陕西商洛市2025-2026学年高一第一学期期末数学试题（PDF版，含解析）

2025-2026 学年高一第一学期期末数学试题答案
考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题p : x > 2, x 2 + 2x - 3 < 0 ，则 p 为 ( )
A. 彐x > 2, x2 + 2x - 3 > 0 B. 彐x > 2, x2 + 2x - 3 ≥ 0
C. x > 2, x2 + 2x - 3 > 0 2 D. 彐x ≤ 2, x + 2x - 3 ≥ 0
2.“ x > 2 ”是“ 的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
-
3 ．函数f (x) = (x - 2) 3- x)的定义域是 ( )
A ． (2, 3] B ．(0, 3] C ．(2, 3) D ．(2，
+∞)
4 ．在a= 0.4 ， = 0.4 0.4 b 1.1 ，c = log1.10.4 三个数中，按从小到大排序，正确的是 ( )
A ．b < a < c B ．a < b < c C ．c < b < a D ．c < a < b
5. 函数f ( ) = 4x x + x - 6 的零点所在的区间为 ( )
A ． B ． C ． D ．
6 ．函数y = loga (x + 2) +1（ a > 0 ，且a ≠ 1）的图象恒过定点 A ，且点 A 在角 α 的终边上
，则cosα 的值为 ( )
A ． B ． C ． D ．
7. 已知函数f (x 在区间(-∞, + ∞) 上对任意的x1 ≠ x2 ，都满足
则实数 a 的取值范围是 ( ).
A ． B ． C ． ,1
D ． ,
8.记函数f = cos > 0) 的最小正周期为T .若 ,且y=f(x)的图象关
于点 中心对称,则f )
A. 1 B C D.3
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.
9 ．已知角 α 和β 的始边均为x 轴非负半轴，终边关于x 轴对称，则 ( )
A. sinα = -sin β B. tanα = tan β
C. sin cos β D. cos (π -α) = cos β
10. 已知函数f(x) = lg( 2 x +ax -a)，下列说法中正确的是 ( )
A ．若f (x ) 的定义域为R ，则a 的取值范围是(-4, 0)
B ．若f (x ) 的值域为R ，则a 的取值范围是(-∞ , -4] [ 0, +∞)
C ．若a=2，则f (x ) 的单调减区间为(-∞ , -1)
D ．若f (x ) 在(-2, -1) 上单调递减，则a 的取值范围是
11.下列说法正确的是( )
A.若 x<1 ，则函数y＝x＋ 的最小值为 3 B.若 x＋2y ＝3 ，则 2x＋4y 的最小值为 4
x
C. 函数y ＝ ＋ 的最小值为 3＋2 D.若 x>0，y>0 ，且 x＋2y ＝2 ，则(xy)max =
si x co x
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 已知函数f (x 则f 的值是
13.2026 年春节，小雅与家人在山阳天竺山欣赏“雪落天竺，雾凇成诗 ”的冬日
景色。景区文创店推出一款以雾凇为主题的折纸扇。该纸扇完全展开后，扇面
的形状为扇环形，其圆心角为 120。，外半径为25cm ，内半径为10cm .则该纸
扇扇面的面积为_________cm2 .
14. 已知函数f (x 若函数g(x) = f (x) - a 有三个不同的零点，则 a
的取值范围是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15.（满分 13 分）(1)计算： lg2+lg5+sin 分)
