《创新方案》4.2.1　随机变量及其与事件的联系 课件 高中数学选修二(人教B版)同步讲练测

(共29张PPT)
4．2　随机变量
4．2.1　随机变量及其与事件的联系
新知学习 探究
PART
01
第一部分
思考　足球比赛的点球大战中，每队选择5人点球，变量X表示这5人进球的个数，X＝0，1，2，3，4，5各表示什么？

提示：X＝0，1，2，3，4，5表示5人点球进球的个数分别为0个，1个，2个，3个，4个，5个．
实数值
结果
所有可能的取值
【即时练】
1．下列随机变量中，是连续型随机变量的是(　　)
A．某机场候机室中一天的旅客数量X
B．某水文站观察到一天中江水的水位X
C．某景区一日接待游客的数量X
D．某大桥一天经过的车辆数X
解析：A，C，D中的随机变量X的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；
B中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，故是连续型随机变量．
√
2．在下列随机变量中，是离散型随机变量的是(　　)
①某人上班途中共有5个红绿灯路口，此人某天上班遇到红灯的次数；
②某地区今后每一年的人口的出生数；
③某单位全体员工体检时每人的血糖值．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
解析：①此人某天上班遇到红灯的次数是随机变量，且为离散型随机变量．②某地区今后每一年的人口的出生数是随机变量，且为离散型随机变量．③某单位全体员工体检时每人的血糖值是随机变量，且为连续型随机变量．
√
(1)随机变量的辨析方法
①随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
②随机试验的结果的确定性．即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两个特点，则该变量即为随机变量．
(2)判断离散型随机变量的方法
①明确随机试验的所有可能结果．
②将随机试验的结果数量化．
③确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．　
互斥
1
　(对接教材例1)写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
【解】　设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，3，4，…，11.
(对接教材例1)写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(2)从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
【解】　设所取卡片上的数字之和为X, 则X＝3，4，5，6，7.X＝3表示“取出标有1，2的两张卡片”；X＝4表示“取出标有1，3的两张卡片”；X＝5表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；X＝6表示“取出标有2，4的两张卡片”；X＝7表示“取出标有3，4的两张卡片”．
【变式探究】
1．(设问变式)若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y，求出Y的取值范围，其中Y＝2表示什么含义？
解：Y的取值范围为{1，2，3}．Y＝2表示“取出标有1，3或2，4的两张卡片”．
2．(综合变式)已知甲、乙2人进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X的取值范围，并写出表示的试验结果．
解：根据题意可知X的取值范围为{4，5，6，7}．X＝4表示“共比赛了4局，甲、乙2人中有1人连胜4局”．X＝5表示“在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出”．X＝6表示“在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出”．X＝7表示“在前6局中，两人打平，最后一局有1人胜出”．
解答用随机变量表示随机试验的结
果问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．　
[跟踪训练1] 写出下列随机变量的取值范围．
(1)抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数ξ；
解：ξ的取值范围为{1，2，3，4，5，6}．
(2)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；
解：ξ的取值范围为{3，4，5}．
(3)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．
解：ξ的取值范围为[0，59.5].
三　随机变量之间的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝__________________．
P(Y＝at＋b)
　(对接教材例2)某商场的促销员是按照下述方式获取税前工资的：底薪500元，每工作1 h再获取35元．从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作时间为X h，获取的税前月工资为Y元．
(1)当X＝80时，求Y的值；
【解】　由题意知当X＝80时，Y＝500＋35×80＝3 300.
(2)写出X与Y之间的关系式；
【解】　X与Y之间的关系式为Y＝500＋35X.
(3)若P(Y ＞2 950)＝0.27，求P(X≤70)的值．
【解】　当Y ＞2 950时，X＞70，即P(Y＞2 950)＝P(X＞70)＝0.27，所以P(X≤70)＝1－0.27＝0.73.
首先厘清随机变量之间的关系，然后根据已知条件计算出概率．　
[跟踪训练2] 一个袋中装有除颜色外其余均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
解：列表如下：
ξ 0 1 2 3
结果 取得3个黑球 取得1个白球、2个黑球 取得2个白球、1个黑球 取得3个白球
一个袋中装有除颜色外其余均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(2)若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的取值范围，并判定η是否为离散型随机变量．
解：由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ的取值范围为{0，1，2，3}，所以η对应的各值是5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的取值范围为{6，11，16，21}．显然，η为离散型随机变量．
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
1．(多选)(2024·山东东营高二统考期末)下列是随机变量的是(　　)
A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号
B．从早晨7：00到中午12：00某人上班的时间
C．A，B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间
D．某十字路口一天中经过的行人数
解析：选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量，其他选项中都是随机变量．故选ABD.
√
√
√
2．(多选)(2024·贵州遵义高二统考期末)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　)
A．某小区大门口一天出行的人数X
B．某车站服务台一天内接到的电话次数X
C．某人一天24小时内的血压监测值X
D．某公园一天内跑步的人数X
解析：对四个选项，人数、电话次数的取值都是随机的整数，满足题意；但血压监测值是不断变化的实数，不是离散型随机变量，不满足题意．故选ABD.
√
√
√
3．(教材P68练习AT2(1)改编)某项试验用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则ξ的值可以是(　　)
A．2 B．2或1
C．1或0 D．2或1或0
解析：由题意，该试验可能成功或不成功，故ξ的值可以是1或0.故选C.
√
4．已知P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.2，P(X＝3)＝P(X＝4)＝0.3，则P(X>1)＝____________，P(|2X－5|＝1)＝________．
解析：依题意可知P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.8，P(|2X－5|＝1)＝P(X＝3)＋P(X＝2)＝0.3＋0.2＝0.5.
　
0.8
0.5
1．已学习：(1)随机变量；(2)离散型随机变量；(3)连续型随机变量；(4)用随机变量的取值表示某个事件．
2．须贯通：离散型随机变量、连续型随机变量的判定方法，用随机变量表示随机试验结果的方法．
3．应注意：要注意随机变量之间的关系的等价性．