选修2-2 第三章 3.1 3.1.1
一、选择题
1．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－ B．2kπ＋
C．2kπ± D．＋(以上k∈Z)
[答案] B
[解析] 由得(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋.选B.
2．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
[答案] C
[解析] 由复数相等的充要条件得
解得：a＝－4.故应选C.
3．已知复数z＝cosα＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )
A．{π，，} B．{，}
C．{π，，} D．{，π，}
[答案] D
[解析] 由条件知，cosα＋cos2α＝0，
∴2cos2α＋cosα－1＝0，
∴cosα＝－1或，
∵0<α<2π，∴α＝π，或，故选D.
4．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
[答案] D
[解析] 由复数相等的定义可知，
∴cosθ＝，sinθ＝.
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
[答案] C
[解析] 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.
6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a、b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a≤0
[答案] D
[解析] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
二、填空题
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝______，y＝______
[答案] 1
[解析] 由复数相等可知，
∴
8．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.
[答案] 2
[解析] 方程可化为
解得x＝2.
9．如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________.
[答案] －2
[解析] 如果z为纯虚数，需，解之得a＝－2.
三、解答题
10．已知z1＝＋i，z2＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)的值.
[解析] 由复数相等的充要条件，知
即
①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1，
即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝.
一、选择题
1．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
[答案] B
[解析] 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即，解得
∴z＝3－i，故应选B.
2．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，在集合A中任取一个元素a，则复数z＝(a2－1)＋(a2－a－2)i为实数的概率为p1，z为虚数的概率为p2，z＝0的概率为p3，z为纯虚数的概率为p4，则( )
A．p3
C．p3[答案] D
[解析] 由条件知A＝{－2，－1,0,1,2}，
若z∈R，则a2－a－2＝0，∴a＝－1或2，∴p1＝；
若z＝0，则∴a＝－1，∴p3＝；
若z为虚数，则a2－a－2≠0，∴a≠－1且a≠2，
∴p2＝；
若z为纯虚数，则∴a＝1，∴p4＝.
∴p3＝p4二、填空题
3．若cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数，则θ＝________.
[答案] 2kπ＋(k∈Z)
[解析] 由cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数知，
所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．
4．若x是实数，y是纯虚数，且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________.
[答案] 2i
[解析] 设y＝bi(b∈R, 且b≠0)，则2x－1＋2i＝bi，再利用复数相等的充要条件得
解得∴x＝，y＝2i.
三、解答题
5．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值.
[解析] 由题意，得
∴
∴当m＝3时，原不等式成立．
6．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
[解析] (1)当
即m＝2时，复数z是实数；
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
课件45张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-2 2-3 数系的扩充与复数的引入第三章3.1 数系的扩充与复数的概念 第三章3.1.1 数系的扩充与复数的概念1．数系扩充的脉络、原则
脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系→______
原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则：
(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；
(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)________适用；
(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系________；
(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾．复数系 依然 保持不变 2．对于方程x2＋2x＋3＝0，由于Δ＝－8，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数i，使得i2＝－1，则此方程的解可写成x1＝_____________，x2＝__________.
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝______.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的________与________．全体复数构成的集合叫做________．
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?__________.－1 实部 虚部 复数集 a＝c且b＝d a＝0且b＝0 必要不充分 b＝0 b≠0 [知识点拨]对数系的扩充与复数概念的两点说明
(1)从解方程的角度看，像x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，为了解决这个问题引入一个新数i，叫虚数单位，且规定①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算；则原有的加、乘运算律仍成立．
(2)复数集中不全是实数的两数不能比较大小，如i和0.