(2)若tan α = 2 ，求 的值.（7 分）
16.（满分 15 分）已知函数f = sin x∈R ，且f
(1)求f (x ) 的最小正周期T 和φ 的值；
(2)求f (x ) 在区间 上的最大值和最小值；
(3)若x 且f ，求x 的取值集合.
17.（满分 15 分）（1）已知 α , β 都是锐角，sin α = , cos (α + β ) = , 求cos β
的值；
已知cos sin 求sin (α + β ) 的
值.
18.（满分 17 分）已知函数f(x) = kx2 - (3k + 1)x + 3 .
（1）若不等式f(x)< 0 的解集为(1, 3) ，求f(x) 的表达式；
（2）若k > 0 ，解关于x 的不等式f(x) + kx -1 < 0；
（3）若不等式f(x) + kx -1 > 0 对任意的k ∈ [-1, 1] 恒成立，求实数x 的取值范
围.
19 ．（满分 17 分）已知奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足 x f (x)+ g(x) = 2 .
(1)求f (x ) ，g (x ) 的解析式；
(2)若g (m) = 5 ，(m < 0) ，求f 的值；
2
(3)若函数h (x) = 2af (x) + g (x) ，求h (x ) 在x ∈[0, 1] 上的最小值.
2025-2026学年高一第一学期期末数学试题答案
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知命题 p : x 2, x2 2x 3 0，则 p为（ ）
A. x 2, x2 2x 3 0 B. x 2, x2 2x 3 0
C. x 2, x2 2x 3 0 D. x 2, x2 2x 3 0
答案：B
2.“ ” “ 1x 2 是 2 ”的（ ）
x 1
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
1
3．函数 f x x 2 2 ln 3 x 的定义域是（ ）
A． 2,3 B． 0,3 C． 2,3 D． 2，+
答案：C
4．在a 0.40.4，b 1.10.4，c log1.10.4三个数中，按从小到大排序，正确的是（ ）
A．b a c B．a b c C． c b a D． c a b
0.4 0 0.4 0
【详解】由于c log1.10.4 log1.11 0,b 1.1 1.1 1,0 a 0.4 0.4 1，所以 c a b .
故选：D
5.函数 f x 4x x 6的零点所在的区间为（ ）
A
1 ,1 1, 3B
3
C , 2
5
． 2 ． 2 ． D．
2,
2 2
【详解】因为函数 y 4x和 y x x均为单调递增函数，所以函数 f x 4 x 6为单调递增函数，
3
又 f 1 1 3 0, f 42
3
6 7 3 0
2 2 2 ，所以
f 1 f 0，
2
f x 4x x 6 1, 3所以由零点存在定理可知函数 的零点所在的区间为 2 . 故选：B.
6．函数 y loga x 2 1（a 0，且a 1）的图象恒过定点 A，且点 A在角 的终边上，则
cos 的值为（ ）
A 5 B 5 C 2． ． ． D 2．
5 5 2 2
{#{QQABSYS54ggwktTACJ6KQU3cCUgYkIKhLCgMwVAeOAxKQQNIBAA=}#}
【详解】 令 x 2 1，则 x= 1时， y loga1 1 1，
故 y loga x 2 1过定点 A( 1,1)，
由三角函数定义可得 r ( 1)2 12 2 cos x 1 2， .故选：C.
r 2 2

