江西省赣州市2025--2026学年九年级数学上学期期末复习训练题（一）（含答案）

江西省赣州市2025--2026学年九年级数学上学期期末复习训练题（一）（适用人教版）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果关于的方程是一元二次方程，那么需要满足条件（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．
2.抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.下列图形中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
4.如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，点O为正八边形的中心，连接、，则（ ）度．
A. 45 B. 30 C. 22.5 D. 90
6.下列事件中，是必然事件的是（　　）
A. 任意抛一枚硬币，正面朝上 B. 任意画一个圆内接四边形，其对角互补
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.方程的解是 ．
8.已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少 米．
9.二次函数的图象如图所示，则的面积为 ．
10.如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为 ．
11.中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积 ．（结果保留）
12.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P是圆上任意一点，连接BP，CP，则∠BPC的度数为 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.用适当的方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为．
(1) 求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标
(2) 在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像．
15.(本小题5分)
如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分．
16.(本小题6分)
如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．
(1) 求的度数；
(2) 若的半径为8，求正方形的边长．
17.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1) 画出绕点A逆时针旋转后得到的；并直接写出的坐标；
(2) 在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积．
18.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
(1) 判断方程是否为波浪方程，并说明理由．
(2) 已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值．
19.(本小题6分)
某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1) 求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2) 当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？
20.(本小题6分)
已知函数．
(1) 若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值；
(2) 若这个函数是二次函数，则满足的条件为 ．
21.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点，，．
(1) 画出将先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，其中点A、B、C的对应点分别为点、、；
(2) 画出将绕原点O顺时针旋转得到的，其中点A、B、C的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标．
22.(本小题5分)
如图，是的直径，是的弦，是劣弧上一点，且平分，过点作的垂线，垂足为延长线上的点，延长交的延长线于点．
(1) 求证：是的切线；
(2) 连接，若，的半径为，求阴影部分的面积．
23.(本小题6分)
已知，正方形和它的外接圆．
(1) 如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径；
(2) 如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明；
(3) 如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】，
8.【答案】4
9.【答案】1
10.【答案】6
11.【答案】
12.【答案】30°
13.【答案】【小题1】
解：
解得，；
【小题2】
解：
，，
∴
解得，．

14.【答案】【小题1】
解：点在函数的图像上，
当时，，
，
点的纵坐标为，
点、关于轴对称，
,
点在函数的图像上，点、关于轴对称，
当时，，
解得，
、，
点的横坐标为；
【小题2】
解：∵和关于x轴对称，
∴画图如下所示

15.【答案】解：连接、、、，
，，
，．
，
．
在和中
．
．
在和中
．
．
平分．

16.【答案】【小题1】
解：连接，

由题意得：，
∴；
【小题2】
由（1）知：，
又∵，
∴，
即正方形的边长为：．

17.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求，的坐标为；
【小题2】
解：根据题意得：，，
∴线段在旋转过程中所扫过的面积为．

18.【答案】【小题1】
解：方程为波浪方程，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴方程为波浪方程，
【小题2】
解：∵关于x的方程为波浪方程，
∴，且，
∴，
∵是关于x的方程的一个根，
∴，
联立①②解得；

19.【答案】【小题1】
解：设y与x的函数表达式为，
由题意得，，
解得，
∴y与x的函数表达式为；
【小题2】
解：由题意得，，
整理得或（舍去），
答：当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元．

20.【答案】【小题1】
解：∵函数是一次函数，
∴且，
解得，
∴一次函数.
∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得；
【小题2】
且

21.【答案】【小题1】
如图所示，即为所求．

【小题2】
解：如图所示，即为所求，点的坐标为，

22.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
又点在圆上，
是的切线；
【小题2】
解：是直径，是圆的切线，
，
，平分，
∴，
∴，，
，
，
，
∴，
，
．

23.【答案】【小题1】
解：连接、，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴是的直径，
∴
在中，
∴
∴的半径为
【小题2】
，理由如下：
在上取点G，使，连接，
同理（1）可得：，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小题3】
解：点A到的距离是或，理由如下：
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴点在以为直径的圆上，
∴点是这两圆的交点，
①当点P在如图3①所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴A、P、D、B在以为直径的圆上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，，
∴由（2）中的结论可得：，
∴，
∴；
②当点P在如图3②所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：点A到的距离为或．

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