计了他们的得分，整理数据如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
典例精析
新知探究
（1）用m表示中位数，a和b分别表示第一四分位数和第三四分位数，求甲组数据的四分位数；
（2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图，并谈谈对两组成绩的看法．
新知探究
解：（1）把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，
所以，
根据箱线图和对四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中．（答案不唯一）．
（2）如图所示：
新知探究
例3 某公司欲招聘一名公关人员.对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的 成绩(百分制)如下表所示.
（1）如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
（2）如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋 予它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
应试者 面试 笔试
甲 86 90
乙 92 83
新知探究
解：(1)甲的平均成绩为 (分)，乙的平均成绩为 (分)，因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，所以候选人甲将被录取．
(2)甲的平均成绩为 (分)，乙的平均成绩为 (分)，因为甲的平均成绩低于乙的平均成绩，所以候选人乙将被录取．
新知探究
例4 甲、乙两地同一天的气温记录如下表：
时刻 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 18 15
根据表中数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点.
新知探究
解：将表中两地的气温（单位℃）分别从小到大的顺序排列，可得：
甲地 9，10，11，12，13， 14， 16， 16， 18， 21， 21， 23， 24
乙地 11，12， 13 ，14，15，15， 16 ，17，17 ，18 ，19 ，20 ，21
新知探究
甲、乙两地气温各有13个数据.甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为Q2=16， Q1=11.5， Q3=21
乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别是Q2=16，Q1=13.5，Q3=18.5
新知探究
在同一幅图中画出两地的箱线图，如图所示：
可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙地的最高气温，约有25%时刻的气温低于乙地的最低气温.
新知探究
2.一家汽车零售店的9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：
12， 10， 3， 9 ，10， 12， 2， 6， 14
（1）计算汽车销售数量的四分位数；
（2）画箱线图并分析汽车销售数量的特点.
解：（1）将该组数据从小到大排序：2， 3， 6， 9， 10， 10， 12， 12，14
最小值为2，最大值为14.三个四分位数分别为
Q2=10，Q1=4.5，Q3=12
练一练
新知探究
（2）在同一幅图中画出两地的箱线图，如图所示：
基于箱线图和四分位数可知，销量最大为14，最小为2，存在较大差距；有50%的员工销量在10辆或以上，大部分销售量在 6 到 12 之间。
课堂小结
四分位数
第一四分位数
第三四分位数
第二四分数
箱线图
课堂训练
1.如图为某地区2024年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图.AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重.则下列说法错误的是（ ）
A．该地区2023年5月有严重污染天气
B．该地区2023年6月的AQI值比5月的
AQI值集中
C．该地区2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中
D．从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月
B
课堂训练
2.有一组被墨水污染的数据4，17，7，14， ，16，10，4，4，11，其箱线图如下：
★，●，█
则以下说法不正确的是（ ）
A.这组数据的第一四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的第三四分位数是15
D.被墨水污染的数据中一个数时3，一个数时18
B
课堂训练
3.已知数据：4.77，3.98，6.44，4.98，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10
则该组数据的Q1=______,Q2=______,Q3=_______.
3.195
3.915
4.4424.3 数据的四分位数
1.掌握百分位数、四分位数的意义，学会用四分位数刻画数据．（重点）
2.理解箱线图的意义和特征.（重点）
3.能够从箱线图中获取相关信息．（难点）
一、新课导入
“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了30名学生的得分数据如下：
90，65，70，70，70，100，70，90，85，85，95，100，70，90，75，80，85，85，90，60，95，100，65，70，80，90，80，80，95、100
问题 这30名学生得分的最小值是多少？中位数是多少？最大值是多少？
二、新知探究
（一）百分位数
一组数据按从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，这组数据至少有50%的数据小于或等于中位数，至少有50%的数据大于或等于中位数.因此，中位数也称为第50百分位数或50%分位数.
中位数从中间点把数据分成2等份.将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数.相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息.
（二）四分位数
在百分位数中，25%分位数、50%分位数、25%分位数是三个常用的百分位数.实际上，把一组数据从小到大排列，50%分位数 把这组数据分成前、后两部分，25%分位数是前半部分数据的中位数，25%分位数是后半部分数据的中位数.