2a 1 x
3
, x 1
7.已知函数 f x 4 在区间
f x f x
, 1 2上对任意的 x1 x2 ，都满足 0
a x , x 1 x1 x
，
2
则实数 a的取值范围是（ ）．
0, 1 1 1 1 1A． 4 B．
0,
2 C
,1 ． D． ,
2 4 2
【详解】由题意，函数 f x 在区间 , 上单调递减，

2a 1 0

则 0 a 1
1
，解得0 a ，
4
a 2a 1 3
4
1
即实数 a 的取值范围是 0, 4
.故选：A

8. 3 记函数 f (x) cos x

b, ( 0)的最小正周期为T .若 T ,且 y=f(x)的图象关于
4 4
点 3 , 2

中心对称,则 f ( )
2 2


A.1 B. 3 C. 5 D.3
2 2
解析 因为 3 T , 所以 3 2 ,解得 2 8 .
4 4 3
因为 y=f(x)的图象关于点 3π , 2 中心对称,
2
所以 b=2,且 3 cos 3 0 , 所以 k (k Z )
2 4 2 4 2
即 2 k 1 (k Z ) ,令 k 13 3 ,得
3 6 6
所以 f x cos 13 x 2 ,
6 4
所以 f cos
13 4 3 2 cos 2 .故选: B
2 6 2 4 3 2
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
{#{QQABSYS54ggwktTACJ6KQU3cCUgYkIKhLCgMwVAeOAxKQQNIBAA=}#}
目要求.
9．已知角 和 的始边均为 x轴非负半轴，终边关于 x轴对称，则（ ）
A.sin sin B. tan tan
C. sin π cos D. cos π cos
2
答案：AC
解析：因为角 和 的终边关于 x轴对称，可得 2kπ,k Z .
对于 A，由sin sin( 2kπ) sin ，A正确；
对于 B，由 tan tan( 2kπ) tan( ) tan ，B错误；
sin π cos cos( 2 kπ) cos( ) cos
对于 C，由 2 ，C正确；
对于 D，由cos(π ) cos cos( 2kπ) cos ，D错误.
10. 2已知函数 f x lg x ax a ，下列说法中正确的是（ ）
A．若 f x 的定义域为R，则a的取值范围是 4,0
B．若 f x 的值域为R，则a的取值范围是 , 4 0,
C．若a 2，则 f x 的单调减区间为 , 1
D．若 f x 在 2,
1
1 上单调递减，则 a的取值范围是 ,
2
答案：ABD 选项 A， x2 ax a 0恒成立， a2 4a 0，解得-4 < a < 0，A 正确；
选项 B， x2 ax a 0有解，因此 a2 4a 0，解得a 4或a 0，B正确；
选项 C，a 2时， f (x) lg(x2 2x 2)，由 x2 2x 2 (x 1)2 3 0得 x 1 3或
x 1 3，因此其减区间是 ( , 1 3)，C 错；选项 D， f x 在 2, 1 上单调递减，
a
1 1
则 2 ，解得 a 2，D 正确．故选：ABD． 1 a a 0
11.下列说法正确的是( )
A.若 x<1 1，则函数 y＝x＋ 的最小值为 3 B.若 x＋2y＝3，则 2x＋4y的最小值为 4 2
x－1
C. 2 1 1函数 y＝ ＋ 的最小值为 3＋2 2 D.若 x>0，y>0，且 x＋2y＝2，则(xy) ＝
sin2x cos2x max 2
{#{QQABSYS54ggwktTACJ6KQU3cCUgYkIKhLCgMwVAeOAxKQQNIBAA=}#}
答案：BCD
解析: 对于 A，∵x<1，∴x－1<0，∴y＝x 1＋ ＝x 1 1－ ＋ ＋1≤－2＋1＝－1，
x－1 x－1
当且仅当 x－1 1＝ ，即 x＝0时，取得最大值－1，故 A错误；
x－1
对于 B，2x＋4y≥2 2x·4y＝2 2x＋2y＝4 2，
3 3
当且仅当 x＝ ，y＝ 时，(2x＋4y)min＝4 2，故 B正确；
2 4
2 2
对于 C 2，y＝ 2 +
1
＝3+ 2cos x + sin x≥3+2 2.
sin x cos2x sin2x cos2x
当且仅当 tan2x＝ 2时，取等号，故 C正确；
对于 D，当 x>0，y>0，x＋2y＝2时，2＝x＋2y≥2 2xy，xy 1≤ .
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. log3 x, (x 0) 1已知函数 f (x) ，则 f [ f ( )]的值是 .2 x , (x 0) 9
1 1 1
【详解】：由题意可知：因为 0，所以 f
9
log3 2，
9 9
又 2 0 1，则有 f f
1 2 1

