《创新方案》5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

(共29张PPT)
5．3.2　等比数列的前n项和
第2课时　等比数列前n项和的性质及应用
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题．　2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧．
思考　通过类比，我们能得出等比数列前n项和的哪些性质？
提示：由等差数列前n项和公式的“函数特性、片段和性质、奇偶项性质”类比等比数列前n项和公式的“函数特性、片段和性质、奇偶项性质”．
一　等比数列前n 项和的性质
1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋____________(n，m∈N＋).
2．若数列{an}是公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，________________仍构成等比数列．
qnSm
S3n－S2n
　(1)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，则S12＝(　　)
A．27 B．39
C．81 D．120
【解析】　由题知，S3＝3，S6－S3＝9，
因为数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，所以S9－S6＝27，S12－S9＝81，所以S12＝S9＋81＝S6＋27＋81＝S3＋9＋27＋81＝120.故选D．
√
(2)已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．
【解析】　设等比数列{an}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，
则S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝qS奇，由S2n＝3S奇，得(1＋q)S奇＝3S奇，因为an>0，所以S奇>0，所以1＋q＝3，解得q＝2.
2
利用等比数列前n项和的性质解题的注意点
(1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础．
(2)运用方程思想、整体代换思想是解题的关键．　
[跟踪训练1] (1)已知等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是(　　)
A．28 B．48
C．36 D．52
解析：设等比数列{an}的前n项和为Sn，则依题意有Sm＝4，S2m＝12，则Sm≠0，且S2m－Sm≠0，根据等比数列前n项和的性质有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列，所以(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)，即(12－4)2＝4(S3m－12)，解得S3m＝28.故选A．
√
(2)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n＝________．
3
二　利用Sn与an的递推关系判断等比数列
　已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N＋，有an＋1＝kSn＋1(k为常数).
(1)当k＝2时，求a2，a3的值；
【解】　由题意可得，a2＝2S1＋1＝3，a3＝2S2＋1＝2×(1＋3)＋1＝9.
已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N＋，有an＋1＝kSn＋1(k为常数).
(2)试判断数列{an}是否为等比数列？请说明理由．
给出等比数列前n 项和Sn与第n项an之间的递推关系式，判断an是否为等比数列的常见做法是：用n－1代换n，得到另一个等式，然后两式作差，利用Sn－Sn－1＝an，可以得到一个关于项之间的递推关系，根据递推关系就可以判断该数列是否为等比数列．　
[跟踪训练2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，n∈N＋.
(1)证明：{an}为等比数列，并写出它的通项公式；
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，n∈N＋.
(2)若正整数m满足不等式Sm≤500，求m的最大值．
解： 由(1)可知Sn＝2n＋1－2，
因为Sm≤500，所以2m＋1－2≤500，
即2m＋1≤502＜512＝29，解得m＋1<9，所以m<8，
因为m∈N＋，所以m的最大值为7.
三　等比数列前n项和的实际应用
　(对接教材例5)小华计划从今年4月开始存钱买车，若他第一个月存1万元，以后每个月在前一个月的基础上增加20%.记小华第一个月(今年4月)存入的金额为a1万元，小华第n个月当月存入的金额为an万元．
(1)求小华前3个月的总存款金额；
【解】　依题意，a1＝1万元，a2＝a1(1＋20%)＝1.2a1万元，a3＝1.2a2万元，则an＋1＝1.2an，即数列{an}是首项为1，公比为1.2的等比数列，所以an＝1.2n－1，所以小华前3个月的总存款金额为a1＋1.2a1＋1.22a1＝3.64a1＝3.64万元．
(2)若小华想购买的汽车售价为11万元，求小华至少要存几个月的钱才能全款购买这辆汽车．(参考数据：1.26≈2.99，1.27≈3.58，1.28≈4.30)
求解等比数列前n项和的实际应用题的基本步骤
(1)认真审题，建立等比数列的数学模型，将实际问题转化为等比数列的前n项和的问题；
(2)利用等比数列的前n项和公式求出数学问题的解；
(3)将求得的数学问题的解转化为实际问题．　
[跟踪训练3] 中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意．若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂________盏灯笼．
3
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
2．在正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20＝(　　)
A．10 B．18
C．36 D．40
解析：易知S10＝10，S30＝130，因为S10，S20－S10，S30－S20为等比数列，所以(S20－S10)2＝S10×(S30－S20)，代入数据可得(S20－10)2＝10×(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍)，所以S20＝40.故选D．
√
120
4．(教材P43T9改编)某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，还为公司获得了相应的广告效益．据测算，首日参与活动人数为5 000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元(以下人数精确到1人，收益精确到1元).
(1)求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；
(2)活动开始后第几天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？
参考数据：lg 11≈1.04，lg 115≈2.06，1.1530≈66.21.
1．已学习：等比数列前n项和公式的性质、等比数列前n项和公式的应用．
2．须贯通：灵活利用等比数列的项的性质以及前n项和的性质解题，可以提升解题速度和准确度．
3．应注意：应用公式和性质时易忽略其成立的条件．