17.2平行四边形的判定同步练习（含解析）华东师大版数学八年级下册

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17.2平行四边形的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为18米，则间的距离是（ ）

A．9米 B．18米 C．27米 D．36米
2．如图，在中，，，分别是边，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，等边的边长为6，是中位线，为边上的点，且，以为边作等边，连接，则的长为（ ）
A．1.5 B． C．2 D．
4．如图，在中，对角线与交于点，点为中点，连接，若平分则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 在菱形 中， 对角线、 相交于点 ， 平分 交 于点 ， 且点为线段的中点，连接并延长至点 ，使得 ，连接，若．则 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的有（ ）个．
①；②由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在四边形中，对角线与相交于点，给出四组条件：
①，； ②，； ③，； ④，．
能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A． B． C． D．
8．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （ ）
A． B．
C． D．
9．如图，四边形中，E是DF上的一点，且，点A是BD，CE延长线的交点，添加下列条件后，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在中，，四个角的角平分线分别相交于点E，F，G，H，则四边形对角线的长为（ ）
A．3 B． C． D．
11．在中，，．在中，，．连接，M为线段的中点，连接．绕点A旋转，若，，的最大值为（ ）
A．5 B． C．7 D．
12．如图，若要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，，D，E分别是，的中点，则的长度为 ．

14．如图，四边形中，，，．点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．在，两点运动过程中，当线段将四边形截得的两个四边形中有一个是平行四边形时，则此时的运动时间为 ．
15．如图，在中，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至．若点在线段上，，，则的长为 ．
16．如图，是的中位线，若的周长为10，则的周长为 ．

17．如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为 ．
三、解答题
18．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，且．求证：四边形是平行四边形．
19．【温故知新】在研究平行四边形时，我们经历了将平行四边形问题转化为三角形问题来解决的过程，如图表①；同时我们也经历了利用平行四边形研究三角形的有关问题如图表②．
图表① 图表②
问题：求证平行四边形对边相等 策略：平行四边形问题三角形全等问题 问题：如图，D，E分别的中点，求证：，且． 策略：三角形问题平行四边形 进而得到与的位置和数量关系
总结：①平行四边形问题可以通过构造对角线转化为三角形问题；同样的三角形问题也可以转化为平行四边形问题； ②全等三角形和平行四边形是研究边、角关系的重要工具．
【迁移应用】请你根据已学的知识和学习经验解决下面问题：问题：．
(1)如图1，是的中线，若，求中线的取值范围；

(2)如图2，在梯形中，点M，N分别是的中点，连接．试判断与有什么数量关系和位置关系，并说明理由．

20．如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由．
21．如图1，在中，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点A到达点的位置，连接，．