若i>0，则i·i>0·i，即－1>0，不成立．
若i<0，则i·i>0·i，即－1>0，不成立．复数的概念
[分析] (1)是两复数相等，用复数相等的充要条件判断；②是复数比较大小，必须全是实数才可比较；③是在实数条件下x2≥0求得结果，当x为复数时，x2≥0未必成立；(4)要按复数是纯虚数的充要条件判断．
[解析] ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时
x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．
④ 当a＝－1时，a∈R，但(a＋1)i＝0不是纯虚数．
[答案] 0
[规律总结] 1.数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．
如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．
但i与实数的运算及运算律仍成立．
2．两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等，要先确定是否为代数形式，确定实部、虚部后再应用．
[答案] A
[解析] 因为实数也是复数，而两个实数是可以比较大小的，故(1)错；(2)中没有注意到z＝a＋bi中对a，b加以限制，故(2)错；(3)中在x，y∈R时可推出x＝y＝1，而此题未限制x，y∈R，故(3)错；(4)中忽视了当a＝0时，ai＝0，即0在虚数集中没有对应，故(4)错，因此选A.复数的分类 [规律总结] 1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先，参数的取值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解．
2．对于复数z＝a＋bi(a、b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．
3．形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R 且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．复数相等的条件
[错解] 两个复数不能比较大小，故①正确；
设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R)
∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确．
若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0，
所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确．
综上可知：①②③都正确，故选D.
[辨析] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．③中要保证a＋b≠0才可能是纯虚数．[正解] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的；
设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi.
当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②是错误的，③当a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，a－b＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A.
[点评] 复数有许多与实数不同的性质，在引用实数的一些结论时，一定要考虑在复数集中是否还成立，如两个实数可以比较大小，但不全为实数的两个复数就不能比较大小．
[解析] 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.选修2-2 第三章 3.1 3.1.2
一、选择题
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
[答案] C
[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
2．在复平面内，O为原点，向量对应复数为－1－2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应复数为( )
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
[答案] B
[解析] 由题意知A点坐标为(－1，－2)，而点B与点A关于直线y＝－x对称，则B点坐标为(2,1)，所以向量对应复数为2＋i.故应选B.
3．在复平面内，复数z1、z2对应点分别为A、B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝( )
A．4＋5i B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
[答案] D
[解析] 设z2＝x＋yi(x、y∈R)，
由条件得，
∴或故选D.
4．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] 复数z1＝2－ai对应的点为(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应的点在第二象限，故选B.
5．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] z＝－2sin100°＋2icos100°.
∵－2sin100°<0,2cos100°<0，
∴点Z在第三象限．故应选C.
6．复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[答案] B
[解析] 所求复数的模为
＝＝，
∵π＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos＜0，
∴＝－2cos.
二、填空题
7．(湖北高考)i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
[答案] －2＋3i
[解析] ∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．
∴z2＝－2＋3i.
8．复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________.
[答案] 5
[解析] 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得＝.解得a＝5.
9．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________.
[答案] 12
[解析] 由条件知，
∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12.
三、解答题
10．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：
(1)对应点在x轴上方；
(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
[解析] (1)由m2－2m－15>0，得知m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方；
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：
m＝或m＝，
z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．
一、选择题
1．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( )
A．－1 B．4
C．－1和4 D．－1和6
[答案] C
[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.
2．下列命题中，假命题是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
[答案] D
[解析] ①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0??|z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|.
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
二、填空题
3．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若O＝x O＋y O(x、y∈R)，则x＋y的值是______.
[答案] 5
[解析] 由复数的几何意义可知，
O＝x＋y，
即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，
由复数相等可得，
解得
∴x＋y＝5.
4．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________.
[答案]
[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，
∴tanθ＝.
三、解答题
5．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值.
[解析] 因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝(－，m)．
又a，b的夹角为60°，所以cos60°
＝，即＝，解得m＝±.
6．已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹.
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知∴①
∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a2＋b2＝4.
将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4.
∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．
课件39张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-2 2-3 数系的扩充与复数的引入第三章3.1 数系的扩充与复数的概念 第三章3.1.2 复数的几何意义1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做________，y轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除了________外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)每一个复数都由它的________和________唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是________关系．实轴 虚轴 原点 实部 虚部 一一对应 (2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是________，不是(a，bi)．
(3)复数与复平面内____________的向量也可以建立一一对应关系．
如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点________或向量________表示．(a，b) 以原点为始点 Z(a，b) 距离 [知识点拨]复平面、实轴、虚轴与复数的对应
(1)复平面内点的坐标与复数实部、虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都是表示实数．
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
(4)象限内的点与复数的对应：
①第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
②第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
③第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
④第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．[答案] B
[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．[答案] C
[解析] z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限. [答案] B[答案] A复数的几何意义
[规律总结] 复数z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面内的点Z(a，b)一一对应，复数z的实部、虚部分别对应点的横纵坐标，再根据点的坐标满足的条件求值或取值范围．复数模的计算
[规律总结] 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小 ，但它们的模可以比较大小．综合应用
[规律总结] 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．[辨析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误. 选修2-2 第三章 3.2 3.2.1
一、选择题
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
[答案] B
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.
