《创新方案》3.3 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角 课件 高中数学选修二(人教B版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新方案》3.3 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角 课件 高中数学选修二(人教B版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 721.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角
新知学习 探究
PART
01
第一部分
思考1 上述数表最显著的特点是什么？
提示：(1)从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小．
(2)表中每行两端的数都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．
思考2 每一行中，与首末等距离的二项式系数有怎样的关系？
提示：相等．
思考3 当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？
提示：分别是1，6，15，20，15，6，1.
增大
减小
2n
(1)若(1－2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为( )
A．－960 B．960
C．448 D．－448
√
－540
二项式系数性质的理解
(1)二项式系数的性质不是展开式中系数的性质．
(2)二项式系数的最大项与n的奇偶性有关．
(3)二项式系数和只与n有关．
√
280
三 二项展开式的系数和问题
已知(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9.
(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a9的值；
【解】 因为(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9.令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0, 所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝－1.
(2)求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值．
【解】 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，又由(1)知，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0，则两式相加得，2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝512，所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝256.
【变式探究】
1．(设问变式)本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值．
解：由二项展开式定理可知，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a0，a2，a4，a6，a8为正数，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝29＝512.
赋值法求二项展开式中的系数和
(1)对于形如(ax＋b)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
[跟踪训练3] 已知x7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7.求：
(1)a1＋a2＋a3＋…＋a7；
解：由x7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7，令x＝－1，则a0＝－1，令x＝0，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7)－a0＝1.
(2)a1＋a3＋a5＋a7.
解：令x＝－2，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(－2)7＝－128，因为a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0，两式相减，可得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128，所以a1＋a3＋a5＋a7＝64.
对称
1
和
“杨辉三角”又称“贾宪三角”，“帕斯卡三角”(如图所示)，它揭示了(a＋b)n(n为非负数)展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出(a＋b)5＝_____________________________________________；
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
(2)(a＋1)8的展开式中a项的系数是___________________________；
(3)利用上述规律求115的值，写出过程．
【解】 115＝(10＋1)5＝105×10＋5×104×11＋10×103×12＋10×102×13＋5×101×14＋100×15＝100 000＋50 000＋10 000＋1 000＋50＋1＝
161 051.
解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察——分析——实验
——猜想结论——证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同).
[跟踪训练4] (2024·贵州兴义八中月考)杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算术》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是(a＋b)n(n∈N)，当n＝0，1，2，3，4，5时展开式的二项式系数表示形式．
借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是( )
A．5，9 B．5，10
C．6，9 D．6，10
√
解析：由“杨辉三角”的性质可得，
从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和，
所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10.
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
√
√
3．二项式(x－1)7的展开式中，系数最大的项为________．
35x3
4．(教材P35习题3－3CT2改编)已知对任意给定的实数x，都有(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100.求：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a100；
解：因为(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100，令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a100＝1.
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99.
第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角
新知学习 探究
PART
01
第一部分
思考1 上述数表最显著的特点是什么？
提示：(1)从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小．
(2)表中每行两端的数都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．
思考2 每一行中，与首末等距离的二项式系数有怎样的关系？
提示：相等．
思考3 当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？
提示：分别是1，6，15，20，15，6，1.
增大
减小
2n
(1)若(1－2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为( )
A．－960 B．960
C．448 D．－448
√
－540
二项式系数性质的理解
(1)二项式系数的性质不是展开式中系数的性质．
(2)二项式系数的最大项与n的奇偶性有关．
(3)二项式系数和只与n有关．
√
280
三 二项展开式的系数和问题
已知(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9.
(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a9的值；
【解】 因为(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9.令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0, 所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝－1.
(2)求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值．
【解】 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，又由(1)知，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0，则两式相加得，2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝512，所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝256.
【变式探究】
1．(设问变式)本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值．
解：由二项展开式定理可知，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a0，a2，a4，a6，a8为正数，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝29＝512.
赋值法求二项展开式中的系数和
(1)对于形如(ax＋b)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
[跟踪训练3] 已知x7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7.求：
(1)a1＋a2＋a3＋…＋a7；
解：由x7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7，令x＝－1，则a0＝－1，令x＝0，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7)－a0＝1.
(2)a1＋a3＋a5＋a7.
解：令x＝－2，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(－2)7＝－128，因为a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0，两式相减，可得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128，所以a1＋a3＋a5＋a7＝64.
对称
1
和
“杨辉三角”又称“贾宪三角”，“帕斯卡三角”(如图所示)，它揭示了(a＋b)n(n为非负数)展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出(a＋b)5＝_____________________________________________；
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
(2)(a＋1)8的展开式中a项的系数是___________________________；
(3)利用上述规律求115的值，写出过程．
【解】 115＝(10＋1)5＝105×10＋5×104×11＋10×103×12＋10×102×13＋5×101×14＋100×15＝100 000＋50 000＋10 000＋1 000＋50＋1＝
161 051.
解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察——分析——实验
——猜想结论——证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同).
[跟踪训练4] (2024·贵州兴义八中月考)杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算术》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是(a＋b)n(n∈N)，当n＝0，1，2，3，4，5时展开式的二项式系数表示形式．
借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是( )
A．5，9 B．5，10
C．6，9 D．6，10
√
解析：由“杨辉三角”的性质可得，
从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和，
所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10.
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
√
√
3．二项式(x－1)7的展开式中，系数最大的项为________．
35x3
4．(教材P35习题3－3CT2改编)已知对任意给定的实数x，都有(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100.求：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a100；
解：因为(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100，令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a100＝1.
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99.