17.1平行四边形的性质同步练习（含解析）华东师大版数学八年级下册

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17.1平行四边形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，若四边形为平行四边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形是平行四边形，，则∠的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在中，，则（　　）

A．30° B．50° C．60° D．120°
4．若平行四边形中两个邻角的度数比为，则其中较小的内角是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，，，的平分线交边于点E，则的长是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．下列图形中，已知其中一个角的度数，无法计算出其他角的度数的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，平行四边形中，，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
9．已知如图，在中，，点E为的中点，连接，，，以下结论正确的有（ ）
．
①为等腰三角形②
③④若，
⑤若，将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，则为直角三角形．
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤
10．如图，，，，则点C到的距离为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
11．在 ABCD中，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
12．在平行四边形中，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在中，于点，若，则 ．
14．如图，在四边形中，，，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间t为 时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形．
15．如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点O，已知与的周长之差为3，平行四边形的周长为30，则的长度为 ．
16．在平行四边形中（非长方形），连接，为直角三角形，若，，则 ．
17．如图，O是的对角线的交点．已知的周长为59，，，则 ．
三、解答题
18．如图，在中，、是对角线上两点，连接、，若，求证：．
19．如图， ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC＝CF．
20．如图（1），点C、点D在直线上，点A、点B在直线上，且，连接、、、．

(1)请在图（1）中，找出三对面积相等的三角形：　 　；
(2)利用（1）中的结论解决下面两个问题：
①将图（1）中的、进行以下操作：
第一步，分别复制、，粘贴，如图（2）所示的、．
第二步，先将图（2）中的、的顶点C、D重合，再将绕点C旋转到如图（3）所示位置．
若直线与相交于点E，连接．求证：平分．
②如图（4），折线型小路P﹣M﹣Q，将四边形苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路P﹣M﹣Q改为经过点P的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）．
21．如图，在平行四边形中，，是的平分线，点M从点E出发，沿方向以每秒的速度向点D运动，点N从点C出发，沿方向运动，以每秒的速度向点B运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)求的长；
(2)是否存在以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求．
23．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
(2)将绕坐标原点O顺时针旋转，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
(3)请直接写出：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
24．在数学兴趣社团课上，同学们对平行四边形进行了深入探究．
探究一：如图1，在矩形中，，，则，由此得出结论：矩形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．
探究二：对于一般的平行四边形，是否仍有上面的结论呢？
证明：如图2，在中，过A作于M，过D作，交延长线于N．设，，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
∴，．
请你接着完成上面的证明过程．
结论应用：若一平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，，求该平行四边形的四条边长．
《17.1平行四边形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B D C C B A A
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
先根据邻补角性质求得，再根据平行四边形的对角相等求解即可．
【详解】解：∵
∴
∵四边形为平行四边形
∴．
故选：A．
2．C
【分析】根据平行四边形对角相等的性质即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
与为对角，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题关键．
3．C
【分析】根据平行四边形的对角相等，即可得解．
【详解】解：∵在中，，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的对角相等，是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查平行四边形的性质，注意平行四边形的邻角互补，比较简单．
根据平行四边形的性质，可设较小的角为x，较大的角是，列式子即可得出结果．
【详解】解：设较小的角为x，较大的是，
则，
解得：．
故选：B．
5．D
【分析】根据平分，得到，结合平行四边形得得到，继而得到得到，结合线段和计算选择即可．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】．∵，，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
6．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．
连接、两点，过点作于点，根据平行四边形的面积与三角形的面积公式推出，由三角形的面积公式推出，，进一步推出，，根据、阴影部分的面积得出答案即可．
【详解】解：连接、两点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的边上的高与的边上的高相等，的边上的高与的边上的高相等，
∴，，
∴，即，
，即，
∵，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行四边形的性质，邻补角的定义，三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．根据平行四边形对角相等，邻角互补，平行线的性质，邻补角的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A．根据对顶角相等，邻补角之和为，图中知道其中任何一个角可以将其他角求出，故A不符合题意；
B．根据两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等，再根据对顶角相等，邻补角之和为，图中知道其中任何一个角可以将其他角求出，故B不符合题意；
C．三角形三个内角之和为，知道图中一个的度数，只能求出另外两个角的和，不能求出每个角的度数，故C符合题意；
D．根据平行四边形对角相等，邻角互补，知道图中一个的度数，能求出对角与邻角，从而求出邻角的对角，则能求出每个角的度数，故D不符合题意．
故选：C．
8．B
【分析】由在平行四边形中，，根据平行四边形的邻角互补，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
9．A
【分析】根据题意得到，即可判断①；根据平行四边形的性质即可判断②；根据等边对等角得到，，然后结合平行线的性质得到，，进而求出，然后利用三角形内角和定理求出，即可判定③；若，得到是等边三角形，然后根据等边对等角和三角形外角的性质得到，然后求出，进而得到，即可判断④；
根据题意得到点F在线段上，进而可判断⑤．
【详解】∵，点E为的中点，
∴
∴为等腰三角形，故①正确；
∵
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴，
∴，
∴
∴
∴，故③正确；
若，
又∵
∴是等边三角形
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，故④正确；
∵将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，
∴点F在线段上，
∵
∴为直角三角形，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③④⑤．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
10．A
【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键．
首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点C到的距离为，
故选：A．
11．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
利用平行四边形对角相等、邻角互补，结合已知条件求解．
【详解】∵在平行四边形中，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
12．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
13．
【分析】本题考查平行四边形的性质及直角三角形的两锐角互余，先由平行四边形的性质求出，再利用直角三角形两锐角互锐求出即可．解题关键是理清题中的条件．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．4或5或
【分析】此题考查了动点问题，平行四边形的性质，解一元一次方程，根据平行四边形的性质得到当或或时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形，据此列一元一次方程求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点P以与秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
∵，
∴当或或时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形．
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：，
当时，则6﹣t＝16﹣3t，
解得：，
综上所述：t的值为4或5或，
故答案为：4或5或．
15．9
【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出：①BC+AB=15，②BC-AB=3，由①+②即可得出BC的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵平行四边形的周长为30，
∴BC+AB=15①，
∵△BOC与△AOB的周长之差为3，
∴（OB+OC+BC）-（OA+OB+AB）=3，
即BC-AB=3②，
由①+②得：2BC=18，
∴BC=9；
故答案为：9．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形周长的计算，熟练掌握平行四边形的性质，根据题意得出相邻两边的关系式是解决问题的关键．
16．或13
【分析】由于四边形ABCD是非长方形的平行四边形，所以当△ABC是直角三角形时，分两种情况：①如图1，∠ACB=90°；②如图2，∠BAC=90°．都可以利用平行四边形的性质和勾股定理先求出BO的长，进而求出BD的长．
【详解】解：分两种情况：
①如图1，
∵△ABC是直角三角形，
∠ACB=90°，AB=12，AC=5，
∴BC2=AB2-AC2=122-52=119．
∴AD=BC=，
②如图2，
∵□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BD=2BO，OC=OA=AC，
∵∠BAC=90°，AB=12，AC=5，
∴BC2=AB2+AC2=144+25=169，
∴BC=13，
∴AD=13；
故答案为：或13．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是画出图形，分类讨论．
17．28
【分析】本题主要查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，，再由的周长为59，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵的周长为59，
∴，
∴．
故答案为：28
18．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．由题意可证，可得结论．
【详解】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
19．见详解
【分析】由已知条件易得AB∥CD，AB=DC，得出∠BAE=∠CFE，根据点E是BC的中点，得出BE=CE，再证△ABE≌△FCE（AAS）即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠CFE，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FEC，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB=FC，
∴DC=CF．
【点睛】熟悉平行四边形的性质，平行线性质，线段中点，和全等三角形的判定与性质掌握是平行四边形的性质，平行线性质，线段中点，和全等三角形的判定与性质解题的关键．
20．(1)和；和；和
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据两条平行线之间的距离相等，即可可得出答案；
（2）①过点分别作于，于，根据题意可知，的面积的面积，根据面积公式可得，即可得出结论；
②连接，过点做的平行线交于点，则为所求的直路，根据两条平行线之间的距离相等，可得．
【详解】（1）解：∵，
∴、间的距离相等，
设、间的距离为，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：和；和；和．
（2）①证明：过点分别作于，于，如图：