(1)求证：；
(2)①求的最小值；
②当取得最小值时，请判断与的位置关系，并说明理由．
(3)如图2，分别是的中点，连接，在点运动的过程中，的大小为______．
22．在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
（1）【知识回顾】
在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理．
（2）【数学发现】
如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形．
如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？
【证明猜想】
（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长．
23．如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形．用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长．
24．如图，在平行四边形中，点分别在的延长线上，且，连接，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
《17.2平行四边形的判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B C D C A D A
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键，根据点是的中点，可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，是的中位线，
∴，
∴（米），
故选：．
2．C
【分析】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行线于三角形的第三边．
根据是的中位线，得到，即可得到．
【详解】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】此题重点考查等边三角形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，由等边三角形的性质得，，则，而，求得，由三角形的中位线定理，且，，且，所以，四边形是平行四边形，则，因为，，所以，可证明，得，于是得到问题的答案．
【详解】解：取的中点，连接，
是边长为6的等边三角形，
，，
，
为边上的点，且，
，
是的中位线，
点是的中点，，且，
，且，
，，，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
故选：C．
4．B
【分析】由平行四边形的性质得OB=OD，AB∥CD，则∠OCD=∠BAO=80°，∠ABD=∠CDO，再由三角形中位线定理得OF∥AB，则∠AOF=∠BAO=80°，然后求出∠COD=∠FOC=50°，最后由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OCD=∠BAO=80°，∠ABD=∠CDO，
∵点F为AD中点，
∴OF为△ABD的中位线，
∴OF∥AB，
∴∠AOF=∠BAO=80°，
∴∠FOC=180°-80°=100°，
∵OD平分∠FOC，
∴∠COD=∠FOC=50°，
∴∠CDO=180°-∠OCD-∠COD=180°-80°-50°=50°，
∴∠ABD=50°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠COD=50°是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了菱形的性质，中位线的性质，垂直平分线的性质与判定；根据角平分线的定义可得，根据菱形的性质以及中位线的性质可得出，进而根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角以及三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵ 平分，，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
又∵点为线段的中点，
∴，
∴ ，
又∵，
∴
∴
故选：C．
6．D
【分析】根据菱形的性质可得，由题意可得，由AAS证明得出OG是的中位线，得出，故①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出和是等边三角形，得出，平行四边形ABDE是菱形，故②正确；根据边之间的关系得OG是的中位线，得，，则，再由，则，故④正确；连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到三边的距离相等，则，则，故③正确，综上，即可得．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴，
∴OG是的中位线，
∴，
故①正确；
∵，，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵，
∴和是等边三角形，
∴，，
∴平行四边形ABDE是菱形，
故②正确；
∵，，
∴OG是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故④正确；
如图所示，连接FD，
∵是等边三角形，AO平分，BG平分，
∴F到三边的距离相等，
∴，
∴，
故③正确，
综上，①②③④正确，结论正确的有4个，
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理、三角形中线性质，解题的关键是掌握这些知识点．
7．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此进行判断即可．
【详解】解：①由，，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
②由，可知，四边形的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
③由，可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
④由，可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
综上分析可知，能判定此四边形是平行四边形的有3组．
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、不能判定四边形是平行四边形，符合题意；
B、能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
D、能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：A．
9．D
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴四边形为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵，
∴四边形为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；故选项C不符合题意；
D、由，不能判定四边形为平行四边形；故选项D符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
10．A
【分析】延长，交于，依据平行四边形的性质，即可得到，进而得出的长．再判定四边形是平行四边形，即可得到．
【详解】解：如图所示，延长，交于，
∵，平分，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵平分，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是做辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到．
11．B
【分析】取的中点，连接，，由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线的定理可得，由三角形的三边关系可求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
，，点是的中点，
，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
，
在中，，
当点在的延长线上时，有最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．
12．B
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据已知条件可得，再根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：由图可得，
，
A，添加，可得，四边形中仅一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形；
B，添加，四边形中一组对边平行且相等，能判定四边形为平行四边形；
C，添加，可得，推出与不平行，四边形不是平行四边形；
D，添加，四边形中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形；
故选B．
13．10
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，由题意可得是的中位线，再由三角形的中位线定理即可求解．
【详解】解：∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
14．或
【分析】当DQ=AP时，四边形DQPA是平行四边形，当CQ=BP时，四边形CQPB是平行四边形，分别列出等式解得即可．
【详解】设点P、Q运动的时间为t，依题意得，
CQ=t，AP=2t，∴DQ=6-t，BP=9-2t，
∵AB∥CD，
∴①当DQ=AP时，四边形DQPA是平行四边形，
即6-t=2t，解得t=2；
②当CQ=BP时，四边形CQPB是平行四边形，
即t=9-2t，解得t=3；
∴当时间为2s或3s时，线段将四边形截得的两个四边形中有一个是平行四边形；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得即可，解题的关键是熟记平行四边形的判定定理．
15．9
【分析】取中点，连接，得是的中位线，，折叠的性质可得，，依据，得到，进而求得，设，，则，得出，在中，根据勾股定理得：，根据，得出，在中，根据勾股定理得：，得出，证明，得出，在中，根据勾股定理得：，即，整理得：，得出方程，利用平方根定义，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，取中点，连接，
∵为斜边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
∴，
∵为斜边的中点，
∴，
∴，
即，
∴，
设，，则，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∵为斜边的中点，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
整理得：，
∵，
∴设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
整理得：，
∴，
，
，
开平方得：，
解得：或（舍去），
∴．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
16．5
【分析】本题考查了三角形中位线定理，利用三角形中位线定理得的周长为的周长的一半，即可求解；掌握三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：是的中位线，
，
的周长为；
故答案为：5．
17．
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，掌握“连接三角形两边中点的线段是中位线”的判定方法是解题关键．
先根据平行四边形的性质求出，再由中位线的判定与性质得出的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点、分别是、的中点，
∴．
故答案为：3．
18．见解析
【分析】先由证得，再利用直角三角形的全等判定HL证明，再根据全等三角形的性质得出，由此推出，即可根据平行四边形的判定得出结论．
【详解】证明：∵，
∴．
即．
∵，，
∴．
在与中，
∵，，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定是解题的关键．
19．(1)
(2)，；理由见解析
【分析】（1）延长到点E，使，连接，证明，利用三角形的三边关系得到，即可得解；
（2）连接并延长交的延长线于点，证明，推出是的中位线，得到，，进而得到，利用平行公理，得到，即可．
【详解】（1）解：延长到点E，使，连接．