9
f ( 2) 2 ，故答案为： .
4 4
13.2026 年春节，小雅与家人在山阳天竺山欣赏“雪落天竺，雾凇成诗”的冬日景色。景区
文创店推出一款以雾凇为主题的折纸扇。该纸扇完全展开后，扇面的形状为扇环形，其圆心
角为 120 ，外半径为 25cm，内半径为10cm .则该纸扇扇面的面积为_________ cm2 .
1 2 2 1 2 2
【详解】：由扇形面积公式得 S 25 10 175 扇环 ，故答案为：175 .2 3 2 3

x
2 2x 1, x 0,
14.已知函数 f x g(x) f x alog x , x 0, 若函数 有三个不同的零点，则 a的取值范 0.5
围是 .
【详解】：由 g x f x a 0得， a f x ，
问题转化为直线 y a与函数 y f x 的图象有三个交点，作出函数图象如下：

x
2 2x 1, x 0,
画出 f x 的图象如图所示.
log0.5x , x 0
{#{QQABSYS54ggwktTACJ6KQU3cCUgYkIKhLCgMwVAeOAxKQQNIBAA=}#}
故 f x 的图象与 y a有三个不同的交点，由图象可得， a的取值范围是 0,1 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1 1
2 3
15.（满分 13 7 64 5 分）(1)计算： 2 lg2 lg5 sin ;(6分)
9 27 6
2sin(π )cos( 2π )
(2)若 tan 2，求 的值.（7分）
cos2
1 1
5 2 2 4 3 3
解：(1)原式= + +lg 5+lg 2+sin
3 3 6
5 4 1 1 9 9 =
3 3 2 2 2
2 2sin(π ) cos( 2π ) 2sin cos 2 tan （ ）显然 ，cos 2 cos2 sin2 1 tan2
2 tan 2 2 4
代入 tan 2计算可得 2 ，1 tan 1 22 3
2sin(π )cos( 2π )
因此 =
4
.
cos2 3
16.（满分 15分）已知函数 f x sin 2x , π π π , x R ，且 f 12 2 12 .
(1)求 f x 的最小正周期T和 的值；
(2)求 f x

在区间 ,
π
3 3 上的最大值和最小值；
(3) π π 3若 x ,2 2 ，且 f x ，求 x的取值集合. 2
【详解】（1） f (x)的最小正周期T
2π
π，
2
π π π π
因为 f 1，所以 sin 1，即 2kπ ,k Z， 12 6 6 2
π π π π
所以 2kπ , k Z，又 ，所以 k取0， .
3 2 2 3
π
（2）由（1）知 f x sin 2x ，
3
{#{QQABSYS54ggwktTACJ6KQU3cCUgYkIKhLCgMwVAeOAxKQQNIBAA=}#}
x π π π因为 ,

，所以 2x ， ， 3 3 3 3
y sin x π , π π , 因为 在 上单调递增，在 上单调递减， 3 2 2
所以 2x
π π π
，即 x 时， f (x)取得最大值1，
3 2 12
sin π 3因为 sin 0，
3 2
2x π π所以 ，即 x

时， f (x) 3取得最小值 ；
3 3 3 2
（3 f (x) 3 sin(2x π）由 得 ) 3 ，
2 3 2
π π 2π π
所以 2kπ 2x 2kπ ,k Z，所以 kπ x kπ ,k Z，
3 3 3 6
x π π π 又 ,2 2
，所以 k只能取0，得 0 x ，即 x x 0 x .
6 6
17. 4 5（满分 15分）（1）已知 , 都是锐角， sin , cos ,求 cos 的值；
5 13
2 cos 3,sin 5 12 3 （ ）已知 , , , 0, ，求 sin 的值.
4 5 4 13 4 4 4
【详解】（1） , 都是锐角， 0， ，
sin 4 ,cos 5又 , cos 3 ,sin 12 ，
5 13 5 13
cos cos cos cos sin sin
5 3 12 4 63

