15.2分式的运算同步练习（含解析）华东师大版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 15.2分式的运算同步练习（含解析）华东师大版数学八年级下册 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 821.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
15.2分式的运算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．依据如图流程图计算，需要经历的路径是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．已知非零实数x满足，则的值为( )
A．5 B．7 C．9 D．11
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．设a，b，c，d都是正数，且S＝，那么S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，关于的值，下列说法正确的是（ ）
A．当时，其值为1 B．当时，其值为1
C．当时，其值为正数 D．当时，其值小于1
6．如果，那么代数式的值是（ ）
A．3 B． C． D．
7．化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．化简的结果为（ ）
A．x B． C． D．
9．设，则的整数部分等于（ ）
A． B． C． D．
10．若，则（ ）中的数是（ ）
A． B．1 C． D．任意实数
11．地在河的上游，地在河的下游，若船从地开往地的速度为，从地返回地的速度为，则，两地间往返一次的平均速度为（ ）
A． B． C． D．无法计算
12．计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
13．一块麦田有，甲收割机单独收割完这块麦田需，让乙收割机来收割这块麦田，结果比甲收割机多用收割完．这两台收割机共同收割完这块地需要 h．
14．当分别取2024，2023，2022，…，3，2，1时，计算分式的值，所得结果相加的和为 ．
15．已知a为范围的整数，则的值是 ．
16．计算： ．
17．计算： ．
三、解答题
18．先化简，再求值：，其中．
19．已知为整数，，．若的值为正整数，求所有符合条件的的值．
20．化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．已知，求代数式的值．
22．《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
请观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明；
(3)应用运算规律，计算： ．
23．先化简，再求值，其中．
24．先化简，再求值：，其中．
《15.2分式的运算》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A D B D B A A
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】计算原式，通过观察过程即可得答案．
【详解】解：
=②
④
，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，关键是熟记法则，注意最后要化简为最简分式．
2．D
【分析】先将转化为，然后利用完全平方公式将变形为，再代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴
，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的化简求值，完全平方公式的应用，运用了恒等变换和整体代入的思想．灵活运用完全平方公式是解题的关键．
3．A
【分析】本题主要考查了分式的加减，关键是熟练掌握同分母分式的加减运算法则．根据同分母分式的加减运算法则进行计算，即分母不变，分子相加减，最后再约分即可．
【详解】解：，
故选：A．
4．A
【分析】根据，进而对原式变形可以证明，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵a，b，c，d都是正数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了同分母分式的加法，不等式的性质，正确得到，是解题的关键．
5．D
【分析】先分析A的代数式需要满足分母不为0的条件，即时，A的代数式无意义，故排除A、B选项；然后再讨论C选项有三种情况，也被排除；最后讨论D选项成立．
【详解】A选项，将代入A的表达式，分母为0，没有意义，故A错误；
B选项，将代入A的表达式，同样分母为0，没有意义，故B错误；
当时，有可能是正数，也有可能是负数，也有可能没有意义，故C错误；
D选项，将A的表达式化简：．当时，两边同除以 ，得，即，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查分式有意义的条件以及满足一定条件时时的取值范围，重点把握分母不为零是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当时，原式，
故选：B．
7．D
【分析】直接运用分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键．
8．B
【分析】本题考查了分式的加减，根据分式的减法进行计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
9．A
【分析】此题主要考查了整数问题的综合应用．由于，
由此可以得到，
然后即可求出的整数部分．
【详解】解：当，3，…，2011，
因为，
所以，
，
…，
，
．
于是有，
故的整数部分等于4．
故选：A．
10．A
【分析】将看成差，将看成减数，用差加上减数即可求出被减数的值．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的加减，熟练掌握分式的加减的运算法则是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查分式的实际应用，根据平均速度总路程总时间来解答．
【详解】解：设，两地的距离为S，则往返一次行驶的总路程为，
总时间为：，
因此往返一次的平均速度为：，
故选B．
12．D
【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：
故选：D．
13．
【分析】先分别求出甲、乙收割机的工作效率，再根据合作工作时间工作总量（甲工作效率乙工作效率）来求解．
【详解】解：根据工作效率工作总量工作时间，可得甲的工作效率为．
乙收割这块麦田比甲多用，即乙需要，所以乙的工作效率为．
∴甲、乙工作效率之和为：．