∵是中线，
∴，
在三角形和三角形中
，
∴．
∴．
在中，，
由三角形的三边关系定理得：
，即．
∵，
∴．
（2），，证明如下：
连接并延长交的延长线于点，

∵M是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴M是的中点．
又∵N是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，是解题的关键．
20．说法正确，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作，交于点．只要证明四边形是平行四边形且即可．
【详解】解：正确．
理由：过点作，交于点，则，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)①；②，见解析
(3)
【分析】（1）由旋转知，、、，故由证出全等即可；
（2）①由两点之间，线段最短知、、、共线时最小，且最小值为，再由，，求出和，再由旋转知，，最后根据勾股定理求出即可；
②先由为等边三角形得，再由、、、共线时最小，，最后，即证；
（3）由中位线定理知道，，，，由得，即，再设，，则，，得，得．
【详解】（1）证明：由旋转可知：
，
是等边三角形，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）①两点之间，线段最短，
即、、、共线时最小，
最小值为，
，，，
，
，
，
，
，
；
②解：，
理由如下：
为等边三角形，
即，
、、、共线时最小，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，
，，分别是，，的中点，
，，
，，
，
，
，
且，
为等边三角形，
设，，
则，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键．
22．（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6；
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
（1）根据三角形中位线定理的内容写出对应的已知，求证和证明过程即可；
（2）延长交延长线于M，证明可得到所要的三角形；根据梯形性质和三角形的中位线进行猜想即可得出结论；
（3）如图③，连接并延长，交延长线于点，证明得到，，在中，利用三角形的中位线可证得，，进而可证得结论；再根据结论求出的长即可．
【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，
求证：：
证明：如图所示，过点C作交延长线与F，
∵分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；
猜想：，；
（3）连接并延长，交延长线于点，
，
．
是的中点，
．
，
．
，．
点是的中点，又点是的中点，
是的中位线，
，．
．
，，
．
，．
∵，，
∴。
23．3种，见解析
【分析】把相等的边靠在一起即可得到答案，有三种拼法．
【详解】解：有三种拼法，如图1中，
两条对角线都是m；
如图2中，
对角线分别为n和；
较长的对角线=2×；
如图3中，
对角线分别为h和；
较长的对角线=2×．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、勾股定理等知识，本题还考查了学生的动手能力、空间想象能力，解题的关键是相等的边靠在一起，且满足是平行四边形这个条件，属于中考常考题型．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法和性质，是解题的关键：
（1）根据平行四边形的性质，得到，进而推出，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质，结合三角形的内角和定理以及对顶角相等，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵在中，
∴，
∵点E，F分别在的延长线上，且，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
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