2．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
[答案] D
[解析] z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.
3．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[答案] A
[解析] |AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A.
4．?ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3i B．4＋8i
C．4－8i D．1＋4i
[答案] C
[解析] 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知＝，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.
5．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] ∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i，
∴z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i
＝2＋5i.
∴点Z位于复平面内的第一象限．故应选A.
6．(2015·陕西理，11)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
A.＋ B.＋
C.－ D．－
[答案] D
[解析] 由题意可得，|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，符合条件y≥x的区域如图中阴影部分所示，可计算得出S阴＝π×12－×12＝－.所以由几何概型可知，所求概率为＝－.
故本题正确答案为D.
二、填空题
7．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为________________和________________.
[答案] 或
[解析] 方程的实根必然适合方程，设x＝x0为方程的实根，代入整理后得a＋bi＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值．
8．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为________.
[答案]
[解析] ∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，
∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝.
9．在复平面内，O是原点，O、O、A对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么B对应的复数为______.
[答案] 4－4i
[解析] B＝O－O
＝O－(O＋A)
＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)
＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i
＝4－4i.
三、解答题
10．已知平行四边形ABCD中，A与A对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.
(1)求A对应的复数；
(2)求D对应的复数；
(3)求△APB的面积．
[解析] (1)由于ABCD是平行四边形，所以A＝A＋A，于是A＝A－A，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即A对应的复数是－2＋2i.
(2)由于D＝A－A，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即D对应的复数是5.
(3)由于P＝C＝－A＝，
P＝D＝，
于是P·P＝－，
而||＝，||＝，
所以··cos∠APB＝－，
因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，
故S△APB＝||||sin∠APB
＝×××＝.
即△APB的面积为.
一、选择题
1．若复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．3
C．1或3 D．－1
[答案] B
[解析] 由条件知∴a＝3.
2．复数z1、z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－，1]
C．[－，7] D． [，1]
[答案] C
[解析] ∵z1＝z2，∴
∴λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－)2－，
∵sinθ∈[－1,1]，∴λ∈[－，7]．
二、填空题
3．在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第________象限.
[答案] 三
[解析] ∵3π<10<，∴cos10<0，sin10<0，
∴z的对应点在第三象限．
4．若|z－1|＝|z＋1|，则|z－1|的最小值是______.
[答案] 1
[解析] 解法一：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，
则|(a－1)＋bi|＝|(a＋1)＋bi|.
∴＝，
即a＝0，∴z＝bi，b∈R，
∴|z－1|min＝|bi－1|min＝，
故当b＝0时，|z－1|的最小值为1.
解法二∵|z－1|＝|z＋1|，
∴z的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y轴，|z－1|表示，y轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.
三、解答题
5．已知关于t的方程t2＋2t＋2xy＋(t＋x－y)i＝0(x、y∈R)，求使该方程有实根的点(x，y)的轨迹方程.
[解析] 设原方程的一个实根为t＝t0，则有
(t＋2t0＋2xy)＋(t0＋x－y)i＝0.
根据复数相等的充要条件有
把②代入①中消去t0，得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
故所求点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
6．设z＝a＋bi(a、b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，又ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围.
