《创新方案》5.3.1　第2课时　等比数列的性质 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

(共35张PPT)
5．3.1　等比数列
第2课时　等比数列的性质
1.理解等比中项的概念．　2.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质．
3．能运用等比数列的性质简化计算并能解决与等比数列有关的问题．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”．在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质．
思考1　根据等差中项的定义，任意两个实数a，b中插入一个数A，均可以构成等差数列，那么，任意两个实数a，b中插入一个数G，能否构成等比数列？
提示：不一定，若a，G，b成等比数列，则有G2＝ab，若实数a，b有一个为0或者异号，a，G，b不能构成等比数列．
思考2　我们知道，如果数列{an}为等差数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.类比等差数列，若数列{an}为等比数列，则有什么类似的结论？
提示：如果数列{an}为等比数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
±1
③
3．若公差不为0的等差数列{an}满足a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，则a1＝________．
1
4．已知数列{an}满足an>0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列．证明：{an}为等比数列．
对等比中项的理解
(1)若G2＝xy，则x，G，y不一定成等比数列；只有同号的两个不为0的实数才有等比中项．
(2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数．
(3)如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列．　
asat＝apaq
a2·an－1
ak·an－k＋1
点拨　等比数列的性质可以推广为：
当m＋n＋s＝x＋y＋z(m，n，s，x，y，z∈N＋)时，amanas＝axayaz.
　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，(a2＋2a4＋a6)a4＝25，则a3＋a5＝(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
√
－6
应用等比数列性质的解题策略
(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．
(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的序号之间的关系，充分利用等比数列项的运算性质进行求解．　
[跟踪训练1] (1)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．
解析：设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.
－2
(2)在正项等比数列{an}中，若a4a8＝2，则log2a2＋2log2a6＋log2a10＝________．
2
三　等差数列与等比数列的综合问题
角度1　对称设项求数列的项
　(对接教材例7)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．
[跟踪训练2] 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________．
45
角度2　等差、等比数列的综合应用
　已知公比大于1的等比数列{an}满足：a1＋a4＝18，a2a3＝32.
(1)求{an}的通项公式；
已知公比大于1的等比数列{an}满足：a1＋a4＝18，a2a3＝32.
解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用．
(2)对于解答题注意基本量及方程思想．
(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题．
(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系．　
[跟踪训练3] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1，2，…)，且a2＝3，S5＝25.
(1)求{an}的通项公式；
已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1，2，…)，且a2＝3，S5＝25.
(2)等比数列{bn}的首项为1，公比q＝3，使得{bn}的每一项都是{an}中的项．若bk＝am(k，m∈N＋)，求m.(用含k的式子表示)
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．(教材P37T5改编)在等比数列{an}中，若a5a7a9a11＝36，则a2a14＝(　　)
A．6 B．9
C．±6 D．±9
√
√
4．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(1)求{an}的公比；
解：设{an}的公比为q，因为a1为a2，a3的等差中项，
所以2a1＝a2＋a3，a1≠0，所以q2＋q－2＝0，
因为q≠1，所以q＝－2.
设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(2)若a1＞0，a4a6＝4，求a3.
1．已学习：等比中项的概念、等比数列的性质及应用、等差数列与等比数列的综合问题．
2．须贯通：(1)灵活利用等比数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想；(2)解决等差、等比数列综合问题，一定要弄清等差数列中的某些项与等比数列中的某些项之间的关系，然后利用两种数列的性质求解．
3．应注意：等比数列{an}中，下标和相等的项的积相等，要求等式两边项的个数必须相同．