这样，这三个值就把这组数据分成四等份，所以称它们为第一四分位数、第二四分位数（中位数）和第三四分位数，分别记为Q1,Q2,Q3.统称为四分位数.
[典例精析]
例1 1，3，4，5，2，6，7，8，9的第一四分位数为 2.5 .
分析：这组数据重新排列为1，2，3，4，5，6，7，8，9；这组数据的中位数为5；前一组数据为1，2，3，4，其中位数为2.5；后一组数据为6，7，8，9，其中位数为8.5.
练一练：
1.九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：165、182、136、112、145、171、155、93．这组数据中第一四分位数是( C )
A．102.5 B．168
C．124 D．150
分析：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为：93、112、136、145、155、165、171、182，则这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即=124.
（三）箱线图
箱线图是一种用于显示一组数据分散情况的统计图.它因形状如箱子而得名，常用于反映原始数据的分布特征，并可以进行多组数据分布特征的比较.
箱线图由一组数据的五个特征值绘制而成，包括最大值、最小值、第一四分位数、第二四分位数和第三四分位数.
学习了四分位数之后，就可以根据一组数据的四分位数绘制出箱线图.
[典例精析]
例2 某校甲、乙两个班进行团体操比赛，两个班各自选了10名选手，统计了他们的得分，整理数据如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
（1）用m表示中位数，a和b分别表示第一四分位数和第三四分位数，求甲组数据的四分位数；
（2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图，并谈谈对两组成绩的看法．
解：（1）把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以，，，
（2）如图所示：
根据箱线图和对四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中．（答案不唯一）．
例3 某公司欲招聘一名公关人员.对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩(百分制)如下表所示.
（1）如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
（2）如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
例4 甲、乙两地同一天的气温记录如下表：
根据表中数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点.
解：将表中两地的气温（单位℃）分别从小到大的顺序排列，可得：
甲地 9，10，11，12，13，14，16，16，18，21，21，23，24
乙地 11，12，13，14，15，15，16，17，17，18，19，20，21
甲、乙两地气温各有13个数据.甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为Q2=16，Q1=11.5，Q3=21
乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别是Q2=16，Q1=13.5，Q3=18.5
在同一幅图中画出两地的箱线图，如图所示：
可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙地的最高气温，约有25%时刻的气温低于乙地的最低气温.
练一练：
2.一家汽车零售店的9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：
12， 10， 3， 9 ，10， 12， 2， 6， 14
（1）计算汽车销售数量的四分位数；
（2）画箱线图并分析汽车销售数量的特点.
解：（1）将该组数据从小到大排序：2， 3， 6， 9， 10， 10， 12， 12，14
最小值为2，最大值为14.三个四分位数分别为
Q2=10，Q1=4.5，Q3=12
（2）在同一幅图中画出两地的箱线图，如图所示：
基于箱线图和四分位数可知，销量最大为14，最小为2，存在较大差距；有50%的员工销量在10辆或以上，大部分销售量在 6 到 12 之间。
三、课堂小结
四、课堂训练
1.如图为某地区2024年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图.AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重.则下列说法错误的是（ B ）
A．该地区2023年5月有严重污染天气
B．该地区2023年6月的AQI值比5月的
AQI值集中
C．该地区2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中
D．从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月
2.有一组被墨水污染的数据4，17，7，14，16，10，4，4，11，其箱线图如下：
则以下说法不正确的是（ B ）
A.这组数据的第一四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的第三四分位数是15
D.被墨水污染的数据中一个数时3，一个数时18
3.已知数据：4.77，3.98，6.44，4.98，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10
则该组数据的Q1= 3.195 ,Q2= 3.915 ,Q3= 4.44 .
五、布置作业
完成对应练习。
本节课教学流程基本顺畅，能够完成预设的教学目标。课堂节奏把握尚可，但在调动学生主动性方面仍有不足，部分环节讲授偏多，留给学生独立思考和练习的时间不够充分。今后教学中，需进一步优化课堂结构，突出学生主体地位，加强师生互动，注重教学细节的打磨，不断提升课堂教学效率。