[解析] ∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，
∴6a＋2bi＝3＋i，
∴∴∴z＝＋i，
∴z－ω＝－(sinθ－icosθ)
＝＋i
∴|z－ω|＝
＝＝
＝，
∵－1≤sin≤1，
∴0≤2－2sin≤4
∴0≤|z－ω|≤2，
故所求得z＝＋i，
|z－ω|的取值范围是[0,2]．
课件41张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-2 2-3 数系的扩充与复数的引入第三章3.2 复数代数形式的四则运算 第三章 3.2.1 复数代数形式的加减运算
及其几何意义1．复数的加法与减法
(1)复数的加法与减法运算法则
设a＋bi和c＋di是任意两个复数，我们定义复数的加法、减法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝__________________，(a＋bi)－(c＋di)＝_______________，即两个复数相加(减)就是实部与实部、虚部与虚部分别________，其结果仍然是一个________．
(2)复数加法的运算律
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i 相加(减) 复数 [知识点拨]对复数加法、减法运算的五点说明
(1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．
(4)适当推广：可以推广到多个复数进行加、减运算．
(5)虚数单位i：在进行复数加减运算时，可将虚数单位i看成一个字母，然后去括号，合并同类项即可．[答案] D[答案] 8复数的加减运算 复数加减法及复数模的几何意义
[规律总结] 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)技巧：
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
①为平行四边形；
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．综合应用
[规律总结] 求|z1＋z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域，要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．[辨析] 四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅有?ABCD一种情况，应该还有?ABDC和?ACBD两种情况．如图所示．
[正解] 用错解可求D对应的复数为1－7i，用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图①中点D对应的复数为3＋7i，
图②中点D对应的复数为－11＋3i.
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.
[点评] 审题要细致，考虑问题要全面，本题中只说四个点A、B、C、D构成平行四边形，并没有限定是?ABCD，不要犯思维定势错误．[答案] A
[解析] 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A、B、C距离相等，∴P为△ABC的外心．选修2-2 第三章 3.2 3.2.2
选择题
1．(2016·郑州高二检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] ∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
[答案] A
[解析] 本题考查复数的乘法，复数的几何意义．
∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，
∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A.
3．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
[答案] A
[解析] 由定义得＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，
∴z＝＝3－i.
故应选A.
4．已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是( )
A．z－为纯虚数
B．任何数的偶数次幂均为非负数
C．i＋1的共轭复数为i－1
D．2＋3i的虚部为3
[答案] D
[解析] 当z为实数时A错；由i2＝－1知B错；由共轭复数的定义知1＋i的共轭复数为1－i，C错，故选D.
5．(2016·全国卷Ⅲ理，2)若z＝1＋2i，则＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[答案] C
[解析] ＝＝i.
6．(2016·长安一中质检)设z＝＋i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝( )
A．6z B．6z2
C．6 D．－6z
[答案] C
[解析] z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)＝6.
二、填空题
7．已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个顶点对应的复数是________.
[答案] 2－i
[解析] 不妨设正方形的三个顶点A，B，C对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，
则A(1,2)，B(－2,1)，C(－1，－2)，易知·＝0，
设D(x，y)，则AB∥DC，
因此应满足＝，即(－3，－1)＝(－1－x，－2－y)
即解得
则D(2，－1)，对应的复数为2－i，
故答案为2－i.
8．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝________.
[答案]
[解析] ∵z1(1－i)＝3－i，
∴z1＝＝＝2＋i，
∵A与B关于x轴对称，
∴z1与z2互为共轭复数，
∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.
9．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为________.
[答案] 2
[解析] ∵＝
＝为纯虚数，∴∴a＝2.
三、解答题
10．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由复数相等的定义得，
由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x<0，y>0，∴－3≤x<0，∴－6≤a＜0.
一、选择题
1．(2016·启东高二检测)已知复数z1＝a＋i，z2＝1＋i，其中a∈R，是纯虚数，则实数a的值为( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[答案] A
[解析] ∵＝＝
＝为纯虚数，
∴∴a＝－1，故选A.
2．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
[答案] C
[解析] ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
二、填空题
3．设x、y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
[答案] 4
[解析] ＋＝可化为，
＋＝，
即＋i＝＋i，
由复数相等的充要条件知
∴∴x＋y＝4.
4．若复数z满足z＋i＝，则|z|＝________.
[答案]
[解析] ∵z＝－i＝－3i＋1－i＝1－4i，
∴|z|＝.
三、解答题
5．设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的平分线上，|z－m|＝5，求复数z和实数m的值.
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25.
又(3＋4i)z＝(3＋4i)(x＋yi)＝(3x－4y)＋(4x＋3y)i
对应的点在第二、四象限的平分线上，
∴3x－4y＝－4x－3y，化简得y＝7x.
将它代入x2＋y2＝25，得x＝±，y＝±，
∴z＝±(＋i)．
当z＝＋i时，|z－m|＝|1＋7i－m|＝5，解得m＝0或2.
当z＝－(＋i)时，|z－m|＝|－1－7i－m|＝5，m＝0或－2.