根据题意可知，的面积的面积，
∵的面积，的面积，
∴，
∴，
∵，，
∴平分；
②解：步骤：连接，过点做的平行线交于点，则为所求的直路．
如图：

证明：∵，
∴，
∴，，
∴甲、乙的面积前后不发生改变．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的面积公式，角平分线的判定，四边形的面积，解题的关键是掌握两条平行线之间的距离相等，利用面积法求解．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边：
（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出即可得出结论；
（2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论；
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）由（1）知，，
∵，
∴，
由运动知，，，
∵，
∴要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形，只要，
当点N在边上时，，
∴，
∴，
当点N在边的延长线上时，，
∴，
∴（舍去），
综上所述，当时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形；
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用平行四边形的性质及等角的补角相等即可证明；
（2）由平行四边形的性质得，由（1）所证及，即可证明；
（3）由（2）及已知得，，进而得；即可得；证明，则；过E作于G，分别在中由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴；
∵，，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图，过E作于G，
则，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，题目不难，灵活运用这些知识是关键．
23．(1)
(2)图见解析，
(3)当以为对角线时，点坐标为；当以为对角线时，点坐标为；当以为对角线时，点坐标为
【分析】（1）点关于轴对称的点的坐标为；
（2）分别作出点、、绕坐标原点逆时针旋转后的点，然后顺次连接，并写出点的对应点的坐标；
（3）分别以、、为对角线，写出第四个顶点的坐标．
【详解】（1）解：点关于轴对称的点的坐标为；
（2）所作图形如图所示：
，
点的坐标为：；
（3）当以为对角线时，点坐标为；
当以为对角线时，点坐标为；
当以为对角线时，点坐标为．
【点睛】本题考查了根据旋转变换作图，轴对称的性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
24．探究二：证明见解析；结论应用：平行四边形的四条边长为4，6，4，6．
【分析】探究二：由勾股定理得出，，两式相加可得出结论；
结论应用：设平行四边形的两边长为m，n，得出，解方程组可得出答案．
【详解】（1）探究二：证明：如图2，在中，过A作于M，过D作，交延长线于N．
设，，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
在中，由勾股定理可得，
∴①，
在中，由勾股定理可得，
∴②，
①②可得，
，
∴；
结论应用：
解：设平行四边形的两边长为m，n，
∵平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，，
∴，
解得或，
∴平行四边形的四条边长为4，6，4，6．
【点睛】此题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质的应用，平行四边形判定和性质的应用，以及勾股定理的应用，构建直角三角形利用勾股定理列式是解本题的关键．
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