《创新方案》4.2.4 第2课时　离散型随机变量的方差 课件 高中数学选修二(人教B版)同步讲练测

(共41张PPT)
4.2 4.2.4 第2课时　
离散型随机变量的方差
学习目标
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．　2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．　3.掌握方差的性质，以及服从两点分布、二项分布的随机变量的方差的求法，会利用公式求相应的方差．
新知学习 探究
PART
01
第一部分
思考　从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表
甲
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
乙
X 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
如何评价这两名同学的射击水平？
提示：E(X)＝8，E(Y)＝8，因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平．评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度．根据表中数据可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定．
[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋
[xn－E(X)]2pn
方差
DX　
标准差
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(甲和乙)进行田间试验．选取两块大地，每块大地分为n块小地，在总共2n块小地中，随机选n块小地种植品种甲，另外n块小地种植品种乙．假设n＝4，在第一块大地中，种植品种甲的小地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差．
求离散型随机变量的方差的步骤
(1)明确随机变量的取值，并求出随机变量取各个值的概率；
(2)写出分布列；
(3)利用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，求出随机变量的均值E(X)；
(4)代入公式D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn，求出方差D(X).　
√
p(1－p)
np(1－p)
(对接教材例4)某厂一批产品的正品率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算：
(1)抽出的10件产品中平均有多少件正品；
【解】　因为正品率是98%，所以任取一件产品时，得到正品的概率为0.98.
用X表示抽得的正品数，由于是有放回地随机抽样，所以X服从二项分布B(10，0.98).则E(X)＝10×0.98＝9.8，因此抽出的10件产品中平均有9.8件正品．
(2)抽出的10件产品中正品数的方差和标准差．(结果保留三位小数)
解决随机变量方差与标准差问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).　
√
√
a2D(X)
(1)求随机变量Y＝aX＋b方差的方法
①先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差．
②应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
(2)均值、方差在决策中的作用
①均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．
②方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．
③在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．　
[跟踪训练3] (2024·辽宁葫芦岛测试)甲、乙两名射击选手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射击选手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
解：由(1)得，E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
√
√
解析：甲收益的均值E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29.乙收益的均值E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6.所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，所以投资股票乙的收益均值较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．故选BC.
3．(2024·北京市西城区月考)已知离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，则p＝______________，D(ξ)＝________．
5．(教材P89T5改编)已知离散型随机变量X的分布列如表所示．若E(X)＝0，D(X)＝1，则a－b的值为________.
1．已学习：(1)离散型随机变量的方差；(2)离散型随机变量的标准差；(3)方差的性质．
2．须贯通：(1)求离散型随机变量方差的方法；(2)求两点分布方差的方法；(3)求二项分布方差的方法．
3．应注意：要注意方差的性质公式与均值的性质公式的区别．