6．已知复数z＝3＋3i＋m(m∈C)，且为纯虚数.
(1)求z在复平面内对应点的轨迹；
(2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．
[解析] (1)∵为纯虚数，
∴＋()＝0，化简得|m|＝3.
由z＝3＋3i＋m，得z－(3＋3i)＝m，
∴|z－(3＋3i)|＝|m|＝3.
∵m≠±3，
∴z≠6＋3i且z≠3i，
∴复数z对应的点的轨迹为以(3,3)为圆心，3为半径的圆，去掉(6,3)，(0,3)两点．
(2)|z－1|2＋|z＋1|2
＝(z－1)(－1)＋(z＋1)(＋1)
＝2(|z|2＋1)．
由几何意义知，|z|max＝9，|z|min＝3，
∴|z－1|2＋|z＋1|2的最大值为164，最小值为20.
章末整合提升
课件45张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-2 2-3 数系的扩充与复数的引入第三章3.2 复数代数形式的四则运算 第三章3.2.2 复数代数形式的乘除运算在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果．1．复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝___________________.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)i z2·z1 z1z2＋z1z3 a＝c且b＝－d a＝c且b＝－d≠0 [知识点拨]1.对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论：
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.[答案] B[答案] A[答案] B复数代数形式的乘除法运算 [答案] (1)A (2)2
[规律总结] 1.复数的乘法运算法则的记忆
复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
2．复数的除法运算法则的记忆
复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.虚数单位的幂的周期性 共轭复数 [思路分析] 通过运算把复数写成a＋bi(a、b∈R的形式)，则其共轭复数为a－bi.综合应用 [答案] C课件32张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-2 2-3 数系的扩充与复数的引入第三章章末整合提升第三章专题一 复数的概念
熟练掌握复数的代数形式，复数的相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数题的前提．
专题二 复数的运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.[答案] A
专题三 复数及其运算的几何意义
复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题．[答案] D
[思路分析] 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z在复平面内的对应点为Z(a，b)，据此可由点的坐标写出点对应的复数，也可描出复数在复平面内的对应点．
专题四 复数的模
熟记复数模的计算公式和复数的模与以原点为起点的向量的模之间的关系，就能迅速求解有关复数模的问题．[答案] D[答案] B第三章综合检测(基础卷)
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知i是虚数单位，则＝( )
A．1－2i B．2－i
C．2＋i D．1＋2i
[答案] D
[解析] ＝＝＝1＋2i.
2．若复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i＋i－i2＝4－2i，
∴z＝z1·z2在复平面内的对应点位于第四象限．
3．(i－)5的虚部为( )
A．32i B．－32i
C．－32 D．32
[答案] D
[解析] (i－)5＝()5＝()5＝(2i)5＝32i，故虚部为32.
4．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m的值为( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] D
[解析] 若＝＝为实数，则6＋4m＝0，解得m＝－.
5．如图所示，在复平面内，向量对应的复数是1－i，将向量向左平移一个单位后得到向量，则点P0对应的复数为( )
A．1－i B．1－2i
C．－1－i D．－i
[答案] D
[解析] 要求点P0对应的复数，根据题意，只需知道，而＝＋，从而可求P0对应的复数．
∵＝，对应的复数是－1，
∴点P0对应的复数，
即对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.
6．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实根，则实数m满足( )
A．m≤－ B．m≥－
C．m＝ D．m＝－
[答案] C
[解析] 设实根为x0，则x＋(1－2i)x0＋3m－i＝0，即(x＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0，
∴解得
7．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝a＋bi的模等于( )
A．0 B.
C．5 D．
[答案] D
[解析] 由题设知a，b∈R，(a－2i)i＝2＋ai＝b－i，∴a＝－1，b＝2，∴z＝－1＋2i，
∴|z|＝＝.
8．若z1，z2∈C，则z1＋z2是( )
A．纯虚数 B．实数
C．虚数 D．实数或虚数
[答案] B
[解析] 设z1＝x＋yi，z2＝a＋bi，x，y∈R，则z1＋1z2＝(x＋yi)(a－bi)＋(x－yi)(a＋bi)＝2(ax＋by)＋(ay－bx＋bx－ay)i＝2(ax＋by)∈R.