∴可得共同收割完需要的时间为：．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式以及分式的运算，解题关键是熟练掌握工作效率、工作时间和工作总量的关系，并能正确进行分式的运算．
14．
【分析】本题考查了分式的求值，利用分式的性质裂项求和是解题的关键．根据分式的运算法则可得，令分别取2024，2023，2022，…，3，2，1，再代入到化简的式子求和即可得出答案．
【详解】解：，
当分别取2024，2023，2022，…，3，2，1时，
所得结果相加的和
．
故答案为：．
15．-1
【分析】根据分式的混合运算法则先将所求分式化简，再根据分式有意义的条件，确定a的值，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
根据题意有：，，，
即，，，
∵，且为整数，
∴，
将代入，有原式，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．
16．
【分析】此题考查分式的除法，将分式的分子和分母因式分解，将除法化为乘法，计算乘法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
18．，
【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的化简求值．
【详解】解：
，
当时，
．
19．，0，1，4
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键，因此此题可根据分式的运算进行求解，然后再根据题意再进行求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
要使为正整数，则或或或，即，0，1，4．
20．(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
（1）把分式的分子相减，再约分化简即可；
（2）先通分，再把分式的分子相减，然后约分化简即可；
（3）把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简即可；
（4）把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
21．
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
22．(1)
(2)，证明见解析
(3)1
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键．
（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论进行计算即可．
【详解】（1）解：由题知，
因为第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…，
所以第n个等式可表示为：．
当时，
第7个等式为：．
故答案为：；
（2）解：由（1）知，
第n个等式可表示为：．
证明如下：
左边右边，
所以此等式成立；
（3）解：由（2）知，
当时，
，
所以，
则原式．
故答案为：1．
23．，2022
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
24．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值．
先根据平方差公式化简原式，再将代入即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
当时，原式=．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
15.2分式的运算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．依据如图流程图计算，需要经历的路径是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．已知非零实数x满足，则的值为( )
A．5 B．7 C．9 D．11
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．设a，b，c，d都是正数，且S＝，那么S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，关于的值，下列说法正确的是（ ）
A．当时，其值为1 B．当时，其值为1
C．当时，其值为正数 D．当时，其值小于1
6．如果，那么代数式的值是（ ）
A．3 B． C． D．
7．化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．化简的结果为（ ）
A．x B． C． D．
9．设，则的整数部分等于（ ）
A． B． C． D．
10．若，则（ ）中的数是（ ）
A． B．1 C． D．任意实数
11．地在河的上游，地在河的下游，若船从地开往地的速度为，从地返回地的速度为，则，两地间往返一次的平均速度为（ ）
A． B． C． D．无法计算
12．计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
13．一块麦田有，甲收割机单独收割完这块麦田需，让乙收割机来收割这块麦田，结果比甲收割机多用收割完．这两台收割机共同收割完这块地需要 h．
14．当分别取2024，2023，2022，…，3，2，1时，计算分式的值，所得结果相加的和为 ．
15．已知a为范围的整数，则的值是 ．
16．计算： ．
17．计算： ．
三、解答题
18．先化简，再求值：，其中．
19．已知为整数，，．若的值为正整数，求所有符合条件的的值．
20．化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．已知，求代数式的值．
22．《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
请观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明；
(3)应用运算规律，计算： ．
23．先化简，再求值，其中．
24．先化简，再求值：，其中．
《15.2分式的运算》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A D B D B A A
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】计算原式，通过观察过程即可得答案．
【详解】解：
=②
④
，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，关键是熟记法则，注意最后要化简为最简分式．
2．D
【分析】先将转化为，然后利用完全平方公式将变形为，再代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴
，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的化简求值，完全平方公式的应用，运用了恒等变换和整体代入的思想．灵活运用完全平方公式是解题的关键．
3．A
【分析】本题主要考查了分式的加减，关键是熟练掌握同分母分式的加减运算法则．根据同分母分式的加减运算法则进行计算，即分母不变，分子相加减，最后再约分即可．
【详解】解：，
故选：A．
4．A
【分析】根据，进而对原式变形可以证明，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵a，b，c，d都是正数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了同分母分式的加法，不等式的性质，正确得到，是解题的关键．
5．D
【分析】先分析A的代数式需要满足分母不为0的条件，即时，A的代数式无意义，故排除A、B选项；然后再讨论C选项有三种情况，也被排除；最后讨论D选项成立．
【详解】A选项，将代入A的表达式，分母为0，没有意义，故A错误；
B选项，将代入A的表达式，同样分母为0，没有意义，故B错误；
当时，有可能是正数，也有可能是负数，也有可能没有意义，故C错误；
D选项，将A的表达式化简：．当时，两边同除以 ，得，即，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查分式有意义的条件以及满足一定条件时时的取值范围，重点把握分母不为零是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当时，原式，
故选：B．
7．D
【分析】直接运用分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键．
8．B
【分析】本题考查了分式的加减，根据分式的减法进行计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
9．A
【分析】此题主要考查了整数问题的综合应用．由于，
由此可以得到，
然后即可求出的整数部分．
【详解】解：当，3，…，2011，
因为，
所以，
，
…，
，
．
于是有，
故的整数部分等于4．
故选：A．
10．A
【分析】将看成差，将看成减数，用差加上减数即可求出被减数的值．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的加减，熟练掌握分式的加减的运算法则是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查分式的实际应用，根据平均速度总路程总时间来解答．
【详解】解：设，两地的距离为S，则往返一次行驶的总路程为，
总时间为：，
因此往返一次的平均速度为：，
故选B．
12．D
【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：
故选：D．
13．
【分析】先分别求出甲、乙收割机的工作效率，再根据合作工作时间工作总量（甲工作效率乙工作效率）来求解．
【详解】解：根据工作效率工作总量工作时间，可得甲的工作效率为．
乙收割这块麦田比甲多用，即乙需要，所以乙的工作效率为．
∴甲、乙工作效率之和为：．
∴可得共同收割完需要的时间为：．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式以及分式的运算，解题关键是熟练掌握工作效率、工作时间和工作总量的关系，并能正确进行分式的运算．
14．
【分析】本题考查了分式的求值，利用分式的性质裂项求和是解题的关键．根据分式的运算法则可得，令分别取2024，2023，2022，…，3，2，1，再代入到化简的式子求和即可得出答案．
【详解】解：，
当分别取2024，2023，2022，…，3，2，1时，
所得结果相加的和
．
故答案为：．
15．-1
【分析】根据分式的混合运算法则先将所求分式化简，再根据分式有意义的条件，确定a的值，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
根据题意有：，，，
即，，，
∵，且为整数，
∴，
将代入，有原式，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．
16．
【分析】此题考查分式的除法，将分式的分子和分母因式分解，将除法化为乘法，计算乘法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
18．，
【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的化简求值．
【详解】解：
，
当时，
．
19．，0，1，4
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键，因此此题可根据分式的运算进行求解，然后再根据题意再进行求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
要使为正整数，则或或或，即，0，1，4．
20．(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
（1）把分式的分子相减，再约分化简即可；
（2）先通分，再把分式的分子相减，然后约分化简即可；
（3）把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简即可；
（4）把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
21．
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
22．(1)
(2)，证明见解析
(3)1
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键．
（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论进行计算即可．
【详解】（1）解：由题知，
因为第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…，
所以第n个等式可表示为：．
当时，
第7个等式为：．
故答案为：；
（2）解：由（1）知，
第n个等式可表示为：．
证明如下：
左边右边，
所以此等式成立；
（3）解：由（2）知，
当时，
，
所以，
则原式．
故答案为：1．
23．，2022
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
24．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值．
先根据平方差公式化简原式，再将代入即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
当时，原式=．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)