13 5 13 5 65
2 sin 5
sin

sin


12

4 4 4 13
sin 12 ,又 4 13
0,
4
,
4 4 2
5
cos

,
4 13
cos

cos
3

,
3
,

,



0,
4 4 5 4 4 4 2
sin 4
4 5
{#{QQABSYS54ggwktTACJ6KQU3cCUgYkIKhLCgMwVAeOAxKQQNIBAA=}#}

sin sin


sin
4 4
cos cos sin
4 4 4 4
12 3 5 4 16

13 5 13 5 65
18.（满分 17分）已知函数 f (x) kx2 (3k 1)x 3 .
（1）若不等式 f (x) 0的解集为 1,3 ，求 f (x)的表达式；
（2）若 k 0，解关于 x的不等式 f (x) kx 1 0；
（3）若不等式 f (x) kx 1 0对任意的 k [ 1,1]恒成立，求实数 x的取值范围.
解：（1）不等式 f (x) 0的解集为 (1,3)
2
即 kx (3k 1)x 3 0的解集为 (1,3)，
kx2可知方程 (3k 1)x 3 0的两个根为 x1 1, x2 3，且 k 0，………………………………2分
1 3 3k 1
k
由根与系数的关系可得 ，解得 k 1，
1 3 3
k
2
则 f (x) x 4x 3 .……………………………………………………………………………………4分
（2）由 f (x) kx 1 0 kx2，即 (2k 1)x 2 0，得 (kx 1)(x 2) 0，
1 1 1
当0 k 时，解得2 x ，不等式的解集为 x 2 x ；…………………………………7分2 k k
1
当 k 时，解得 x ；…………………………………………………………………………………8分
2
当 k 1 1 时，解得 x 1 2，不等式的解集为 x x 2

.………………………………………9分2 k k
2
（3）不等式 f (x) kx 1 0对任意的 k [ 1,1]恒成立，即 kx (2k 1)x 2 0对任意的 k [ 1,1]
恒成立，……………………………………………………………………………………………………10分
令 g(k) x2 2x k 2 x，……………………………………………………………………………11分
g( 1) x2 x 2 0
可得 2 ，解得 1 x 1，………………………………………………………14分
g(1) x 3x 2 0
{#{QQABSYS54ggwktTACJ6KQU3cCUgYkIKhLCgMwVAeOAxKQQNIBAA=}#}
即实数 x的取值范围为 ( 1,1)……………………………………………………………15分
19 x．（满分 17分）已知奇函数 f x 与偶函数 g x 满足 f x g x 2 .
(1)求 f x ， g x 的解析式；
(2)若 g m 5， m 0 f 3m ，求 的值；
2
(3)若函数 h x 2af x 2 g x ，求 h x 在 x 0,1 上的最小值.
【详解】（1）由 f x g x 2x①，得 f x g x f x g x 2 x②，
x
2 f x 2x 2 x f x 2 2
x
① ②得 ，即 .
2
2g x 2x 2 x g x 2
x 2 x
① ②得 ，即 .
2
2m 2 m
（2）由（1）得 g m 5，即 2m 2 m 10，
2
m m 2 m m
因为 2m 2 m

2 2 2 2 2 ,又因为

m 0,则2 2 2 2 0

m m
所以 2 2 2 2 2 2
3m 3m m 3 m 3 3m 1 1 1 m m f m m则 2 2
2 2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 2 .
2
（3）由题 h x 2af x [g x ]2 a 2x 2 x 1 2x 2 x ， x 0,1 ，4
令 t 2x 2 x
3
，则 t 2x 2 x在 0,1 上单调递增， t 0, . 2
则 h x 1 1 F t t 2 at 1 t 2a 2 a2 1，
4 4
3 3 3 3 3 25
当 2a ，即 a 时， F t 在 0,

上单调递减， h x F (t )2 4 2 min min
F a .
2 2 16
3
当 2a 0

，即 a 0时， F t 在 0, 上单调递增， h x F (t) F 0 1 2 min min
.
3 3 2
当0 2a ，即 a 0时， h x F (t) F 2a 1 a
2 4 min min
a 3综上：
3 25 3 2
时， h x a ； a 0 hmin 时， x 1 a h x 14 2 16 4 min ； a 0时， min .
{#{QQABSYS54ggwktTACJ6KQU3cCUgYkIKhLCgMwVAeOAxKQQNIBAA=}#}