9．设复数z在映射f下的象是·i，则－1＋2i的原象为( )
A．2－i B．2＋i
C．－2＋i D．－1＋3i
[答案] A
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则·i＝(x－yi)·i＝y＋xi＝－1＋2i，
∴y＝－1，x＝2，故z＝2－i.故选A.
10．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A、B、C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] ∵＝λ＋μ，∴3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)
＝－λ＋μ＋(2λ－μ)i，
∴
∴∴λ＋μ＝1.
11．设f(z)＝，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f()的值是( )
A．－2＋3i B．－2－3i
C．4－3i D．4＋3i
[答案] D
[解析] z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)
＝(1＋3)＋(5－2)i＝4＋3i，
∴＝4－3i，
∴f()＝f(4－3i)＝＝4＋3i.
12．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|－3的最小值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案] B
[解析] 方法一(几何法)：|z＋2－2i|＝1表示圆心为点(－2,2)，半径为1的圆，而|z－2－2i|表示圆上的点到点(2,2)的距离，其最小值为3，∴|z－2－2i|－3的最小值为0，故选B.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2016·江苏卷，2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.
[答案] 5
[解析] 复数z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i，其实部是5.
14．设复数z1、z2满足z1－2＝－1＋i，z1＝(a＋2)＋(a2＋a－2)i为不等于0的实数，则|z2|＝________.
[答案]
[解析] ∵z1∈R，∴a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，
∵z1≠0，∴a＋2≠0，∴a＝1，∴z1＝3，
∵z1－2＝－1＋i，∴2＝z1－(－1＋i)＝4－i，
∴z2＝4＋i，∴|z2|＝.
15．A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB为________.
[答案] 直角三角形
[解析] 设z1＋z2对应的点为C，由|z1＋z2|＝|z1－z2|得
四边形OACB为矩形，∴△AOB为直角三角形．
16．已知＋i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝________，b＝________.
[答案] 1 －
[解析] 把＋i代入方程得
a(＋i)2＋b(＋i)＋1＝0，
即(a＋b＋1)＋(＋b)i＝0.
∴
即解得
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知z＝1＋i，a，b∈R，若＝1－i，求a，b的值.
[解析] ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，
∴＝＝＝a＋2－(a＋b)i＝1－i，
∴，∴
18．(本题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
[解析] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
因此z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以得A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以得A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
19．(本题满分12分)已知z＝，其中i为虚数单位，a>0，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模.
[解析] ∵z＝，代入ω＝z(z＋i)，得
ω＝(＋i)＝
＝＝
＝＋i，
∴ω的实部为，虚部为，
由已知得－＝，
解得a2＝4，∴a＝±2.
又a>0，故a＝2.
|ω|＝|＋i|＝|＋i|
＝|＋3i|＝.
20．(本题满分12分)已知复数z＝m2(＋i)＋(8m＋15)i＋对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
[解析] ∵z＝＋(m2＋8m＋15)i，
∴复数z的对应点为Z(，m2＋8m＋15)．
又点Z在第四象限，
∴解得－5故m的取值范围为(－5，－3)．
21．(本题满分12分)已知复数z＝
，ω＝z＋ai(a∈R)，当||≤时，求a的取值范围.
[解析] ∵z＝＝＝1－i，
∴|z|＝.又＝≤，∴|ω|≤2.
而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i，(a∈R)，
则≤2?(a－1)2≤3，
∴－≤a－1≤，1－≤a≤1＋.即a的取值范围为[1－，1＋]．
22．(本题满分12分)设虚数z满足|2z＋15|＝|＋10|.
(1)求|z|；
(2)若＋是实数，求实数a的值．
[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
|2x＋2yi＋15|＝|x－yi＋10|，
∴|z|＝＝5.
(2)＋＝＋
＝＋i.
∵＋为实数，∴－＝0.
∵y≠0，∴－＝0，
∴a2＝x2＋y2＝75，a＝±5.
第三章综合检测(能力卷)
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算，当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝1，解a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1，b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要条件，选A.
2．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于( )
A．－1－2i B．－2＋i
C．－1＋2i D．1＋2i
[答案] C
[解析] 由题意可得＝
＝＝－1＋2i，故选C.
3．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] z＝＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为(m－4)，虚部为－(m＋1)，
由得此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
4．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝( )
A．－－i B．－＋i
C.＋i D．－i
[答案] D
[解析] 因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋＝－i.
5．若θ∈，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] θ∈时，
sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0，
故对应点(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ)在第二象限．
6．(2016·全国卷Ⅰ理，2)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.
C. D．2
[答案] B
[解析] 因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，选B.
7．(2016·成都高二检测)若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－sinA)＋i(sinB－cosA)对应的点位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ∵A、B为锐角三角形的内角，
∴∴A>－B，B>－A，
∴sinA>sin(－B)＝cosB，
sinB>sin(－A)＝cosA，
∴，
∴对应点在第二象限，故选B.
8．(2016·南宁高二检测)复数z满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] A
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴|2z＋1|＝
|z－i|＝
∴＝
整理得：a2＋b2＋a＋b＝0.
故选A.
9．已知复数z＝(x－2)＋yi(x、y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是( )
A. B.
C. D．
[答案] D
[解析] 因为|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－≤≤.
10．(2016·衡水中学高二检测)设a∈R，i是虚数单位，则“a＝1”是“为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] 当a＝1时，＝＝i为纯虚数．
当＝＝为纯虚数时，
a2＝1即a＝±1，故选A.
11．已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位，x∈R)，若复数∈R，则实数x的值为( )
A．－6 B．6
C. D．－
[答案] C
[解析] ＝＝＝＋·i∈R，∴＝0，∴x＝.
12．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是( )
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
[答案] C
[解析] ∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴z对应的点在实轴的上方．
又∵z与对应的点关于实轴对称．
∴C项正确．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2016·北京理，9)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
[答案] －1
[解析] (1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.
14．已知x＋＝－1，则x2017＋的值为________.
[答案] －1
[解析] ∵x＋＝－1，∴x2＋x＋1＝0.
∴x＝－±i，∴x3＝1.
∵2017＝3×672＋1，∴x2017＝x，
∴x2017＋＝x＋＝－1.
15．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1·z2的实部是__________.
[答案] cos(α＋β)
[解析] z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)
cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i
＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i
故z1·z2的实部为cos(α＋β)．
16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数.
[答案] 或π
[解析] 本题主要考查复数的概念．z为实数，则cosθ＝sinθ，即tanθ＝1.因为θ∈[0,2π]，
所以θ＝或π.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R.(2)z对应的点在
直线x＋y＋3＝0上.
[解析] (1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0
得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.
(2)当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，则有＋(m2＋2m－3)＋3＝0，得＝0，
解得m＝0或m＝－1±.
所以当m＝0或m＝－1±时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
18．(本题满分12分)(2016·长春高二期中)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，|z|＝1，且z＋＝1，求z；
(2)已知复数z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)为纯虚数，求实数m的值.
[解析] (1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，
由题意得解得a＝，b＝±.
∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴b＝－.
∴z＝－i.
(2)z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)＝(m2－m－6)＋(2m2－5m－3)i，依题意，m2－m－6＝0，解得m＝3或－2.
∵2m2－5m－3≠0.∴m≠3.∴m＝－2.
19．(本题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
[解析] 设z＝x＋yi (x、y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋
＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
∵y≠0，z2＋2z＋<0，
∴
又x2＋y2＝1. ③
由①②③得 ∴z＝－±i.
20．(本题满分12分)设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R).
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
[解析] (1)由已知，得
解①得－1解②得m<2.
故不等式组的解集为{m|－1因此m的取值范围是{m|－1(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
整理得log2[(1＋m)(3－m)]＝1.
从而(1＋m)(3－m)＝2，即m2－2m－1＝0，
解得m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m>0，且3－m>0.故m＝1±.
21．(本题满分12分)(2016·天津高二检测)设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝－(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R，若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值.
[解析] 依题意得z1＋z2为实数，
因为z1＋z2＝＋＋[(a2－10)＋(2a－5)]i，
所以所以a＝3.
此时z1＝－i，z2＝－1＋i，
即＝(，－1)，＝(－1,1)．
所以·＝×(－1)＋(－1)×1＝－.
22．(本题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.
(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；
(2)求点P(a，b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率．
[解析] (1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.
依题意得b的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b＝3的概率为.
即事件“z－3i为实数”的概率为.
(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．
由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．
所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝＝.
